大连理工大学
硕士学位论文
平面偶应力问题的辛求解方法
姓名：房桂祥
申请学位级别：硕士
专业：固体力学
指导教师：钟万勰
20040610
摘要
平面偶应力理论虽然早在上世纪初就出现了，但是其分析求解一直没有得到很好的解决。现有的求解手段主要采用数值方法一如有限元法。而能给出其解析解的只限于某些特殊的偶应力问题。辛方法作为一种崭新的理论求解体系已成功应用于板、梁等弹性力学阀题的求解，与经典的弹性力学求解体系相比有着其独特的优越性。本文目的在于把这种解析方法应用到平面偶应力问题的求解。
本文借助于Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板与平面偶应力的模拟关系，在平面偶应力问题的类Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ－Ｒｅｉｓｓｎｅｒ变分原理的基础上，以应力函数为原变量，部分应变为其对偶变量，推导出力法形式的平面偶应力问题的Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶方程组。于是把平面偶应力问题引入到Ｈａｍｉｌｔｏｎ体系，从而利用辛空间的分离变量和本征函数向量展开法获得其解。本文讨论了两种典型边界条件——对边自由和对边固支矩形域问题的解析求解。首先求解出由于用应交代替位移作为基本变量而带来的对边自由矩形域问题的所有非齐次特解，这些解均是有特殊物理意义的解。然后，推导出这两类边界条件各自的本征值超越方程，并进一步给出其对应的非零本征值的本征解。从而依据叠加原理，获得这两种典型边界条件问题的解。最后，本文求解了一半无穷矩形域单向拉伸问题，数值结果证明了微尺寸下经典弹性力学的求解方法得出的结果不再适用，由于偶应力的影响，单向拉伸问题在固定端角点处的奇异性消失。
本文将辛方法成功应用于矩形域平面偶应力闯题的求解，为这～类问题提供了一条崭新的解决途径。算例结果也很好地证明了辛方法的有效性和优越性。
关键词：平面偶应力，Ｈａｍｉｌｔｏｎ求解体系，辛对偶空间，本征展开法
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ＰｌａｎｅｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓｐｒｏｂｌｅｍａｐｐｅａｒｅｄａｔｔｈｅｂｅｇｉｎｎｉｎｇｏｆｌａｓｔｃｅｎｔｕＴｙ，ｂｍｉｔｈａｓｎｏｔｂｅｅｎｗｅｌｌａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙｓｏｌｖｅｄｂｅｆｏｒｅ．ＴｈｅｒｅａｒｅｍａｉｎｌｙｓｏｍｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｓｕｃｈａｓＦＥＭｅｒｅ．ａｔｐｒｅｓｅｎｔ．ａｎｄｔｈｅｒｅａｒｅｏｎｌｙｆｅＷａｎａｌｙｔｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｓｏｍｅｓｐｅｃｉａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｅ
ｍｅｔｈｏｄｈａｓｂｅｅｎａｐｐｌｉｅｄｉｎｓｏｍｅｐｌａｔｅａｎｄｂｅａｍｂｅｎｄｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓＳＵＣＣＥＳＳ“ｌｖ．Ｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｃｌａｓｓｉｃａｌｍｅｔｈｏｄ，ｉｔｈａｓｓｏｍｅｕｎｉｑｕｅａｄｖａｎｔａｇｅｓ．删ＳＰａｐｅｒａｌｌｎｓｔｏａｐｐｌｙｔｈｉｓａｎａｌｙｔｉｃｍｅｔｈｏｄｉｎｐｌａｎｅｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓｐｒｏｂｌｅｍ．
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ＲｅｓｕｌｔｓｉｍｐｒｏｖｅｔｈａｔｉｎｍｉｃｒｏＳＣａｌｅｔｈｅｃｏｕｐｌｅＳｔｒｅＳＳｅ自ｆｅｃｔｓｈｏｕｌｄｎｏｔｂｅｎｅｇｌｅｃｔ，ａｎｄｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｍｅｔｈｏｄｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅａｎｄａｄｖａｎｔａｇｅｏｕｓｔｏｈａｎｄｌｅｗｉｔｈｐｌａｎｅｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓｐｒｏｂｌｅｍｉｎｒｅｃｔａｎｇｌｅｆｉｅｌｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｌａｎｅｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓ，Ｄｕａｌｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ，Ｓｙｍｐｌｅｃｆｉｃｇｅｏｍｅｔｒｙ，Ｅｉｇｅｎ－ｓｏｌｕｔｉｏｎｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．
ＩＩ
平面偶应力问题的辛隶解方法
１绪论
１．１引言
弹性力学作为工程力学的一门基础学科，影响到工程力学的各个方面，而且也是数学物理方法的主要内容。然而弹性力学问题的求解一直是其发展的一个“瓶颈”。以铁木辛柯的《弹性力学》为代表的著作，其求解方法占了很大篇幅，而其求解方法是尽量消元以使未知量尽可能减少，其结果是方程的阶次却提高了。因此数学物理方法中最有效和最基本的分离变量法和本征函数展开法就难于实施，半逆法求解就成为其特点。
１．２课题的理论意义和应用价值
根据结构力学与最优控制理论的模拟关系，将由原变量和其对偶变量组成的辛空间引入到弹性力学，从而使分离变量及辛本征函数展开的直接解析方法得以实施，形成了弹性力学问题的求解辛体系。辛求解体系是通过理性的推导逐步进行下去的，它改变了以前弹性力学求解中大量运用半逆法的传统，给出了一个理性的求解方法。这样就有可能求得许多以前半逆法所不能解决的问题。而过去由于端部条件方面的困难，只能用圣维南原理覆盖的部分现在也可以予以求解。
辛求解体系与偏微分方程的传统求解思路正好相反。相比于传统求解方法的努力消元，尽可能减少未知变量的数目，而不惜方程阶次的升高，辛体系下则是引入对偶变量，使阶次降低，低阶微分方程有利于数值求解，而对偶变量数目的增加也不会带来大的影响。辛体系与数值方法相结合，将能更好的体现出辛体系的优点，充分发挥计算机的优势，去解决工程问题。
偶应力理论早在１８８７、１８９４就出现过【”，但是长时间未得到重视。在２０世纪６０年代Ｒ．Ａ．Ｔｏｕｐｉｎ［２．３１、Ｒ．Ｄ．Ｍｉｎｄｌｉｎ［４］等人就偶应力问题发表过几篇文章，但其后很长时间又趋于平淡。近些年来，由于其在描述材料尺寸效应方面的优势，偶应力理论引起了越来越多的重视，其理论及数值方法的研究已成为固体力学研究新的热点之一。
新近的实验表明，当非均匀塑性变形特征长度在微米量级时，材料具有很强的尺度效应。例如Ｆｌｅｃｋ［５】等在细铜丝的扭转实验中观察到，当铜丝的直径为１２微米时，无量纲的扭转硬度增加至１７０微米直径时的３倍；Ｓｔｏｌｋｅｎ和Ｅｖａｎｓ［６１在薄梁弯曲实验中也观察到当梁的厚度从１００微米减至１２．５微米时，无量纲的弯曲硬度也显著增加。这些现象
平面偶应力问题的辛求解方法
用传统的力学理论无法解释。此外，裂纹尖端应力场的分析也一直是一个难题。
应变梯度理论就是一种能够解释上述尺度效应的有效方法之一，对于应变梯度理论的发展现状及进展我们将在下面给出。
因为传统的弹性理论的模型不含有任何尺度，不能预测出尺度效应，所以传统的弹性理论在微尺度下不再适用。偶应力理论在描述材料尺寸效应方面有着自己的优势。
固体材料在微米和亚微米尺度下将表现出和宏观尺度不同的力学性能。另一方面，微电子技术的迅猛发展，同时也对科学技术的深入发展提出了迫切的要求。微型产品的尺寸已经小到微米及亚微米量级，产品质量是一个非常期待解决的问题。
对于偶应力问题，人们对它的研究多是着眼于如何寻找新的单元，利用数值方法进行计算。Ｒ．Ｄ．ＭｉｎｄｌｉｎＮ给出过中间带原孔的简单拉伸板等某些特殊偶应力问题的解析解。此时，如果能求出偶应力的解析解无疑有着重要的理论和现实意义。
１．３国内外研究概况及发展趋势
如前所述，偶应力理论早在１８８７、１８９４就出现过【ｌＪ，但是长时间未得到重视。在２０世纪６０年代Ｒ．Ａ．Ｔｏｕｐｉｎｐ．３】、Ｒ．Ｄ．Ｍｉｎｍｉｌｌ【４】等人就偶应力问题做过一些工作，但其后很长时间这方面的研究又趋于平淡。近些年来，由于其在描述材料尺寸效应方面的优势，偶应力理论引起了越来越多的重视，其理论及数值方法的研究已成为固体力学研究新的热点问题之一。
２０世纪初Ｃｏｓｓｅｒａｔ兄弟提出微极非线性弹性理论引起人们的注意【７Ｊ。Ｃｏｓｓｅｒａｔ理论（一般偶应力理论）于１９０９年提出，在此理论中，考虑了每一个材料粒子作为一个完美的刚性颗粒，在变形时，不仅有位移产生还伴随着转动。每一个物质元有６个自由度，导致了应变和应力张量的非对称性。由于此理论已经为非线性理论，且当时并非用来分析弹性理论框架下的一些问题，而是考虑了一些非理想的流体，并试图分析了一些电子动力学问题。在他们的理论中，Ｃｏｓｓｅｒａｔ兄弟并没有引进本构关系。所以一直没有引起人们的关注。在２０世纪６０年代，由于研究连续介质理论的基本原则，而引起一些学者的兴趣。他们将原先的Ｃｏｓｓｅｒａｔ兄弟的偶应力理论加以拓广，引入了微极弹性理论的术语，仅利用位移矢量来描述连续介质理论。
Ｔｏｕｐｉｎ［８，９］讨论了在连续介质中引入高阶梯度的基本原理，他假定应变能密度函数不仅依赖于应交而且依赖于转动梯度，得ＮＴ线弹性偶应力理论。ＭｉｎｄｌｉｎＩｌ叫认为连续介质中每一个物质点，从微观角度上可以看作是一个胞元。这个胞元不仅跟随连续介质做宏观运动和变形，而且自身会有微观位移和微观变形。因此，应变能密度函数不仅依赖
平面偶应力问题的辛求解方法
于应变张量而且依赖于变形张量及微观变形梯度。弹性偶应力理论是应变梯度理论的一种退化形式ＩＬｎ］。
现在国内外对应变梯度塑性理论的研究比较多ｆ７】。现在逐渐发展起来的两种应变梯度塑性理论分别为ＣＳ（ｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓ）应变梯度塑性理论、ＳＧ（ｓｔｒｅｔｃｈａｎｄｒｏｔａｔｉｏｎｇｒａｄｉｅｎｔ）应变梯度塑性理论【１１】。１９９３年Ｆｌｅｃｋ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ从几何必需位错角度出发，发展了一种只考虑转动应变梯度影响的应变梯度理论；在分析裂纹尖端场或微米压痕时提出了一种完整的应变梯度理论，既考虑了转动梯度又考虑了拉伸梯度。１９９９年Ｎｉｘ和Ｇａｏ发展了一种简单的位错模型，后来Ｇａｏ和Ｈｕａｎｇ发展了一种基于位错机制的应变梯度塑性理论（ＭＳＧ）。中科院力学所的陈少华、王自强也建立了一种完整的应变梯度理论。清华大学的黄克智等对应变梯度理论也有系统的研究。这些理论也得到一些渐近解应用到断裂力学中，更多的则是采用有限单元法计算【『”。
许多学者发现对于应变梯度理论的有限元计算，单元的选择是比较复杂的，尤其是其对具体本构关系的敏感性。Ｘｉａ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ曾经针对平面应变裂纹问题，讨论了应变梯度塑性有限元实现的困难。为了在计算中捕捉应变梯度效应，已针对Ｆｌｅｃｋ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ的应变梯度理论发展了很多单元，并且利用这些单元研究了裂纹尖端场问题，微米压痕问题。这些单元可分三类【７】：
第一类单元是ｃ．单元。这种单元最早是在研究板单元的时候，由Ｓｐｅｃｈｔ与Ｚｉｅｎｋｅｉｗｉｃｚ和Ｔａｙｌｏｒ提出的，Ｘｉａ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ与Ｂｅｇｌｅｙ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ把这种单元应用于应变梯度理论中。在这种单元中，节点变量是位移和它们的导数，仅仅在节点处ｃｌ连续，每个单元有三个节点。
第二类单元是混合单元。这种单元由Ｘｉａ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ与Ｓｈｕ和Ｆｌｅｃｋ在研究ＣＳ塑性理论时提出的，并且它的应用范围拓展到ＳＧ塑性理论中。在这种单元中，节点变量是位移和它们的导数，单元内的位移和位移的导数由节点变量插值得到。
第三类是９节点或者１６节点等参单元。这种单元仅仅适用于高阶应力曳力自由的情况。因为在裂纹面和远处都没有高阶应力曳力，所以在裂纹问题中可以应用这种单元。利用这种单元，Ｗｅｉ和Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ研究了应变梯度塑性理论的裂纹问题。Ｈｕａｎｇ和Ｘｕｅ等同样利用了９节点单元分析了ＭＳＧ理论下的微米压痕问题。
基于位错理论，材料的塑性强化是几何必需位错和统计位错共同作用的结果。尽管材料中的应变梯度效应是几何必需位错引起的，存在微结构的弹性材料同样会表现出应变梯度效应。Ｈｗａｎｇ等人（１９９８，１９９９）ｔ１２川给出了塑性和弹塑性材料Ｉ，Ⅱ，Ⅲ型裂纹的全域解，其中存在一个材料尺度参数。
此外，对于弹性偶应力理论，Ｙａｎｇ，Ｅ，Ｃｈｏｎｇ，Ａ．Ｃ．Ｍ，，Ｌａｍ，Ｄ．Ｃ．Ｃ．，Ｔｏｎｇ，Ｐ．１ｌ州建立了
平面偶应力问题的辛求解方法
一种各向同性线弹性偶应力模型，给出了一弹性粱弯曲的解。肖其林及其合作者ｆ１５１、郑长良副教授【ｌ创等人也发展了一些新的有限单元来求解偶应力问题。
除了数值方法之外，或许受经典弹性力学求解体系的限制，至今仍没有人对偶应力问题在解析解方面做出深入、系统的求解与分析。
利用弹性力学求解辛体系的优点，借助于平面偶应力理论与Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板的模拟理论，得出其他现有方法不能求解的偶应力问题的解析解。特色在于利用的辛体系的求解方法被誉为具有中国原创性的方法，提出一般偶应力问题的解析解法也是第一次。
在弹性力学求解辛体系领域，１９９９年钟万勰和姚伟岸［１７１建立了平面弹性与板弯曲的相似性理论，给出了板弯曲经典理论的另一套基本方程与求解方法，然后进入哈密顿体系用直接法研究了板弯曲问题。应用分离变量和本征函数展开法给出了条形板的分析解，突破了半逆解法的局限。姚伟岸和隋永枫【１８】从Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲问题的Ｈ－Ｒ变分原理出发，导出Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲的哈密顿对偶方程组。将问题导入哈密顿体系，详细求解出哈密顿算子矩阵零本征值的所有本征解及其约当型本征解，并给出了具体的物理意义。２００２年钟万勰、姚伟岸和郑长良【１９】在平面弹性与Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ板弯曲相似性理论的基础上，通过对Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲和平面偶应力理论基本控制方程和边界条件的对比，系统全面的阐明了两者的模拟关系，为两类问题的解析与数值求解打开互相借用的桥梁。
１．４本文的主要工作
钟万勰、姚伟岸等人已将辛方法成功应用于板、梁等弹性问题的求解即｜２“，而且已给出Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲和平面偶应力理论模拟关系。本文就是在这些前期工作的基础上，尝试把弹性力学求解的辛方法运用到平面偶应力理论中。主要工作包括以下几点：１．由Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲和平面偶应力理论基本控制方程和边界条件的对比关系，仿照Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板弯曲问题的Ｈ．Ｒ变分原理写出平面偶应力问题的类Ｈ－Ｒ变分原理。平面偶应力理论和以前平面弹性理论相比，剪应力ｆ。≠ｆ。，我们可以把它分解成对称如和反对称两部分ｆ。来处理。对称部分产生剪应变，非对称部分产生一局部刚体旋转∞：，由应力偶州平衡。
２．选取应力函数Ｐ、吼、妒，为原变量和应变ｒ。、（－ｒ。／２）、‘为其对偶变量。由Ｈ．Ｒ变分原理推导出平面偶应力问题的Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶方程组。再运用分离变量法形成问题的辛本征解。
３．分∥：０和∥≠０求解本征方程。∥＝０时，求解出具有不同物理意义的本征解，分别对应简单拉伸等受力情况。∥≠０时，我们先求出对称或反对称解的系数，然后代
入到相应的边界条件可以推导出本征值超越方程，从而我们可以求出本征值和其对应的本征解。进一步我们可以利用本征函数向量展开法得到原问题的解。
４．本文后面给出一个例题：一端固支的半无穷矩形域，末端受单位均布力拉伸，求解其固支端的正应力分布。将求解结果跟经典弹性理论求解结果作比较，发现用弹性偶应力理论求得的结果当物体尺寸与材料尺度接近时，固支端的应力集中现象弱化甚至消除。
２辛体系的一些基本知识瞳们
２．１辛空间
一切守恒的真实物理过程都能表示成适当的晗密顿体系，它们的共同数学基础是辛空间。辛空间与研究长度等度量性质的欧几里得空间不同，它是研究面积的，或者说是研究做功的。
定义１设ｙ是实数域Ｒ上的一个疗维线性空间，ｙ’为其对应的甩维线性空间，定义：
矽＝ｖｘｖ，｝亿?，则称线性空间∥为由矿和Ｖ’组成的实数域Ｒ上的２万维相空间。
定义２设矽是实数域Ｒ上的２Ｈ维相空间，对∥中的任意两个向量ａ，Ｐ依一定法则对应着一个实数，这个数称为辛内积，记作（口，卢），并且辛内积（口，卢）计算满足下列四个条件：
（１）（口，∥）＝－＜ｐ，口）
（２）（ｔ口，∥）＝．｜｝和，Ｐ），七为任意实数
（３）扛十一卢）＝扛．∥）＋（＂∥），，，是矽中的任意向量
（４）若向量口对∥中的任一向量声均有（口，∥）＝０，则口＝０
称定义有这样辛内积的相空间为辛空间。
由上面第一式可知，任一向量与其自身的辛内积一定是零，即对任意向量口有
＠，口）＝０（２．２）
定义３若向量口，∥的辛内积（吼∥）＝０，则说口，夕辛正交：否则说口，∥辛共轭ａ由定义２知，任一非零向量一定存在与其辛共轭的非零向量。事实上，若口≠０，则口与肛
一定是辛共轭的。
若向量组ｂ。ｄ：…ｑ届卢：…羼）（，蔓一）的向量满足：
（ｆ，，＝１，２，…，ｒ）（２．３）
则称向量组慨口２…口，属屈…屏Ｊ是共轭辛正交向量组；若上式中的ｋ。＊１（ｆ＝１，２，…，），则称向量组杠。口：…口，麒展…∥，）是标准共轭辛正交向量组。定理１共轭辛正交向量组是线性无关向量组。
定理２２ｎ维辛空间中任一个共轭辛正交向量组都能扩充成一组共轭辛正交基。
定理３设Ｗ是２玎维辛空间，（％）为一组标准共轭辛正交基，则Ｗ中任意一个向量，在基扛，）下的坐标Ｇ１…ｘ。Ｘ＾＋ｌ…工２。）１为：
ｘ，＝（∥，口。＋。），ｘ。“＝－＜Ｂ，口ｆ）ｉ＝１，２，－??玎（２．４）
定义４如２ｎＸ２ｎ矩阵Ｓ满足：
Ｓ７ＪＳ＝．，（２．５）
则称Ｊ是辛矩阵，其中‘，是单位辛矩阵。
辛矩阵有如下性质：
（１）辛矩阵的逆矩阵还是辛矩阵；
（２）辛矩阵的转置矩阵还是辛矩阵；
（３）辛矩阵的行列式值等于ｌ或一１；
（４）辛矩阵的乘积还是辛矩阵。
定义５如果２ｎ×２ｎ矩阵日对任意２ｎ维向量ｘ，Ｙ满足：
《ｘ，ｈｒｙ）＝（，，—Ｅｈ）（２．６）
则称矩阵日为哈密顿矩阵。
定理４如Ⅳ是哈密顿矩阵日的本征值，重数为ｍ，则一∥也一定是其本征值，重数也为ｍ：如哈密顿矩阵日存在零本征值，则其重数一定为偶数。
今后称土∥的两个本征值为哈密顿矩阵互为辛共轭本征值。我们通常将哈密顿矩阵的非零本征值分成两组：
＠）／．ｚ?，脚ｉ＜０或脚?２０＾１掣ｔ＜ｏｌ（２７）（卢）∥。“＝一∥。Ｊ
、。
在位）组中还可以按／．ｔ。的绝对值的大小来编排，越小越在前。需要说明的是上式没有包含零本征值，它是特殊的辛本征值，即其互为辛共轭的本征值是其本身。
定理５设日是哈密顿矩阵，ｙＰ，“”，…ｙ｝ｍ）和ｙｊｏ），¨１’，…时’分别是本征值以，一对
、，：¨川“
印ｂ睁卢０以产文恪、“
＝口●％∥０ｑ
应的基本本征向量及约当型本征向量，则当Ｈ＋ｌＪｉ≠０时本征向量间有如下辛正交关系：（∥“，妒ｊｆ））＝妒ｊｎ．，时’＝０Ｇ＝ｏ，１，…，棚；ｔ＝ｏ，１，…，ｎ）（２．８）上面的定理说明了非辛共轭的本征值对应的基本本征向量及其约当型本征向量间存在辛正交性质。下面我们讨论互为辛共轭本征值对应的本征向量间的关系。为简化，我们假设每个本征值只有一个约当链。
定理６设±口≠０为哈密顿矩阵日的一对互为辛共轭本征值，重数为ｍ，则一定存在一组共轭辛正交向量组◇扣’妒ｏ）…妒枷一‘’妒（ｍ。‘）…≯ｏ’妒（ｏ’），即：
（＾“））＝｛∽７∥兽：歹：：二器（２．９）其中ｐ（ｏ）矿（１）…∥加一‘））和如（０’妒ｏ）…一（“’）分别是卢，一一对应酌基本本征向量及约当型本征向量。
上面我们讨论了共轭非零本征值的本征向量之间的共轭辛正交关系。由定理４知道，如哈密顿矩阵日存在零本征值，则一定是偶重根。零本征值通常存在约当型，由它们组成的解在具体问题中是有特殊物理意义的，这些将在后面结合实际问题加以介绍。
零本征值因为其特殊性∥＝－ｐ＝０，其基本本征向量及其约当型本征向量自身可以组成一组共轭辛正交向量组，为讨论其共轭辛正交性，首先引入如下引理：
引理设哈密顿矩阵日存在零本征值，而缸０１妒ｏ）…∥（２”一１’）是零本征值对应的任一组基本本征向量及约当型本征向量，则对任意１≤Ｐ≤２ｍ一１，０≤ｇ茎２ｍ一２有：
（ｙｏ），ｙ（ｇ’）＝一ｆ／（Ｐ一”，妒““’）（２．１０）并且当Ｐ＋ｇ为偶数时有
ｆ矿（ｗ，吵（口））．０（２．１１）
定理７如哈密顿矩阵日存在零本征值，其重数为２朋，则一定存在一组零本征值对应的基本本征向量及其约当型本征向量ｐｏ’矿ｏ）…ｙ（２“’），它们有如下的共轭辛正交关系：
（以∥）＝Ｐａ。鲫管麓２２¨ｍ－ｍ时））（２．１２）
定理４－－７表明２玎维辛空间～定存在一组由哈密顿矩阵日的基本本征向量和约当型本征向量组成的共轭辛正交基；然后再通过归一化，可以形成一组标准共轭辛正交基，由它们的列向量组成的矩阵当然是辛矩阵。
关于哈密顿本征值问题的特点定理４已经有了介绍。由于哈密顿矩阵不是对称阵，因此可能出现重本征值，而且可以有约当型的本征向量。如‰。）是重本征值∥的基本本
征向量，根据式线性空间的理论知其各阶约当型本征向量叛。），掣（：），…，甲（。）应分别由下列方程求得：
／ＰＰ（Ｏ＝∥‰）＋毁ｏ】
日妒（２）＝∥甄２）＋Ｐ（１）
（２．１３）
日妒∽２声妒（＾）＋妒（女一１）
对基本本征向量毁。）来言，它对应的Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶方程组的解为
’（ｏ）＝ｅ“譬，（ｏ）（２．１４）可是约当型本征向量不能按式（２．１４）直接构成齐次Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶方程的解，但由它们可以组成原方程的解：
‰＝ｅ一陬。）＋ｘ％）】
Ｖｔ：，＝ｅ”［ｒｃ：，＋ｘ甲。，＋ｉ１ｚ２甲。，］
ｆ２．１５）
№矽ｈ％）＋．．．＋≯‰］
这里需要强调指出的是本征值∥＝０是一个特殊情况，它不包括在（２．７）中，所以说式（２．７）
的划分是不够严格的。在弹性静力学中，零本征值是常见的，而且通常存在约当型，其对偶的本征向量与其约当型的解混在一起，这在理论上带来了某种不便。其处理是应该将零本征值的本征解子空间先行求出，并将哈密顿阵降维降到不含有零本征值，使之适应（２．７）的划分。
２．２哈密顿原理与哈密顿正则方程
“大自然总是走最容易和最可能的途径”，这是著名的费马原理。在经典力学中最小
作用量原理归结为哈密顿原理，通常用有限自由度，ｌ维的广义位移ｇ。Ｏ＝１，２，…，ｎ）或用向量口来描述。用口。表示其对时间的微商，则动力系统的拉格朗Ｅｌ函数（动能一势能）为：
上瓴雪）或￡Ｑ１，ｇ：，…，鼋。；口。，寸：，…，口。）（２．１６）哈密顿原理可表述为：一个保守系统自初始点Ｑ。，ｆｏ）运动到终止点白。，ｔ。），其真实的运
９
动轨道眨使作用量么成为驻值。
４＝Ｃ工白雪）ｄｆ，跗＝０（２．１７）事实上展开变分式（２．１７），并作分部积分有：
跗＝蜷一鲁［新靴＝。仁嘞由于硒可以任意变分，因此就导出了拉格朗臼方程：
旦ｄｔ㈦ｋｏｑＪ＝詈㈣
∞、７因此说哈密顿原理式（２．１７）对应于拉格朗日方程（２．１９），它是二阶常微分方程组。我们看到，以上的表述只有位移这一类变量，所以它是单类变量的变分原理。
在经典分析力学中早己发展了哈密顿正则方程体系，它是通过勒让德变换，把拉格朗日函数Ｌ中的～类独立变量圣（广义速度）变换为ｐ（广义动量，即对偶变量）：
ｐ：罢（２．２０）由式（２．２０）我们可以解出口，使圣是ｐ、叮的函数，即：
尊＝圣（ｐ，譬）（２．２０按照勒让德变换的规则，应引入交换函数，即哈密顿函数（动能＋势能）：
．日Ｃ“口）＝ｐ１圣一三白雷（ｐ，口））（２，２２）于是根据勒让德变换有：
罢：一百ＯＨ，尊：婴（２．２３）
向阳’１勿、
另一方面，由式（２．１９）｝知：
６砚＝－ａｄｒＣ引６）ｄｔ＝ｐ（２．２４）
Ｊ’，故得：
圣：掣，ｐ：一掣（２’２５）
ｇ＝—：一，ｐ＝一—ｉ—Ｌ厶二）Ｊ
ｃｐ叼
式（２．２５）就是哈密顿正刚方程，其中采用了二类变量：广义位移窖与广义动量ｐ。与哈密顿方程（２，２５）相对应的变分原理是
６ｅｂ７口一日（ｇ，尹）】ｄｆ＝ｏ（２．２６）其中ｇ与Ｐ应当看成为互不相关独立变分的变量。只要展开变分式（２．２５），就可以立即得到式（２．２５）。
从单类变量的变分原理式（２．１７）变换到二类变量的变分原理式（２．２６）的过程具有典型性，它是通过勒让德变换实现的。
平面偶应力问最的辛求解方法
３具有应力偶的平面弹性理论及与Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板的模拟关系
３．１具有应力偶的平面弹性理论。３
３．１．１引言
经典应力理论与含应力偶的应力理论之间基本的区别在于对于表面单元的两面所假设的材料相互作用的性质不同。在经典理论中，假设在表面一面的材料对表面另一面的材料的作用与～力是等价的。在应力偶理论中，假设相互作用与一力和一力偶（应力偶）等价。进一步改进还允许假设体力偶的性质。应力偶取为单位面积的力矩，而体力偶取为单位体积的力矩。
应力偶理论与经典应力理论相比具有更少的限制性。此外，有应力偶的弹性力学理论应用到经典解产生局部无界应力或无界变形的问题表面时，该结果（例如奇异性）被改变、被弱化或者可能被消除。
对于平面应变，应变一位移关系可以得到如下形式：
抛ａｖ．
Ｌ２否’占，２万＾～㈤
％２面＋瓦’，，。２‰２０
应力一应变关系可写成如下形式：
毛＝．半ｋ—ｙ乜＋盯，）】
占一２—１■【（０一ｙ≈以＋盯，Ｊｊ
旷半ｂ，一ｖｐ；＋ｑ）】（３２）
占，＝—。ｒＩＦｙ—Ｖｐｚ＋盯，月Ｕ‘ｚ，
ｙ。：．２０辜ｖ＿＿Ａｒ。
。净’掣
３．１。２平衡方程
对于相对Ｇ，ｙ）平面并且无体力和体力偶的平面问题，能够支撑应力偶的～介质的应力平衡方程为（正应力方向如图３．１所示）：
∑蜘。：警＋等＋～＾＝。（３ｓ）
因此，对非常数应力偶（ａｍ。／知≠０，锄，／勿≠０），剪应力不必相等（即ｒ，≠％）。反过来，如果（～，ｒ，）相等或为零，则应力偶（ｍ。，ｍ，）不比为零ａ方程（３．３）为略去体力和力偶的平面问题的Ｃｏｓｓｃｒａｔ平衡方程（Ｃｏｓｓｅｒａｔ，１９０９）。
３．１．３应力偶理论中的变形
图３．１正应力图
Ｆｉｇｕｒｅ３．１Ｐｏｓｉｔｉｖｅｓｔｒｅｓｓｅｓ
现在我们处理平面应变情况。相对Ｇ，ｙ）平面的平面应变，位移分量０．ｖ）只是Ｇ，），）的函数并且ｗ＝０。因此，对各向同性弹性介质，正应变ｂ，，ｓ，）由方程（３．２）的前两式与正应力ｂ，，仃，）联系，－，，ｑ）由方程（３．１）的前两式与０，Ｖ）联系。此外，剪应变Ｙ。由方程（３．１）的第四式与（“，ｖ）联系。然而，因为通常ｆ。≠ｒ，，方程的（３．２）第三式不再成立。因此，
１３
＝｜１
坠砂堡砂＋十堕缸笠苏ＯＯ｜｜＝只
０∑∑
仿效Ｍｉｎｄｌｉｎ（１９６３），我们将％，％分熊成为对称部分％和菲对称部分＿：
。＝委ｋ＋‰）由下图，对称部分珞产生剪应交
ｆ＾±圭（ｆ掣一彳声）％＝石１”半（『∥，）％２石ｈ。丁ｂ竹”』＿），彰。ｆ
？．‘”一ｆＳ
ｙｔ
飞－Ａ％§．—（—，—一’■
（３．４）
（３．５）
图３．２剪应力的对称和反对称部分
Ｆｉｇｕｒｅ３．２ＴｈｅｓｙｍｍｅＷｙａｎｄａｓｙｍｍｅｔｒｙｐａｒｔｏｆｓｈｅｍ＂ｓｔｒｅｓｓ
其中Ｇ＝，Ｅ／［２０＋ｙ）】为剪切模量。类似的，非对称部分＿产生一局部刚体旋转（如上图）
１ｆ加融１
呸２ｉ临一面ｊ此外，非对称部分‘由应力偶平衡。
１４
（３．６）
母
～
一，上ｘ芦停
研究应力偶对单元陋，妙）的影响，图３．３，我们注意到ｍ。ｍ。产生与旋转国：相关的曲率芷。Ｋ。并由方程：
疋娑Ｏ＇Ｘ缸＝船＆警渺＝砂（３．７）
’卵
或者
ｒ。＝警％＝鲁（３８）
ｒ。２ｉ％２畜（３省’表示其关系。
类似于剪应变％与ｆ。‰的对称部分ｂ的关系，我们假设曲率（ｋ，彭，）（变形）与应力偶（ｍ。，ｍ，）（力）成正比：
１１
茁。２右ｍ。ｂ２右ｍ”（３?９）其中Ｂ为曲率或弯曲模量而因子４是为以后的计算方便而取的。我们注意到由于应力偶具有单位面积力矩的量纲或单位长度力的量纲而曲率为长度的倒数，所以模量Ｂ具有力的量纲。
Ｒ。＝１／盯。
（ａｑ／缸玲
～～蔓．
ｍ立
３．１．４协调方程
图３．３应力偶对单元的影响
Ｆｉｇｕｒｅ３．３Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｃｏｕｐｌｅｓ缸ｔｓｓ
方程（３．１），（３．６）和（３．８）由用两个位移分量表达的五个变形量（‘，富ｙ，％，ｋ，茁ｐ）组成，从方程（３．１）中消去位移分量，我们得到通常的应变协调方程
丛＋生：盟（３．１０）
Ｏｙ２’苏２踟＇、类似地，从方程（３．８）中消去旋转缈：得出：
坠：坠（３．１１）
勿苏
现在由方程（３．１）和方程（３．６），我们发现：
知。１０２ｖａ２“１１ａ％溉
言２ｉＩ萨一丽ｊ２ｉｉ一百
８０Ｊ：１ｒａ２ｖａ２“１ａｓｙｌ％
—』＝一ｌ¨１２一一
砂２Ｌ苏砂砂２Ｊ良２砂因此由方程（３．８）得出：
ｌ＾（３．１２ａ）（３．１２ｂ）
平面偶应力问题的辛求解方法
～１铆ｑ８ｓｌ
ｋ２互蔷一蓄
ｄ￡ｖ１ａｙｑ
ｂ２吉一ｊ蓄（３．１３）看起来我们已得到４个协调关系【方程（３．１０），（３．１１）和（３．１３）］。然而，我们观察到方程（３．１３）
隐含方程（３．１１）。因此我们有协调关系：
堕．堡：～０２ｙ。，
勿２。叙２姗ｙ
坠：坠
砂玉
一１ａ％ａｓ。
ｋ２ｉ蓄一亏
ｂ＝等一ｉＩ百Ｏｙ￡ｙ（３．１４）
ｂ２言一ｉ百ｕ?Ｈ，其中只有三个关系是独立的，因为第二个方程被其余三个隐含。
最后，我们注意到，４个协调关系可用方程（３．５），（３．９）ｆＦｌｌ（３．２）的前两式按照应力分量（仃，，盯，，勺，ｆ，）和应力偶（矾。，ｍＦ）写出，我们得到：
等＋誓卅ｐ，坞）＝茜Ｇ∥，）
其中
锄，锄。
砂苏
拼。玎昙ｋｑ）叫２刍ｂ；一Ｖ◇；坞）】
ｍ，划２昙ｐ，一ｙｐ：螺粕专（ｒ∥，）（３１５）
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
§6.4 平面应力问题的近似性 学习思路: 对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。但是问题的z方向应力和位移不同。 应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。 对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。 学习要点： 1. 平面应变与平面应力问题； 2. 平面应力问题与基本方程； 3. 平面应力问题的误差； 对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。 因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。 下表列出了两种平面问题的主要差别。
上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。 虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。 由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题， 变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求 这要求εz为x，y的线性函数，因此εz= ax+by+c，但平面应力问题又要 求。这要求σx+ σy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。
硅烷偶联剂的使用（完整篇） 一、选用硅烷偶联剂的一般原则 已知，硅烷偶联剂的水解速度取于硅能团Si-X，而与有机聚合物的反应活性则取于碳官能团C-Y。因此，对于不同基材或处理对象，选择适用的硅烷偶联剂至关重要。选择的方法主要通过试验预选，并应在既有经验或规律的基础上进行。例如，在一般情况下，不饱和聚酯多选用含CH2=CMeCOO、Vi及 CH2-CHOCH2O－的硅烷偶联剂；环氧树脂多选用含CH2－CHCH2O及H2N－硅烷偶联剂；酚醛树脂多选用含H2N－及H2NCONH－硅烷偶联剂；聚烯烃选用乙烯基硅烷；使用硫黄硫化的橡胶则多选用烃基硅烷等。由于异种材料间的黏接可度受到一系列因素的影响，诸如润湿、表面能、界面层及极性吸附、酸碱的作用、互穿网络及共价键反应等。因而，光靠试验预选有时还不够精确，还需综合考虑材料的组成及其对硅烷偶联剂反应的敏感度等。为了提高水解稳定性及降低改性成本，硅烷偶联剂中可掺入三烃基硅烷使用；对于难黏材料，还可将硅烷偶联剂交联的聚合物共用。硅烷偶联剂用作增黏剂时，主要是通过与聚合物生成化学键、氢键；润湿及表面能效应；改善聚合物结晶性、酸碱反应以及互穿聚合物网络的生成等而实现的。增黏主要围绕3种体系：即（1）无机材料对有机材料；（2）无机材料对无机材料；（3）有机材料对有机材料。对于第一种黏接，通常要求将无机材料黏接到聚合物上，故需优先考虑硅烷偶联剂中Y与聚合物所含官能团的反应活性；后两种属于同类型材料间的黏接，故硅烷偶联剂自身的反亲水型聚合物以及无机材料要求增黏时所选用的硅烷偶联剂。 二、使用方法 如同前述，硅烷偶联剂的主要应用领域之一是处理有机聚合物使用的无机填料。后者经硅烷偶联剂处理，即可将其亲水性表面转变成亲有机表面，既可避免体系中粒子集结及聚合物急剧稠化，还可提高有机聚合物对补强填料的润湿性，通过碳官能硅烷还可使补强填料与聚合物实现牢固键合。但是，硅烷偶联剂的使用效果，还与硅烷偶联剂的种类及用量、基材的特征、树脂或聚合物的性质以及应用的场合、方法及条件等有关。本节侧重介绍硅烷偶联剂的两种使用方法，即表面处理法及整体掺混法。前法是用硅烷偶联剂稀溶液处理基体表面；后法是将硅烷偶联剂原液或溶液，直接加入由聚合物及填料配成的混合物中，因而特别适用于需要搅拌混合的物料体系。 1、硅烷偶联剂用量计算 被处理物（基体）单位比表面积所占的反应活性点数目以及硅烷偶联剂覆盖表面的厚度是决定基体表面硅基化所需偶联剂用量的关键因素。为获得单分子层覆盖，需先测定基体的Si－OH含量。已知，多数硅质基体的Si－OH含是来4-12个/μ㎡，因而均匀分布时，1mol硅烷偶联剂可覆盖约7500m2的基体。具有多个可水解基团的硅烷偶联剂，由于自身缩合反应，多少要影响计算的准确性。若使用Y3SiX处理基体，则可得到与计算值一致的单分子层覆盖。但因Y3SiX价昂，且覆盖耐水解性差，故无实用价值。此外，基体表面的Si-OH数，也随加热条件而变化。例如，常态下Si－OH数为5.3个/μ㎡硅质基体，经在400℃或800℃下加热处理后，则Si－OH值可相应降为2.6个/μ㎡或＜1个/μ㎡。反之，使用湿热盐酸处理基体，则可得到高Si－OH含量；使用碱性洗涤剂处理基体表面，则可形成硅醇阴离子。硅烷偶联剂的可润湿面积（WS），是指1g硅烷偶联剂的溶液所能覆盖基体的面积（㎡/g）。若将其与含硅基体的表面积值（㎡/g）关连，即可计算出单分子层覆盖所需的硅烷偶联剂用量。以处理填料为例，填料表面形成单分子
应变梯度理论 应变梯度理论是近解释材料在微米尺度下的尺寸效应现象而发展起来的一种新理论。Fleek 等[6]于1994年在细铜丝的扭转实验中观测到微尺度下应变梯度的硬化，其中直径12m μ的无量纲扭转硬化约为直径170m μ的三倍。通过对12.5m μ、25m μ和50m μ三种厚度纯镍薄片的弯曲测试，Stolken 和Evanslv[7]于 1998年发现镍的无量纲弯曲硬化随着薄片厚度的减小而明显增大，然而在拉伸试验中并未发现这种微尺度现象。Chong 和Lam[8]于 1999年通过压痕实验观察到热固性环氧树脂和热塑性聚碳酸酷的无量纲硬化与应变梯度有关，材料的塑性具有微尺度效应。McFarland 和Colton[9J 于2005年通过对不同厚度聚丙烯悬臂微梁的弯曲测试，同样观测到无量纲弯曲刚度随梁厚减小而增大。与宏观尺度相比，微尺度下结构的力学特性及行为研究主要考虑到以下两个方面 (1)尺度效应。材料不是无限可分。因此材料颗粒的固有属性将影响到微结构的力学特性。 (2)表面和界面效应。一些在宏观尺度下常被忽略的力和现象，在微尺度下起着重要的作用;而一些在宏观领域作用显著的力和现象，在微尺度下作用微小，甚至可以忽略。例如，微尺度下，与特征尺寸L 的高次方成比例的惯性力、电磁力(L3)等的作用相对减小，而与尺寸的低次方成比例的粘性力、弹性力(L2)、表面张力(Ll)、静电力(L0)等的作用相对增大。随着尺寸的减小，表面积(L2)与体积(L3)之比相对增大，表面力学和物理效应将起主导作用。 理论模型建立 (1)偶应力理论 早在一个多世纪前，voigt[12]便提出了体力偶和面力偶的概念，并建议构建考虑作用在材料微粒表面或边界上的力偶的连续模型。随后Cosserat 兄弟[14]根据的假设建立了相关的Cosserat 理论，对应的运动方程中出现了偶应力。直到20世纪60年代左右，一些学者才开始尝试Cosserat 理论的改进扩展工作，他们对Cosserat 连续体物质点的旋转施加一定约束，并逐渐发展了一种更为普遍的理论—偶应力理论。相比其它非经典连续介质理论，偶应力理论是一种相对简单的理论。如应变梯度理论考虑旋转梯度、拉伸和膨胀梯度的影响，而偶应力理论仅考虑了旋转梯度(与偶应力共轭)。Ashby[22]指出几何必需位错和统计储存位错是材料的塑性硬化来源，而几何必需位错产生于塑性剪切应变梯度。据此，Fleek 和Hutchinson[23]及Fleek 等[6]在偶应力理论框架上发展了一种应变梯度塑性理论(通常称为CS 应变梯度塑性理论)，它是经典的2J 形变或2J 流动理论的推广。在理论中为了考虑旋转梯度的影响，引入了偶应力，并且服从二阶变形梯度本构率的Clausius-Duhem 热力学限制条件[24] 。这种理论不仅在模拟裂纹扩展时能消除裂纹尖端的应力奇异性[25],还能成功预测微结构力学行为中的微尺度效应。例如，Fleck 等[6]铜丝的扭转实验中证实了应变梯度硬化的存在，并应用提出的CS 应变梯度塑性理论成功解释了这种微尺度现象。经典牛顿力学框架下，连续变形体的材料颗粒仅在力的作用下作平动;在TouPin 和Mindiin 等学者 [18-21]建立的传统偶应力弹性理论中，材料颗粒不仅在力的作用下作平动，还在力偶的作用下作转动。因此，偶应力理论中的系统能量包括应力对应变和偶应力对旋转形变做的功，其中旋转形变是二阶变形梯度的反对称部分，含有8个独立分量。对于各向同性线弹性材料而言，系统本构方程中除了两个经典的拉梅系数外，还包含两个与材料微结构有关的附加常数。在上述偶应力理论构建中，仅用到传统的力和力矩的平衡关系，对力偶并没有施加约束。Yang 等[28]从引入高阶平衡关系角度出发，提出一种修正偶应力理论。在添加力偶矩平衡关系后，偶应力张量被约束成对称量，它对与之共轭张量的曲率张量的对称部分做功，并与应力对应变做的功一起转变 为系统能量。这种理论下的本构方程仅包含一个附加常数，从而大大降低了非经典常数的确
一、应力与应变 1、应力 在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。 通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。 概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。 具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。 很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。 对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。 2、应变 应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。因此是一个无量纲的物理量。 在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。 对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。 3、本构关系 应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ） 机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。 凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。 许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。 失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。 5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系 塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。（许用应力=屈服极限/安全系数） 脆性材料（铸铁和高强钢）以强度极限为基准，除以安全系数后得许用应力， 即[]()/2~5b n n σσ==。（许用应力=强度极限/安全系数） 表3机床静力学分析结果总结
一、选用硅烷偶联剂的一般原则 已知，硅烷偶联剂的水解速度取于硅能团Si-X ，而与有机聚合物的反应活性则取于碳官能团C-丫。因此，对于不同基材或处理对象，选择适用的硅烷偶联剂至关重要。选择的方法主要通过试验预选，并应在既有经验或规律的基础上进行。例如，在一般情况下，不饱和聚酯多选用含CH2=CMeC、OOVi 及CH2-CHOCH－2O 的硅烷偶联剂；环氧树脂多选用含CH2- CHCH2及H2N-硅烷偶联剂；酚醛树脂多选用含H2N-及H2NC0NH硅烷偶联剂；聚烯烃选用乙烯基硅烷；使用硫黄硫化的橡胶则多选用烃基硅烷等。由于异种材料间的黏接可度受到一系列因素的影响，诸如润湿、表面能、界面层及极性吸附、酸碱的作用、互穿网络及共价键反应等。因而， 光靠试验预选有时还不够精确，还需综合考虑材料的组成及其对硅烷偶联剂反应的敏感度等。为了提高水解稳定性及降低改性成本，硅烷偶联剂中可掺入三烃基硅烷使用；对于难黏材料，还可将硅烷偶联剂交联的聚合物共用。硅烷偶联剂用作增黏剂时，主要是通过与聚合物生成化学键、氢键；润湿及表面能效应；改善聚合物结晶性、酸碱反应以及互穿聚合物网络的生成等而实现的。增黏主要围绕 3 种体系：即（1）无机材料对有机材料；（2）无机材料对无机材料；（3）有机材料对有机材料。对于第一种黏接，通常要求将无机材料黏接到聚合物上，故需优先考虑硅烷偶联剂中丫与聚合物所含官能团的反应活性；后两种属于同类型材料间的黏接，故硅烷偶联剂自身的反亲水型聚合物以及无机材料要求增黏时所选用的硅烷偶联剂。 二、使用方法 如同前述，硅烷偶联剂的主要应用领域之一是处理有机聚合物使用的无机填料。后者经硅烷偶联剂处理，即可将其亲水性表面转变成亲有机表面，既可避免体系中粒子集结及聚合物急剧稠化，还可提高有机聚合物对补强填料的润湿性，通过碳官能硅烷还可使补强填料与聚合物实现牢固键合。但是，硅烷偶联剂的使用效果，还与硅烷偶联剂的种类及用量、基材的特征、树脂或聚合物的性质以及应用的场合、方法及条件等有关。本节侧重介绍硅烷偶联剂的两种使用方法，即表面处理法及整体掺混法。前法是用硅烷偶联剂稀溶液处理基体表面；后法是将硅烷偶联剂原液或溶液，直接加入由聚合物及填料配成的混合物中，因而特别适用于需要搅拌混合的物料体系。 1、硅烷偶联剂用量计算 被处理物（基体）单位比表面积所占的反应活性点数目以及硅烷偶联剂覆盖表面的厚度是决定基体表面硅基化所需偶联剂用量的关键因素。为获得单分子层覆盖，需先测定基体的Si—OH含量。已知，多数硅质基体的Si —OH含是来4-12 个/卩叭因而均匀分布时，1mol硅烷偶联剂可覆盖约7500m2的基体。具有多个可水解基团的硅烷偶联剂，由于自身缩合反应，多少要影响计算的准确性。若使用丫3SiX处理基体，则可得到与计算值一致的单分子层覆盖。但因丫3SiX价昂，且覆盖耐水解性差，故无实用价值。此外，基体表面的Si-OH数，也随加热条件而变化。例如，常态下Si —OH数为5.3个/卩川硅质基体，经在400C或800C 下加热处理后，则Si —OH值可相应降为2.6个/卩卅或V 1个/卩讥反之，使用湿热盐酸处理基体，则可得到高Si —OH含量；使用碱性洗涤剂处理基体表面，则可形成硅醇阴离子。硅烷偶联剂的可润湿面积（WS，是指ig硅烷偶联剂的溶液所能覆
硅烷偶联剂使用说明 一、选用硅烷偶联剂的一般原则 已知，硅烷偶联剂的水解速度取于硅能团Si-X，而与有机聚合物的反应活性则取于碳官能团C-Y。因此，对于不同基材或处理对象，选择适用的硅烷偶联剂至关重要。选择的方法主要通过试验预选，并应在既有经验或规律的基础上进行。例如，在一般情况下，不饱和聚酯多选用含CH2=CMeCOO、Vi及CH2-CHOCH2O－的硅烷偶联剂；环氧树脂多选用含CH2－CHCH2O及H2N－硅烷偶联剂；酚醛树脂多选用含H2N－及H2NCONH－硅烷偶联剂；聚烯烃多选用乙烯基硅烷；使用硫黄硫化的橡胶则多选用烃基硅烷等。由于异种材料间的黏接可度受到一系列因素的影响，诸如润湿、表面能、界面层及极性吸附、酸碱的作用、互穿网络及共价键反应等。因而，光靠试验预选有时还不够精确，还需综合考虑材料的组成及其对硅烷偶联剂反应的敏感度等。为了提高水解稳定性及降低改性成本，硅烷偶联剂中可掺入三烃基硅烷使用；对于难黏材料，还可将硅烷偶联剂交联的聚合物共用。 硅烷偶联剂用作增黏剂时，主要是通过与聚合物生成化学键、氢键；润湿及表面能效应；改善聚合物结晶性、酸碱反应以及互穿聚合物网络的生成等而实现的。增黏主要围绕3种体系：即（1）无机材料对有机材料；（2）无机材料对无机材料；（3）有机材料对有机材料。对于第一种黏接，通常要求将无机材料黏接到聚合物上，故需优先考虑硅烷偶联剂中Y与聚合物所含官能团的反应活性；后两种属于同类型材料间的黏接，故硅烷偶联剂自身的反亲水型聚合物以及无机材料要求增黏时所选用的硅烷偶联剂。 二、使用方法 如同前述，硅烷偶联剂的主要应用领域之一是处理有机聚合物使用的无机填料。后者经硅烷偶联剂处理，即可将其亲水性表面转变成亲有机表面，既可避免体系中粒子集结及聚合物急剧稠化，还可提高有机聚合物对补强填料的润湿性，通过碳官能硅烷还可使补强填料与聚合物实现牢固键合。但是，硅烷偶联剂的使用效果，还与硅烷偶联剂的种类及用量、基材的特征、树脂或聚合物的性质以及应用的场合、方法及条件等有关。本节侧重介绍硅烷偶联剂的两种使用方法，即表面处理法及整体掺混法。前法是用硅烷偶联剂稀溶液处理基体表面；后法是将硅烷偶联剂原液或溶液，直接加入由聚合物及填料配成的混合物中，因而特别适用于需要搅拌混合的物料体系。 1、硅烷偶联剂用量计算 被处理物（基体）单位比表面积所占的反应活性点数目以及硅烷偶联剂覆盖表面的厚度是决定基体表面硅基化所需偶联剂用量的关键因素。为获得单分子层覆盖，需先测定基体的
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 在力学上由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的关系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡方程与几何方程是两类完全相互独立的方程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应力和应变之间的关系。有了可变形材料应力和应变之间关系和力学参数及运动学参数即可分析具体的力学问题。由平衡方程和几何方程加上一组反映材料应力和应变之间关系的方程就可求解具体的力学问题。这样的一组方程即所谓的本构方程。讨论应力和应变之间的关系即可变为一定的材料建立合适的本构方程。 一．典型应力-应变关系 图1-1 典型应力-应变曲线
1） 弹性阶段（OC 段） 该弹性阶段为初始弹性阶段OC （严格讲应该为CA ’）,包括：线性弹性分阶段OA 段，非线性弹性阶段AB 段和初始屈服阶段BC 段。该阶段应力和应变满足线性关系，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作：εσE =，即在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。 2）塑性阶段（CDEF 段） CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所示，应力超过屈服极限，应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。CDE 段的强化阶段在E 点达到应力的最高点，荷载达到最大值，相应的应力值称为材料的强度极限 （ultimate strength ），并用σb 表示。超过强度极限后应变变大应力却下降，直到最后试件断裂。这一阶段试件截面积的减小不是在整个试件长度范围发生，而是试件的一个局部区域截面积急剧减小。这一现象称为“颈缩”（necking ）。此时，由于颈缩现象的出现，在E 点以后荷载开始下降，直至在颈缩部位试件断裂破坏。这种应力降低而应变增加的现象称为应变软化（简称为软化）。 该阶段应力和应变的关系：)(ε?σ=。 3）卸载规律 如果应力没有超过屈服应力，即在弹性阶段OC 上卸载，应力和应变遵循原来的加载规律，沿CBO 卸载。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任一点D 处卸载，应力与应变之间将不再遵循原有的加载曲线规律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ′变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用 OD ′表示总应变ε，O ′D ′表示可以恢复的弹性应变εe ，OO ′表示不能恢复的塑性应变εp ，则有 p e εεε+= (1-1) 即总应变等于弹性应变加上塑性应变。 该阶段应力和应变的关系满足εσ?=?E 。 4）卸载后重新加载
硅烷偶联剂的使用方法 硅烷偶联剂的使用方法主要有表面预处理法和直接加入法，前者是用稀释的偶联剂处理填料表面，后者是在树脂和填料预混时，加入偶联剂的原液。 (1)表面预处理法 将硅烷偶联剂配成0.5～1%浓度的稀溶液，使用时只需在清洁的被粘表面涂上薄薄的一层，干燥后即可上胶。所用溶剂多为水、醇（甲氧基硅烷选择甲醇，乙氧基硅烷选择乙醇）、或水醇混合物，并以不含氟离子的水及价廉无毒的乙醇、异丙醇为宜。除氨烃基硅烷外，由其它硅烷偶联剂配制的溶液均需加入醋酸作水解催化剂，并将pH值调至3.5～5.5。长链烷基及苯基硅烷由于稳定性较差，不宜配成水溶液使用。氯硅烷及乙氧基硅烷水解过程中伴随有严重的缩合反应，也不宜配成水溶液或水醇溶液使用，而多配成醇溶液使用。水溶性较差的硅烷偶联剂，可先加入0.1～0.2%(质量分数)的非离子型表面活性剂，然后再加水加工成水乳液使用。硅烷偶联剂配成溶液，有利于硅烷偶联剂在材料表面的分散，溶剂是水和醇配制成的溶液，溶液一般为硅烷（20%）、醇（72%）、水（8%），醇一般为乙醇（对乙氧基硅烷）甲醇（对甲氧基硅烷）及异丙醇（对不易溶于乙醇、甲醇的硅烷）因硅烷水解速度与PH值有关，中性最慢，偏酸、偏碱都较快，因此一般需调节溶液的PH值，除氨基硅烷外，其他硅烷可加入少量醋酸，调节PH值至4—5，氨基硅烷因具碱性，不必调节。因硅烷水解后，不能久存，最好现配现用，最好在一小时内用完。 (2)直接添加方法 将硅烷偶联剂直接加入到胶粘剂组分中，一般加入量为基体树脂量的1～5%。涂胶后依靠分子的扩散作用，偶联剂分子迁移到粘接界面处产生偶联作用。对于需要固化的胶粘剂，涂胶后需放置一段时间再进行固化，以使偶联剂完成迁移过程，方能获得较好的效果。实际使用时，偶联剂常常在表面形成一个沉积层，但真正起作用的只是单分子层，因此，偶联剂用量不必过多。 硅烷偶联剂具体使用方法 （1）预处理填料法 将填料放入固体搅拌机(高速固体搅拌机HENSHEL（亨舍尔）或V型固体搅拌机等)，并将上述硅烷溶液直接喷洒在填料上并搅拌，转速越高，分散效果越好。
大连理工大学 硕士学位论文 平面偶应力问题的辛求解方法 姓名：房桂祥 申请学位级别：硕士 专业：固体力学 指导教师：钟万勰 20040610
摘要 平面偶应力理论虽然早在上世纪初就出现了，但是其分析求解一直没有得到很好的解决。现有的求解手段主要采用数值方法一如有限元法。而能给出其解析解的只限于某些特殊的偶应力问题。辛方法作为一种崭新的理论求解体系已成功应用于板、梁等弹性力学阀题的求解，与经典的弹性力学求解体系相比有着其独特的优越性。本文目的在于把这种解析方法应用到平面偶应力问题的求解。 本文借助于Ｒｅｉｓｓｎｅｒ板与平面偶应力的模拟关系，在平面偶应力问题的类Ｈｅｌｌｉｎｇｅｒ－Ｒｅｉｓｓｎｅｒ变分原理的基础上，以应力函数为原变量，部分应变为其对偶变量，推导出力法形式的平面偶应力问题的Ｈａｍｉｌｔｏｎ对偶方程组。于是把平面偶应力问题引入到Ｈａｍｉｌｔｏｎ体系，从而利用辛空间的分离变量和本征函数向量展开法获得其解。本文讨论了两种典型边界条件——对边自由和对边固支矩形域问题的解析求解。首先求解出由于用应交代替位移作为基本变量而带来的对边自由矩形域问题的所有非齐次特解，这些解均是有特殊物理意义的解。然后，推导出这两类边界条件各自的本征值超越方程，并进一步给出其对应的非零本征值的本征解。从而依据叠加原理，获得这两种典型边界条件问题的解。最后，本文求解了一半无穷矩形域单向拉伸问题，数值结果证明了微尺寸下经典弹性力学的求解方法得出的结果不再适用，由于偶应力的影响，单向拉伸问题在固定端角点处的奇异性消失。 本文将辛方法成功应用于矩形域平面偶应力闯题的求解，为这～类问题提供了一条崭新的解决途径。算例结果也很好地证明了辛方法的有效性和优越性。 关键词：平面偶应力，Ｈａｍｉｌｔｏｎ求解体系，辛对偶空间，本征展开法
第三章 应力与强度计算 一.内容提要 本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。 1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力 1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式 N F A σ= (3-1) 式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1） 杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；如果是偏 心受压或受拉的轻质杆件，那么必然存在靠近轴力的一侧受压，远离轴力的一侧受拉，应力肯定不同，方向相反。并存在中和轴。（即应力在中和轴处为0） （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（大于截面宽度的长度范围内——圣维南） （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀（即应力集中）； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角0 20α≤时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。 1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1） 图3-1 拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 cos p ασα= (3-2) 正应力 2cos ασσα=（3-3） 切应力1sin 22 ατσα= （3-4） 式中σ为横截面上的应力。
正负号规定： α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 ασ 拉应力为正，压应力为负。 ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。 两点结论： （1）当00α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()max ασσ=。当α=0 90时，即纵截面上，ασ=090=0。 （2）当045α=时，即与杆轴成045的斜截面上，ατ达到最大值，即max ()2αα τ=。 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。 图3-2 轴向变形 1l l l ?=- 轴向线应变 l l ε?= 横向变形 1b b b ?=- 横向线应变 b b ε?'= 正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 E σε= （3-5） 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F l l EA ?= (3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件： (a)材料在线弹性范围内工作，即p σσ?； (b)在计算l ?时，l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即
1.钛酸酯偶联剂 钛酸酯偶联剂的分子可以划分为六个功能区，它们在偶联机制中分别发挥各自的作用。六个功能区如下图所示： 功能区①（RO)m -起无机物与钛偶联。 钛酸酯偶联剂通过它的烷氧基直接和填料或颜料表面所吸附的微量羧基或羟基进行化学作用而偶联。 由于功能区①基团的差异开发了不同类型偶联剂，每种类型对填料表面的含水量有选择性，各类型特点： 1、单烷氧基型； 单烷氧基钛酸酯在无机粉末和基体树脂的界面上产生化学结合，它所具有的极其独特的性能是在无机粉末的表面形成单分子膜，而在界面上不存在多分子膜。 因为依然具有钛酸酯的化学结构，所以在过剩的偶联剂存在下，使表面能变化，粘度大幅度降低，在基体树脂相由于偶联剂的三官能基和酯基转移反应，可使钛酸酯分子偶联，这就便于钛酸酯分子的变型和填充聚合物体系的选用。 该类偶联剂（除焦磷酸型外）特别适合于不含游离水，只含化学键合水或物理键合水的干燥填充剂体系，如碳酸钙、水合氧化铝等。 2、单烷氧基焦磷酸酯型： 该类钛酸酯适合于含湿量较高的填充剂体系，如陶土、滑石粉等，在这些体系中，除单烷氧基与填充剂表面的羟基反应形成偶联外，焦磷酸酯基还可以分解形成磷酸酯基，结合一部份水。 i-单烷氧脂肪酸酯型
ii-单烷氧磷酸酯型 iii-单烷氧焦磷酸酯型 3、配位型： 可以避免四价钛酸酯在某些体系中的副反应。如在聚酯中的酯交换反应，在环氧树脂中与羟基的反应，在聚氨酯中与聚醇或异氰酸酯的反应等。该类偶联剂在许多填充剂体系中都适用，有良好的偶联效果，其偶联机理和单烷氧基型类似。 4、螫合型： 该类偶联剂适用于高湿填充剂和含水聚合物体系，如湿法二氧化硅、陶土、滑石粉、硅酸铝、水处理玻璃纤维、灯黑等，在高湿体系中，一般的单烷氧基型钛酸酯由于水解稳定性较差，偶联效果不高，而该型具有极好的水解稳定性，在此状态下，显示良好的偶联效果。 氧乙酸螯合型 乙二醇螯合型 功能区② -（--O……）--具有酯基转移和交联功能。 该区可与带羧基的聚合物发生酯交换反应，或与环氧树脂中的羧基进行酯化反应，使填充剂、钛酸酯和聚合物三者交联。 酯交换反应性受以下几个因素支配： 1、钛酸酯分子与无机物偶联部份的化学结构；
硅烷偶联剂kh550使用方法硅烷偶联剂的使用方法主要有表面预处理法和直接加入法，前者是用稀释的偶联剂处理填料表面，后者是在树脂和填料预混时，加入偶联剂原液。硅烷偶联剂配成溶液，有利于硅烷偶联剂在材料表面的分散，溶剂是水和醇配制成的溶液，溶液一般为硅烷（20%），醇（72%），水（8%），醇一般为乙醇（对乙氧基硅烷）、甲醇（对甲氧基硅烷）及异丙醇（对不易溶于乙醇、甲醇的硅烷）；因硅烷水解速度与PH值有关，中性最慢，偏酸、偏碱都较快，因此一般需调节溶液的PH值、除氨基硅烷外，其他硅烷可加入少量醋酸，调节PH值至4-5，氨基硅烷因具碱性，不必调节。因硅烷水解后，不能久存，最好现配现用，适宜在一小时用完。下面是一些具体应用，以供用户参考：（1）、预处理填料法：将填料放入固体搅拌机（高速固体搅拌机HENSHEL（亨舍尔）或V型固体搅拌机等），并将上述硅烷溶液直接喷洒在填料上并搅拌，转速越高，分散效果越好。一般搅拌在10-30分钟（速度越慢，时间越长），填料处理后应在120℃烘干（2小时）。（2）、硅烷偶联剂水溶液（玻纤表面处理剂）：玻纤表面处理剂常含有：成膜剂、抗静电剂、表面活性剂、偶联剂、水。偶联剂用量一般为玻纤表面处理剂总量的0.3%-2%，将5倍水溶液首先用有机酸或盐将PH调至一定值，在充分搅拌下，加入硅烷直到透明，然后加入其余组份，对于难溶的硅烷，可用异丙醇助溶。在拉丝过程中将玻纤表面处理剂在玻纤上干燥，除去溶剂及水份即可。（3）、底面法：将5%-20%的硅烷偶联剂的溶液同上面所述，通过涂、刷、喷，浸渍处理基材表面，取出室温晾干24小时，最好在120℃下烘烤15分钟。（4）、直接加入法：硅烷亦可直接加入“填料/树脂”的混合物中，在树脂及填料混合时，硅烷可直接喷洒在混料中。偶联剂的用量一般为填料量的0.1%-2%，（根据填料直径尺寸决定）。然后将加入硅烷的树脂/填料进行模型（挤出、注塑、涂覆等）。大致的填料直径和使用硅烷的比例如下：填料尺寸使用硅烷比例60目0.1%，100目0.25%，200目0.5%，300目0.75%，400目1.0%，500目以上1.5%常用硅烷醇/水溶液所需PH值：产品名称处理时的溶剂适宜PH 值KH-550乙醇/水：9.0~10.0 偶联剂是一种重要的、应用领域日渐广泛的处理剂,主要用作高分子复合材料的
偶联剂在涂料中的应用 1、应用机理： 偶联剂和表面活性剂的区别： 在涂料制造过程中，需要将属于亲水的极性物质颜、填料分散到属于疏水的非极性物质有机基料中去。为了增加无机物与有机高分子之间的亲合性，一般要用偶联剂或其它表面活性剂等处理无机物的表面，使它由亲水变为疏水性，从而促进无机物和有机物之间的界面结合。 偶联剂和表面活性剂在分子结构和应用性能方面有些相似，但也有差别。二者都是由亲水和疏水两种基团组成。表面活性剂通过分子中亲水基团定向吸附在无机颜、填料表面形成单分子层，这是一种物理吸附现象，从而提高颜填料在基料中的分散性和润湿性，因此仅是物理吸附，所以表面活性剂有迁移现象影响光泽，外观和附着力。偶联剂是通过化学反应和无机颜填料表面进行偶联结合并和高分子基料进行交联，把两种不同性质的物质结合起来，起桥梁作用，从结合强度，提高颜、填料在基料中的分散程序以及降低界面自由能的幅度，偶联剂都大大胜过表面活性剂。 (2)偶联剂的偶联机理： 关于偶联剂的作用机理，一般认为是在单烷氧钛酸酯偶联剂中只有一个异丙氧基团是能和无机物偶联的水解基团，因此就可以在无机颜、填料的表面形成单分子层相比之下，钛酸酯偶联剂更能紧密地把无机颜产填料和有机高分子材料连接起来，充分发挥每个钛酸酯分子的作用。因此，用量小、效果大。由于钛酸酯偶联剂以单分子状态包复在无机颜、填料表面取代原来吸附的微量水分及气体，同时通过分子中长碳链疏水性非水介基闭，增加了和有机高分子基料的相容性，降低界面的自由能，从而有利于粉体聚集体被有机高分子基料所润湿和分散。 2、实用研究 鉴于钛酸酯偶联剂在涂料工业中的应用前景非常广阔。国内一些单位正在研制、生产钛酸酯偶联剂，在钙、塑材料方面已经有一定程序的应用和发展，涂料品种结构正由低档向中、高档产品发展。涂料品种正由传统的溶剂型涂料逐步向水性高固体分子溶剂，粉末和无机涂料方向发展，除明显提高涂料的装饰性和保护性外，又要求涂料向高效能、多功能、特效和专用方向发展，需要各种各样新型功能涂料。由于钛酸酯偶联剂独特的结构和多品种、多功能的特性。虽然用量少，却能满足涂料多方面的性能要求。 钛酸酯偶联剂应用在涂料中的研究，国外报导得较多，国内研究尚未大量投入。我公司联合国内部分大专院校及研究单位，投入较大科技力量，做了大量的工作，以各类钛酸酯偶联剂为主，辅以多种添加剂，推出了系列十余品种的涂料、油墨、专用助剂，堪与进口助剂比美，价格适中。 3、应用功能： 由于钛酸酯偶联剂分子结构中6个不同的功能区的特点，可以根据涂料工业的需要设计出不同基团的钛酸酯偶联剂，使其成为特定的，或兼有多种功能的偶联剂，赋于涂料＼油墨具有如下功能。 (1)良好的分散润湿功能，能明显提高大部分无机与有机颜、填料在有机基料中的分散性，对炭黑、酞箐兰、铁红、中铬黄等分散也特有效。 (2)防沉性能好，提高贮存稳定性。 (3)有助磨作用，能缩短研磨道数和时间，同样研磨时间可使粒子研磨得更细。 (4)能增加漆膜对基材的附着力，提高漆膜对各种金属，玻璃及无机材料的粘结性，改善耐磨擦性，提高冲击强度，增加柔软性。
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
第21卷第2期机 械 强 度V o l.21N o.2 1999年6月JOU RNAL O F M ECHAN I CAL STR EN GTH June1999 应变梯度理论的新进展(一)Ξ ——偶应力理论和SG理论 RECENT AD VANCES IN STRA IN GRAD IENT PLAST I C IT Y- ——Couple stress theory and SG theory 黄克智ΞΞ 邱信明 姜汉卿 (清华大学工程力学系,北京100084) Hw a ng Ke hchih Q iu X inm ing J ia ng Ha nq ing (D ep a rt m en t of E ng ineering M echan ics,T sing hua U n iversity,B eij ing100084,Ch ina) 摘要 介绍两种应变梯度塑性本构模型:CS应变梯度塑性理论——偶应力理论、SG应变梯度塑性理论。并对它们在断裂力学中的应用进行了评述。给出一种考虑可压缩性的方法,并根据这种模型用薄梁弯曲的例子给出了可压缩性的影响。本文的讨论虽限制在形变理论范围内,但按照相应的方法也可以得到流动理论的形式。 关键词 应变梯度 塑性 偶应力 高阶应力 断裂 中图分类号 O344 Abstract In the paper tw o k inds of fram ew o rk of strain gradien t p lasticity recen tly developed and their app licati on s are review ed:strain gradien t p lasticity fo r CS so lid——the coup le stress2theo ry,strain gradien t p lasticity fo r SG so lid. T he app licati on s are m ain ly focu ssed on the fractu re p rob lem s.O ne w ay of accoun ting fo r m aterial comp ressib ility is suggested.T he review is confined to the defo rm ati on theo ry versi on,though the flow theo ry versi on can be parallelly con structed. Key words stra i n grad ien t,pla stic ity,couple stress,h igher-order stress,fracture 1 引言 新近的试验表明,当非均匀塑性变形特征长度在微米量级时,材料具有很强的尺度效应。例如F leck 等[1]在细铜丝的扭转试验中观察到,当铜丝的直径为12Λm时,无量纲的扭转硬化增加至170Λm直径时的3倍;Sto lken和Evan s[2]在薄梁弯曲试验中也观察到当梁的厚度从100Λm减至1215Λm时,无量纲的弯曲硬化也显著增加;而在单轴拉伸情况这种尺度效应并不存在。在微米量级的尺度下微观硬度试验与颗粒增强金属基复合材料中也观察到尺度效应,当压痕深度从10Λm减至1Λm时,金属的硬度增加一倍[3～7];对于以碳化硅颗粒加强的铝-硅基复合材料,L loyd[8]观察到当保持颗粒体积比为15%的条件下,将颗粒直径从16Λm减为7.5Λm后复合材料的强度显著增加。 由于在传统的塑性理论中本构模型不包含任何尺度,所以它不能预测尺度效应。然而,在工程实践中迫切需要处理微米量级的设计和制造问题,例如,厚度在1Λm或者更小尺寸下的薄膜;整个系统尺寸不超过10Λm的传感器、执行器和微电力系统(M E M S);零部件尺寸小于10Λm的微电子封装;颗粒或者纤维的尺寸在微米量级的先进复合材料及微加工。现在的设计方法,如有限元方法(FE M)和计算机辅助设计(CAD),都是基于经典的塑性理论,而它们在这一微小尺度不再适用。另一方面,现在按照量子力学和原子 Ξ ΞΞ黄克智,男,生于1927年7月,江西南昌人,汉族。中国科学院院士,工作于清华大学工程力学系(100084),破坏理论与塑性本构研究室教授、博士生导师。1947年毕业于江西中正大学,1952年清华研究生毕业,我国固体力学专家。清华大学工程力学研究所所长,国务院学位委员会力学评议组召集人,远东与大洋洲断裂学会执委,国际理论与应用力学联合会理事,国际材料力学行为学会常委。长期从事断裂力学理论及应用,包括材料强韧化理论,宏细观断裂力学,应变梯度与尺寸效应,断裂力学在核容器与管道工程中的应用;材料本构理论,包括材料大变形本构理论,具有相变情况的本构理论,形状记忆合金、铁电材料等本构关系等科学研究。曾主持了7项国家重大科研项目。作为第一获奖者曾获国家自然科学三等奖、国家教委科技进步一等奖等11项国际、国家与部委级奖励。此外参加获得国家自然科学三等奖、国家教委科技进步一等奖等4项奖励。已出版5部专著,在国内外学术刊物与会议上发表论文190余篇。 19990127收到初稿,19990423收到修改稿。国家自然科学基金重大项目(19891180) 资助