专题复习――圆与方程教材梳理
?知识点一圆的方程
1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(C(a,b)为圆心,r为半径)
特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是:x2+y2=r2
2.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）
D E
其中圆心C(-,-)，半径r=
22D2+E2-4F
2
求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法
定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；
待定系数法：即列出关于D,E,F的方程组，求D,E,F而得到圆的一般方程，步骤为：
(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
(2)根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；
(3)解方程组。求出D,E,F的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的
一般方程．
?知识点二点和圆的位置关系
3.点和圆的位置关系给定点M(x,y)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2
00
①M在圆C内?(x-a)2+(y-b)2 00 ②M在圆C上?(x-a)2+(y-b)2=r2 00 ③M在圆C外?(x-a)2+(y-b)2>r2 00 ?知识点三直线和圆的位置关系 4.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2；直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 圆心C(a,b)到直线l的距离d=|Aa+Bb+C| A2+B2 直线与圆的位置关系判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断 ①d=r时，l与C相切；②d ?(x-a)2+(y-b)2=r2 (2)代数法:由直线与圆的方程联立成方程组? ?Ax+By+C=0 消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别式?来判断 ①相交??>0②相切??=0③相离??<0 知识点四圆和圆的位置关系 圆与圆的位置关系判断方法 (1)几何法：两圆的连心线长为l，圆C的半径r与圆C的半径r，则判别圆与圆的 1122 位置关系的依据有以下几点： ①当l>r+r时，圆C与圆C相离；②当l=r+r时，圆C与圆C外切； 12121212 ③当l 12122112 ⑤当0≤l 2112 (2)代数法：由两圆的方程联立消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别 式?来判断 ①?=0?为外切或内切②?>0?为相交③?<0?为相离或内含 题组一圆的方程的求法 1.(2009重庆)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是() A.x2＋(y－2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 2.(2009辽宁)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为() A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C.(x－1)2＋(y－1)2＝2? D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 圆心(－ ，－a)，所以－ ＋a ＋1＝0，解得 a ＝3 或 a ＝－1， x x －0 x 直线的斜率．设 ＝k ，则 kx －y ＝0.由 ＝ 3，得 k ＝± 3， 1＋k x 2 2 则? ? 0 ? ? ? ? |a －(－a)| |a －(－a)－4| 解析：由圆心在直线 x ＋y ＝0 上．不妨设为 C(a ，－a)．∴r ＝ ＝ ， 2 2 解得 a ＝1，r ＝ 2. ∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 3.若圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 关于直线 x －y ＋1＝0 对称，则实数 a 的值为________． 解析：依题意知直线 x －y ＋1＝0 经过圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 的 a 2－1 a 2－1 2 2 当 a ＝－1 时，方程 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 不能表示圆，所以只能取 a ＝3. 题组二 4. 若实数 x 、y 满足 ( x －2)2＋y 2＝3 ，则 y x 与圆有关的最值问题 的最大值为________.， 2 x - 3 y 的最大值为________. 2 x - 3 y 的最大值为________. y y －0 y 解析： ＝ ，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此 的最值即为过原点的直线与圆相切时该 y |2k| 2 y y 结合图形可得(x )max ＝ 3，(x )min ＝－ 3. 题组三 与圆有关的轨迹问题 5.点 P(4, -2) 与圆 x 2＋y 2＝4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ( ) A. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝1 B. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝4 C. ( x ＋4)2＋( y －2)2＝4 D. ( x ＋2)2＋( y －1)2＝1 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则 x 0 ＋ y 0 ＝4，连线中点坐标为(x ，y)， ?2x ＝x ＋4， ?x ＝2x －4， 0 ?2y ＝y 0－2 ?y 0＝2y ＋2 ，代入 x 2 ＋ y 2 ＝4 中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 0 0 6.从原点 O 引圆 ( x －m )2＋( y －3)2＝m 2＋4 的切线 y ＝kx ，当 m 变化时,切点 P 的轨迹方程是 ( ) A. x 2＋y 2＝4( x ≠ 0) B. (x －3)2 ＋y 2＝4( x ≠ 0) 7.已知以点 C (t, ),( t ∈ R, t ≠ 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、A ，与 y 轴交于点 O 、B ，其中 O 为原点． 解：(1)证明：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，由于圆心 C(t ， )，∴D ＝－2t ，E ＝－ ， 令 y ＝0 得 x ＝0 或 x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)，令 x ＝0 得 y ＝0 或 y ＝－E ＝ ，∴B(0， )， ??(1－a) ＋(－1－b ) ＝r C. (x －1)2 ＋( y －3)2 ＝5( x ≠ 0) D. x 2＋y 2＝5( x ≠ 0) 解析：圆心为 C(m,3)，设点 P(x ，y)(x ≠0)，则|OP|2＋|PC|2＝|OC|2， ∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，故所求方程为 x 2＋y 2＝5(x ≠0)． 题组四 圆的方程的综合问题 2 t (1)求证: ?OAB 的面积为定值； (2)设直线 y ＝-2x ＋4 与圆 C 交于点 M 、N ，若 OM ＝ON ，求圆 C 的方程． 2 4 t t 4 4 t t 1 1 4 ∴△S OAB ＝2|OA |·|OB|＝2·|2t |·| t |＝4(定值)． (2)∵OM ＝ON ，∴O 在 MN 的垂直平分线上，而 MN 的垂直平分线过圆心 C ， 2 1 t 1 ∴k OC ＝2，∴ t ＝2，解得 t ＝2 或 t ＝－2，而当 t ＝－2 时，直线与圆 C 不相交，∴t ＝2， ∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为 x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 8.(2010 青岛)已知圆 M 过两点 A(1,－1)，B(－1,1),且圆心 M 在 x ＋y －2＝0 上． (1)求圆 M 的方程； (2)设 P 是直线 3x ＋4y ＋8＝0 上的动点， P A 、PB 是圆 M 的两条切线, A 、B 为切点,求四边形 P AMB 面积的最小值． 2 2 2 解：(1)设圆 M 的方程为：(x －a)2 ＋(y －b )2 ＝r 2 (r>0)， 根据题意得：?(－1－a)2 ＋(1－b )2 ＝r 2 ??a ＋b －2＝0 解得：a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆 M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4. 1 1 (2)由题知，四边形 P AMB 的面积为 S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝2|AM ||P A|＋2|BM||PB|. 又|AM |＝|BM|＝2，|P A|＝|PB|，所以 S ＝2|P A|，而|P A|＝ |PM|2－|AM |2＝ |PM|2－4， 即 S ＝2 |PM|2－4. 因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线 3x ＋4y ＋8＝0 上找一点 P ，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8| ＝3，所以四边形P AMB面积的最小值为32＋42 S＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5. 专题复习――平面向量 考点一：向量的概念、向量的基本定理 例1、（2007上海）直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角 形ABC中，若AB=2i+j,AC=3i+k j，则k的可能值个数是（） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4 解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在 直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是 2，选B 点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量 中的数形结合思想。 例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与O A与OB的 夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23， 若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）, 则λ+μ的值为. 解：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，OC=23得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6 点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。 考点二：向量的运算 例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（） A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11 解：(a+2b)(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6)，(a+2b)·c=(-5,6)?(3,2)=-3，选C 点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量， ( ) = 25a 解： 5a - b = 5a - b - 10a ? b + b 2 = 25 ?12 - 10 ?1? 3 ? - ? + 32 = 49 ， 5a - b = 7 (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ∈[ π 6 ) . (2) 由 f ( x) = 1,得 sin 2 x + = ， 6 ? 2 例 7、（200 7 湖北）将 y = 2cos + ? 的图象按向量 a = - ，- 2 ? 平移，则平移后所得图象的解析式 Ａ． y = 2cos + ?- 2 Ｂ． y = 2cos - ? + 2 还考查了向量的数量积，结果是一个数字。 例 4、(2008 广东文)已知平面向量 a = (1,2), b = (-2, m ) ，且 a ∥ b ，则 2a + 3b =（ ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 解：由 a ∥ b ，得 m ＝－4，所以， 2a + 3b ＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C ）。 点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的λ 倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易 与向量垂直的坐标运算混淆。 例 5、（2008 江苏）已知向量 a 和 b 的夹角为1200， | a |= 1,| b |= 3 ，则 | 5a - b |= ． 2 2 2 ? 1 ? ? 2 ? 点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误 即可。 考点四：向量与三角函数的综合问题 例 6、（2008 深圳福田等）已知向量 a = ( 3 sin x,cos x), b = (cos x,cos x) ,函数 f ( x ) = 2a ? b - 1 π , 6 2 ] 时, 若 f ( x ) = 1,求 x 的值． 解：(1) f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2cos 2 x - 1 = 3 sin 2 x + cos 2 x = 2sin(2 x + π 所以，T ＝ π . ? ? π ? 1 ? ∵ x ∈[ π π π π 7π π 5π π , ] ，∴ 2 x + ∈[ , ] ∴ 2 x + = ∴ x = 6 2 6 2 6 6 6 3 点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式 给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换， 以及解三角形等知识点. ? x π ? ? π ? ? 3 6 ? ? 4 ? 为（ ） ? x π ? ? 3 4 ? ? x π ? ? 3 4 ? Ｃ． y = 2cos - ?- 2 Ｄ． y = 2cos + ?+ 2 ? π ? = P ' P = ( ) ? x ' = x + π , y ' = y + 2 ，代入到已知解析式中可得选Ａ a = - ，- 2 ? ? x π ? ? 3 12 ? ? x π ? ? 3 12 ? 解 ： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点 P ' (x ' , y ' ) ， P (x, y ) ，则 ? 4 ? 4 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要 将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移 π 个单位，再向下平移 2 个单位，误选Ｃ 4
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