初二数学专题练习《二次根式》
一．选择题
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
2．若1＜x＜2，则的值为（）A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2 3．下列计算正确的是（）A．=2B．= C．=x D．=x 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
5．化简+﹣的结果为（）A．0 B．2 C．﹣2D．2
6．已知x＜1，则化简的结果是（）A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
7．下列式子运算正确的是（）A．B．C． D．
8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）A．B．C．
D．
二．填空题
9．要使代数式有意义，则x的取值范围是．
10．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为．
11．计算：= ．12．化简：= ．13．计算：（+）= ．14．观察下列等式：
第1个等式：a 1==﹣1，
第2个等式：a 2==﹣，
第3个等式：a 3==2﹣，
第4个等式：a 4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a n= ；
（2）a1+a2+a3+…+a n= ．
15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．16．已知：a＜0，化简= ．
17．设，，，…，．
设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．三．解答题
18．计算或化简：﹣（3+）；
19．计算：（3﹣）（3+）+（2﹣）
20．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．
21．计算：（+）×．
22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．
23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．
24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：．
25．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；
（2）猜想与|a|的大小关系．
26．已知：a=，b=．求代数式的值．
27．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）
==（二）
===﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
（2） 参照（三）式得= ；
参照（四）式得= ．
（3）化简：+++…+．
28．化简求值：，其中．
参考答案与解析
一．选择题
1．（2016?贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．
2．（2016?呼伦贝尔）若1＜x＜2，则的值为（）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
【分析】已知1＜x＜2，可判断x﹣3＜0，x﹣1＞0，根据绝对值，二次根式的性质解答．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，
原式=|x﹣3|+
=|x﹣3|+|x﹣1|
=3﹣x+x﹣1
=2．
故选D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a小于0时，非二次根式（若根号下为负数，则无实数根）．
2、性质：=|a|．
3．（2016?南充）下列计算正确的是（）
A．=2B．= C．=x D．=x
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】解：A、=2，正确；
B、=，故此选项错误；
C、=﹣x，故此选项错误；
D、=|x|，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
4．（2016?潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣bD．b
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．
5．（2016?营口）化简+﹣的结果为（）
A．0 B．2 C．﹣2D．2
【分析】根据根式的开方，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．
【解答】解：+﹣=3+﹣2=2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的加减，先化简，再加减运算．
6．已知x＜1，则化简的结果是（）
A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1=（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．
【解答】解：
=
=|x﹣1|
∵x＜1，
∴原式=﹣（x﹣1）=1﹣x，
故选D．
【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．
7．下列式子运算正确的是（）
A．B．C． D．
【分析】根据二次根式的性质化简二次根式：=|a|；
根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”，进行分母有理化；
二次根式的加减实质是合并同类二次根式．
【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能计算，故A错误；
B、=2，故B错误；
C、=，故C错误；
D、=2﹣+2+=4，故D正确．
故选：D．
【点评】此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行二次根式的分母有理化．
8．若，则x3﹣3x2+3x的值等于（）
A．B．C．D．
【分析】把x的值代入所求代数式求值即可．也可以由已知得（x﹣1）2=3，即x2﹣2x﹣2=0，则x3﹣3x2+3x=x（x2﹣2x﹣2）﹣（x2﹣2x﹣2）+3x﹣2=3x﹣2，代值即可．
【解答】解：∵x3﹣3x2+3x=x（x2﹣3x+3），
∴当时，原式=（）[﹣3（）+3]=3+1．
故选C．
【点评】代数式的三次方不好求，就先提取公因式，把它变成二次方后再代入化简合并求值．
二．填空题
9．（2016?贺州）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠0 ．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．【解答】解：根据题意，得
，
解得x≥﹣1且x≠0．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
本题应注意在求得取值范围后，应排除不在取值范围内的值．
10．（2016?乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则+|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．11．（2016?聊城）计算：= 12 ．
【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．
【解答】解：
=3×÷
=3
=12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
12．（2016?威海）化简：= ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=3﹣2=．
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
13．（2016?潍坊）计算：（+）= 12 ．
【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：原式=?（+3）
=×4
=12．
故答案为12．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．（2016?黄石）观察下列等式：
第1个等式：a 1==﹣1，
第2个等式：a 2==﹣，
第3个等式：a 3==2﹣，
第4个等式：a 4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a n= =﹣；；
（2）a 1+a2+a3+…+a n= ﹣1 ．
【分析】（1）根据题意可知，a 1==﹣1，a2==﹣，a3==2﹣，a4==﹣2，…由此得出第n个等式：a n==﹣；
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【解答】解：（1）∵第1个等式：a 1==﹣1，
第2个等式：a 2==﹣，
第3个等式：a 3==2﹣，
第4个等式：a 4==﹣2，
∴第n个等式：a n==﹣；
（2）a1+a2+a3+…+a n
=（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）
=﹣1．
故答案为=﹣；﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
15．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．
【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．
【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．
把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1
化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，
等式两边相对照，因为结果不含，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．
所以2a+b=3﹣0.5=2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
16．已知：a＜0，化简= ﹣2 ．
【分析】根据二次根式的性质化简．
【解答】解：∵原式=﹣=﹣
又∵二次根式内的数为非负数
∴a﹣=0
∴a=1或﹣1
∵a＜0
∴a=﹣1
∴原式=0﹣2=﹣2．
【点评】解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值．
17．设，，，…，．
设，则S= （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
【分析】由S n=1++===，求，得出一般规律．
【解答】解：∵S n=1++===，∴==1+=1+﹣，
∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣
=n+1﹣
==．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n变形，得出一般规律，寻找抵消规律．三．解答题（共11小题）
18．（2016?泰州）计算或化简：
﹣（3+）；
【分析】先化成最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可；
【解答】解：（1）﹣（3+）
=﹣（+）
=﹣﹣
=﹣；
【点评】本题考查了二次根式的加减法以及分式的混合运算，正确化简是解题的关键．
19．（2016?盐城）计算：
（3﹣）（3+）+（2﹣）
【分析】利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式=9﹣7+2﹣2
=2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（2016?锦州）先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把化简后x的值代入进行计算即可．【解答】解：，
=÷，
=×，
=．
x=﹣3﹣（π﹣3）0，
=×4﹣﹣1，
=2﹣﹣1，
=﹣1．
把x=﹣1代入得到：==．即=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
21．计算：（+）×．
【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×=×+×；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（+）×的值是多少即可．
【解答】解：（+）×
=×+×
=1+9
=10
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．
【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式=﹣+2+8
=﹣3+2+8
=8﹣．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、
23．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．
【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1，然后进行加减运算．
【解答】解：原式=3﹣1+2﹣1
=1+2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
24．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：．
【分析】本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉算术平方根的定义．
【解答】解：由数轴知，a＜0，且b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴，
=|a|﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，
=（﹣a）﹣b+a﹣b，
=﹣2b．
【点评】本小题主要考查利用数轴表示实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．
观察数轴确定a、b及a﹣b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．
本题考查算术平方根的化简，应先确定a、b及a﹣b的符号，再分别化简，
最后计算．
25．阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；
（2）猜想与|a|的大小关系．
【分析】应用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简．
【解答】解：（1）由题意可得=；
（2）由（1）可得：=|a|．
【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：①当a＞0时，=a；②当a＜0时，=﹣a；③当a=0时，=0．
26．已知：a=，b=．求代数式的值．
【分析】先求得a+b=10，ab=1，再把求值的式子化为a与b的和与积的形式，将整体代入求值即可．
【解答】解：由已知，得a+b=10，ab=1，
∴=
==．
【点评】本题关键是先求出a+b、ab的值，再将被开方数变形，整体代值．
27．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）
==（二）
===﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
（2） 参照（三）式得= ；
参照（四）式得= ．
（3）化简：+++…+．
【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；
（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．
【解答】解：（1）=，
=；
（2）原式=
+…+
=++…+
=．
【点评】学会分母有理化的两种方法．
28．化简求值：，其中．
【分析】由a=2+，b=2﹣，得到a+b=4，ab=1，且a＞0，b＞0，再把代数式利用因式分解的方法得到原式=+，约分后得+，接着分母有理化和通分得到原式=，然后根据整体思想进行计算．
【解答】解：∵a=2+＞0，b=2﹣＞0，
∴a+b=4，ab=1，
∴原式=+
=+
=+
=，
当a+b=4，ab=1，原式=×=4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后把字母的值代入（或整体代入）进行计算．
二次根式计算专题训练 解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣+（）﹣2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×．
（1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷ （3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）
（1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．
①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2 （3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+（6）． 14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．
16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．
21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==； ②==； ③== …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算：+++…+． 23．观察下面的变形规律： =，=，=，=，…解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想=； （2）计算： （++…+）×（） 24．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ==﹣1
二次根式培优专题 、【基础知识精讲】 1. 二次根式：形如...a （其中a ______ ）的式子叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含______ 。 3. 同类二次根式： 二次根式化成______________ 后，若 ___________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （1）G.-/a ）= ____ （其中a ___ ）（ 2）a2 = _______ （其中a ___ ） 5. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。 （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。 JOb= _________ （其中a^_ b ______ ）；J a= ______________ （其中a—一b ____ ）. \ b （4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如,3的有理化因式就是,3 , .8的有理化因式可以是8也可以是2 , ，b 的有理化因式就是需- Ub . （5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算. （6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式. 6. 双重二次根式的化简： 二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是： 设x 0, y 0, a 0, y 0 ,且x y 二a, xy = b，贝U a 2、 b = （x y） 2、_ xy = C、x）2（、._ y）22 xy = （、x .. y）2
二次根式计算专题 1．计算：⑴36 4236 42⑵(3)2 (3)0 2732 【答案】 (1)22; (2) 6 4 3 【解析】 试题分析： (1)根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答案 . (2) 分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案 . 试题解析： (1) 3 6 4 2 3 6 4 2 (3 6) 2 (4 2) 2 =54－ 32 =22. （2）( 3)2 ( 3) 0 27 3 2 3 1 3 3 2 3 6 4 3 考点 : 实数的混合运算 . 2．计算（ 1） ﹣ × （2）（ 6﹣ 2x ）÷3． 【答案】（ 1） 1；（ 2） 1 3 【解析】 试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案 . 试题解析： (1) 20 5 1 5 12 3 2 5 5 3 3 5 2 3 3 2 1； （2）(6 x 2x 1 ) 3 x 4 x ( 6 x 2x x ) 3 x 2 x (3 x 2 x ) 3 x x 3 x
1 . 3 考点 : 二次根式的混合运算 . 3．计算： 3 12 2 1 48 2 3 ． 3 【答案】 14 ． 3 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式 ,再算括号里面的 ,最后算除法． 试 题 解 析 ： 3 12 2 1 48 2 3 =(6 3 2 3 4 3) 2 3 28 3 2 3 14 ． 3 3 3 3 考点：二次根式运算． 6 4．计算： 3 6 2 3 2 【答案】 2 2. 【解析】 试题分析：先算乘除、去绝对值符号 ,再算加减 . 试题解析：原式 =3 2 3 3 2 = 2 2 考点：二次根式运算 . 5．计算： 2 18 3( 3 2) 【答案】 3 3 ． 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式 ,再化简． 试题解析： 2 18 3( 3 2)= 2 32 33 6 33． 考点：二次根式化简． 6．计算： 323 1 4 ． 2 2 【答案】 2 ． 2 【解析】 试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可 . 试题解析： 32 1 4 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 ． 2 2 考点：二次根式的计算 .
《二次根式》复习 班级: 姓名: 一、 二次根式的有关概念 1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数a ≥0. 2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式. 例:二次根式 b a x x ++22,40,2,30,12,2 1 中,是最简二次根式的有____________________ ________. 下列各式中是最简二次根式的是 ( ) (A )a 18 (B ) 2 x (C )22n m + (D )y x 2 3 3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 例:下面与2是同类二次根式的是 ( ) (A )3 (B )12 (C )8 (D )12- 下列根式中与a 是同类二次根式的是 ( ) (A )a 2 (B )23a (C ) a 1 (D )4a 二、 二次根式的性质 1. 非负性：二次根式a 中被开方数a ≥0，且a ≥0. 2. () =2 a (a ≥0). 3. ==a a 2 . 三、 二次根式的运算 1. 乘法公式: =?b a (a ≥0,b ≥0). 2. 积的算术平方根: =ab (a ≥0,b ≥0). (a ≥0) (a ﹤0)
3. 除法公式: == ÷b a b a (a ≥0,b ﹥0). 4. 商的算术平方根: =b a (a ≥0,b ﹥0). 5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将 合并. 四、 典例研习 【例1】 x 取怎样的数时,下列二次根式有意义? ； . 【变式探究】 1. 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 . 2.使式子x -4无意义的x 的取值是 . 3.使式子有意义的x 的取值范围是 . 4.能使式子 x x -+ -412有意义的x 的取值范围是 . 5.若()0312 =++-+y y x ,则y x -的值为______________. 6. ()2 11y x x x +=---,则y x -的值为 ( ) (A )1- (B )1 (C )2 (D )3 【例2】若a <1,化简 ()112 --a 等于 ( ) (A )2-a (B )a -2 (C )a (D )a - 【变式探究】 7.计算: ( ) =+-32 32 =+3 . 8.已知a 二次根式计算专题-30题(教师版含答案解析)(20190515075641)
完美 WORD 格式 二次根式计算专题 1．计算： ⑴ 3 6 4 2 3 6 4 2 ⑵ ( 3) 2 (3) 0 273 2 【答案】 (1)22; (2) 6 4 3 【解析】 试题分析： (1) 根据平方差公式，把括号展开进行计算即可求出答 案. (2) 分别根据平方、非零数的零次幂、二次根式、绝对值的意义进行计算即可得出答案 . 试题解析： (1) 3 6 4 2 3 6 4 2 (3 6) 2 (4 2) 2 =54－ 32 =22. （ 2） ( 3) 2 ( 3) 0 27 3 2 3 1 3 3 2 3 6 4 3 考点 : 实数的混合运算 . 2．计算（ 1） ﹣ × （ 2）（ 6 ﹣ 2x ）÷3 ． 【答案】（ 1） 1；（ 2） 1 3 【解析】 试题分析：先把二次根式化简后，再进行加减乘除运算，即可得出答案 . 试题解析： (1) 20 5 1 5 1 2 3 2 5 5 3 3 5 2 3 3 2 1 ； （ 2） (6 x 2x 1 ) 3 x 4 x (6 x 2x x ) 3 x 2 x ( 3 x 2 x ) 3 x x 3 x
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1 . 3 考点 : 二次根式的混合运算. 3．计 算： 3 12 2 1 48 2 3 ． 3 【答案】14． 3 【解 析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次 根式, 再算括号里面的 , 最后算 除法． 试题解析： 3 12 2 1 48 2 3 =(6 3 2 3 4 3) 2 3 28 3 2 3 14 ． 3 3 3 3 考点：二次根式运算． 4．计算： 3 6 6 23 2 【答案】 2 2 . 【解析】 试题分析：先算乘除、去绝对值符号, 再算加减 . 试题解析：原式= 3 2 3 3 2 =2 2 考点：二次根式运算. 5．计算： 2 18 3( 3 2) 【答案】 3 3 ． 【解析】 试题分析：先将二次根式化成最简二次根式, 再化简． 试题解析： 2 18 3( 3 2)= 2 3 2 3 3 6 3 3 ．考点：二次根式化简． 6．计 算：32 3 1 4 ． 2 2 【答案】 2 ． 2 【解析】 试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可. 试题解 析：32 1 4 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 ． 2 2
二次根式综合练习题 第一部分（选择题共30分）一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 、 、 、、是二次根式的有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.若y x2 是二次根式、则下列说法正确的是（） A.0 ,0≥ ≥y x B. 0 ,0> ≥y x C. y x, 同号 D. ≥ y x 3.下列各式中、是最简二次根式的是（） A.5 1 B.
C. D. 4.对于二次根式92 +x ，下列说法中不正确的是（ ） A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是一个最简二次根式 D.它的最小值为3 5.若3)1()2(2 2 =++-x x ，则 x 的取值范围 是（ ） A. 0=x B.21≤≤-x C. 2≥x D.1-≤x 6.已知直角三角形有两条的长分别是3cm 、4cm ，那么第三条边的长是（ ） A. cm 5 B. cm 7
C.cm 5或者cm 7 D. cm 5 7.下列二次根式中、是同类二次根式的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 下列各式： 、 、 、 、 、 、 、其中与 是同类 二次根式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如果1≤a ，那么化简=-3)1(a （ ） A. a a --1)1( B.1)1(--a a C.1)1(--a a D.a a --1)1(
10.化简2 2)32(144--+-x x x 得 （ ） A. 2 B2.x 44- C.44-x D.2- 第二部分（非选择题 共120分） 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若 +有意义，则x 的取值范围是 。 12.写出两个与 是同类二次根式的 式子 。 13.若最简二次根式与的被开方式相同、则a 的值 为 。
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。
1 二次根式综合练习题 第一部分（选择题共30分） 一.选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1.下列式子中：、辰、J a 1、J a 2 b 2 、 d m 1、^/80 、口、是二次根式的有 （ ） A.2个 C.4个 2x -0 D. y 3. 下列各式中、是最简 二次根式的是 （ ） B.3个 D.5个 2.若］I y 是二次根式、 则下列说法正 A. x 0, y B. x 0, y 0 C. x,y 司号
A. V 5 1
4. 对于二次根式 正确的是（ A. 它是 B. 它是一个无理数 C. 它是一个最简二次根式 D.它的最小值为 3 5若A O 乔3,则 是（ A. C. x D. x 6.已知直角三角形有两条的长分别是 3cm 、4cm ，那么第三条边的长是（ A. 5cm B. "^cm c.^/15 D.2辰 ） 9，下列说法中不 的取值范围 B.
C. 5cm或者J7cm D. J5cm 7.下列二次根式中、是同类二次根式的一组是（） A. Ja2b 与Va B. C. 丁50 与75 D. Ja b 与 Ja2 b2 8.下列各 式: 顷、丁12、^/4、届、￡、V24、V5o、其中与丿2是同类 二次根式的/ 有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如果a 1 ，那么化简J（1 a）3（） A. (a 1)Jl a B. (1 a)Ja 1 C.(a 1)Ja 1 D. (1 a)J1 a
A. 2 c.4x 第二部分（非选择题 共120分） 二.填空题（共6小题，每小题3分， 满分18分） 11若＞/r~X +J x 2有意义，则x 的取 值范围是 12. 写岀两个与V 3是同类二次根式的 式子 _____________________ 。 13. 若最简二次根式 百G 与J 4 2a 的被 司、贝y a 的值 10.化 ( 4x 1 (2x 3)2 得 B2. 4 4x D. 2 开方式相 为 ___________
《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解
基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0=
填空题 1. 使式子x 4 有意义的条件是。 【答案】x≥4 【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥ 0，解得x≥ 4 2. 当__________时，x 2 1 2 x 有意义。 【答案】 -2≤x≤ 1 2 【分析】 x+2≥ 0， 1-2x≥ 0 解得 x≥－ 2， x≤ 1 12 3. 若m有意义，则 m 的取值范围是。 m 1 【答案】 m≤0且m≠﹣1 【分析】﹣ m≥0 解得 m≤ 0，因为分母不能为零，所以m＋1≠ 0 解得 m≠﹣ 1 4.当 x __________ 时， 1 x 2 是二次根式。 【答案】 x 为任意实数 【分析】﹙1－ x﹚2是恒大于等于0 的，不论 x 的取值，都恒大于等于0，所以 x 为任意实数 5.在实数范围内分解因式： x49 __________, x2 2 2x 2__________ 。【答案】﹙x 2＋ 3﹚﹙ x＋3﹚﹙ x－3﹚，﹙ x－ 2 ﹚2 【分析】运用两次平方差公式：x 4－ 9＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x 2－3﹚＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x＋ 3 ﹚﹙x － 3 ﹚，运用完全平方差公式：x 2－ 2 2 x＋ 2＝﹙ x－ 2 ﹚2 6.若 4 x22x ，则 x 的取值范围是。 【答案】 x≥0 【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x≥ 0，解得 x≥0 7.已知x 2 2 x ，则x的取值范围是。2 【答案】 x≤2 【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－ x≥0，解得 x≤ 2 8.化简： x2 2 x 1 x p 1的结果是。【答案】 1 －x 【分析】x2 2 x 1 ＝(x1)2 2 ，因为 x 1 ≥0，x＜1所以结果为1－x 9.当1x p5时，x 2 x 5 _____________ 。1
分式和二次根式专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 x ＿＿＿＿时，分式有意义。 ２、当＿＿＿＿时，有意义。 ３、计算：－a －1＝＿＿＿＿。 ４、化简：(x 2 －xy)÷＝＿＿＿＿。 ５、分式 ，，的最简公分母是＿＿＿＿。 ６、比较大小：2＿＿＿＿3。 ７、已知 ＝，则的值是＿＿＿＿。 ８、若最简根式和是同类根式，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 ９、仿照2＝·＝＝的做法，化简3 ＝＿＿＿＿。 10、当 2＜x ＜3 时，－＝＿＿＿＿。 11、若的小数部分是 a ，则 a ＝＿＿＿＿。 12、若 ＝＋＋2成立，则 x ＋y ＝＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、 B 、 C 、x ＋ D 、 ２、对于分式 总有（ ） A 、＝ B 、＝ C 、＝ D 、＝ ３、下列根式中，属最简二次根式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ４、可以与合并的二次根式是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 x 2x －3 a －2a 2 a －1 x －y xy b 2a 24a 3b c a 5c 2 32x ＋2y 2y 5 2x ＋y y x ＋1y 30.5220.54×0.521 3 (2－x)2(x －3)2 31－x x －1x －y 22x ＋y 12x 2 1 x －1 1x －1x －1(x －1)21x －1x ＋1x 2－11x －112 (x －1)21x －11 1－x 27x 2＋11 2 a 2 b 182761 3 8y y
５、如果分式 中的 x 和 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值（ ） A 、扩大 2 倍 B 、扩大 4 倍 C 、不变 D 、缩小 2 倍 ６、当 x ＜0 时，｜－x ｜等于（ ） A 、0 B 、－2x C 、2x D 、－2x 或0 三、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、()3÷()0×(－)－2 ２、(＋)÷ ３、－＋ ４、(3－2)2 四、计算：（每题 6 分，共 24 分） １、－＋ ２、÷(x ＋ 1)· ３、－· ４、4b ＋－3ab (＋) 五、解答题：（每题 8 分，共 32 分） １、某人在环形跑道上跑步，共跑两圈，第一圈的速度是 x 米/分钟，第二圈的速度是 米/分钟（x ＞），则他平均一分钟跑的路程是多少？ 2x x ＋y x 2b 2a 22b 23a b a x 2x －242－x x ＋2 2x 84 2 1223x x ＋y y y －x 2xy x 2－y 2x 2－1x 2＋4x ＋4x 2＋3x ＋2 x －1 20＋55 1312a b 2a a 5b 31 ab 4ab y y y
二次根式计算专题训练 一、解答题（共30 小题） 1．计算： （1）+ ；（2）（+ ）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣3.14）0+| ﹣2| ﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （1）++ （2）2﹣6 +3． 4．计算 （1）+ ﹣（2）÷×． 5．计算： （1）×+3 ×2 （2）2 ﹣6 +3 ． 6．计算： （1）（）2﹣20+| ﹣| （2）（﹣）×
（3）2 ﹣3 + ；（4）（7+4 ）（2﹣）2+（2+ ）（2﹣） 7．计算 （1）? （ a≥ 0）（2）÷ （3）+ ﹣﹣（4）（3+ ）（﹣） 8．计算：： （1）+ ﹣（2）3 + （﹣）+ ÷． 9．计算 （1）﹣4 + ÷（2）（1﹣）（1+ ）+（1+ ）2． 10．计算： （1）﹣4 + （2）+2 ﹣（﹣）
（3）（ 2 + ）（2 ﹣）；（4）+ ﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3 + ﹣4 ）÷（ 2）+9 ﹣2x2? ． 12．计算： ①4+﹣+4；②（ 7+4 ）（ 7﹣ 4 ）﹣（ 3 ﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣ +2 （3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （5）÷﹣×+ （6）．
．已知： a=， b=，求2+3ab+b2的值． 14 a 15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值． 16．化简：﹣a ． 17．计算： （1）9 +5 ﹣3 ；（2）2 ； （3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y= + ﹣4，计算 x﹣y2的值． 20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简．21．已知 1＜ x＜5，化简：﹣| x﹣5| ．
《二次根式》提高测试 4. . ab 、1 . a 3b ' 次根式?…（ 3 xF b 简二次根式后再判断.［答案】". = _.［答案】—2a Ji .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性 12a 3 质的运用. 8 . a — .. a 2 -1 的有理化因式是 (a 2 —1) . a + Ja —1 .【答案】a + 9 .当 1
二次根式计算专题训练 解答题（共 30 小题） 1．计算： （ 1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算： ﹣ 2| ﹣+（）﹣2 ．（2）﹣4 ﹣（﹣）． （ 1）（π﹣3.14） +| （ 3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （ 1） ++ （ 2）2﹣6 +3． 4．计算 （ 1）+﹣（2）÷×．
（ 1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （ 1）（）2﹣20+|﹣|（2）（﹣）× （ 3） 2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （ 1）?（a≥0）（2）÷ （ 3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）
（ 1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （ 1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （ 1）﹣4+（2）+2﹣（﹣） （ 3）（ 2 +）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （ 1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．
① 4 +﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （ 1）××（2）﹣+2 （ 3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （ 5）÷﹣×+（6）． 14．已知： a=，b=，求a2+3ab+b2的值．
15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （ 1） 9 +5﹣3；（2）2；（ 3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．
20．已知：a、b、c 是△ ABC的三，化．21．已知 1＜x＜ 5，化：| x 5| ． 22．察下列等式： ①==； ②==； ③== ?回答下列： （ 1）利用你察到的律，化： （ 2）算：+++?+． 23．察下面的形律： =，=，=，=，? 解答下面的： （ 1）若 n 正整数，你猜想=； （ 2）算： （++?+）×（）
专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案) ? 类型之一 利用二次根式的性质a 2＝|a|化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a|＝?????a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. 1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1＝( ) A ．1－3 B .3－1 C ．3－3 D .3－3 2．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a ＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|. 4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－ 14c 2－4c ＋16. ? 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简 5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( ) A ．－a b B ．a －b C ．－a －b D ．a b 6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）； (3) 2.25a 2b ； (4) －25－9； (5)9a 34 . ? 类型之三 利用隐含条件求值 7．已知实数a 满足（2016－a ）2＋a －2017＝a ，求a －12016 的值．
8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x 的值． ? 类型之四 巧用乘法公式化简 9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)； (3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017. ? 类型之五 巧用整体思想进行计算 10．已知x ＝5－26，则x 2－10x ＋1的值为( ) A ．－30 6 B ．－186－2 C ．0 D ．10 6 11．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，求x 2－xy ＋y 2的值． 12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6，xy ＝4，求x ＋y x －y 的值． ? 类型之六 巧用倒数法比较大小 13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a _
二次根式培优 一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中 a 0- a 0 。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0 ，由此我们判断下列式子有 意义的条件： ____ ____ ____ 1 / x 1 (1 八 x 1 \1 x ; (2) 、 -- 2 ； 2 V x (3) <1—T J —2； (4) —-; (5) V3—r (x 竺 x 1 Vx 2 (1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a ⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------ ⑥ 计算：J ( 4研&妬5 )2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围 教科书中给出： 一般地，根据算术平方根的意义可知：' a a(a 0) ，在此我们可将其拓展为: 2、也2的化简 a(a 0) a(a 0) ②化简求值 : 1 其中a= 5 ③已知, 3 ,化简 2m 4m 2 m 1 .m 2 6m 9 1 2 a
m J 2m m2 1,求m的取值范围 ①若 ②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________ ③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值； ④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。 .二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0 ②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x 应满足( ). J2x 1 1 11 1 A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 3 2 2 2 2 例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ . (2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为() (A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 . 例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为() A. 2 B. 0 C. —2 D.以上都不是 ⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①訂，②(a "Ja
二次根式计算专题训练 一、解答题（共30小题） 1．计算： （1）+；（2）（+）+（﹣）． 2．计算： （1）（π﹣）0+|﹣2|﹣+（）-2．（2）﹣4﹣（﹣）．（3）（x﹣3）（3﹣x）﹣（x﹣2）2． 3．计算化简： （1）++（2）2﹣6+3． 4．计算 （1）+﹣（2）÷×．
5．计算： （1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （2）（﹣）× （3）2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （1）?（a≥0）（2）÷
（3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣） 8．计算：： （1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （1）﹣4+（2）+2﹣（﹣）
（3）（2+）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?． 12．计算： ①4+﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （1）××（2）﹣+2
（3）（﹣1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣）（5）÷﹣×+（6）．14．已知：a=，b=，求a2+3ab+b2的值． 15．已知x，y都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （1）9+5﹣3；（2）2；
（3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知y=+﹣4，计算x﹣y2的值． 20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．21．已知1＜x＜5，化简：﹣|x﹣5|． 22．观察下列等式： ①==；②==； ③==………回答下列问题：
二次根式专项训练答案 一、选择题 1．1 =-，那么x的取值范围是（） x A．x≥1B．x>1 C．x≤1D．x<16 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等式的左边为算术平方根，结果为非负数，即x-1≥0求解即可. 【详解】 由于二次根式的结果为非负数可知：x-1≥0， 解得，x≥1， 故选A. 【点睛】 本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围. 2．在实数范围内有意义，则a的取值范围是（） A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋2≥0，解不等式a＋2≥0，即得答案. 【详解】 在实数范围内有意义， ∴a＋2≥0，解得a≥－2． 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件； 3．a的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a，
移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 4．若x、y 4 y=，则xy的值为() A．0 B．1 2 C．2 D．不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得，2x?1?0且1?2x?0， 解得x?1 2 且x? 1 2 ， ∴x=1 2 ， y=4， ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C. 5．下列运算正确的是（） A． B ）2=2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】 根据二次根式的加减，可知 A选项错误； 根据二次根式的性质2=a（a≥0 2=2，所以B选项正确； (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? ＞ ＜ ﹣11|=11，所以C选项错误； D D选项错误． 故选B．
基础巩固： 1、二次根式的性质 ①二次根式.a中被开方数一定是非负数，并且二次根式a_0 ; ②(柘 f =a(a^0)； a(a 色0) ③+'a = |a| = 0(a = 0) -a(a 乞0) 2、最简二次根式与同类二次根式： 一个二次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式(simplest quadratic radical ). 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式. 3、移因式到根号内、外的方法： ①把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时，把负号留在根号外面，然后把这个数的平方移到根号内，即 a.b二- a2b (a<0)；当根号外的数是正 数时，直接把它平方后移到根号内，即 b = a 2b (a>0); ②把根号内的数移到根号外：当根号内的数是正数时，直接开方移到根号外，即a2b二a b (a>0)；当根号内的数是负数时，开方移到根号外后要添上负号，即,a2b = -a b (a<0). 4、a2与 a $的联系与区别 ①存，(需2都是非负数； a(a 色0) ②Q a j =a(a 王0)，M a2=|a| = 0(a = 0)结果不同； —a(a 兰0) ③、.a中a的取值范围是a 一0，a2中a的取值范围是全体实数.
练习： 1、有这样一类题目：将詐±2扁化简，如果你能找到两个数m n, 使m2 且mn = . b ,则将将变成m+n2士2mn,即变成(m± n)2开方, 从而使得a二2 .. b化简. 请根据提示化简下列根式： (1) Q-2.6 ⑵.4 23 2、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 3、计算: _ 1 0.25 2 2 -3 厂一j.-3 2 2什気一』2 ° 4、已知m是2的小数部分，则.m2-2m ■ 1的值是(). 5、对任意不相等的两个数a、b,定义一种运算※如下：b二'a+ b a - b 则代※4= _____ . 答案与解析：