错位相减法求和专项
错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：
①项的对应需正确；
②相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；
③若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1
1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．
[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般
[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，
则设，，
∴，∴，
又点均在函数的图象上，
∴．
∴当时，，
又，适合上式，
∴．．．．．．．．．．．．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴，
∴，上面两式相减得：
．
整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）的值.
[答案]查看解析
[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3,
又4S n = a n2 + 2a n－3 ①
当时4s n－1 = + 2a n-1－3 ②
①－②, 即，
∴ ,
（），
是以3为首项，2为公差的等差数列，6分
．
（2）③
又④
④－③
=
12分
3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数
，数列前项和，，数列，满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：
.
[答案] (Ⅰ) 由，得
是以为公比的等比数列，故.
（Ⅱ）由，得
…，
记…+，
用错位相减法可求得：
. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）4.已知等差数列中，；是与的等比中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式：
（Ⅱ）若．求数列的前项和
[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，又因为，设公差为，则，
所以，解得或，
当时, ，；
当时，.
所以或. （6分)
（Ⅱ）因为，所以，所以，
所以，
所以
两式相减得，
所以. （13分）
5.已知数列的前项和，，，等差数列中
，且公差.
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.
[解析]（Ⅰ）时，相减得：
，又，，
数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.
又，，. （6分）
（Ⅱ）
令………………①
…………………②①－②得：
，，即，当，，当。
的最小正整数为4. （12分）
6. 数列满足，等比数列满足. （Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
[解析] （Ⅰ）由，所以数列是等差数列，又，
所以，
由，所以，，所以，即，
所以. （6分)
（Ⅱ）因为，所以，
则，
所以，
两式相减的，
所以. (12分）
7. 已知数列满足，其中为数列的前项和．(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 若数列满足：() ，求的前项和公式. [解析]Ⅰ) ∵，①
∴②
②－①得，，又时，，，
. （5分）
(Ⅱ) ∵，
，
，
两式相减得，
. （13分）
8.设d为非零实数, a n=[d+2d2+…+(n-1) d n-1+n d n](n∈N*) . (Ⅰ) 写出a1, a2, a3并判断{a n}是否为等比数列. 若是, 给出证明;若不是, 说明理由; (Ⅱ) 设b n=nda n(n∈N*) , 求数列{b n}的前n项和S n.
[答案] (Ⅰ) 由已知可得a1=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2.
当n≥2, k≥1时, =, 因此
a n=.
由此可见, 当d≠-1时, {a n}是以d为首项, d+1为公比的等比数列;
当d=-1时, a1=-1, a n=0(n≥2) , 此时{a n}不是等比数列. (7分)
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知, a n=d(d+1) n-1,
从而b n=nd2(d+1) n-1,
S n=d2[1+2(d+1) +3(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1]. ①
当d=-1时, S n=d2=1.
当d≠-1时, ①式两边同乘d+1得
(d+1) S n=d2[(d+1) +2(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-1+n(d+1) n]. ②
①, ②式相减可得
-dS n=d2[1+(d+1) +(d+1) 2+…+(d+1) n-1-n(d+1) n]
=d2.
化简即得S n=(d+1) n(nd-1) +1.
综上, S n=(d+1) n(nd-1) +1. (12分)
9. 已知数列{a n}满足a1=0, a2=2, 且对任意m, n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2a m+n-1+2(m-n) 2. (Ⅰ) 求a3, a5;
(Ⅱ) 设b n=a2n+1-a2n-1(n∈N*) , 证明:{b n}是等差数列;
(Ⅲ) 设c n=(a n+1-a n) q n-1(q≠0, n∈N*) , 求数列{c n}的前n项和S n.
[答案] (Ⅰ) 由题意, 令m=2, n=1可得a3=2a2-a1+2=6.
再令m=3, n=1可得a5=2a3-a1+8=20. (2分)
(Ⅱ) 证明:当n∈N*时, 由已知(以n+2代替m) 可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.
于是[a2(n+1) +1-a2(n+1) -1]-(a2n+1-a2n-1) =8, 即b n+1-b n=8.
所以, 数列{b n}是公差为8的等差数列. (5分)
(Ⅲ) 由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 的解答可知{b n}是首项b1=a3-a1=6, 公差为8的等差数列.
则b n=8n-2, 即a2n+1-a2n-1=8n-2.
另由已知(令m=1) 可得, a n=-(n-1) 2.
那么, a n+1-a n=-2n+1=-2n+1=2n.
于是, c n=2nq n-1.
当q=1时, S n=2+4+6+…+2n=n(n+1) .
当q≠1时, S n=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·q n-1.
两边同乘q可得
qS n=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1) ·q n-1+2n·q n.
上述两式相减即得
(1-q) S n=2(1+q1+q2+…+q n-1) -2nq n=2·-2nq n=2·, 所以S n=2·.
综上所述, S n=(12分)
10.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求数列{a n·}的前n项和.