攀枝花市第十五中学校2019-2020(上)高2020届第五次周考
数 学(文史类)
命题人:朱勇军 审题人:任柏宇
2019.10.14
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知
2a i
i
+=b +i (,a b R ∈),其中i 为虚数单位,则ab =( ) A.2- B.1- C.1 D.2
2.已知集合{}
2560A x x x =-+<,{}
x
B y y e ==,则A B =( )
A.()1,3-
B.()1,0-
C.()0,2
D.()2,3
3.设函数()()()11f x ln x ln x =+-+,则()f x 是( )
A.()f x 是奇函数,且在()0,1上是增函数
B.()f x 是奇函数,且在()0,1上是减函数
C.()f x 是偶函数,且在()0,1上是增函数
D.()f x 是偶函数,且在()0,1上是减函数
4.已知向量|a b +|=||a b -,且||||2a b ==,则|2|a b -=( ) A.25
B.2
C.22
D.10
5.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1S 、2a 、3S 成等比数列,则3
1
a a 的值为( )
A.1-
B.1
C.5
D.1-或5
6.在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中,函数sin 2y x x =的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,主要方式是由十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)和十二地支(子、 丑、 寅 、卯、 辰、 巳、 午、 未 、申 、酉、 戌、 亥)按顺序配对,周而复始,循环记录.如:1984年是甲子年,1985年是乙丑年,1994年是甲戌年,则数学王子高斯出生的1777年是干支纪年法中的( ) A.丁申年
B.丙寅年
C.丁酉年
D.戊辰年
8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是( ) A.3- B.12- C.1
3
D.2
9.若ln3a 2=
,ln4b 3=,ln5
c 4
=,则( ) A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c <<
10.已知函数:①sin cos y x x =+,②22sin cos y x x =,则下列结论正确的是 ( )
A.两个函数的图像均关于点,04π??
- ???
成中心对称
B.两函数的图像均关于直线4
π
x =-
对称 C.两个函数在区间 ,44ππ??
- ???
上都是单调递增函数
D.可以将函数②的图像向左平移
4
π
个单位得到函数①的图像
11.已知点O 是ABC ?的外接圆圆心, 3,4AB AC ==.若存在非零实数,x y 使得
AO x AB y AC =+且21x y +=,则cos BAC ∠的值为 ( )
A.13
B.
3
D.
23
12.已知函数3211
()32x f x xe ax ax =--有三个极值点,则a 的取值范围是( )
A.()0,e
B.(0, 1e )
C.()e,+∞
D.(1
e
,+∞)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.sin 585?的值为__________.
14.已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-,则数列{}n a 的通项公式是_________. 15.设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当[0,1]x ∈时,()1f x x =+,则
3
()2
f =_______________. 16.若1x 是方程4x xe =的解,2x 是方程ln 4x x =的解,则12x x ?等于_________.
三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)设{}n a 是等差数列,且1ln 2a =,235ln 2a a += (Ⅰ)求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求12n a a a e e e ++,(其中ln (0)N
e
N N =>)
18.(本小题满分12分)在ABC ?中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边
()()3a b c a b c ab +++-=. (Ⅰ)求角C 的值；
(Ⅱ)若2c =,且ABC ?为锐角三角形,求2a b -的范围.
19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,060DAB ∠=,PD ⊥平面ABCD ,1PD AD ==,点E 为PD 中点,点F 为AB 上一点,且//AE 平面PFC .
(Ⅰ)确定点F 的位置,并说明理由； (Ⅱ)求证:CD ⊥平面PDF ； (Ⅲ)求三棱锥P CEF -的体积.
20.(本小题满分12分)如图,曲线C 由上半椭圆22
122:1(0,0)y x C a b y a b
+=>>≥和
部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成,12,C C 的公共点为,A B ,其中1C 的离心率为
3
2
. (Ⅰ)求,a b 的值；
(Ⅱ)过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q (均异于点,A B ),若AP AQ ⊥,求直线l 的方程.
21.(本小题满分12分)已知函数()(1ln )f x x x =+.
(Ⅰ)求)(x f 的图象在点x e =(e 为自然对数的底数)处的切线方程； (Ⅱ)若k Z ∈,且()1)(->x k x f 对任意1x >恒成立,求k 的最大值；
F A
B
C
D
E
P
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.
22.在极坐标系中,O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4cos C ρθ=上,直线l 过点
(0,4)A 且与OM 垂直,垂足为P 。
(Ⅰ)当04
θπ
=
时,求0ρ及l 的极坐标方程 (Ⅱ)当M 在C 上运动且点P 在线段OM 上时,求点P 的轨迹的极坐标方程
23.已知函数()1||2f x x x a -=-+,0a > (Ⅰ)若1a =时,求不等式()1f x >的解集；
(Ⅱ)若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积小于6,求a 的取值范围.
攀枝花市第十五中学校2019-2020(上)高2020届第五次周考
数 学(文史类)
一、 选择题 1-5 ADDAC 6-10 CCBBC 11-12 DC
二、
填空题
13.2-
14.45n a n =- 315.
2
16.4
三、解答题
17.解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d .因为235ln 2a a +=,所以1235ln 2a d +=. 又1ln 2a =,所以ln 2d =.所以1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (Ⅱ)因为1
ln 2
2a e e
==,11ln 22n n n n a a a
a e e e e
---===,所以{}
n a e 是首项为2,公比为2的等
比数列.
所以1
2
11222212
n
n
a a a n e e e +-++?+=?=--.
18.解:(Ⅰ)由题意知()()3a b c a b c ab +++-=,∴222a b c ab +-=,
由余弦定理可知,222cos 1
22
a b c C ab +-==,又∵(0,)C π∈,∴3C π=.
(Ⅱ)由正弦定理可知
,2sin sin sin 3
a b A B
π===,
即
,a A b B ==,
∴2a b A B -=
2sin()3A A π=
-2cos 33A A A =-
-12cos cos )4sin()26
A A A A A π
=
-=-=-, 又∵ABC ?为锐角三角形,∴02
2032A B A πππ
?
<
所以
,0sin()6A π<-<
即04sin(-)6A π<<,综上2a b -
的取值范围为
(0,.
19.(Ⅰ)解:取PC 中点G ,连接EG 、FG
∵点E 为PD 中点, ∴//EG CD 且1
2
EG CD =
∵底面ABCD 是菱形,//AB CD ∴//EG AB 且12
EG AB =
∵//AE 平面PFC ,AE ?平面AEGF ,平面PFC 平面AEGF GF = ∴//AE GF ,从而四边形AEGF 为平行四边形
∴1
2
AF EG AB ==,即点F 为AB 中点
(Ⅱ)证明:∵底面ABCD 是菱形,060DAB ∠=, ∴CD DF ⊥, 又CD PD ⊥,PD DF D =,PD ?平面PDF ,DF ?平面PDF ∴CD ⊥平面PDF . ………………8分
F A B
C
D
E
P G
(Ⅲ)解法一:111332P CEF P CDF E CDF CDF V V V S PE ---?=-=?==
解法二:
11133824
P CEF C PEF
PEF V V S CD --?==?=?=
20.解:(Ⅰ)在1C ,2C 方程中,令0y =,可得b=1,且得(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆1C 的
左右顶点,设1C 的半焦距为c ,由
2
c a =及2221a c b -==,解得2a =,所以2a =,1b =
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,上半椭圆1C 的方程为2
21(0)4
y x y +=≥,易知,直线l 与x 轴不重合也不垂直,设其方程为(1)(0)y k x k =-≠代入1C 的方程中,整理
得:2222(4)240k x k x k +-+-= 设点P 的坐标(,)P P x y ,由韦达定理得
2224P B k x x k +=+,又(1,0)B ,得2244P k x k -=+,从而求得284P k
y k -=+,所以点P 的坐标为
22248(,)44
k k
k k --++. 同理,由2
(1)(0)
1(0)
y k x k y x y =-≠??=-+≤?得点Q 的坐标为2(1,2)k k k ---- 2
2(,4)4
k
AP k k ∴=
+,(1,2)AQ k k =-+AP AQ ⊥,0AP AQ ∴?=,即
2
2
2[4(2)]04
k k k k --+=+ 0k ≠,4(2)0k k ∴-+=,解得8
3
k =-
经检验,83k =-符合题意,故直线l 的方程为8
(1)3
y x =--
21.解:(Ⅰ)因为())ln 1(x x x f +=,所以()2ln f x x '=+,()3f e '=,()e e f 2= 所以)(x f 在点x e =(e 为自然对数的底数)处的切线方程为.03=--e y x
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()ln f x x x x =+,
()1)(->x k x f 对任意1x >恒成立?()1f x k x <-对任意1x >恒成立,即ln 1
x x x
k x +<
-对任意1x >恒成立.令()ln 1x x x g x x +=
-,则()()
2
ln 21x x g x x --'=-, 令()ln 2h x x x =--()1x >,则()11
10x h x x x
-'=-=>,故函数()h x 在()1,+∞上单调递增.
因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->,
所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ,且满足()03,4x ∈. 当01()0x x h x <<<时，,即()0g x '<,当0()0x x h x >>时，,即()0g x '>, 所以函数()ln 1
x x x
g x x +=-在()01,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增. 故()()()()
()000000min
001ln 123,411
x x x x g x g x x x x ++-====∈????--.
所以()()0min 3,4k g x x <=∈????,故整数k 的最大值是3. 22.解(1)当04
θπ
=
时
,004cos ρθ== 以O 为原点,极轴为x 轴建立直角坐标系,在直角坐标系中有
(2,2)M ,(0,4)A ,1OM
k =,则直线l 的斜率1k =-由点斜式可得直线l :4y x =-+,化
成极坐标方程为(sin cos )4ρθθ+=； (2)∵l OM ⊥∴2
OPA π
∠=
,则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆
此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y +-=
化成极坐标方程为1:4sin C ρθ=,又P 在线段OM 上,由4sin 4cos ρθρθ
=??=?可得4π
θ=,
∴P 点轨迹的极坐标方程为1:4sin (0,4C πρθθ??
=∈????
).
23.解:(1)当1a =时,()1f x >,化为:|1|2|1|10x x --+->,①,
当1x ≤-时,①式化为:20x +>,解得:21x -≤＜-, 当11x -<<时,①式化为:320x -->,解得2
13
x -<<-, 当1x ≥时,①式化为:40x -->,无解,
∴()1f x >的解集是2|23x x ?
?-<<-???
?；
(2)由题设可得:21,
()312,112,1x a x a f x x a a x x a x ++<-??=-+--≤≤??--->?
∴函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为:
,(20)1A a --,,()1B a a +-,12,03a C -??
???
,∴21442(1)(1)233ABC a S a a +=??+=+△,
由题设可得:2
2(1)63
a +<,解得:02a <<,故a 的范围是()0,2.