《双曲线》练习题
一、选择题：
1．已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是
y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是 ( A )
2．中心在原点，焦点在
x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为
（ B ）
A ． x 2﹣ y 2=1
B ． x 2﹣y 2=2
C ． x 2﹣ y 2=
D ．x 2﹣y 2=
3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点 P （ 1，1），且其两条渐近线的方程分别为
2x+y=0 和 2x ﹣ y=0，则双曲
线 C 的标准方程为（ B
）
A ．
B ．
C ．或
D ．
x 2
y 2
x 2 y 2
4. 已知椭圆 2a 2 ＋ 2b 2 ＝ 1（a ＞ b ＞0）与双曲线 a 2 － b 2
＝ 1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（
A ）
2
1
6
6
A ． 2
B ． 2
C ． 6
D ． 3
5．已知方程﹣ =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4，则 n 的取值范围是（
A ）
A ．（﹣ 1， 3）
B ．（﹣ 1，）
C ．（ 0， 3）
D ．（ 0，）
6．设双曲线 =1（ 0＜ a ＜ b ）的半焦距为 c ，直线 l 过（ a ， 0）（ 0， b ）两点，已知原点到直线
l 的距离为，则双
曲线的离心率为（ A ）
A ． 2
B ．
C ．
D ．
7．已知双曲线
y 2 x 2 1 的两条渐近线与以椭圆 x 2 y 2
1的左焦点为圆心、半径为
16
的圆相切，则双曲
a
2
9
25
9
5
线的离心率为（
A
）
A ．
5
B ．
5
C ．
4
D ．
6
4
3 3 5
8．双曲线虚轴的一个端点为 M ，两个焦点为 F 1、 F 2，∠ F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为
( B )
9．已知双曲线 x 2
y 2 1(m 0, n 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离是
2，一个顶点到它的一条渐近线的
m
n
距离为
6 ，则 m 等于 ( D )
13
A ． 9 B
． 4
C
． 2 D ．,3
10．已知双曲线的两个焦点为 F 1(－ 10，0)、F 2(
10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足
uuuur uuuur uuuur uuuur
MF 1 gMF 2 0,| MF 1 |g| MF 2 | 2, 则该双曲线的方程是 (
A )
2
2
y 2
y 2
y 2
－ y ＝ 1 B ． x － 9＝1
－ 7＝1
－ 3＝1
2
y 2
3| PF 1| ＝ 4| PF 2| ，则△ PF 1F 2 的面积等于
11．设 F 1，F 2 是双曲线 x － ＝ 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且
24
( C )
A ．4 2
B
． 8 3 C ． 24
D ． 48
12．过双曲线 x 2－y 2＝ 8 的左焦点 F 1 有一条弦 PQ 在左支上，若 | PQ |＝ 7， F 2 是双曲线的右焦点，则△
PF 2Q 的周
长是( C )
A ． 28
B ．14－ 8 2
C ．14＋8 2
D ．8 2
13．已知双曲线﹣ =1（ b ＞0），以原点为圆心， 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于
A ，
B ，
C ，
D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b ，则双曲线的方程为（ D ）
A ．﹣ =1
B ．﹣ =1
C ．﹣ =1
D ．﹣ =1
14．设双曲线﹣ =1（a ＞ 0， b ＞ 0）的左、右焦点分别为
F 1， F 2，以 F 2 为圆心， |F 1F 2| 为半径的圆与双曲线在第
一、二象限内依次交于
A ，
B 两点，若 3|F 1B|=|F 2A| ，则该双曲线的离心率是（
C ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2
15．过双曲线 x 2
y 2 1
的右焦点作直
线
l 交双曲线于 A 、 B 两点，若 |AB|=4 ，则这样的直线共有（
C ）条。
2
A ． 1 B
． 2 C ． 3 D ． 4
16．已知双曲线 C ：﹣ =1（ a ＞ 0， b ＞ 0），以原点为圆心， 顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（
A ．﹣ =1
B ．﹣ =1
C ．﹣ =1
D ．﹣ =1
b 为半径的圆与
C ）
x 轴正半轴的交点恰好是右焦点与右
17．如图， F 1、 F 2 是双曲线 =1（ a ＞ 0， b ＞ 0）的左、右焦点，过 F 1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 B ．若△ ABF 2 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A ．4
B ．
C ．
D ．
18．如图，已知双曲线﹣ =1（a ＞ 0， b ＞ 0）的左右焦点分别为 F 1，F 2，|F 1F 2|=4 ，P 是双曲线右支上的一点，
与 y 轴交于点 A ，△ APF 1 的内切圆在边 PF 1 上的切点为 Q ，若 |PQ|=1 ，则双曲线的离心率是（ B ）
A ．3
B ．2
C ．
D ．
A 、 F 2P
19．已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为 ( B )
A ．
B ．
C ．（ x > 0
）
D ．
20. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点， ，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲
线的离心率分别为，
则取值范围为（
D ）
A.
B.
C.
D.
x 2 y 2 1 ( a b 0)
21. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆a 2
b 2
的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆
的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为
( D )
1
1
3
2
A ．
3
B ．
2
C ．
3
D ．
2
22. 双曲线
x 2
y 2
1(a 0, b
1
作 x 轴的垂线交双曲线于 A ，B 两点，若双曲线右顶点在以 AB
a 2
b 2 0) 过其左焦点 F
为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为 ( A )
A ．（ 2，+∞）
B ．（ 1， 2）
C ．（ 3
， +∞）
D ．（1， 3
）
2
2
23. 已知双曲线的右焦点
F ，直线与其渐近线交于
A ，
B 两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围
是（ D ）
A.
（）
B. （ 1，）
C.
（） D. （ 1，）
5＋ 1 x 2 y 2
24．我们把离心率为
e ＝
2
的双曲线 a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0) 称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线
x2－2y2
＝1是黄金双曲线；5＋ 1
2
②若 b ＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
④若∠ MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是( D)
A．①② B ．①③ C ．①③④ D ．①②③④
二、填空题：
25．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1， e2，e3， e4，其大小关系为__ ___ e 1 2 26．已知双曲线x－3＝1的左顶点为A1，右焦点为F2， P 为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．－ 2 x2y2 27．已知点P是双曲线a2－b2＝ 1 上除顶点外的任意一点，F1、 F2分别为左、右焦点， c 为半焦距，△ PF1F2的内切圆与 1 2切于点，则 | 1 |·| 2 |＝__ ______.2 F F M F M F M b x2y2 28．已知双曲线a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的左、右焦点分别为F1(－ c, 0)、 F2( c, 0)．若双曲线上存在点P，使 sin ∠12a PFF ＝_____ (1 ，2＋ 1) sin ∠PFF c，则该双曲线的离心率的取值范围是 21 29. 已知双曲线x2﹣ =1 的左、右焦点分别为F1、 F2， P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为（﹣2， 3），则|PQ|+|PF 1| 的最小值为． 7 三、解答题： 30．已知曲线： y2 x 2 ＋＝ 1. Cλuuur uuur (1)由曲线 C上任一点 E向 x 轴作垂线，垂足为 F，动点 P 满足FP3EP ，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆 吗请说明理由； (2)2，且过点 (0 ，－ 2) ，直线uuur uuur 9 如果直线l的斜率为l交曲线C于、B两点，又MAgMB M A，求曲线 C 2的方程． 31．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为 . （Ⅰ）求双曲线 C 的方程 （Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且（其中为原点），求k 的取值范围 32.已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0)，实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C的方程； (2)若直线 l ： y＝ kx＋2与双曲线 C左支交于 A、 B两点，求 k 的取值范围； (3) 在 (2)的条件下，线段AB的垂直平分 线l 0 与 y 轴交于M(0， m)，求m的取值范围． 33. 已知椭圆C： +=1（ a＞ b＞0）的离心率为，椭圆 C 与y 轴交于A、 B 两点， |AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知点 P 是椭圆 C 上的动点，且直线 PA ， PB 与直线 x=4 分别交于 M 、 N 两点，是否存在 点 P ，使得以 MN 为直径的圆经过点（ 2， 0）若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由． y 2 30. 已知曲线 C ： λ＋x 2 ＝ 1. uuur uuur (1) 由曲线 C 上任一点 E 向 x 轴作垂线，垂足为 F ，动点 P 满足 FP 3EP ，求点 P 的轨迹． P 的轨迹可能 是圆吗请说明理由； (2) 如果直线 l 的斜率为 2，且过点 (0 ，－ 2) ，直线 l 交曲线 C 于 、 B 两点，又 M A uuur uuur 9 ，求曲线 C 的方程． g MA MB 2 uuur uuur 解： (1) 设 E(x ， y ) ， P(x ， y) ，则 F(x 0,0)，∵ FP 3EP,， x 0 x, ∴(x － x 0， y) ＝ 3(x － x 0， y －y 0) ．∴ y 0 2 y. 3 2 4y 2 4 y 0 2 2 代入 λ＋ x 0 λ＝ 9时，轨迹是圆． ＝ 1 中，得 9λ ＋x ＝ 1 为 P 点的轨迹方程．当 (2) 由题设知直线 l 的方程为 y ＝ 2x － 2，设 A(x 1 1 2 2 ， ， y ) ， B(x ， y ) y 2x 2, 联立方程组 y 2 消去 y 得： ( λ＋ 2)x 2－ 4 2x ＋ 4－λ＝ 0. x2 1. ∵方程组有两解，∴λ＋ 2≠0 且 >0， 1 2 4－λ ∴λ >2 或 λ<0 且 λ≠－ 2， x ·x＝λ＋ 2， uuur uuur ＝ 1 2＋ 1＋ · 2＋ ＝ 1 2＋ 1· 2 ＝ 1 3(4 －λ ) 而MA MB x (y 2)(y 2) 2x 2x 3x x 2 ＝ ， g x x x λ＋ 2 4－λ 3 2 y 2 ∴ λ＋ 2＝－ 2，解得 λ＝－ 14. ∴曲线 C 的方程是 x － 14＝ 1. 31． ( 本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为，右顶点为 . （Ⅰ）求双曲线 C 的方程 （Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且（其中为原点），求 k 的取值范围 解（ 1）设双曲线方程为由已知得，再由，得 故双曲线的方程为 . （ 2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. ① 设，则 ，由得， 而 . 于是，即解此不等式得 由① +②得 故的取值范围为 ② 32.已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0)，实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C的方程； (2)若直线 l ： y＝ kx＋2与双曲线 C左支交于 A、 B两点，求 k 的取值范围； (3)在 (2) 的条件下，线段AB的垂直平分线l 0与 y 轴交于 M(0， m)，求 m的取值范围． x2y2 解： (1) 设双曲线C的方程为a2－b2＝ 1( a>0，b>0) ． 由已知得： a＝3， c＝2，再由 a2＋b2＝ c2，∴ b2＝1， x22 ∴双曲线 C的方程为－ y ＝1. 3 x22 (2)设 A( x A， y A)、 B( x B， y B)，将 y＝ kx＋2代入3－y＝1， 得： (1 － 3k2) x2－ 62kx－ 9＝ 0. 1－3k2≠0， ＝36 1－k2 >0， 由题意知 62k 2<0， 3 x A＋ x B＝ 3k 解得 1－3 A B － 9 2 >0， x x＝ 1－ 3k 3 ∴当3 62k (3)由 (2) 得：x A＋x B＝1－3k2， 22 ∴ y A＋ y B＝( kx A＋2)＋( kx B＋2)＝ k( x A＋ x B)＋2 2＝1－3k2. 32k2 2 . ∴ AB的中点 P 的坐标为1－32，1－3 k k 设直线 l 0 的方程为： y ＝－1＋， k x m 将 P 点坐标代入直线l 0的方程，得 m＝ 42 1－3 2. k 32 2. ∴的取值范围为 ( －∞，－ 2 2) ． ∵<<1，∴－ 2<1－ 3 <0. ∴ <－ 2 3k k m m 33. 已知椭圆C： +=1（ a＞ b＞0）的离心率为，椭圆 C 与 y 轴交于 A、 B 两点， |AB|=2 ．（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知点P 是椭圆 C 上的动点，且直线PA， PB与直线 x=4 分别交于 M、 N两点，是否存在 点P，使得以 MN 为直径的圆经过点（ 2， 0）若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==， 2b=2，即 b=1， 又 a2﹣c2 =1，解得 a=2， c=，即有椭圆的方程为 +y2=1； （Ⅱ）设 P（ m， n），可得 +n2=1，即有 n2=1﹣， 由题意可得A（ 0， 1）， B（ 0，﹣ 1），设 M（ 4， s）， N（ 4， t ），由 P， A， M共线可得， k PA=k MA，即为 =， 可得 s=1+， 由 P， B， N共线可得， k PB=k NB，即为 =，可得 s=﹣ 1． 假设存在点 P，使得以 MN为直径的圆经过点 Q（2， 0）．可 得 QM⊥ QN，即有 ?=﹣ 1，即 st= ﹣ 4． 即有 [1+][﹣1]=﹣4， 22222 化为﹣ 4m=16n ﹣（ 4﹣ m） =16﹣ 4m﹣（ 4﹣m）， 解得 m=0或 8， 由 P， A， B 不重合，以及|m| ＜ 2，可得 P 不存在．
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