第2讲 论圆
题一：如图所示，放在水平转台上的小物体C 、叠放在水平转台上的小物体A 、B 能始终随转台一起以角速度ω匀速转动。A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 和m ，A 与B 、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数均为μ，B 、C 离转台中心的距离分别为r 和32
r 。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，则以下说法中正确的是（ ）
A ．
B 对A 的摩擦力一定为3μmg
B ．
C 与转台间的摩擦力等于A 、B 两物体间摩擦力的一半
C ．转台的角速度一定满足ω≤
23g
r μ D ．转台的角速度一定满足ω≤g
r
μ
题二：如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r ，R B ＝2r ，与圆盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）
A ．此时绳子张力为3μmg
B ．此时圆盘的角速度为
2μg
r
C ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动
题三：一行星与地球运动情况相似，此行星运动一昼夜的时间为a 秒。用同一弹簧测力计测某物体重力，在赤道处的读数是两极处的b 倍（b 小于1），万有引力常量为G ，则此行星的平均密度为（ ）
A ．230Ga b π
B ．223Ga b π
C ．2230(1)Ga b π-
D ．23(1)Ga b π-
题四：一宇航员在某一行星的极地着陆时，发现自己在当地的重力是在地球上重力的
0.01。进一步研究还发现，该行星一昼夜的时间与地球一昼夜的时间相等，而且物体在其赤道上好像完全失去了重力，试计算这一行星的半径R （结果保留两位有效数字）。 题五：将一可视为质点的物体b 放在粗糙的水平桌面上，用一质量可忽略不计的轻绳穿过摩擦可忽略的小孔O 与一可视为质点的小球a 连接。第一次给小球a 一定的初速度使其在水平面内做匀速圆周运动，第二次改变小球a 的速度，使其在水平面内做圆周运动的轨道半径增大，整个过程中物体b 始终处于静止状态。则（ ）
A．第二次轻绳的拉力比第一次小
B．第二次小球a的角速度比第一次小
C．第二次物体b的摩擦力比第一次大
D．第二次物体b所受的支持力比第一次大
题六：用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示。设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为F T，则F T随ω2变化的图像是下图中的（）
题七：如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O 点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2。则（）
A．v1＝v2，t1＞t2B．v1
C．v1＝v2，t1 题八：如图，在竖直平面内有一内壁光滑的抛物线形圆管道OM，管道内径均匀，上方端点O 切线水平。直径与管道内径相等的小球从O点无初速度滑入管道，则（） A．小球在管道内做平抛运动 B．小球在管道内运动时可能不受管道的弹力作用 C．小球在P点受到管道的弹力垂直管壁且沿图中a方向 D．小球在P点受到管道的弹力垂直管壁且沿图中b方向 题九：如图所示，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水 平。一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小。用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功。则（ ） A ．W ＝1 2mgR ，质点恰好可以到达Q 点 B ．W ＞1 2mgR ，质点不能到达Q 点 C ．W ＝1 2mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离 D ．W ＜1 2 mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离 题十：如图所示，小球从离地高为H 的位置A 由静止释放，从C 点切入半圆轨道后最多能上升到离地面高为h 的B 位置。再由B 位置下落，再经轨道由C 点滑出上升到离地高为h'的位置，速度减为零，不计空气阻力，则（ ） A ．(H －h )>(h －h ') B ．(H －h )<(h －h ') C ．(H －h )＝(h －h ') D ．不能确定(H －h )与(h －h ')的大小关系 题十一：如图所示，一质量m ＝1.0 kg 的小滑块（可视为质点）从水平地面AB 的左侧A 点以v 0＝12 m/s 的初速度水平向右运动，从B 点进入光滑竖直圆形轨道运动一周后，离开圆形轨道继续沿水平地面BD 向右运动，经D 点冲向一倾角θ＝37°的斜面，斜面上固定有与斜面平行的轻质弹簧。当小滑块运动至E 点时，弹簧被压缩至最短，此时弹簧弹性势能E p ＝38.8 J 。已知AB 长L 、BD 长L 1均为11.5 m ，圆轨道半径R ＝2.0 m ，小滑块与水平地面和斜面轨道间的动摩擦因数均为μ＝0.10，不考虑小滑块过D 处时的机械能损失。取重力 加速度大小g ＝10 m/s 2 ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： （1）小滑块经过B 点时的速度大小v B ； （2）小滑块经过圆形轨道最高点C 时受到轨道向下的作用力大小F ； （3）小滑块沿斜面上滑的最大距离s DE 。 题十二：如图是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径R ＝2 m ，入口的平直轨道AC 和 出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量m＝2 kg的小车与水平轨道之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，加速阶段AB的长度l＝3 m，小车从A点由静止开始受到水平拉力F＝60 N的作用，在B点撤去拉力，取g＝10 m/s2，试问： （1）要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在C点的速度为多大？ （2）满足（1）的条件下，小车能沿着出口平直轨道CD滑行多远的距离？ （3）要使小车不脱离轨道，求平直轨道BC段的长度范围。 论圆 题一：BC 详解：对物体A 受力分析可知，物体A 受重力、支持力及物体B 对A 的静摩擦力。其中静摩 擦力提供物体A 随转台一起做匀速圆周运动的向心力，故有F fA ＝3mω2 r ≤3μmg ，选项A 错误；由于物体C 与物体A 、B 转动的角速度相同，故物体C 与转台之间的静摩擦力大小为F fC ＝ 32mω2r ＝1 2 F fA ，选项B 正确；欲使物体A 、B 、C 始终能随转台一起转动，则对物体A 、B 有（3m ＋2m ）ω2r ≤μ（3m ＋2m ）g ，即ω2r ≤μg ；对物体C 有32mω2r ≤μmg ，即ω2 r ≤23 μg ； 对物体A 有：3mω2r ≤3μmg ，即ω2 r ≤μg ；以上各式联立求解可得：ω ，选项C 正确、D 错误。 题二：ABC 详解：两物体刚好要发生滑动时，A 受背离圆心的静摩擦力，B 受指向圆心的静摩擦力，其 大小均为μmg ，则有F T －μmg ＝mω2 r ，F T ＋μmg ＝mω2·2r ，解得F T ＝3μmg ，ω＝2μg r ， 故A 、B 、C 正确；当烧断绳子时，A 所需向心力为F ＝mω2 r ＝2μmg ＞F f m ，F f m ＝μmg ，所以A 将发生滑动，D 错误。 题三：D 详解：在赤道处有：21224Mm G G m r r a π=+，在两极有：22Mm G G r =，已知12G b G =，M V ρ=， 34 3 V r π=，联立可得密度为2 3(1)Ga b π-。故D 正确。综上本题选D 。 题四：1.9×107 m 详解：设行星的半径为R ，以角速度ω自转，由宇航员在极地的受力分析知，行星对物体m 的引力满足F 引＝mg'＝0.01mg ，即有g'＝0.01g （g 为地球上的重力加速度）。当该物体位 于赤道上时，有mω2 R ＝mg'－F N ，F N 为行星表面对物体的支持力，依题意有F N ＝0。考虑到 ω＝2T π，有T ＝24×3600 s＝8.64×104 s 。得R ＝224T πg'＝1.9×107 m 。 题五：C 详解：对小球a 受力分析如图所示，则拉力T ＝cos mg θ ，当轨道越高时，θ越大，cos θ越 小，T 越大，A 错误；设绳长为l ，由合力F ＝mg tan θ＝ml sin θ·2 24T π知，周期T ＝ θ越大，周期T 越小，角速度越大，B 错误；物体b 所受摩擦力等于绳子的拉力，因θ变大时拉力变大，故摩擦力也变大，C 正确；物体b 在竖直方向上对桌面的压力等于重力，D 错误。 题六：C 详解：小球角速度ω较小，未离开锥面时，设细线的张力为F T ，细线的长度为L ，锥面对 小球的支持力为F N ，则有F T cos θ＋F N sin θ＝mg ，F T sin θ－F N cos θ＝mω2 L sin θ，可 得出：F T ＝mg cos θ＋mω2L sin 2θ，可见随ω由0开始增加，F T 由mg cos θ开始随ω2 线 性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，F T ·sin α＝mω2 L sin α（α为细线与竖直方 向的夹角），得F T ＝mω2L ，可见F T 随ω2 的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，且该图线经过（0，0）点，综上所述，只有C 正确。 题七：A 详解：由于椭圆形管道内壁光滑，小球不受摩擦力作用，因此小球从M 到N 过程机械能守恒，由于M 、N 在同一高度，根据机械能守恒定律可知，小球在M 、N 点的速率相等，B 、D 项错误；小球沿MPN 运动的过程中，速率先减小后增大，而沿MQN 运动的过程中，速率先增大后减小，两个过程运动的路程相等，到N 点速率都为v 0，根据速率随时间变化关系图象可知，由于两图象与时间轴所围面积相等，因此t 1>t 2，A 项正确，C 项错误。 题八：D 详解：由题意，小球从O 点无初速度滑入管道，而平抛运动的物体仅受重力且有一定的初速度，选项A 错误；小球在运动过程中，水平方向的速度逐渐增大，需要下管壁对它有力的作用，因而除了受到重力，还受到管道的弹力，垂直管壁且沿图中b 方向，选项BC 错误、D 正确。综上本题选D 。 题九：C 详解：根据动能定理得P 点动能E k P ＝mgR ，经过N 点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得 4mg －mg ＝m v 2R ，所以N 点动能为E k N ＝3mgR 2 ，从P 点到N 点，根据动能定理可得mgR －W ＝E k N －E k P ，即克服摩擦力做功W ＝1 2 mgR 。质点运动过程中，半径方向的合力提供向心力，设半径 与竖直方向的夹角为θ，则F N －mg cos θ＝ma ＝m v 2 R ，根据左右对称，在同一高度处，由于摩 擦力做功导致在右边圆形轨道中的速度变小，轨道弹力变小，滑动摩擦力F f ＝μF N 变小，所以摩擦力做功变小，即W ＞W ′。那么从N 到Q ，根据动能定理－mgR －W ′＝E k Q －E k N ，Q 点 动能E k Q ＝3mgR 2－mgR －W ′＝1 2mgR －W ′＞0，所以Q 点速度仍然没有减小到0，会继续向上运 动一段距离，选项C 正确。 题十：A 详解：小球从A 经C 运动到B 的过程中，设在半圆形轨道克服摩擦力做的功为W f 1，由动能定理有mg (H －h ) －W f 1＝ΔE k ＝0，小球从B 经C 运动到h '高度处的过程中，设在半圆形轨道克服摩擦力做的功为W f 2，由动能定理有mg (h －h ') －W f 2＝ΔE k ＝0，而返回过程中，对于 同一个位置，速率小于原来的速率，压力变小，摩擦力变小，W f 1>W f 2，得(H －h )>(h －h ')，则选项A 正确。 题十一：（1）11 m/s （2）10.5 N （3）1.5 m 详解：（1）从A 点到B 点的过程，由动能定理有－μmgL ＝22 01 122 B mv mv -，得v B ＝11 m/s （2）从B 点到 C 点的过程，由机械能守恒定律有22 11222 B C mv mv mgR = + 在最高点C ，由牛顿第二定律有F ＋mg ＝m 2C v R ，得F ＝10.5 N （3）小球从A 点到E 点的过程，由动能定理有 －μmg （L 1＋L ）－μmg cos θ·s DE －mgs DE sin θ＋W ＝0－2 012 mv 其中W ＝－E p ，得s DE ＝1.5 m 。 题十二：（1）10 m/s （2）10 m （3）x BC ≤5 m 或x BC ≥11 m 详解：（1）设小车恰好通过最高点的速度为v 0，则有mg ＝mv 20 R 由C 点到最高点满足机械能守恒定律，有12mv 2C ＝mg ·2R ＋12 mv 2 0，解得v C ＝10 m/s （2）小车由最高点滑下到最终停在轨道CD 上， 由动能定理有mg ·2R －μmgx CD ＝0－12 mv 2 0，联立解得x CD ＝10 m （3）小车经过C 点的速度v C ≥10 m/s 就能做完整的圆周运动。 小车由A 到C 由动能定理得Fl －μmg （l ＋x BC ）＝12 mv 2 C ，解得x BC ≤5 m 另一种情况是小车进入圆轨道时，上升的高度h ≤R ＝2 m 时，小车返回而不会脱离轨道， 由动能定理有Fl －μmg （l ＋x BC ）－mgR ＝0，解得x BC ≥11 m 综上可得，x BC ≤5 m 或者x BC ≥11 m 时，小车不脱离轨道。
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