一．向量的概念与性质
一．知识点
1．与向量概念有关的问题
⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“＞”错了，而|a |＞|b |才有意义.
⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.
⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.
⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（,）,其中x 、y 满足 +2
x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.
⑸零向量的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.
⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 2．与向量运算有关的问题
⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.(平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首尾相连)
①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋||；
②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，
且=+||||||+； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同 ，且|b a +|=|a |-|b |； 若||＜||时,+与 方向相同，且|＋|=||-||.
⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.（三角形法则：起点相同，减向量重点指向被减向量的终点）
⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.
如，+AB +BC 0=CA ,（在△ABC 中）
+++=.(□ABCD 中)
⑷判定两向量共线的注意事项
如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ.
这里在“反之”中，没有指出是非零向量，其原因为=0时，与λ的方向规定为平行.
（4）向量的数乘运算的定义：
数乘运算模的大小为：
α
λλ=?
（6）数量积的8个重要性质（θcos b a b a ?=?
）
①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.
②设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，则
)1|.(cos ||==?=?e a θ
③?⊥0=?（∵θ=90°，)0cos =θ
④在实数运算中ab =0a ?=0或b=0.而在向量运算中?=?=或=是错误的，故=或=是?=0的充分而不必要条件.
⑤当与同向时?=||||?(θ=0,cos θ=1);
当与反向时，?=-||||?(θ=π,cos θ=-1)，即∥的另一个充要条件是
|||||b a ?=?.
特殊情况有2
=?=2
|a .
0, 0, 00.
a a a a a λλλλλλ><==
（5）
当与的方向相同；
当的方向与的方向相反； 当，
或|a
=22y x +.
如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则
||a =221221)()(y y x x -+-
⑥||||b a ?≤?。（因1cos ≤θ） ⑦数量积不适合乘法结合律.
如).()(c b a c b a ??≠??（因为c b a ??)(与c 共线，而)(c b a ??与a 共线） ⑧数量积的消去律不成立.
若a 、b 、c 是非零向量且c b c a ?=?并不能得到b a =这是因为向量不能作除数，c
是无意义的.
二．课堂训练
1．下列各式计算正确的有
（ ）
(1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b
(3)a －2b +a +2b =2a (4)若a =m +n ,b =4m +4n ,则a ∥b A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．化简)]24()82(2
1
[31--+的结果是
（ ）
A ．b a -2
B ．a b -2
C ．a b -
D ．b a -
3．下列各式叙述不正确的是 （ ）
A ．若a ≠λb ,则a 、b 不共线(λ∈R )
B ．b =3a (a 为非零向量),则a 、b 共线
C ．若m =3a +4b ,n =
2
3
a +2
b ,则m ∥n D ．若a +b +
c =0,则a +b =-c
4．对于菱形ABCD ，给出下列各式：
①BC AB =
②||||BC AB =
③||||+=- ④||4||||22=+ 2
其中正确的个数为 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是
（ ）
A ．||||||b a b a -=-
B ．||||b a b a -=+
C ．||||||-=+
D ．||||||+=+
6．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则
（ ）
A ．A
B 与A
C 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．A
D 与A
E 相等 D ．AD 与BD 相等 7．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3
B ．－3
C ．0
D ．2
8．已知正方形ABCD 的边长为1, =a , BC =b , AC =c ,则|a +b +c |等于
（ ）
A ．0
B ．3
C ．2
D ．22
9. 已知、是非零向量且满足⊥-⊥-)2(,)2(，则与的夹角是 （ ）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
3
2π D ．65π
10.若非零向量,互相垂直，则下列各式中一定成立的是
（ ）
A ．b a b a -=+
B ．||||b a b a -=+
C ．0))((=-+
D ．0)(2=-b a
11．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量－+的模的长._____________________。 12．已知b a b a ,,3||,4||==的夹角为120°，且b a c 2+=，b k a d +=2，当a c ⊥时， k= .
二．向量的坐标形式
一．知识点
若1122(,),(,)a x y b x y ==
则a b +=
特别地：
a b -= 若//a b
，则 a λ = 若a b ⊥
，则 a b ?=
a
=
cos θ=
1122(,),(,),A x y B x y AB =
二．课堂训练
1. 已知(2,3),(,),(1,4),AB BC x y CD DA ===-=
则 2. 设(1,3)(8,1),(21,2)A B C a a AB a ---+=和若点在直线上，则
3. 设点(2,3),(5,4),(7,10),()A B C P AP AB AC R λλ=+∈
点满足
（1）当λ= 时，点P 在第一、三象限角平分线上； （2）当λ∈ 时，点P 在第四象限.
4. 已知向量(1,1),(1a b a b ==
则向量与的夹角为
5. 设向量(,3),(2,1),a x b a b ==-
与与的夹角为钝角，则x 的取值范围为 6. 已知向量(3,1),(1,2),(2)(),a b a b a kb k =-=--+⊥+
若则实数= 7.已知向量(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-
，根据下列情形求x ：
（1）若//u v _________________________（2）若u v ⊥
._________________________
8.已知向量(1,2),(,1),22a b x a b a b x ==+-
若与平行，则=
9.设向量(3,4),//,1,a b b a b b =-=
向量满足则=
10.在(1,2),(2,1)ABC AB AC ?=-=
中，已知，则ABC ?的面积为
11.平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-=
（1） 求32a b c +-
；
（2） 求满足a mb nc =+
的实数,m n ；
（3） 若()()
//2a kc b a k +-
，求实数；
（4） 设()()
(,)//1,.d x y d c a b d c d =-+-=
满足且求
12.设向量121212,43,(1,0),(0,1).a e e b e e e e =-=+==
其中
（1） 试计算a b a b ?+
及的值；
（2） 求向量a b
与夹角的大小.
单元测试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1、若向量方程23(2)0x x a --= ，则向量x
等于
A 、65
a
B 、6a -
C 、6a
D 、65
a -
2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的
位移向量分别为a 和b
，那么下列命题中错误的一个是 A 、a 与b
为平行向量 B 、a 与b
为模相等的向量
C 、a 与b
为共线向量
D 、a 与b
为相等的向量
3、AB BC AD +-=
A 、AD
B 、CD
C 、DB
D 、DC
4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =- ，(4,6)b =
B 、(1,2)a =- ，(7,14)b =
C 、(2,3)a = ，(3,2)b =
D 、(3,2)a =- ，(6,4)b =-
5、若P 分AB 所成的比为4
3
，则A 分BP 所成的比为
A 、7
3
-
B 、3
7
-
C 、
7
3
D 、
3
7 6、已知(6,0)a = ，(5,5)b =- ，则a 与b
的夹角为
A 、045
B 、060
C 、0135
D 、0120
7、已知i ，j
都是单位向量，则下列结论正确的是
A 、1i j ?=
B 、22
i j =
C 、i ∥j i j ?=
D 、0i j ?=
8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a = ，AD b =
，
BC c = ，则DC =
A 、a b c -+
B 、()b a c -+
C 、a b c ++
D 、b a c -+
9、),4,3(),1,2(==b a
则向量a 在向量b 方向上的投影为
A 、52
B 、2
C 、5
D 、10
10、在ABC ?中，3=b ，33=c ，030=B ，则=a
A 、6
B 、3
C 、6或3
D 、6或4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11、已知)2,3(-M ，)0,1(-N ，则线段MN 的中点P 的坐标是________。 12、设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，下列向量组： （1）AD 与AB ；（2）DA 与BC
；（3）CA 与DC ；（4）OD 与OB ， 其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的向量组 可以是________________。
13、已知)8,7(A ，)5,3(B ，则向量AB
方向上的单位向量坐标是________。 14、在A B C ?中，8=AC ，5=BC ，面积310=?ABC S ，则B C C A ?
=________。
C
B A D
三、解答题：（本大题共3小题，共44分）
15、已知3a = ，
(1b =- ，（1）若a b ⊥ ，求a ；（2）若a ∥b ，求a
。
16、已知3a = ，4b = ，a 与b 的夹角为4
3π，求(3)(2)a b a b -?+ 。
17、已知：(cos ,sin ).(cos ,sin )a b ααββ==
求证：a b 与互相垂直.
参考答案
一、选择题：CDDDB CBABC
二、填空题：11、（1，-1） 12、（1）、（3） 13、)53
,54(-- 14、20±
三、解答题
15、（1）3)2a = 或3()2a =- （2）3(,2a = 或3(2a =-
16、22437-- 17. 证明：由已知条件得：
a +
b =(cos α+cos β，sin α+sin β)
a －
b =(cos α－cos β，sin α－sin β)
∴(a +b )·(a －b )=(cos α+cos β)(cos α－cos β)+(sin α+sin β)(sin α－sin β)=cos 2α－cos 2β+sin 2α－sin 2β=1－1=0
∴(a +b )⊥(a －b ).
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
向量的概念及表示 主备人：陈广军 【学习目标】 1. 了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。 2. 通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。 3. 体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。 【明标自学】 一、情景活动 活动1 南辕北辙：战国时，有个北方人要到南方的楚国去他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果 原因 . 活动2 老鼠由A 向东北逃窜，猫在B 处向东追去。猫能否追到老鼠？ ◆结论：猫 追上老鼠。猫的速度再快也没用，因为 错了。 活动3 请同学们到我家来做客! 如果要找一个物理量来刻画从学校到老师家的位置变化，应该用哪个量，位移还是路程，这两个物理量的区别在哪？ 二、数学建构（阅读教材第59、60页，完成表格） 名称 定义 备注 向量 既有______又有______的量；向量的大小 叫做向量的______(或称______) 平面向量是自由向量 零向量 长度为______的向量；其方向是任意的 记作______ 单位向量 长度等于________的向量 与非零向量a r 共线的单位向量为a a ±r r 平行（共线）向量 方向 或 的非零向量 0r 与任一向量 或共线 相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度______且方向____的向量 0r 的相反向量为 039
判断： 1.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量. 2.坐标平面上的x 轴和y 轴是向量. 【自学检测】 判断： 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合吗？ 2、向量AB u u u r 与CD uuu r 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上吗？ 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？ 4、若四边形ABCD 是平行四边形，则有=吗? 5、已知b a ρρ,为不共线的非零向量，且存在向量c ρ ，使得//,//，则=c . 6、与非零向量平行的向量中，不相等的单位向量有 个. 【典型例题】 例1 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与,,相等的向量. O C
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
向量的概念及运算知识点与例题讲解 【基础知识回顾】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度） ，记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0。由于0的方向 是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向 量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?21 21y y x x 。 2．向量的运算 （1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。 规定： （1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 A B C a b
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
向量的概念及表示 执教:张亮点评:孔凡海 【教学目标】 一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景； 二、理解平面向量和向量相等的概念； 三、掌握向量的几何表示； 四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。 【重点难点】 重点：向量的概念和向量的几何表示； 难点：向量概念的理解 【点评】 知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。 【教学过程】 一、设置情境 情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？ 合作探究看下面哪些量是与众不同的： （1）线段的长度（2）物体的质量 （3）物体的体积（4）物体所受重力 （前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）
【点评】 根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动，感知数学，进行意义建构。 物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。 二、探索研究 问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？ 1．向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量。 师：你还能举出一些向量的例子吗？ 师：在这一概念中你认为关键词有哪些？ 板书向量的二要素大小和方向 师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？ 2．向量的表示方法 ①几何表示法——向量常用有向线段表示 师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？ 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 以A为起点、B为终点的向量记为：。大小记为：││ 板书有向线段的三要素起点、终点、长度。 ②字母表示法：可表示为 练习1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？ 2．向量和同一个向量吗？为什么？ 师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗？向量是有向线段吗？ 【点评】
平面向量的概念及线性运算知识点： 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 选择题： 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( ) A．①B．③C．①③D．①② 解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误． →；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM －CD→，其中结果为零向量的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4 解析由题知结果为零向量的是①④，故选B. 设a0为单位向量，①若a为平面的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A．a0＝b0B．a0·b0＝1 C．|a0|＋|b0|＝2 D．|a0＋b0|＝2 解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小． 设a、b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 解析对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，∴a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|
篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计
平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题： 1．下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO 、OB 、CO 、OD 是（ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（ ） A ．||||a b =a b ?= B ．||||a b >a b ?> C ．a b a =?与b 共线 D ．||00a a =?= 4．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B ．模为0的向量与任一非零向量平行 C ．向量就是有向线段 D ．若||||a b =，则a b = 5．下列各说法中，其中错误的个数为（ ） （1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量；（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF 共线的向量有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题： 7．在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 ． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO 相等的向量有 ； （2）与AO 共线的向量有 ； （3）与AO 模相等的向量有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等答： ． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO a =，OB b =，AB c =，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． O A B C D E F
向量的概念及其线性运算 This manuscript was revised on November 28, 2020
平面向量的概念及其线性运算 数学：安送杰 一、教学目标： 1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法； 2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法； 3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。 二、重点与难点： 三、教学设计： 1、知识点回顾： （1）、向量的概念及表示；
（2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模； ②、零向量； ③、单位向量； ④、平行向量（共线向量）； ⑤、相等向量和相反向量； ⑥、一个规定； （3）、向量的线性运算： ①、向量的加法运算； ②、向量的减法运算； ③、向量的数乘运算； 2、复习知识，练习巩固： （1）、向量的概念及表示： ①、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。 ◎与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。 ②、向量的表示方法： A 、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度； B 、字母表示法：手写使用→AB 或 → →→c b a ,,，印刷使用黑体小写字母。 （2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模：向量→AB 的模（或长度），就是向量→ AB 的大小，记作： → AB ，向量的模可以比较大小；
②、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作： 0，其方向是任意的； ③、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量； ④、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量； ⑤、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量； ⑥、一个规定：零向量与任一向量平行； 习题一： 1、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若两向量|a|＝|b|，则a＝b； ③若向量AB=DC,则A、B、C、D构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有向量AB=DC； ⑤若向量m=n，n=p，则m=p； ⑥若向量a//b，b//c，则a//c； 其中错误的命题为：（①②③⑥） 解析：对①而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定； 对②而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样； 对③而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行； 对⑥而言，若向量b为零向量，则不成立； 2、设a为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3）
平面向量的实际背景及基本概念 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。 数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向 （2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 ②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。 ③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母： AB ； 7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念： 长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。 9.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量 A(起点) B （终点） a
长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。 （2）共线向量是可以相互平行的。 例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？ 解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。 （2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量 （5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。 例2.下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. B A O D E F
向量的概念及表示》说课稿 一、教材分析 教材的地位和作用向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数与几何的工具，有着广泛的应用。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。而这又必须建立在学生透彻理解向量的基本概念的基础之上。所以“向量的概念及表示”作为向量的起始课，是学好向量，并学会用向量解决实际问题的基础。 根据以上分析，确立本节课的教学重点是：向量的概念和向量的几何表示，教学难点是：向量概念的理解。 二、教学目标分析根据江苏省普通高中数学课程标准教学要求以及本节内容的地位和作用，结合学生的认知特点确定教学目标如下： 知识与技能：1.理解向量基本概念及表示方法。其中包括向量的定义及表示、两个特 殊向量及向量间的相互关系。 2.尝试模仿提出问题、解决问题。即能够在初步应用基础之上，自己模仿 性地提出具有思考价值的问题，并所学知识解决。 过程与方法：引领学生自主学习、合作探究 情感态度与价值观： 1.培养从特殊到一般，再从一般到特殊的认知规律 2.培养勤思考、勇探究、善合作的数学精神 三、学情分析 学生在物理中已经接触过如位移、速度、加速度等向量，虽没形成概念，但已基本掌握了这些量的特点。同时，学生也具备了一定的学习能力，多数学生能够在老师的引领下，自主学习，勇于探究。但在探究问题、合作交流等方面发展不够均衡，尚有待加强。 四、教学法分析 丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在教学中，应根据高中数学课程的理念和目标，学生的认知特征和数学的特点，积极探索适合学生数学学习的教学方式。本节课作为概念新授课，应遵循概念学习的基本步骤，以问题引领学生自主学习，体验从特殊到一般的认识规律，得出概念，深化概念，并应用它去讨论、研究和解决问题。在生生合作，师生互动中解决问题，学会获取知识的途径，思考问题的方法，为发展学生搜集处理信息的能力、独立获取新知识的能力和分析与解决问题的能力打下了基础。同时利用多媒体的辅助教学，节省了教学时间，增大了信息量，增强了直观形象性，同时营造了生动活泼的课堂教学氛围，促进了课堂学习效率的提高。 五、教学过程分析
平面向量基本概念 一．考试内容： 向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移. 二．考试要求： (1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式. 【注意】向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的基础，同时也为物理学提供了工具，这部分内容与实际结合比较密切.在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用. 三．基础知识: 1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a（交换律）; (2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）; (3)（a+b）·c= a·c +b·c. 切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律， 3.平面向量基本定理 如果e 1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有 一对实数λ 1、λ 2 ，使得a=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 ．不共线的向量e 1 、e 2 叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底．
辅导讲义――平面向量的概念及其线性运算
加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： a ＋ b ＝b ＋a . （2）结合律： (a ＋b )＋ c ＝a ＋(b ＋c ). 减法 求a 与b 的相反向量－b 的 和的运算叫做a 与b 的差 三角形法则 a － b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 （1）|λa |＝|λ||a |； （2）当λ>0时， λa 的方向与a 的方向相同； 当λ<0时， λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0 λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb [例1] 若OB OA OC =-23，则AB AC ____=.3 1 [巩固] 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15e BC =，23e DC =，则.________=OC )35(2 1 21e e + [例2] 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则._______=-DB AF BE [巩固1] 设M 是△ABC 的重心，记a BC =，b CA =，c AB =，且0=++c b a ，则._______=AM )(3 1 b c - [巩固2] 已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、CD ，则._______)(2 1 =++ BC BD AB AG [例3] 如图，向量a AB =，，b AC =，c CD =，则向量，BD 可以表示为_____________. c a b +- 精典例题透析
“平面向量的概念及表示”的教学设计 一、教学内容解析 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。以位移、力等物理量为背景，抽象出既有大小又有方向的量---向量，然后介绍了向量的几何表示，向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、相等向量与共线向量。 二、教学目标设置 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 三、学生学情分析 这个班的学生是高一的，刚刚学完必修一的第一章的内容。 四、教学策略分析 利用已学的集合知识，构建学习新概念的学习体系。借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念
五、教学过程 （一）温故而知新，主要从集合的学习体系来认知学习一个新知识的研究体系，即：定义一表示一特殊元素一特殊关系一运算。 (二)问题情镜引入，从位移等物理量引入既有大小又有方向的量并加以抽象。 问题1：在平面上，如何用点A的位置来确定点B的位置关系？ 问题2：你能不能举出其他的既有大小又有方向的量？ 问题3：你能不能举出只有大小没有方向的量？ (三)新课学习 1、向量的定义：既有大小又有方向的量为向量。 2、向量的表示（1）几何表示：用一个很经典的受力分析图，学生很容易想到用有向线段来表示向量。长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 (2)符号表示：①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）； ②用小写字母表示：a、b、c ；（印刷用a，书写时应加上箭头）（此处向学生介绍数学家们有符号表示向量的过程，让学生对数学史有一定的了解，符号化的过程也不是一蹴而就的） 3、向量的有关概念： （1）大小：
课题：向量的概念及表示 教学目的： 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示； 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量； 3.了解平行向量的概念. 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点：向量概念的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示等 本节从台湾与大陆直航问题中的距离和方向两个要素出发，以及金钱豹与小狗的追逐问题。抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念 在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量 教学过程： 一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 例如：从台湾与大陆直航问题中的距离和方向，以及金钱豹与小狗的追逐问题，方向不同效果不同。抽象出向量的概念，向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；
第二章 平面向量 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 班级___________姓名____________学号____________得分____________ 一、选择题 1．下列物理量中，不能称为向量的是 （ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力 2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r 、、、是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是 （ ） A ．|a | = |b |?a = b B ．|a |> |b |?a > b C ．a = b ?a 与b 共线 D ．|a | = 0?a = 0 4．在下列说法中，正确的是 （ ） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同; B ．模为0的向量与任一非零向量平行; C ．向量就是有向线段; D ．若|a |=|b |，则a =b 5．下列各说法中，其中错误的个数为 （ ） （1）向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r 的长度相等;（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 *6．△ABC 中，D 、 E 、 F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF u u u r 共线的向量有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个 二、填空题 7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________． 8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中， （1）与AO u u u r 相等的向量有_________________________； （2）与AO u u u r 共线的向量有_________________________； （3）与AO u u u r 模相等的向量有_______________________； （4）向量AO u u u r 与CO u u u r 是否相等？答：_______________． 9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO =u u u r a ，OB =u u u r b ，AB =u u u r c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中： （1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有 ． *10．下列说法中正确是_______________（写序号） （1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反； （2）若AB u u u r 与CD u u u r 共线，则点A 、B 、C 、D 共线； （3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB u u u r =CD u u u r ； （4）若a = b ，b = c ，则a = c ； （5）四边形ABCD 中，AB DC =u u u r u u u r 且||||AB AD =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 为正方形； （6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的； 三、解答题 11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？ O A B C D E F