1) 在三角形ABC中，已知a^2-a=2(b+c),a+2b=2c-3，求三角形ABC的最大角的弧度数
思路：先证c＞a,c＞b,说明求角C即可
依题意可得c=(a^2+3)/4,b=(a^2-2a-3)/4
再由余弦定理得cosC=（a^2+b^2-c^2)/(2ab),将b、c代入后化简可得cosC =-1/2，即得角C=120度
2) 角ABC的三边为a.b.c,并适合
a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2,试问此三角形为种特殊三角形。
原式2a^4+2b^4+2c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 (同时乘以2)
2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=0 (移项)
(a^4-2a^2b^2+b^4)+(a^4-2a^2c^2+c^4)+(b^4-2b^2c^2+c^4)=0 (分组)
(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(a^2-c^2)^2=0
因为一个数的平方为非负数
所以a^2-b^2=0 b^2-c^2=0 c^2-a^2=0
即a-b=0 b-c=0 c-a=0
所以此三角形为等边三角形
3）在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且
3sin^2B+3sin^2C-2sinBsinC=3sin^2A,a
因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（正弦定理）
所以3Sin^2B+3Sin^2C-2SinBSinc=3Sin^2A==>3b^2+3c^2-2bc=3a^2
又因为（b^2+c^2-a^2）/2bc=cosA（余弦定理）
所以3b^2+3c^2-2bc=3a^2==>3（b^2+c^2-a^2）/2bc=2bc/2bc=1==>cosA=1/3 向量AB·向量AC=bc*cosA=(1/3)bc
cosA=1/3=(b^2+c^2-3)/2bc==>b^2+c^2=(2bc+9)/3
又因为b^2+c^2>=2bc（基本不等式）
所以b^2+c^2=(2bc+9)/3>=2bc。解得bc<=9/4
综上，向量AB·向量AC<=3/4
因此最大值为3/4
4）在三角形ABC中abc是角A.B.C所对的边,且满足2a2+2c2-2b2=ac
求角B的大小在三角形ABC中
解：cosB＝（a2+c2-b2）/2ac＝1/4.∠B≈75°31′21〃
5) 三角形ABC中,a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2则三角形ABC 是什么三角形~~
答：等边
a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2
2（a^4+b^4+c^4）=2（a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2）
a^4+b^4-2a^2b^2+a^4+c^4-2a^2c^2+b^4+c^4-2b^2c^2=0
(a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^2=0
a^2=b^2,a^2=c^2,b^2=c^2
a=b=c
6）已知三角形的边为a,b,c，判断
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2的值。
解：它的值小于0，理由如下：
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2
=(a^4-2a^2b^2+b^4)-2a^2c^2+2b^2c^2+c^4-4b^2c^2
=(a^2-b^2)^2-2c^2*(a^2-b^2)+c^4-4b^2c^2
=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2
=(a^2-b^2-c^2+2bc)(a^2-b^2-c^2-2bc)
=[a^2-(b^2-2bc+c^2)][a^2-(b^2＋2bc＋c^2)]
=[a^2-(b－c)^2][a^2-(b＋c)^2]
=(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)
可知：a+b-c>0，a-b+c>0，a+b+c>0，a-b-c<0，
所以原式的值是个负数，也就是小于0。
7）在△ABC中,三边长为根号a、根号b、根号c,若a^2+b^2=c^2,则△ABC的形状为锐角三角形，为什么
解：由余弦定理可以知道：c=a+b-2（根号a）（根号b）*cosC，
所以c^2=(a+b)^2+4ab(cosC)^2-4(a+b)(根号a)（根号b)*cosC=a^2+b^2,
所以2ab+4ab(cosC)^2-4(a+b)(根号a)（根号b）*cosC=0，现在把cosC当成一个未知数x来解方程，就可以解出：
√a*√b+2√a√b*（cosC）^2-2（a+b）cosC=0的解为cosC始终是大于0的，
所以c为锐角，同理，a和b都可以这样算。
所以这是锐角三角形
8）△ABC中三边之比为1：1：根号2，则△ABC形状一定不是A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D锐角三角形
由于：1^2+1^2=(根号2）^2
所以，三角形是直角三角形。又有二边相等。所以是等腰直角三角形C
9）在三角形ABC中,A为锐角,lg b+lg (1/c)=lg SinA= -lg 根号2,则三角形形状为什么
lg SinA= -lg 根号2=lg1/根号2
sinA=1/根号2
A=45度
lg b+lg (1/c)= -lg 根号2
去掉对数就是b/c=1/根号2所以b=c/根号2
由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
将b=c/根号2代入
cosA=cos45度=1/根号2
可得c=a
所以角C=45度
所以这是一个等腰直角三角形
10）在三角形ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cos2A=3/5，sin=根号下10/10.
1 求A+B的值
2 若a-b=根号下2-1，求a,b,c的值
解：1：（sinA）^2+(cosA)^2=1
锐角三角形，cosA>0
cosA=2*五分之√五
同理，cosB=3*十分之√十
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
代入=√2/2
则A+B=45°
2：sinA=根号5/5，sinB=根号10/10，A+B=45度
a-b=（根号2）-1
利用正弦定律
a/sinA=b/sinB
a/b=sinA/sinB=(根号5/5)/(根号10/10)=根号2
a=根号2b
根号2b-b=根号2-1
b=1 a=根号2
A+B=45
C=135
sinC=根号2/2
c/sinC=b/sinB=1/(根号10/10)
c=根号2/2/(根号10/10)=根号5
11）已知三角形ABC的三边长a,b,c满足a^2+b+|(根号c-1)-2|=10a+2(根号b-4)-22,证明三角形ABC是什么三角形
解：a=b=c=5等边三角形
下面是方法：
右边移项到左边，再配方，得
(a-5)^2+(根号(b-4)-1)^2+|(根号c-1)-2|=0
三项都不能小于0，所以必须为0，则等式成立
可求出a=b=c=5
12）已知三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且a.b满足根号a-2+b^2-6b+9=0
求c的取值范围
解：原式= √（a-2）+（b-3）2
√（a-2）≥0
（b-3）2 ≥0
a=2 b=3
2边之和大于第3边，2边之差小于第三边
1= b-a 1 13）在三角形ABC中，三边长为连续自然数，且最大角为钝角，这个三角形三边的长分别为？ 解：设三边是n-1,n,n+1 因为是钝角三角形 所以(n+1)^2>n^2+(n-1)^2 n^2+2n+1>2n^2-2n+1 n^2-4n<0 0 所以n=1，2，3 若n=1，则n-1=0，不合题意 若n=2，三边长1，2，3，不符合三角形两边之和大于第三边 所以n=3 边长是2，3，4 14）三角形ABC的三边为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边长 解：设三边长分别为n-1，n，n+1，最小角为a，则a为n和n+1的夹角，对边为n-1，2a的两边为n-1和n，对边为n+1。 应用正弦定理得（sin2a/（n+1））=（sina/（n-1））。 而sin2a=2sinacosa，代入化简得cosa=(n+1)/2(n-1)。 再应用余弦定理，cosa=（n2+（n+1）2-（n-1）2）/(2n*(n+1))。 解方程组，可得n=5，则三边长为4，5，6 15）在三角形ABC中,已知2B=A+C,b=1，求三角形ABC的周长的取值范围。解：因为2B=A+C 故：B=60° 故：cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=cos60° 故；a2+c2-b2=ac 因为a2+c2≥2ac,b=1 故：ac=a2+c2-b2≥2ac-1 故：ac≤1 故：a2+c2+2ac-b2=3ac 故：(a+c)2=3ac+1≤4 故：a+c≤2 故：a+b+c≤3 又：a+c＞b 故：a+b+c＞2b=2 故：2＜a+b+c≤3 16）△ABC中,2B=A+C,最大边与最小边之比为(根号3)+1比2,则最大角为？ 2B=A+C===>3B=180o===>B=60o 设:最大边为a=(√3+1),则c=2 b2=a2+c2-2accos60o=6===>a=√6 a/sinA=b/sinB ∴sinA=asinB/b=(√3+1)(√3/2)/√6=(√6+√2)/4===>A=75o 则最大角为75o 17）三角形ABC中已知角A等于60度，AB比AC等于8比5面积为10根号3，则其周长为 解：设AB=8x，AC=5x S△ABC=1/2AB×AC×sin∠BAC =（10√3）x2 已知，S△ABC=10√3 即（10√3）x2=10√3，解得：x=1或-1（舍） 所以，AB=8,AC=5 由余弦定理可得：cos∠BAC=(AB2+AC2-BC2)/2AB×AC 将AB=8,AC=5，∠BAC=60°代入 解得：BC=7 所以，周长为20 18）在三角形ABC中，已知内角A=π/3 边BC=2根号3 求周长y的最大值？解：根据公式有，a/sinA=b/sinB=c/sinC a=2√3,∠A=60° =>b=4sinB,c=4sin(120°-B) =>周长l=a+b+c =2√3+4sinB+4sin(120°-B) =2√3+4（sinB+√3/2cosB+1/2sinB) =2√3+2(3sinB+√3cosB) =2√3+2√3(√3sinB+cosB) =2√3+4√3(√3/2sinB+1/2cosB) =2√3+4√3sin(B+30°） 因为-1<=sina<=1且0 1/2 =>l周长=6√3 19）在三角形ABC中,m=(cosC/2 ,sinc/2 ), n=(cosc/2 ,-sin c/2),且mn的夹角为3/π 解：m.n=|m|*|n|cos(π/3)=cos(π/3)=1/2 cos^2(C/2)-sin^2(C/2)=1/2 cosC=1/2 所以C=π/3 2.设AB=c=7/2,AC=b,BC=a (absinC)/2=3√3/2 absin(π/3)=3√3 ab=6 (1) c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2-ab (a+b)^2=c^2+3ab=(49/4)+18=121/4 a+b=11/2 (2) 由(1)(2)解出a,b的值,再求周长。 20）在三角形ABC中，角A.B.C的对边分别为a.b.c，已知A=π/3，a=2√3，设B=x，三角形ABC周长为y （I）求函数y=f（x）的解析式和定义域 （II）求y=f（x）的单调区间 解：（1）y=a+b+c=2√3+b+c sinB/b=sinA/a=SinC/c =>b=asinB/sinA,C=asinC/sinA y=asinB/sinA+asinC/sinA+2√3 =2√3sinB/sinπ/3+2√3sin(π-π/3-B)/sinπ/3+2√3 =4sinB+4sin(2π/3-B)+2√3 =8sinπ/3cos(B-2π/3+B)/2+2√3 =4√3cos(B-π/3）+2√3 =4√3cos(x-π/3）+2√3 0 (2)x∈(0,π/3)为增函数 x∈(π/3,2π/3)为减函数 21）在△ABC中,A=π/3,BC=2,则三角形ABC的周长为(用角B表示)_____ 解：由正弦定理得： AC=2sinB/sin（π/3）=(4√3/3）sinB AB=2sin(2π/3-B)/sin（π/3）=2cosB+(2√3/3）sinB 故周长为2+2cosB+2√3sinB 22）三角形ABC中，AB=1,BC=2,则当C的取值范围为多少时此三角形是直角三角形？ 解1 当BC边为斜边时，AC^2=BC^2-AB^2 =2^2-1^2 =3 所以AC=√3 解2 当AC为直角边时，AC^2=BC^2+AB^2 =4+1 =5 所以AC=√5 ∠C的范围，就是0°＜∠C小于180°， AC的取值范围根据三角形三边关系定理 BC-AB＜AC＜BC+AB 即1＜AC＜3 23）在三角形ABC中，AB=1,BC=2则角C的取值范围是？ 解法1：因为c=AB=1,a=BC=2,b=AC 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知 1＜b＜3，根据余弦定理 cosC＝(a2＋b2－c2)／2ab ＝（4＋b2－1）／4b ＝（3＋b2）／4b ＝3／4b＋b／4 ＝(1／4)（√(3／b)－√b)2＋√3／2≥√3／2 所以0 解法2：因为公式cos A =( b*b+c*c-a*a)/( 2*b*c ) 所以对题目中，设AC边长为X，则 COS C= 3/(4X)+X/4 , 又因为A+B 大于等于 2 * 因为∠C必大于0°，所以0 .若问在三角形ABC中，tanA/tanB=（(√2) *c-b)/b,则角A=（） :因为cos A =( b*b+c*c-a*a)/( 2*b*c ) a/sinA=b/sinb tanA=sinA/cosA 可将已知化减为b*b+c*c-a*a=bc*(根号2) 所以左边/右边=1/(根号2) 即cos A =1/（根号2）。 所以∠A=45°。
相关主题
文本预览