初中数学函数及其图像总复习
一、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角
坐标系。
坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第
二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
二、不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-)
2、坐标轴上的点的特征
在x轴上纵坐标为0 , 在y轴上横坐标为, 原点坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）到x轴的距离等于 （2）到y轴的距离等于 （3）到原点的距离等于
三、函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一
个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x
的函数。
2、函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图像法
3、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线
4、自变量取值范围
四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫
做x的正比例函数。
2、一次函数的图像：是一条直线
3、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
4、一次函数的性质，，一般地，一次函数有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中
的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）
中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
6、 设两条直线分别为，： ：
若且。 若
7、平移：上加下减，左加右减。
8、较点坐标求法：联立方程组
五、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的
解析式也可以写成 或xy=k的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像是双曲线。
3、反比例函数的性质
(1)当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象
限内，y随x 的增大而减小。
(2)当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。
(3) 图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
(4)图像既是轴对称图形又是中心对称图形
（5）图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴所围成矩形面积等于|k|
4、反比例函数解析式的确定
只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
六、二次函数
1、二次函数的概念：一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
2、二次函数的图像是一条抛物线。
3、二次函数的性质：
（1）a>0抛物线开口向上，对称轴是x=，顶点坐标是（，）；在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大；抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（2） a<0抛物线开口向下，对称轴是x=，顶点坐标是（，）；在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，；
抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，
4、.二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）两根式：
5、抛物线中，的作用：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上，，， <0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=，a与b左同右异
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
6、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
7、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
8、平移：可以由平移得到。上加下减，左加右减。
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数 1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2．自变量的取值范围： （1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。 （2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。 （3）不同函数关系式自变量取值范围的确定： ①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。 ②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。 ③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题： （1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。 （2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。 （3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二．平面直角坐标系： 1．各象限内点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0. （2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0. （3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0 （4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0. 2 ．坐标轴上的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0 （2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数 3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）. （2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. （3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y） 4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-） 3、坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0）。 4、点的对称特征：已知点P(), 关于x 轴的对称点坐标是(), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是() 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是() 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P （）的几何意义： 点P （）到x 轴的距离为 ，点P （）到y 轴的距离为 。 点P （）到坐标原点的距离为22y x + 8、两点之间的距离： X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x ||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y ||12y y -= 已知A ),(11y x 、B ),(22y x 2 12212)()(y y x x -+-
9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为的中点,则：(212x x + , 2 1 2y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ ，y ）； 将点（）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（ ，y ）； 将点（）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。 函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的 值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 4、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 6、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法
2020中考数学 函数的定义及其图象专题练习（含答案） 典例探究 例1： 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 例2： 2018年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家的距离．下图能反映y 与x 的函数关系式的大致图象是（ ） 例3： 函数自变量取值范围是（ ） A ．且 B ． C ． D ． 且 例4： 已知二次函数2 (1)y a x c =--的图像如图2所示，则一次函数y ax c =+的大致图像可能是（ ） 3 y x = -x 1x ≥3x ≠1x ≥3x ≠1x >3x ≠
巩固练习 【确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围】 1.函数1 2 y x =-的自变量x 的取值范围是 2.在函数1 2-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______________________ 3.在函数52-=x y 中，自变量x 的取值范围是 4.在函数2 1-= x y 中，自变量x 的取值范围是___________________ 5. 函数y = 中，自变量的取值范围是 ． 6. 在函数x x y 2 -=中，自变量x 的取值范围是_______________________________ 7. 在函数y = 中，自变量的取值范围是 ． 【求函数值】 8.如果一次函数y=-x+b 经过（0，-4），则b= 9.函数1 3y x = +中，当x=-1时，y= 10. 函数21 y x =中，当x=-4时，y= 11.已知函数y=kx+b 的函数图像与y 轴交点的纵坐标为-5，且当x=1时，y=2,则x=3时， y= 【用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系】 12.水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）向一个容器注水，最后把容器注满，在注水 过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线)，这个容器的形状是图中（ ） x x
初中数学函数三大专题复习 目录 专题一一次函数和反比例函数 (1) 一、一次函数及其基本性质 (1) 1、正比例函数 (1) 2、一次函数 (1) 3、待定系数法求解函数的解析式 (2) 4、一次函数与方程、不等式结合 (3) 5、一次函数的基本应用问题 (5) 二、反比例函数及其基本性质 (7) 1、反比例函数的基本形式 (7) 2、反比例函数中比例系数k的几何意义 (8) 3、反比例函数的图像问题 (9) 4、反比例函数的基本应用 (11) 专题二二次函数 (13) 一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 (13) 1、二次函数的解析式及其求解 (13) 2、二次函数的基本图像 (14) 3、二次函数的增减性及其最值 (16) 4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系 (16) 5、二次函数和不等式、方程的结合 (18) 二、二次函数的基本应用 (19) 1、二次函数求解最值问题 (19) 2、二次函数中的面积问题 (21) 3、涵洞桥梁隧道问题 (24) 4、二次函数和圆相结合 (26) 三、二次函数中的运动性问题 (27) 1、动点问题 (27) 2、折叠、旋转、平移问题 (33) 专题三锐角三角函数以及解直角三角形 (36) 1、锐角三角函数的基本定义及其计算 (36) 2、锐角三角函数的基本应用 (37)
专题一 一次函数和反比例函数 一、一次函数及其基本性质 1、正比例函数 形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。 （1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； （2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。 2、一次函数 形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项。 （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小。 例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x ≠0，则m 的值为 。 随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0 D 、2 随堂练习： 1、直线y =x －1的图像经过象限是（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第一、二、四象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、三、四象限 2、一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2 随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为 。 例题4：已知一次函数y =kx +b 的图像经过二四象限，如果函数上有点()()1122,,,x y x y ，如果满足12y y >，那么1x 2x 。
第六章：函数及其图像 知识点： 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征： （1）各象限内点的坐标有如下特征： 点P （x, y ）在第一象限?x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在第二象限?x ＜0，y ＞0； 点P （x, y ）在第三象限?x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在第四象限?x ＞0，y ＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征： 点P （x, y ）在x 轴上?y 为0，x 为任意实数。 点P （x ，y ）在y 轴上?x 为0，y 为任意实数。 3．点P （x, y ）坐标的几何意义： （1）点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |； （3）点P （x, y ）到原点的距离是22y x + 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --； 二、函数的概念 1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。 2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 （1）自变量取值范围的确是： ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。 （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法 （4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数
初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法 初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。 初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函 数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。 一、一次函数 1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。 2. 图象及其性质 （1）形状、直线 （）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限 200k y x k y x >0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。 （5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。 （6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。 3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。
（二）反比例函数 1. 定义： 应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”y k x k x =-1021 2. 图象及其性质： （1）形状：双曲线 （）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x ==-??? ?? （）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大 300k y x k y x >
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 2006年中考试题分类汇编--函数及其图像 1.（2006·梅列区）函数y = 3 x+1 中自变量x 的取值范围是 .x ≠-1 2．（2006·晋江市）函数3 21-= x y 中，自变量x 的取值范围是 . x ≠2 3 3.（2006·旅顺口区）如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2观察图象写出y 1＞y 2时，x 的取值范围 ． －2＜x ＜0或x ＞3 4．（2006·南通市）在函数5 2-=x x y 中,自变量x 的取值范围是_ ________．x>5 5．（2006·衡阳市）函数y =中自变量劣的取值范围是 . x ≥1 6．（2006·盐城市）函数y= 1 -x 1中，自变量x 的取值范围是 . x ≠1 7．（2006·永州市）函数y =中自变量x 的取值范围是 ．3x ≤ 8．（2006·潍坊市）函数12 y x -=-中，自变量x 的取值范围是（ ）Ｄ A ．1x -≥ B ．2x > C ．1x >-且2x ≠ D ．1x -≥且2x ≠ 9．（2006·广东省）函数1 1+= x y 中自变量x 的取值范围是 ( A ) A ．x ≠-l B ．x >-1 C ．x =- 1 D ．x <- 1 10．（2006·永州市）小慧今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（ ）D 11．（2006·湛江市）小颖从家出发，直走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用15分钟返回到家，下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是（ ）A A ． B ． C ． D ． （分）
人教版初中数学二次函数知识点总复习附解析 一、选择题 1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确； 根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b a =3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论. 2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b +＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +， 且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）
函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ? π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质
3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ? ?????2x －π4；(2)y ＝sin ? ?? ???π4－2x . 6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝ 最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据 φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 二、三角函数的伸缩变化
函数及其图像 一、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。 二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-) 2、坐标轴上的点的特征 在x 轴上纵坐标为0 , 在y 轴上横坐标为, 原点坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）到x 轴的距离等于y （2）到y 轴的距离等于x （3）到原点的距离等于22y x + 三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图像法 3、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线 4、自变量取值范围 四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。
二次函数的解析式 1、二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 例1、函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2 ；④y=21x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 练习： 1、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 2、已知函数y=(m －1)x m2 +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 2、待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --= 例1、已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解 析式。
2、已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式。 3、二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。 二次函数的图像、性质与平移 1、作图“三步取”：一般地，二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同，都是三步：列表、描点、连线。 规律技巧：列表时注意以0为中心，对称取值（一般取3-4组值）。观察图像，可得抛物线的开口方向、对称轴。 2、二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大． （2）二次函数c bx ax y ++=2 的图象是一条对称轴平行 y 轴或者与y 轴重合的抛物线．顶点为（－ 2b a ，2 44ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2b a ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2 b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a ，y 随x 的增大而增大． （3）当a ＞0时，当 x=－2b a 时，函数有最小值2 44ac b a -；当a ＜0时，当x x=－2b a 时，函数有最 大值244ac b a - 例1、二次函数y=ax 2 ＋bx 2 ＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填 “＞”或“＜”＝．）
《函数及其图像》知识点 一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。 ①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 ②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。 ③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数 ④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。 练习：在函数r c π2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做 的函数。 二、函数的三种表示方法： ①解析法： ②列表法： 三、函数自变量的取值围： 平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。 x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）: 五、平面点的坐标：（横坐标，纵坐标） 如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为（2 , 3） 六、平面特殊位置的点的坐标情况：（连线） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 （- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a ） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号； ②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1） 表示：当2x =时，1y = ③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 八、对称点的坐标关系： ⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。 y x O 第四象限 第三象限第二象限 第一象限
一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公 式svt中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定 的值与其对应，那么我 们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx(2)y=2x-1(3)y= 1 x (4)y=2 -1-3x(5)y=x2-1中，是一次函数的有（） （A）4个（B）3个（C）2个（D）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全 体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意 义。 例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（） A．y=2xB．y= 1 x 2 C．y= 2 4xD．y=x2·x2 函数yx5中自变量x的取值范围是___________. 1 已知函数2 yx，当1x1时，y的取值范围是（） 2 A. 5 2 3 yB. 2 3 2 5 yC. 2 3 2 5 yD. 2 3 2 y 5 2 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面 内由 这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的 各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接 起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规 律 。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0的)函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零 当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，?直线y=kx经过 二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小． (1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
中考专项复习三（函数及其图象） 一、选择题(本题共10 小题，每小题4 分，满分40分) 2．若 ab ＞0，bc<0，则直线y=－a b x －c b 不通过（ ）. A ．第一象限 B 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若二次函数y=x 2－2x+c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ）. A ．－1 B ．1 C ． 2 1 D ．2 4．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）. A ．y=－x －2 B ．y=－x －6 C ．y=－x+10 D ．y=－x －1 5．已知一次函数y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y= kb x 的图象大致为（ ） . 6．二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 A ．1 B ．3 C ．4 D ．6 7．已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ ）. A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．－2＜y ＜0 D ．y ＜－2 8．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则点(a+b ，ac)在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） 9．二次函数c bx ax y ++=2 （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②b ＞0； ③c ＞0；④b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是（ ）. A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个 10．如图，正方形OABC ADEF ，的顶点A D C ，，在坐标轴上，点F 在AB 上，点B E ，在函数 1 (0)y x x =>的图象上，则点E 的坐标是（ ） Ａ． ?? Ｂ． ? ? Ｃ． ?? Ｄ．?? 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．已知y 与(2x+1)成反比例，且当x=1时,y=2，那么当x=-1时，y=_________. 12．在平面直角坐标系内，从反比例函数x k y = （k ＞0）的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是_________. 13．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙： 函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小 .请你根据他们的叙述构造满足上述 x
福州市初中数学函数基础知识知识点总复习 一、选择题 1．函数y= 中，自变量x的取值范围是（） 1 x A．x≠1B．x＞0 C．x≥1D．x＞1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】 由题意得，x-1≥0且x-1≠0， 解得x＞1． 故选D． 【点睛】 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积为（） A．24 B．40 C．56 D．60 【答案】A 【解析】 【分析】 由点P的运动路径可得△PAB面积的变化，根据图2得出AB、BC的长，进而求出矩形ABCD的面积即可得答案． 【详解】 ∵点P在AB边运动时，△PAB的面积为0，在BC边运动时，△PAB的面积逐渐增大， ∴由图2可知：AB=4，BC=10-4=6， ∴矩形ABCD的面积为AB·BC=24， 故选：A．
【点睛】 本题考查分段函数的图象，根据△PAB 面积的变化，正确从图象中得出所需信息是解题关键． 3．如图，在直角三角形ABC ?中，90B ∠=?，4AB =，3BC =，动点E 从点B 开始沿B C →以2cm/s 的速度运动至C 点停止；动点F 从点B 同时出发沿B A →以1cm/s 的速度运动至A 点停止，连接EF ．设运动时间为x （单位：s ），ABC ?去掉BEF ?后剩余部分的面积为y （单位：2cm ），则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知题意写出函数关系，y 为ABC ?去掉BEF ?后剩余部分的面积，注意1．5秒时点E 运动到C 点，而点F 则继续运动，因此y 的变化应分为两个阶段． 【详解】 解：14362ABC S ?= ??=， 当302x ≤≤时，2122BEF S x x x ?=??=．26ABC BEF y S S x ??=-=-； 当342x <≤时，13322 BEF S x x ?=??=，362ABC BEF y S S x ??=-=-， 由此可知当302x ≤≤时，函数为二次函数，当342 x <≤时，函数为一次函数． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了动点问题与函数图像相结合，解题的关键在于根据运动过程写出函数关系，要注意自变量的取值范围，以及是否为分段函数．
第一讲 《函数》知识点总结 一、函数的基本知识： 知识网络图 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 5、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 6、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 二、正比例函数和一次函数 1、正比例函数及性质 一次函数 一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程 再认识 变化的世界 函数 建立数学模型 图象 性质 应用
中考《函数》总复习检测试题含答案 时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（每小题3分，共30分） 1.点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标是（3，-2），则点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标是（ ） A.(-3，-2） B. （-2，3） C. (-3，2 ) D.（3，-2） 2.若一次函数b ax y +=的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是( ) A ．ab ＞0 B ．b －a ＞0 C ．a ＋b ＞0 D ．a －b ＞0 3.对于二次函数44 12 -+- =x x y ，下列说法正确的是（ ） A. 当x >0时，y 随x 的增大而增大 B.图象的顶点坐标为（-2，-7） C. 图象与x 轴有两个交点 D.当x =2时，y 有最大值-3. 4.如图，一次函数243+= x y 与反比例函数)0(>=k x k y 的图象在第一象限 交于点A ，与y 轴交于点M ，与x 轴交于点N ，若AM :MN=1:2，则 k =（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5.若将抛物线122 +-=x x y 沿着x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，则 得到的新抛物线的顶点坐标是( ) A ．(0，-2 ) B ．(0，2) C ．(1，2) D ．(－1，2) 6.如图，直线421-=+-=bx y a x y 与相交于点P ，已知点P 的坐标为（1，-3），则关于x 的不等式4-<+-bx a x 的解集是（ ） A. x >1 B.x <1 C.x >-3 D.x <-3 7.向最大容量为60升的热水器内注水，每分钟注水10升，注水2分钟 后停止注水1分钟，然后继续注水，直至注满．则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 8.如图，将函数1)2(2 1 2+-= x y 的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ） A. 2)2(212--=x y B. 7)2(212+-=x y C. 5)2(2 12--=x y D. 4)2(212+-=x y （第4题图） 第6题图 第8题图
函数及其图像知识点
《函数及其图像》知识点 一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。 ①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 ②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。 ③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数 ④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。 练习：在函数r c π2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做 的函数。 二、函数的三种表示方法： ①解析法：就是用一个函数关系式来表示函数变化规律。②列表法：就是用一个数据表来表示函数变化规律。③图像法：就是用线性图像来表示函数变化规律。 三、函数自变量的取值范围： 函数解析式类型 自变量取值满足的条件 应用举例 整式 全体实数 54+-=x y （x 为任意实数） 分式 分母不为零 ()22 3 2≠--= x x x y 二次（偶次）根式 被开方数非负 ()263≥-=x x y 平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。 x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）: 五、平面内点的坐标：（横坐标，纵坐标） 如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为（2 , 3） 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：（连线） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 （- ，-） （- ，+） （+ ，+） （+ ，-） （0 ，a ） (b , 0) 七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意： ①不要丢了括号和中间的逗号； ②表示的意思：当___x =时，___y =如点A （2，1） 表示：当2x =时，1y = ③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。 概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 八、对称点的坐标关系： ⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。 y x O 第四象限 第三象限第二象限 第一象限