【必考题】高中必修五数学上期末模拟试卷(及答案)

【必考题】高中必修五数学上期末模拟试卷(及答案)

一、选择题

1．设,x y 满足约束条件 202300

x y x y x y --≤??-+≥??+≤?

，则4

6y x ++的取值范围是

A ．3[3,]7

- B ．[3,1]- C ．[4,1]

-

D ．(,3][1,)-∞-?+∞

2．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65

B ．184

C ．183

D ．176

3．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 2

2n n S T n +=，则7

7a b =（ ） A ．

41

26

B ．

2314

C ．

117

D ．

116

4．已知ABC ?的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S

，且

2S =，则A 等于（ ）

A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 5．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140

B ．280

C ．168

D ．56

6．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤??

--≥??≥?

则实数m 的最大值为

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．3

7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4

B ．10

C ．16

D ．32

8．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

9．已知x 、y 满足约束条件50

{03

x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）

A ．6-

B ．5

C ．10

D ．10-

10．已知x ，y 均为正实数，且111226

x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20

B ．24

C ．28

D ．32

11．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22

B ．24

C ．26

D ．28

12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则

cos DAC ∠=（ ）

A ．

25

B ．

5 C ．

310

D ．

10 二、填空题

13．数列{}n a 满足14a =，12n

n n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.

14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升； 15．如图，在ABC V 中，,43

C BC π

=

=时，点D 在边AC 上， AD DB =，

DE AB ⊥，E 为垂足若22DE =，则cos A =__________

16．设，，若，则

的最小值为_____________.

17．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 18．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 19．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.

20．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ??

?

???

的前n 项和为n T ，则使不等式11

2020|1|13n n

T a -->成立的最大正整数n 的值是__________．

三、解答题

21．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知11

3

a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列n n a ??

?

???

的前n 项和为n T ，求n T ． 22．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ．

23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为

R ，且23sin sin cos 0R A B b A --=.

（1）求A ∠；

（2）若tan 2tan A B =，求

sin 2sin 2sin b C

a b B c C

+-的值.

24．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量＝(2sinB,2－cos2B)，＝(2sin 2(

)，－1)，

.

(1)求角B 的大小； (2)若a ＝

，b ＝1，求c 的值．

25．已知()f x a b =?v v ，其中()

2cos ,32a x x =-v

，()cos ,1b x =v ，x ∈R ．

（1）求()f x 的单调递增区间；

（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，7a =且向量()3,sin m B =v 与()2,sin n C =v

共线，求边长b 和c 的值．

26．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差d ∈N ，25a =，且53545S <<. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}237n S n -的前n 项和为n T ，若m n T T ≤，对n *∈N 恒成立，求m .

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

【详解】 先作可行域，而

46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以4

6

y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

2．B

解析：B 【解析】

分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：

81187

8828179962

S a d a ?=+

=+?=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+?=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.

点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．A

解析：A 【解析】

依题意，113

713113713132412226

132a a a S b b b T +?===+?.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用三角形面积公式可得

2tan 1acsinB 2bc c B +=

，结合正弦定理及三角恒等变换知识

cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】

∵2

tan bc c B S +=

∴

2tan 1acsinB 2bc c B +=

即

c tan asinB a b B +=

=

()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=

++ cosA 1-=

∴1sin 62A π?

?-= ??

?， ∴56

6

6

A 或

π

π

π

-=

（舍） ∴3

A π

=

故选C 【点睛】

此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．

5．A

解析：A 【解析】

由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为

()

110101028

1402

2

a a +?=

=，故选A.

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】

不等式组表示的平面区域如下图所示， 由2230y x x y =??

--=?，得：1

2x y =-??=-?

，

即C 点坐标为（－1，－2），

平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.

【点睛】

本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.

7．C

解析：C 【解析】

由64S S -=6546a a a +=得，()

22

460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而

3522=28=16a a =??，故选C.

8．C

解析：C 【解析】

因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以611611115

0,0,,2

a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2

n d

S n =

--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 9．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

作出不等式50

{03

x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，

作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{

x x y =+=，解得3{

3

x y ==-，结合图象知，

当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =?+?-=-，故选A. 考点：线性规划

10．A

解析：A 【解析】

分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且

111226x y +=++，则116122x y ??+= ?++??

(2)(2)4

x y x y ∴+=+++-

11

6(

)[(2)(2)]422

x y x y =++++-++

2222

6(2)46(22)4202222

y x y x x y x y ++++=+

+-≥+?-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号.

x y ∴+的最小值为20. 故选A.

点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.

11．D

解析：D 【解析】

试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=?=?=，则

考点：等差数列的性质

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

设1BC CD ==，计算出ACD ?的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】

如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ?中，222AD AE DE =

+=，同理可得225AC AB BC =+=，

在ACD ?中，由余弦定理得2222310

cos 2252

AC AD CD DAC AC AD +-∠===

???， 故选C ．

【点睛】

本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．

二、填空题

13．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故

答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +

【解析】 【分析】

由题意得出12n

n n a a +-=，利用累加法可求出n a .

【详解】

数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12n

n n a a +∴-=，

因此，

()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++L L ()121242212

n n --=+

=+-.

故答案为：22n +. 【点睛】

本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.

14．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式 解析：

6766

【解析】

试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得

137,2266a d =

=，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 15．【解析】在△ABC 中

∵DE ⊥ABDE=∴AD=∴BD=AD=∵AD=BD ∴A=∠ABD ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A 在△BCD 中由正弦定理得即整理得cosA=

【解析】

在△ABC 中，∵DE ⊥AB ，DE

=，∴AD

=sin A

, ∴BD =AD

． ∵AD =BD ，∴A =∠ABD ， ∴∠BDC =∠A +∠ABD =2∠A ，

在△BCD 中，由正弦定理得

sin sin BD BC

C BDC

=

∠ ， 即22

4sin sin 23A A =

，整理得cosA =6

4 . 16．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-

1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：

【解析】 【分析】 由已知可得，从而有

，展开后利用基本不

等式，即可求解. 【详解】 由题意，因为满足

， 所以，且

，

则

，

当且仅当且

，即

时取得最小值

.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

17．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-

【解析】 【分析】

根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】

由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】

本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

18．-8【解析】设等比数列的公比为很明显结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由可得：代入①可得由等比数列的通项公式可得【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题解决这类问题的关键在于

解析：-8 【解析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：

()()

1212

1311113a a a q a a a q ?+=+=-??-=-=-??，①

，②

，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得3

418a a q ==-.

【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

19．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根

解析：11

(,)23

--

【解析】 【分析】

根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式

250bx x a -+>的解集，得到答案.

【详解】

由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，

可得53(2)(3)(2)a b a ?

-+-=????-?-=

??

，解得1,6a b =-=-，

所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2

651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得11

23

x -

<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23

--. 【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得

,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

20．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考

解析：8 【解析】 【分析】

根据1524158281a a a a a a +=??==?，求得15181

a a =??=?，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式

11

2020|1|13n n

T a -->，解不等式即可.

【详解】

因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，

由1524158281a a a a a a +=??==?，解得15

181a a =??=?.

则3q =，13-=n n a .

1

(1)1323(1)1313n

n n T -

=?=--. 112020|1|13n n T a -->?1

112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.

使不等式成立的最大整数n 为8. 故答案为：8 【点睛】

本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

三、解答题

21．（1）13n

n a ??= ???

； （2）1

3(21)34n n n T ++-?=

【解析】 【分析】

（1）由等差中项可得21343a a a =+,设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,则

211143a q a a q ?=+?,可解得q ,即可求得通项公式；

（2）由（1）可得3n n

n

n a =?,再利用错位相减法求解即可. 【详解】

解:（1）设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,且1a ,22a ,33a 成等差数列,

所以21343a a a =+,即2

11143a q a a q ?=+?,解得13

q =

, 因为113a =,所以13n

n a ??= ???

（2）由（1）知，13n

n a ??= ???，所以3n n

n n a =?, 所以1231323333n

n T n =?+?+?++?L ,

则234131323333n n T n +=?+?+?++?L ,

作差可得,1231

233333n n n T n +-=++++-?L

则()+133123

31

n n n

T n --=-?-，即

1132322n n T n +??

-=-?- ???

,

所以()1

32134

n n n T ++-?=

【点睛】

本题考查等差中项的应用,考查等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和. 22．（1）1

4n n a -=，*n N ∈；（2）4(34)49

n

n n T +-?=．

【解析】 【分析】

（1）设公比为q ，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；

（2）求得1

(1)(1)4n n n a n --=-?，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公

式，化简可得所求和． 【详解】

（1）设公比q 为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =，

可得41(14)8514

a -=-，解得11a =，

则1

4

n n a -=，*n N ∈；

（2）1

(1)(1)4n n n a n --=-?，

前n 项和231

0142434(1)4n n T n -=+?+?+?+?+-?，

23440142434(1)4n n T n =+?+?+?+?+-?，

两式相减可得23134444(1)4n n

n T n --=+++?+--?

14(14)(1)414n n n --=--?-，

化简可得4(34)49

n

n n T +-?=．

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．

23．（1）6π；（2）10

-

. 【解析】 【分析】

（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan 3

A =，即可求出角A ；

（2）由（1）可得tan B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1

tan 2

A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】

（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，

由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，

即)

sin cos 0B

A A -=，

∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，

cos A A =，tan A =， ∵()0,A π∈，∴6

A π

∠=

.

（2）由（1）知：tan A =，tan B =，1sin 2A =，

∴2sin 1A =， ∴

sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab C

a b B c C Aa b B c C =+-+-

222

sin ab C

a b c =

+-

由余弦定理得：

()sin sin 11

tan tan 2sin 2sin 2cos 22

b C C C A B a b B

c C C ===-++-

1tan tan 33

21tan tan 10A B A B +=-?=-

-. 【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题. 24．（1）或； （2）c ＝2或c ＝1.

【解析】 【分析】 (1)根据

＝0得到4sinB·sin

2

＋cos2B －2＝0，再化简即得B ＝ 或 .(2)先

确定B 的值，再利用余弦定理求出c 的值. 【详解】 (1)∵

，∴

＝0，∴4sinB·sin

2

＋cos2B －2＝0，

∴2sinB[1－cos ]＋cos2B －2＝0，∴2sinB＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0，

∴sinB＝ ，∵0

(2)∵a＝

，b ＝1，∴a>b，∴此时B ＝，

由余弦定理得：b 2

＝a 2

＋c 2

－2accosB ，∴c 2

－3c ＋2＝0，∴c＝2或c ＝1. 综上c ＝2或c ＝1. 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 25．（1）,()6

3k k k Z π

πππ??

-+

∈???

?

;（2）3,2b c ==．

【解析】

试题分析：（1）化简()f x 得()12cos 23f x x π?

?

=++

??

?

，代入[]()2,2k k k Z πππ-∈，求得增区间为()2,36k k k Z ππππ??

-

-∈???

?

；（2）由()1f A =-求得3

A π

=

，余弦定理得()2

2222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量

()3,sin m B =r 与()2,sin n C r

=共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得23b c =，解得

3

,12

b c ==.

试题解析：

（1）由题意知,()2

2cos 21cos 2212cos 23f x x x x x x π??

==+-=++

??

?

, cos y x =Q 在[]()2,2k k k Z πππ-∈上单调递增,∴令2223k x k ππππ-≤+≤,得

236k x k ππππ-

≤≤-,()f x ∴的单调递增区间()2,36k k k Z ππππ?

?--∈???

?. （2）()12cos 21,cos 2133f A A A ππ?

?

?

?=++

=-∴+=- ? ??

???

Q ,又72,23

3

33

A A π

π

ππ

π<+

<

∴+=,

即3

A π

=

.a =

Q ,由余弦定理得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B =r 与()2,sin n C r

=共线,所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得

3

23,,12

b c b c =∴==.

考点：三角函数恒等变形、解三角形． 26．（1）31n a n =-；（2）11m =或12m = 【解析】 【分析】

(1)由5335545S a <=<可解得3d =,进而求出1a ,得到31n a n =-;

(2)由(1)可求出n S ,进而求出237n S n -,即可求出其前n 项和的最小值,从而得出结论. 【详解】

(1)()()5325555S a a d d ==+=+Q ,

()355545d <∴+<,即24d <<, d ∈N Q ,3d ∴=,

则122a a d =-=,

故()21331n a n n =+-?=-; (2)由(1)知,()()2313122

n n n n n S +-+=

=

, 则2

237336n S n n n -=-,

令2370n S n -≤,解得012n ≤≤, 则()1211min n T T T ==,

故11m =或12m =. 【点睛】

本题考查求等差数列的通项公式及其性质的应用,属于中档题.