概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（一）
一．选择题
1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件
2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}
（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中
5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销
6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<
（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A] （A ）C A C B ； （B ）C AB ； （C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .
8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ] （A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容
(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件
二、填空题
1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。 2．“A ，B ，C 三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为
ABC ABC ABC ABC AB AC BC
?????或 。
三、简答题：
1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：
（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。 答：（1）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝ （2）｛（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)｝ (3）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝
2．设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 、B 、C 中只有A 发生； （2）A 不发生，B 与C 发生； （3）A 、B 、C 中恰有一个发生； （4）A 、B 、C 中恰有二个发生； （5）A 、B 、C 中没有一个发生； （6）A 、B 、C 中所有三个都发生； （7）A 、B 、C 中至少有一个发生； （8）A 、B 、C 中不多于两个发生。 答：
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
ABC
ABC
A B C
C A B ABC
????????=
概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（二）
一、选择题：
1．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是 [ B ] （A ）
136
（B ）118 （C ）112 （D ）111
2．袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球
的概率是 [ B ] （A ）
925 （B ）310 （C ）625
（D ）320
3． 已知事件A 、B 满足A B ?，则()P B A -≠ [ B] （A ）()()P B P A - （B ）()()()P B A P AB -+ （C ）()P AB （D ）()()P B P AB -
4．A 、B 为两事件，若()0.8,()0.2,()0.4P A B P A P B ?===，则 [ B] （A ）()0.32P A B = （B ）()0.2P A B = （C ）()0.4P B A -= （D ）()0.48P B A =
5．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 [ D] （A ）
4!6!10!? （B ）710 （C ）410 （D ）4!7!
10!
?
二、选择题：
1．设A 和B 是两事件，则()()P A P AB =+ ()P AB
2．设A 、B 、C 两两互不相容，()0.2,()0.3,()0.4P A P B P C ===，则[()]P A B C ?-=0.5
解答：[()]()(()()()
(()0.5
P A B C P A B P A B C P A B P P B φ?-=?-?=?-=）
因为A,B,C 两两互不相容）
＝P(A)+ 3．若()0.5,()0.4,()0.3P A P B P A B ==-=，则()P A B ?= 0.8 。
解：()()()
0.30.5()()0.2
()()1()0.8
P A B P A P AB P AB P AB P A B P AB P AB -=-=-?=?==-=
4．设两两独立的事件A ，B ，C 满足条件ABC φ=，1
()()()2
P A P B P C ==<
，且已知 9
()16
P A B C ??=
，则()P A =1/4 。 解：2()()()()()()()()
9/163()3()
(,,ABC ()1/4(3/4P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P A P A A B C P A φ??=++---+=-=两两独立，且=)
舍）
5．设1
()()()4
P A P B P C ===，1()0,()()8P AB P AC P BC ===，则A 、B 、C 全不发生的概
率为 1/2 。
解：
()1()
()()()()()()()()3/42/8012
()
/P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ABC AB =-????=++---+?=-+=
6．设A 和B 是两事件，B A ?，()0.9,()0.36P A P B ==，则()P AB =0.54 。 解：()()()()0.54
()P AB P A B P A P B B A =-=-=?
三、计算题：
1．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率；
（2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。
解：（1）
33
1812213284123133348412(1)/14/55(2)/28/55
(3)141/55
(4)()/41/55
P C C P C C C P P P C C C =====-==+=
2．加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解：A,B,C,D 分别表示第一、二、三四道工序出现次品
()2%,()3%,()5%,()3%()()()()()0.98*0.97*0.95*0.970.8761()0.124
P A P B P C P D P ABCD P A P B P C P D P ABCD =======加工出的成品率次品率－＝
3．袋中人民币五元的2张，二元的3张和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。
解：23522152125235
231023510235102510235
28101213,14,15,16
P 12(13)(14)(15)(16)
////2/9P 12/2/9
P P P P C C C C C C C C C C C C C C C C C +++=+++==法一：大于的有（大于元）＝法二：
（大于元）＝
概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（三）
一、选择题：
1．设A 、B 为两个事件，()()0P A P B ≠>，且A B ?，则下列必成立是 [ A ] （A ）(|)1P A B = （D ）(|)1P B A = （C ）(|)1P B A = （D ）(|)0P A B = 2．设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A 表示“取到蓝色球”，B 表示“取到玻璃球”，则P (B |A )=[ D ]。 （A ）
610 （B ）616 （C ）47 （D ）4
11
3．设A 、B 为两事件，且(),()P A P B 均大于0，则下列公式错误的是 [ B ] （A ）()()()()P A B P A P B P AB ?=+- （B ）()()()P AB P A P B = （C ）()()(|)P AB P A P B A = （D ）()1()P A P A =-
4．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 [ B ] （A ）25 （B ）15 （C ）12 （D ）35
解：A ：至少有一件不合格品，B ：两件均是合格品。B A ?
24211
446()()43/2
(|)1/5()()624
C P AB P B P B A P A P A C C C ?=====++
5．设A 、B 为两个随机事件，且0()1,()0,(|)(|)P A P B P B A P B A <<>=，则必有 [ C ] （A ）(|)(|)P A B P A B = （B ）(|)(|)P A B P A B ≠ （C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()()P AB P A P B ≠
解：0()1,()0,
()()()()
(|)(|)()()1()
()(1())()(()())()()()()()()()
()()()
P A P B P AB P BA P B P AB P B A P B A P A P A P A P AB P A P A P B P AB P AB P AB P A P A P B P A P AB P AB P A P B <<>-=?
==-∴-=-∴-=-∴=
二、填空题：
1．设A 、B 为两事件，()0.8,()0.6,()0.3P A B P A P B ?===，则(|)P B A = 1/6
解：()0.8,()0.6,()0.30.8()()()0.60.3()
()0.1
()0.1
(|)1/6()0.6
P A B P A P B P A P B P AB P AB P AB P AB P B A P A ?===∴=+-=+-=∴=
==
2．设()0.6,()0.84,(|)0.4P A P A B P B A =?==，则()P B = 0.6
解：()()()0.6()
()0.6,(|)0.4()()0.6
0.6()0.24,()0.36()0.84()()()0.6()0.36()0.6
P AB P A P AB P AB P A P B A P A P A P AB P AB P A B P A P B P AB P B P B --===
==∴-=?=?==+-=+-∴=
3．若()0.6,()0.8,(|)0.2P A P B P B A ===，则(|)P A B = 0.9
解：
()0.6,()0.8,()0.8()0.8()
(|)0.2()1()0.4
()0.72()0.72(|)0.9()0.8
P A P B P BA P AB P AB P B A P A P A P AB P AB P A B P B ==--==
==-∴==
==
4．某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的
概率为 0.735
解：A ：合格品；C ：一等品. (|)0.75,()()(|)0.98*0.750.735P C A P C P A P C A ====
5．已知123,,A A A 为一完备事件组，且121()0.1,()0.5,(|)0.2P A P A P B A ===2(|)0.6P B A =
3(|)0.1P B A =，则1(|)P A B = 1/18
解：
1111112233()()(|)
(|)()()(|)()(|)()(|)
0.10.2
1/18
0.10.20.50.60.10.4
P A B P A B A P A B P B P A B A P A B A P A B A =
=++?=
=?+?+?
三、计算题：
1．某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？
解：A: 某种动物由出生活到10岁.B: 某种动物由出生活到12岁
()()
(|)0.7()()
P AB P B P B A P A A P B A ?=
==? 2．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙
车间的正品率为95%，求：
（1）任取一件产品是正品的概率；
（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。
解：A ：某产品由甲两车间生产。B ：任取一件产品是正品。
已知：()0.6,()0.4,(|)0.9,(|)0.95
(1)()()(|)()(|)0.60.90.40.950.92()()(|)0.4(10.95)
(2)(|)25%
1()10.92()
P A P A P B A P B A P B P A P B A P A P B A P AB P A P B A P A B P B P B =====+=?+?=?-=
==≈--
3．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。
解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有 P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P
(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则
988
.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=?=?-==B A P B A P A B P A P B A P
(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则
829.093
.01012
.01)()(1)|(1)|(=--=-
=-=B P B A P B A P B A P
4．某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别
品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为0.96,0.920.90和。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？ 解：A ：这瓶酒是一等品。
123,,B B B 分别表示甲、乙、丙说是一等品。123,,B B B 相互独立。
已知：
121103124
231232311231231231(|)0.96,(|)0.92,(|)0.9,()5/12
()
(|)()(|)()(|)(|)(|)()
(|)(|)(|)()55
0.960.080.10.040.920.9(1)
1212(|)P B A P B A C
P B A P A C P B B B P B B B A P A P B B B A P A P B A P B A P B A P A P B A P B A P B A P A P A B B B ======+=+=???+???-231231231231()
()(|)()()
5
0.960.080.11255
0.960.080.10.040.920.9(1)
1212
14.2%
P B B B A P B B B P B B B A P A P B B B =
=
???
=
???+???-≈
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第一章 随机事件及其概率（四）
一、选择题：
1．设A ，B 是两个相互独立的事件，()0,()0P A P B >>，则一定有()P A B ?= [ B ] （A ）()()P A P B + （B ）1()()P A P B - （C ）1()()P A P B + （D ）1()P AB - 2．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 [ B ] （A ）0.75 （B ）0.56 （C ）0.50 （D ）0.94 3．某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 [ D ] （A ）3
2
2.08.0? （B ）2
8.0 （C ）28.05
2? （D ）322
52.08.0?C 4．设A ，B 是两个相互独立的事件，已知11
(),()23
P A P B =
=，则()P A B ?= [ C ] （A ）
12 （B ）56 （C ）23 （D ）3
4
5．若A ，B 之积为不可能事件，则称A 与B [ B ] （A ）独立 （B ）互不相容 （C ）对立 （D ）构成完备事件组 二、填空题：
1．设A 与B 是相互独立的两事件，且()0.7,()0.4P A P B ==，则()P AB =
2．设事件A ，B 独立。且()0.4,()0.7P A P B ==，则A ，B 至少一个发生的概率为 3．设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同时被打开的概率为
4．某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的概率
为 ，5件中至多有2件次品的概率
08
。 三、计算题：
1．设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。 解：所求的概率为
6
6
6
6
2
101()()()K P P k P P ==
=--∑
6510460604095904(.)(.)(.).=--?=
2．某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。
解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则02().P A =
3202302080104(.)(.)..=+??=
3．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都
040
503040507060507..........
=??+??+??= 3040507014()()....P D P ABC ==??=
11223
3()()(|)
()(|)()(|)
P H P D P H D P D P H D P D P H D =++
036020410601410458......=?+?+?=
4．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为p 。 （1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）； （2）求缺陷在第n 个过程结束之前被查出的概率；
（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。
（4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；
（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设0.5p =）。
（2） 121)n n A A A A -?? 21111()()()n p p p p p p p -=+-+-++-
11()n p =--
（3
（4
（5
（0.5p =） 5．设A ，B 为两个事件，(|)(|),()0,()0P A B P A B P A P B =>>，证明A 与B 独立。
证：
即 ()()()P AB P A P B = 所以 A 与B 独立
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第一章 随机事件及其概率（五）
一、选择题：
1．对于任意两个事件A 和B [ B ] （A ）若AB φ≠，则A ，B 一定独立 （B ）若AB φ≠，则A ，B 有可能独立 （C ）若AB φ=，则A ，B 一定独立 （D ）若AB φ=，则A ，B 一定不独立 2．设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=，则 [ D ] （A ）事件A 和B 互不相容 （B ）事件A 和B 互相对立 （C ）事件A 和B 互不独立 （D ）事件A 和B 相互独立
3．设A ，B 为任意两个事件且A B ?，()0P B >，则下列选项必然成立的是 [ B ] （A ）()(|)P A P A B < （B ）()(|)P A P A B ≤ （C ）()(|)P A P A B > （D ）()(|)P A P A B ≥ 二、填空题：
1．已知A ，B 为两个事件满足()()P AB P AB =，且()P A p =，则()P B = 2．设两两独立的事件A ，B ，C 满足条件ABC φ=，1
()()()2
P A P B P C ==<
，且已知
9
()16
P A B C ??=
，则()P A = 3．假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，
则取到的是一等品的概率是 三、计算题：
1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为1
9
，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求A 发生的概率()P A
2．如果一危险情况C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善
可靠性。在C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。
解：设一个电路闭合的可靠性为p ，已知 1
221096().C p p p -+=，
所以 08.p =
设n 个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999 则
1
1
1080210209999()(.)(.)(.).n
n
k
k
k
k
k n k n n
n k k C
p p C -==-==-≥∑∑
7
所以 取6个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。
3．将A B C 、、三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其他一字母的概率为
12
α
-。今将字母串,,AAAA BBBB CCCC 之一输入信道，输入,,AAAA BBBB CCCC 的概率分别为123123,,(1)p p p p p p ++=，已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的）
解：(|)P AAAA ABCA
4．一条自动生产线连续生产n 件产品不出故障的概率为
(0,1,2,)!
n
e n n λλ-=，假设产品的优质
率为(01)p p <<。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：
（1）计算生产线在两次故障间共生产k 件（k = 0，1，2，…）优质品的概率；
（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k 件优质品，求它共生产m 件产品的概率。
解：
概率论与数理统计练习题
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第二章 随机变量及其分布（一）
一．选择题：
1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ ]
（A ）
1234
11112
4
8
16
X
x x x x p （B ） 1234
11112
4
88X
x x x x p
（C ）
1234
111123
4
12
X
x x x x p
（D ） 1234
111
12
3
412
X
x x x x p
-
2．设随机变量ξ的分布列为
0123
0.10.30.40.2
X p )(x F 为其分布函数，则)2(F = [ ]
（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题：
1．设随机变量X 的概率分布为
012
0.20.5
X p a ，则a =
2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 三、计算题：
1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X >
2．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。
3．已知随机变量X 只能取1-，0，1，2四个值，相应概率依次为1357,,,24816c c c c
，试确定常数c ，并计算(1)P X <
4．一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X 的分布律和分布函数。
5．设随机变量~(2,),~(3,)X B P Y B P ，若5
{1}9
P X ≥=，求{1}P Y ≥
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第二章 随机变量及其分布（二）
一、选择题：
1．设连续性随机变量X 的密度函数为201
()0x x f x <
其他，则下列等式成立的是 [ A ]
（A ）(1)1P X ≥-= （Ｂ）11()22P X == （Ｃ）11()22P X <= （Ｄ）11
()22
P X >= 解：（A ）1
1
(1)()21P X f x dx xdx ∞
-≥-=
==?
?
2．设连续性随机变量X 的密度函数为ln [1,]
()0[1,]
x x b f x x b ∈?=?
??，则常数b = [ A ]
（A ）e （B ）1e + （C ）1e - （D ）2
e
解：11
1
111()ln ln |ln ln ln |ln 11ln 1(0b b
b
b
b
f x dx xdx x x xd x
b b dx b b x b b b b b b e
+∞
-∞
===-=-=-=-+====?
???舍）
3．设2~(,)X N μσ，要使~(0,1)Y N ，则 [ C ] （A ）X
Y μσ
=
+ （B ）Y X σμ=+ （C ）X Y μ
σ
-=
（D ）Y X σμ=-
4．设~(0,1)X N
，22
()0)x x x e
dt x -
-∞
Φ=
≥（，则下列等式不成立的是 [ C ]
（A ）()1()x x Φ=-Φ- （B ）(0)0.5Φ= （C ）()()x x Φ-=Φ （D ）
(||)2()1P x a a <=Φ- 5．X 服从参数1
9
λ=
的指数分布，则(39)P X <<= [ C ] （A ）1(1)()3F F - （B
）11)9e - （C
1
e
（D ）993x e dx -?
二、填空题：
1．设连续性随机变量X 的密度函数为2
01()0
Ax x f x ?≤≤=?
?其他
，则常数A = 3
2．设随机变量2
~(2,)X N σ，已知(24)0.4P X ≤≤=，则(0)P X ≤= 0.1
三、计算题：
1．设~(1,4),X U 求(5)P X ≤和(0 2.5)P X ≤≤
2．设随机变量X 的密度函数为01()120x
x f x ax b x ≤
=+≤≤???
其他，且37(0)28P X <≤=
求：（1）常数,a b （2）13
()22
P X << （3）X 的分布函数()F x 解
：
32
32
1210112
1
112
377(0)()288
(2)().1 2.
133()(2)224
000.501()0.521121P X xdx ax b dx f x dx xdx ax b dx a b P X xdx x dx x x x F x x x x +∞-∞
<≤=?++=
=++=-=<<=+-+=
<≤<=-+-≤
????.(1)(2) 由又1= (3) 可得，
2
x ???
???≥?
3．设某种电子元件的使用寿命X （单位：h ）服从参数1
600
λ=的指数分布，现某种仪器使用三个该电子元件，且它们工作时相互独立，求：
（1）一个元件时间在200h 以上的概率；
（2）三个元件中至少有两个使用时间在200h 以上的概率。
116003
200111222
33
133
33
3
3
3 1
(200)600
"200"
(2)()(1)()32
x P X e dx e
Y h P Y C e e C e e e
+∞
-
-
-
-
-
-
->===≥=-+=-?使用时间在以上的元件个数.(1)(2)
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第二章 随机变量及其分布（三）
1．已知X 的概率分辨为
210123
20.132i
X
p a a a a a
-- ，试求：
（1）常数a ； （2）2
1Y X =-的概率分布。
0.13210.130.30.20.30.2
a a a a a a Y p +++++=?= 2 -1 0 8 (1) (2 ) 2．设随机变量X 在（0，1）服从均匀分布，求： （1）X
Y e =的概率密度； （2）2ln Y X =-的概率密度。
第5章 静电场 一、选择题 1. 关于电场线, 以下说法中正确的是 [ ] (A) 电场线一定是电荷在电场力作用下运动的轨迹 (B) 电场线上各点的电势相等 (C) 电场线上各点的电场强度相等 (D) 电场线上各点的切线方向一定是处于各点的点电荷在电场力作用下运动的加速度方向 2. 高斯定理(in ) 01d i s S E S q ε?=?∑??r r ò, 说明静电场的性质是 [ ] (A) 电场线是闭合曲线 (B) 库仑力是保守力 (C) 静电场是有源场 (D) 静电场是保守场 3. 根据高斯定理(in ) 01d i s S E S q ε?=?∑??r r ò，下列说法中正确的是 [ ] (A) 通过闭合曲面的电通量仅由面内电荷的代数和决定 (B) 通过闭合曲面的电通量为正时面内必无负电荷 (C) 闭合曲面上各点的场强仅由面内的电荷决定 (D) 闭合曲面上各点的场强为零时, 面内一定没有电荷 4. 高斯定理成立的条件是 [ ] (A) 均匀带电球面或均匀带电球体所产生的电场 (B) 无限大均匀带电平面产生的电场 (C) 高斯面的选取必须具有某些简单的对称性 (D) 任何静电场 5. 将点电荷Q 从无限远处移到相距为2l 的点电荷＋和－q 的中点处, 则电势能的增加量为 [ ] (A) 0 (B) l q 0π4ε (C) l Qq 0π4ε (D) l Qq 0π2ε 6. 下面关于某点电势正负的陈述中, 正确的是 [ ] (A) 电势的正负决定于试探电荷的正负 (B) 电势的正负决定于移动试探电荷时外力对试探电荷做功的正负 (C) 空间某点电势的正负是不确定的, 可正可负, 决定于电势零点的选取 (D) 电势的正负决定于带电体的正负 7. 由定义式?∞ ?=R R l E U ρρd 可知 8. 静电场中某点电势的数值等于 [ ] (A) 试验电荷q 0置于该点时具有的电势能 (B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能 (C) 单位正电荷置于该点时具有的电势能 (D) 把单位正电荷从该点移到电势零点外力所做的功 9. 在电场中有a 、b 两点, 在下述情况中b 点电势较高的是
概率统计试卷二 一、（10分）已知随机变量X 服从参数为1的泊松分布，记事件{}2,X A =≥ {}1,X B =<求()()() ,,.P P P A B A -B B A 二、(10分)对以往数据分析结果表明，当机器运转正常时，产品的合格率为９０％；而当机器发生故障时其合格率为３０％，机器开动时，机器运转正常的概率为７５％，试求已知某日首件产品是合格品时，机器运转正常的概率。 三、（１２分）设（X ，Y ）为二维离散型随机变量，X ，Y 的边缘概率函数分别为 且()01,P XY ==试求： （1）（X ，Y ）的联合概率函数；（2）X ，Y 是否相互独立？为什么？ （3）X ，Y 是否相关？为什么？ 四、（14分）设（X ，Y ）的联合密度函数为()()22,0,0,0, x y e x y f x y -+?>>?=???其余， 试求：（1）()X 1,Y 2;P <> （2）()X Y 1.P +< 五、（12分）假设一条生产流水线在一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障这条流水线可产生利润20万元，一周内发生一次故障时，仍可获利润6万元，发生二次或二次以上故障就要亏损2万元，求一周内这条流水线所产生利润的期望值。 六、（12分）假设生产线上组装每件成品花费的时间服从指数分布。统计资料表明：该生产线每件成品的平均组装时间10分钟。假设各件产品的组装时间相互独立。试求在15小时至20小时之间在该生产线组装完成100件成品的概率。（要用中心极限定理） 七、（16分）设()1n X ,,X 是取自总体X 的一个样本，X 服从区间[],1θ上的均匀分布， 其中1,θθ<未知，求（1）*θθ的矩估计； （2）θθ的极大似然估计； （3）试问：θ是否为θ的无偏估计？若不是，试将θ修正成θ的一个无偏估计。 八、（14分）已知某种食品的袋重（单位：千克）服从正态分布() 2N μσ，，其中
同济大学 09 学年 第一学期 专业 级《 概率统计 》期中试卷 考试形式：（ 闭卷 ） 一、填空题（共 30 分，每空2分）： 1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ，三个事件都发生可表示为 ，都不发生可表示为 . 2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P ，则() =B A P . 3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率为 ，至少取3次才能取到黑球的概率为 . 4．设随机变量X 的分布函数()??? ?? ??≥<≤<≤--<=31318 .0114 .010x x x x x F ，则X 的分布列为 . 5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从 分布，其数学期望为 ，方差为 . 6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}4 12= >k X P . 7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY . 8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()?? ?>-<≤≤-=2 ,20 2225.0x x x x f ，则X 服从 分布，设随机变量 12+=X Y ，则=EY . 二、选择题（共10 分，每小题 2 分） 1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有 （ ） （A ）()0>A B P （B ）() ()A P B A P = （C ）() 0=B A P （D ）()()()B P A P AB P =
第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=
同济大学大学物理下册答案（缺11章） 第九章 热力学基础解答 一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 二、填空题 1．传热； 做功； 其温度的改变量； 过程 2．124.7； -84.3 3．21； 2 4．9.52； 570 5．Pa 1058.74 ? 6．等压； 绝热； 等压； 绝热 7．卡诺； %25 8．320K ； 3.9 三、计算题 1．解：(1)等体过程：01=A ()()5J .1246208031.82 5 11211=-???=-= ?=∴T T C M m E Q V 等温过程：02=?E ()J 32033ln28027331812ln d 2222..V V RT M m V p A Q V V =?+??====∴? J 3203321.A A A =+=∴ J 8.93273.20335.124621=+=+=∴Q Q Q J 5.1246=?E (2)等温过程：03=?E ()J 71687ln22027331812ln 133..V V RT M m A Q =?+??===∴ 等体过程：04=A ()()J 5.1246208031.82 5 11244=-???=-=?=∴T T C M m E Q V J 7168743.A A A =+=∴ J 22934512467168743...Q Q Q =+=+=∴ J 5124643.E E E =?+?=? 2． 解：γ γ C C B B V p V p = ， 3 m 49.3=B V 由图可看出，C C A A V p V p = ； 从状态方程 RT M m pV = 可知 C A T T = 因此在全过程 C B A →→中， 0=?E C B →过程是绝热过程，有0=BC Q B A →过程是等压过程，有
习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件两次出现的面相同}； (2) 记录某电话总机一分钟， (2) 记X为一分钟 2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设取得球的号码是偶数}，取得球的号码是奇数}，取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件： ；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)；；解是必然事件； 是不可能事件； 取得球的号码是2，4}； 取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}； 取得球的号码为奇数，且不小于取得球的号码为5，7，9}； 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6，8，10}； 取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10} 在区间[0,2]上任取一数，记，，求下列事件的表达式： ；(2)B；(3)A； 解 或 (3) 因为，所以； 或或或用事件 的运算关系式表示下列事件： (1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解；AB； ；； ；； ； 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，，试用Ai表示下列事件：
(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解；(2)A1A2A3；(3)A1A2A3；； 6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，，三次射击恰好命中二次}，三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。 解 习题二解答 1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。 解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为A， 则有利于A的样本点数 于是 2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解本题是有放回抽取模式，样本点总数记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D. ⅰ)有利于A的样本点数，故 ⅱ) 有利于B的样本点数，故 20(ⅲ) 有利于C的样本点数，故 ⅳ) 有利于D的样本点数，故 3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。 解本题是无放回模式，样本点总数 (ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利 样本点数为，所求概率为 (ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为，
第二章 1．解：X 的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。 X =2对应于一种情形：（1，1），则{}1126636 P X == =′； X =3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}2136618 P X ===′； X =4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}3146612 P X ===′； X =5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则 {}41 5669P X == =′； X =6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则 {}5566636P X == =′； X =7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则 {}617666 P X == =′； 类似地，可以算得 {}5586636P X == =′，{}419669P X ===′，{}31 106612P X ===′， {}21116618P X ===′，{}11 126636 P X ===′。 因此，X 的分布律为 [()](),,,{}[()](),,,|| ,,,,,166167 , 23736363666167 , 8912363667 234111236 i i i i P X i i i i i i ì------??===??==í ?-----?==????--= =L L L 2．解：设随机变量X 表示产品质量的等级，X 的可能取值为1，2，3。由题可知， 一级品数量：二级品数量：三级品数量=2 ：1 ：0.5= 4 ：2 ：1， 因此可求得X 的分布律为 1 23421777 k X P 3．解：X 的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为 {}.007P X == ，{}...10307021P X ==?，{}....20303070063P X ==创=， {} (303030307) 00189P X ==创?，{} (403030303) 00081P X ==创?。 即X 的分布律为
同济大学概率论与数理统计 复习试卷 1、对于任意二个随机事件B A ,，其中1)(,0)(≠≠A P A P ，则下列选项中必定成立的是( ) （A ） ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分必要条件； (B) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的充分条件非必要条件； (C) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的必要条件非充分条件； (D) ()()A B P A B P = 是B A ,独立的既非充分条件也非必要条件. 2、 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ，在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为 . 3、 对任意常数)(,,b a b a <，已知随机变量X 满足 (),()P X a P X b αβ≤=≥=. 记()b X a P p ≤<=,则下列选项中必定成立的是 ( ) (A))(1βα+-=p ； (B) )(1βα+-≥p ； (C) )(1βα+-≠p ； (D) )(1βα+-≤p . 4、 设随机变量X 的概率密度为 ???<<=其它,010,5)(4x x x f ，则使得)()(a X P a X P <=>成立的常数=a ，X Y ln 2-=的密度函数
为=)(y f Y . 5、如果22,,EY EX ∞<<∞且X 与Y 满足()(),D X Y D X Y +=-则必有 （ ） ()A X 与Y 独立； ()B X 与Y 不相关； ()()0C D Y =； ()()()0.D D X D Y = 6、 设12,,n X X X 相互独立且服从相同的分布， ∑====n i i X n X X D X E 1 111,3)(,1)(，则由切比雪夫不等式可得() ≤≥-11X P ，∑=n i i X n 121依概率收敛于 . 7、 设521,X X X 独立且服从相同的分布， ()1,0~1N X .()()2 542321X X X X X c Y +++=.当常数c = 时,Y 服从自由度为 的F 分布. 8、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，
习 题 一 1．下列随机试验各包含几个基本事件？ （1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个 一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的 任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。 （2）观察三粒不同种子的发芽情况。 解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。 （3）从五人中任选两名参加某项活动。 解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序， 所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。 解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。 （5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。 解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一 个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因 为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？ 解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样 本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；
(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．
同济大学大学物理下册答案（缺11 12章） 第九章 热力学基础解答 一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 二、填空题 1．传热； 做功； 其温度的改变量； 过程 2．124.7； -84.3 3．21； 2 4．9.52； 570 5．Pa 1058.74? 6．等压；绝热；等压；绝热 7．卡诺； %25 8．320K ；3.9 三、计算题 1．解：(1)等体过程：0 1=A ()()5J .1246208031.82 5 11211=-???=-= ?=∴T T C M m E Q V 等温过程：0 2=?E ()J 32033ln28027331812ln d 2222..V V RT M m V p A Q V V =?+??====∴? J 3203321.A A A =+=∴J 8.93273.20335.124621=+=+=∴Q Q Q J 5.1246=?E (2)等温过程：0 3=?E ()J 71687ln22027331812ln 133..V V RT M m A Q =?+??===∴ 等体过程：04=A ()()J 5.1246208031.82 5 11244=-???=-=?=∴T T C M m E Q V J 7168743.A A A =+=∴J 22934512467168743...Q Q Q =+=+=∴ J 5124643.E E E =?+?=? 2．解：γγ C C B B V p V p =，3 m 49.3=B V 由图可看出，C C A A V p V p =；从状态方程RT M m pV =可知C A T T = 因此在全过程C B A →→中，0=?E C B →过程是绝热过程，有0=BC Q B A →过程是等压过程，有
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？ 1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-. 1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率. 1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率. 1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率. 1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率. 1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -. 1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.
高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o
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普通物理（下）学习总结 第九章——热力学基础 章节概述：热力学整章的重点在于理想气体动态方程、热力学两大定律在各种状态下的应用以及卡诺定理用来计算各种热机的效率。 1、 开尔文温度和摄氏温度的换算。t=T-273.15 2、 平衡状态、准静态过程和非静态过程的区别。对于一个孤立系统而言，如果其宏观性质 经过充分长的时间后保持不变，即系统的状态参量不再随时间改变，此时系统属于平衡态。而如果系统在变化过程中，每一个中间状态都无线接近于平衡态，则称之为准静态过程。 3、 理想气体的状态方程：注意玻尔兹曼常量和斯密特常量的定义。 4、 焦耳的实验，定义了热功当量。如用做功和传热的方式使系统温度升高相同时，所传递 的热量和所做的功总有一定的比例关系，即1卡热量=4.18焦耳的功可见，功与热量具有等效性。做功与传热虽然有等效的一面，但本质上有着区别。做功：通过物体作宏观位移完成。作用是机械运动与系统内分子无规则运动之间的转换。从而改变内能。传热：通过分子间相互作用完成。作用是外界分子无规则热运动与系统内分子无规则热运动之间的转换。从而改变了内能。 5、 对微小过程，即准静态过程，dW dE dQ += 6、 等温等压过程、绝热过程、多方过程中热力学第一定律的应用。 7、 热循环、制冷机与热机的关系、卡诺循环及其效率的计算。
8、热力学第二定律的两种表述（克劳斯修表述和开尔文表述）。开尔文表述（开氏表述）： 不可能从单一热源吸取热量，使它完全变为有用功而不引起其它变化。克劳修斯表述（克氏表述）：热量不能自动地从低温物体传到高温物体。 第十章——气体动理论 章节概述：本章主要讲述了气体动理论的两个基本公式——压强公式和能量公式，理解分子热运动的原理，能够理解热力学第二定律和熵的意义。在本章中还大量地运用了统计规律来对分子的热运动进行分析，即通过对微观物理量求统计平均值的方法得到宏观物理量。 1、自然界的一切宏观物体，无论是气体、液体亦或是固体，都是由大量分子或原子构成。分子间存在相互作用力。构成物质的分子处于永恒的、杂乱无章的运动之中。 2、理想气体的压强公式和气体温度的微观实质。气体的温度其实标志着气体内部分子无规则热运动的剧烈程度，代表了气体分子的平均平动动能。 3、刚性分子的自由度。 多原子分子 3 3 6 内能公式为。
自动化专业培养计划 一、学制 四年制本科。 二、业务培养目标 本专业培养学生运用所掌握的理论知识和技能，从事国民经济、国防和科研各部门的运动控制、过程控制、导航、制导与控制、现代集成制造系统、模式识别与智能系统、人工智能、系统工程、网络控制、现代测控技术、信号处理与控制、计算机应用等领域的科学研究、技术开发、教学及管理工作。 三、业务基本要求 本专业学生主要学习电工电子技术，控制理论，运动控制与过程控制，传感器与自动检测，信号与信息处理、计算机技术与应用，网络与通信技术等方面的基本理论和基本知识，受到较好的工程技术实践基本训练，具有系统分析、设计、开发、运行与研究、管理维护的基本能力。 四、毕业生应获得的知识和能力 1、具有一定的人文社会科学、经济管理知识及相关的工程技术知识； 2、具有较扎实的专业必需的自然科学基础理论知识； 3、系统地掌握本专业较扎实的技术基础理论知识和必要的专业知识； 4、具有较强的电工电子技术方面的动手能力和必要的自动化方面的工程技 能训练； 5、具有较好的英语综合能力，达到国家英语四级或以上的水平； 6、具有较好的计算机软硬件基础知识和较强的计算机应用能力； 7、较好地掌握运动控制、工业过程控制、电力电子技术及信息采集传输处 理等方面的知识； 8、对自动化和电子信息领域的新技术、新动态有一定的了解； 9、具有较宽广的工作适应性，能适应各种领域的自动化和电子信息方面的 科技与管理工作。 五、主干学科 控制科学与工程、系统工程、检测技术与自动化装置、模式识别与智能系统、导航、制导与控制、信息工程、电气工程及自动化、计算机科学与技术。 六、主要课程
第三章 1．解：考虑分5次取产品，每次取一个。设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数，引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果： 1 0 i i X i i ?=??，第次取到次品 （=1,2,3,4,5)，第次取到合格品 则有 12345X X X X X X =++++ 易知，X i 有相同的分布律： 14 1099 5 1001{1}10 i C P P P X ?=== ， 19{0}110 10 i X P ==- = 则911 ()0110 10 10 i X E =? +?= ，于是 5 123451 1()()()50.510 i i E X E X X X X X E X ==++++= = ?=∑ 。 注意：随机变量X 并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。为了理解这一点，可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值；或者改成100个产品中有2个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量X 的可能取值。 2．解：设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数，由于每个人生日在各个月份的机会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此(,)1 3 4X B ，那么3人中生日在第 一季度的平均人数为().130754 E X n p ==?=。 3．略。 4．解：由于()X P λ ，因此(),()E X D X λλ==，再由公式()()[()]22 D X E X E X =-，可求得()()[()]2 2 2 E X D X E X λλ=+=+。 由数学期望的性质，有 [()()][]()()2 222 1232 32 32 22 E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+ 则可得到关于λ的方程 2 221λλ-+= 亦即 2 210λλ-+=
第一章 质点运动学 班号 学号 姓名 日期 一、 选择题 1． 一个质点在Oxy 平面上运动，已知质点的运动方程为j t i t r 2252 （SI ），则该质点 作 （A ）匀速直线运动； （B ）变速直线运动； （C ）抛物线运动； （D ）一般曲线运动。 （ B ） 2．一个质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程， 表示曲线的切线方向。下列几个表达式中，正确的表达式为C （A ）a t d d v ； （B ）v t r d d ； （C ） v t s d d ； （D ） a t d d v 。 （ C ） 3．沿直线运动的物体，其速度的大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是 （A ）与速度大小成正比； （B ）与速度大小的平方成正比； （C ）与速度大小成反比； （D ）与速度大小的平方成反比。 （ B ） 4．下列哪一种说法是正确的 (A) 在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心； (B) 匀速率圆周运动的速度和加速度都恒定不变； (C) 物体作曲线运动时，速度的方向一定在运动轨道的切线方向上，法向分速度恒等于零；因此其法向加速度也一定等于零； (D) 物体作曲线运动时，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。 （ D ） 5． 如图所示，路灯距离地面高度为H ，行人身高为h 以匀速v 背向路灯行走，则人头的影子移动的速度为 (A) v H h H ； （B ）v h H H ； (C ） v H h ； （D ） v h H 。 （ B ） 6．一物体从某一确定高度以0v 的速度水平抛出，已知它落地时 的速度为 t v ，那么它运动的时间是 (A) g t 0v v ； (B) g t 20v v ； (C) g 2120 2 t v v ； (D) g 2120 2 t v v 。 选择题5图
新型军事下的中国崛起 什么是崛起？ 16世纪西班牙与葡萄牙的崛起来自殖民地的扩张与黄金的积累。 17世纪荷兰的崛起来自现代商业的发展。 18、19世纪英国的崛起来自于殖民扩张与资本积累之外，还来自于它科学技术的发展。20世纪的美国崛起除了传统领域的领先外，更是来自于它太空技术，计算机互联网技术上的绝对领先。 可见，国家的崛起的含义并非是一成不变的，所谓崛起的重要标志除了传统领域上的领先之外，更来自于时代命题下的竞争。 “高瞻远瞩，看清未来”一个大国崛起的最先前标志，总来自于它对时代命题的把握，谁最先抓住时代机遇，谁就最有可能成为未来崛起的大国。因此崛起后的大国无一不是有着和先前大国不一样的领先。 而任何一个崛起后的大国都有一个重要标志，那就具有十分充裕的国家资金和强大的军事力量。不论软实力多么重要，硬实力的提升永远会是一个国家崛起的重要标志。 为什么会崛起 西班牙，葡萄牙的崛起来自于纯粹的军事暴力和原始资本积累。 而后荷兰来自于建立现代银行，债券，股票以及股票交易所来积累了资金，靠着海上马车夫强大的海军征服世界版图。 到了英国崛起，则首先是亚当斯密的国富论是英国对于经济有了最先进的观念，牛顿的物理与数学体系让英国对世界有了最先进的认知，而瓦特的蒸汽机则使英国有了最先进的动力，他们构成了第一次工业革命使英国获得了日不落帝国的霸权。 德国的崛起与英国实际上是相似的，而后俄罗斯，日本等的崛起则靠的是向西方列强的学习。 直到美国崛起，世纪大国崛起的舞台上又有了丰富的含义。 首先是恩格斯提出了完全不同于亚当的经济学理论，其次是物理学的又一次革命在美国的普林斯顿高等研究院开始，其次是互联网这一时代命题最先由美国阿帕网开始建立，美国自由开放的思想造就了一批出色的工业家。 崛起的内容越来越复杂，他们崛起的方式也经历了漫长的演变，由最开始最原始的武装暴力和和血腥的资本积累，到现代的，高科技的武装威慑和看上去公正的经济竞争，以及新的竞争内容体现出了更多文化，科学上的软实力较量。揭露出的规律是，谁把握了未来发展新领域上的竞争，谁就可以成为大国。 而今天中国崛起的道路上更多的是提出了看像过去，用过去的大国要求来衡量自己是否会成功毫无疑问已经是一种过时的想法，只有将眼光看到未来竞争的疆场，在未来新领域的竞争中获得超越，才真的可以成为一个大国。
第1章 质点运动学 一、选择题 1. 一质点作抛体运动, 忽略空气阻力, 在运动过程中, 该质点的t d d v 和t d d v 的变化情 况为 [ ] (A) t d d v 的大小和t d d v 的大小都不变 (B) t d d v 的大小改变, t d d v 的大小不变 (C) t d d v 的大小和t d d v 的大小均改变 (D) t d d v 的大小不变, t d d v 的大小改变 2. 一质点在平面上作一般曲线运动, 其瞬时速度为v , 瞬时速率为v , 平均速度为v , 平均速率为v , 它们之间的关系必定为 [ ] (A) v v = v v = (B) v v ≠ v v = (C) v v ≠ v v ≠ (D) v v = v v ≠ 3. 下面各种判断中, 错误的是 [ ] (A) 质点作直线运动时, 加速度的方向和运动方向总是一致的 (B) 质点作匀速率圆周运动时, 加速度的方向总是指向圆心 (C) 质点作斜抛运动时, 加速度的方向恒定 (D) 质点作曲线运动时, 加速度的方向总是指向曲线凹的一边 4. 一抛射物体的初速度为0v , 抛射角为θ, 如图所示．则该抛物线最高点处的曲率半径为 [ ] (A) ∞ (B) 0 (C) g 20v (D) θ22 0cos g v 5. 质点作曲线运动, r 表示位置矢量的大小, s 表示路程, a 表示加速度大小, 则下列各 式中正确的是 [ ] (A) a t =d d v (B) v =t r d d (C) v =t s d d (D) a t =d d v 6. 质点作变速直线运动时, 速度及加速度的关系为 [ ] (A) 速度为0, 加速度一定也为0 (B) 速度不为0, 加速度也一定不为0 (C) 加速度很大, 速度也一定很大 (D) 加速度减小, 速度的变化率也一定减小 7. 一质点在平面上运动, 已知质点位置矢量的表示式为j t b i t a r 2 2+=(其中a 、b 为 常量) , 则该质点作 [ ] (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物曲线运动 (D) 一般曲线运动 8. 一质点在xOy 平面内运动, 其运动方程为Rt t R x ωω+=sin ,