专项训练2巧用坐标求图形的面积的四种方法
方法总结：
1.规则图形的面积可用几何图形的面积公式求解，对于不规则图形的面积，通常可采用补形法或分割法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和或差求解．
2．求几何图形的面积时，底和高往往通过计算某些点的横坐标之差的绝对值或纵坐标之差的绝对值去实现．
直接求图形的面积
1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求△ABC的面积．
(第1题)
利用补形法求图形的面积
2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD的面积．
3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．
(第3题)
利用分割法求图形的面积
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．
(第4题)
已知三角形的面积求点的坐标
5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若△AOB的面积为12，则点B 的坐标为()
A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)
6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．
7．已知A(－3，0)，B(5，0)，C(x，y)．
(1)若点C在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝3，求点C的坐标，并求△ABC的面积；
(2)若点C在第四象限内，且△ABC的面积为8，|x|＝4，求点C的坐标．
参考答案
1．解：因为C 点的坐标为(－4，4)，
所以△ABC 的AB 边上的高为4.
因为点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，(4，0)，所以AB ＝6.
所以S △ABC ＝12×6×4＝12. 2．解：如图．过D 点作DE 垂直于BC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形DABE 为直角梯形． 又由题意知DE ＝2，AB ＝6，BE ＝3，EC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝S 梯形DABE －S △CDE
＝12×(2＋6)×3－12
×1×2 ＝11.
(第2题)
3．解：如图，作长方形CDEF ，
则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD·DE －12AD·CD －12AE·BE －12BF·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12
×2×7＝18. (第3题)
(第4题)
4．解：如图，过A 点作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过B 点作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知OD ＝4，AD ＝10，DE ＝8，
BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S
四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD·AD ＋12AE·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12
×(8＋10)×8＝
100.
方法指导：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法不是唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法．
5．A
6．解：AB ＝6－(－4)＝10.
根据三角形的面积公式，
得12
AB ·|m|＝12， 即12
×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. 因为点C(3，m)，所以点C 在第一象限或第四象限．
当点C 在第一象限时，m ＞0，
则m ＝2.4；
当点C 在第四象限时，m ＜0，
则m ＝－2.4.
综上所述，m 的值为－2.4或2.4.
7．解：(1)因为点C 在第二象限内，
且|x|＝3，|y|＝3，
所以点C 的坐标为(－3，3)，
S △ABC ＝12
×[5－(－3)]×3＝12. (2)由题意可知AB ＝8.
因为点C 在第四象限内，|x|＝4，
所以x ＝4.
因为△ABC 的面积为8，
所以S △ABC ＝12
×8×|y|＝8. 所以|y|＝2.
又因为点C 在第四象限内，
所以y ＝－2.
所以点C 的坐标为(4，－2)．
各种图形面积计算公式 1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽S=ab 4、正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高S=ah 7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径?=πr 11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 12、长方体的体积=长×宽×高V =abh 13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a.a.a= a 15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 17、圆柱的体积=底面积×高V=Sh V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h
18、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3 19、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 V=Sh 各种图形体积计算公式 平面图形 名称符号周长C和面积S 1、正方形a—边长C＝4a S＝a2 2、长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 3、三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 4、四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 5、平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 6、菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 7、梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh
《组合图形的面积》案例分析 乐民镇中心小学陈金英 一、教材分析： 组合图形面积是在基本图形的面积公式学习之后进行的。解题的基本理念是将组合图形转化为基本图形进行计算，需要发散学生的思维，会分析图形的构成，能够正确分析图形的隐含数据条件，鼓励学生一题多解，积极探索。 二、案例片段 （一）动手拼图，自主探究。 【片段一】 1、拼摆图形，探究方法。 师：请你从学具中任选两个基本图形，拼出一个组合图形，粘在答题纸的方框内。边做边思考：你拼的组合图形由哪个基本图形组成的？怎么求这个组合图形的面积呢？ 2、展示图形，分析条件。 师：这个图形很有创意，像一个小房子。请你说说这座小房子有哪些图形组成？怎样求出它的面积呢？ 生：它是由三角形和长方形拼成的。先求三角形面积，再求长方形面积，最后求出它们的和。 师：叙述得很有条理，还有谁愿意展示？肖楠同学的拼图像两层楼梯。 生：上面是正方形，下面是长方形…… 3、打开思路，探索面积 师：想一想这些图形的计算方法有什么共同的特点？ 【分析】通过动手拼摆图形，不仅激发学生学习的兴趣，而且让学生在亲历拼摆过程中理解了组合图形的意义。同时也在学生的头脑中构建了组合图形的知识结构；在交流中激活了学生的思维，使其初步掌握用分割法计算组合图形面积。
(二）合作交流，发展思维。 【片段二】 １、谈话引出例题，合作探索学习 师：刚才同学们的回答特别精彩，想法也非常巧妙，现在智慧老人准备给客厅铺上地板，这就是他家的客厅平面图，大家说一说，这是什么图形？（出示P88页平面图）。 师：请你估计图形的面积有多大？如何准确计算这个客厅的面积呢？ 2、引导学生将组合图形转化成学过的基本图形。小组合作交流解决组合图形面积计算问题。 学生自由汇报：可能出现"分割法"和"添补法"（用多媒体显示） 3、讨论"分割法" A、对于"分割法"要让学生明确：分割的图形越简洁，其解题的方法也将越简单。要考虑分割的图形与所给条件的关系。有些图形分割后找不到相关的条件就是失败的。 B、总结算法：用“分割法”计算组合图形的面积就是求分割后基本图形的面积之和。 4、讨论"添补法" A、为什么要补上一块？补上一块后计算的方法是怎样的？ B、总结算法：用“添补法”求组合图形的面积就是求添补后的图形与所添补图形的面积之差。 【分析】通过学生合作交流，使学生进一步掌握了运用分割法或添补法计算组合图形面积，并且知道了分割图形时，要考虑到所给的条件和计算的方便。在交流多种方法的过程中，也培养了学生的发散思维的能力。 (三）拓展应用，一题多解 【片段三】 1、小试身手 解决书本89页的"练一练"第2题。由学生尝试独立解答，全班进行方法交流，并让学生试着从中归纳出较好的方法。
小学数学平面图形计算公式： 1 、正方形：周长＝边长×4；面积=边长×边长 2 、正方体：表面积=棱长×棱长×6；体积=棱长×棱长×棱长 3 、长方形：周长=(长+宽)×2；面积=长×宽 4 、长方体：表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2；体积=长×宽×高 5、 三角形：面积=底×高÷2 6 平行四边形：面积=底×高 7 梯形：面积=(上底+ 下底)×高÷2 模块一、基本公式的应用 【例 1】 如图，两个正方形边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分。则两个正方形的空白 部分的面积相差多少平方厘米？ 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第9题，10分 【解析】 5×5－4×4=9（平方厘米），两个正方形的空白部分的面积相差9平方厘米。 【答案】9平方厘米 【巩固】 如图12，边长为4cm 的正方形将边长为3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等 于 2 cm 。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，19题 【解析】 空白部分的面积差等于两个正方形的面积差，即?-?=44337（平方厘米）。 【答案】7平方厘米 【例 2】 在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽2米的路(如图)，这条路的面积是120平方米，那么水池 的面积是______ 平方米。 水池 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，19题 【解析】 四个边角的面积和为2×2×4=16，则水池的边长为：104÷2÷4=13，所以水池的面积是：13×13=169平 例题精讲 知识点拨 4-2-1.基本图形的面积计算
猿辅导五年级秋季·能力班第四讲 组合图形的面积（一） 一、知识点汇总 知识点1： 组合图形是由几个简单的图形组合而成的，其面积既可以看作几个简单图形的面积和，也可以看作几个简单图形的面积差。 知识点2： 计算组合图形的面积，要运用割补法，根据已知条件，对图形进行割补，转化成已学过的简单图形，分别计算它们的面积，再求和或差。 知识点3： 网格线法：利用网格线将图形分成很多个小格，每个小格的面积均相等，在由已知部分求整体或者已知整体求部分。知识点4： 求不规则阴影部分的面积，常用整体减部分的方法。 二、练习 1、填空 （1）如图所示，该图形的面积为_________。
（2）下列图形的面积为______。44 （3）计算下面图形的面积，列式是_______。 （4）已知正六边形ABCDEF的面积为72，则图中阴影部分的图形为______。 （5）两个完全一样的三角形重叠在一起，阴影部分面积是______。 （6）如图，梯形的面积是__________（单位：厘米）
（7）已知大的正六边形面积是平方厘米，按下图中的方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积是_______平方厘米 (8)如图，每个小网格都是边长为的小正方形，如果正方形和正方形的顶点都在网格点上，那么，阴影部分的面积是_______。 2、应用题 （1）如图是由一个大正方形和一个小正方形拼成的图形，已知小正方形的边长是6厘米，空白部分的面积是66平方厘米，则阴影部分的面积是多少？
（2）如图所示，大正方形和小正方形的边长分别是4cm、3cm，求阴影部分的面积。 （3）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （4）正方形ABCD与正方形CDEF水平放置组成如图所示的组合图形，已知该组合图形的周长是62厘米，DG长2厘米，那么，图中阴影部分三角形的面积是多少？
平面直角坐标系提升练习 热身题：如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动． （1）a= ，b= ，点B的坐标为； （2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时， 求点P移动的时间． 题型一:已知面积求点的坐标 1．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3） … （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．（2）求△ABC的面积； （3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等， 求点P的坐标． 2、已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）． （1）求△ABC的面积是多少 （2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S △ACP =2S △ABC ，求点P的坐标 / （3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S △BCQ =2S △ABC ，求点Q的坐标
3、如图，在平面直角坐标系2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S △APD =S ABOC ，若存在，请 求出t值，若不存在，请说明理由． 】 3、点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少 （3）当S=12时，求点P的坐标； （4）△OPA的面积能大于24吗为什么 { 4、如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0 （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
点的坐标与面积以及坐标系与平行线专题1. 2.如图，在平面直角坐标系中，A（0,3），B（5，2） （1）若点C在y轴上，S△ABC=10，求C点坐标； （2）若点P在x轴上，且S△ABC=8，求P点坐标 3、在直角坐标系中，△ABC的顶点A（ —2，0），B（2，4），C（5，0）． （1）求△ABC的面积 （2）点D为y负半轴上一动点，连BD交x轴于E，是否存在点 D使得 ADE BCE S S ?? =？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点F（5，n）是第一象限内一点，，连BF，CF，G是x轴上一点，若△ABG的面积等于四边形ABDC的面积，则点G的坐标为（用含n的式子表示） 4、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点 A，B 的对应点C，D连结AC，BD． (1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC； （2）在y轴上是否存在一点P，连结P A，PB，使S△P AB＝S△PDB，若存在这样一点，求出点P点坐标，若不存在，试说明理由； 精品文档
（3）若点Q自O点以0.5个单位/s的速度在线段AB上移动，运动到B点就停止，设移动的时间为t秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB的面积是四边形ABCD面积的三分之一？ 5. 在一点Q，使S△PCQ=0.5S四ABCD. 6.（2014洪山区） 7. 精品文档
精品文档 8. 9.如图，ABCD 为一长方形纸片，E 为BC 上一点，将纸片沿AE 折叠，B 点落在形外的F 点。 α F D B E A C 图3 图2 C A E B D F 图1 F D B E A C （1）如图1，当∠AEB=40°时，∠DAF 的度数为_____.（直接填空） （2）如图2，连BD ，若∠CBD=20°，AF∥BD，求∠BAE； （3）如图3，当AF∥BD 时，设∠CBD=α，请你直接写出∠BAE=__________（用α表示，直接填空）。 10.如图, 四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠DAC=∠DCA ， （1）试说明AB 与CD 的位置关系， 并予以证明； D C B A (2)若∠ACB=∠ABC ，作CE 平分∠DCA 交AD 于E ，CF 平分∠ECB 交AB 于F ，求∠ECF 的度数。 F E D C B A (3)若P 是AB 下一点, PQ 平分∠BPC, PQ ∥CN, CM 平分∠DCP, 若∠ABP =30°，下列结论：①∠DCP －∠MCN 的值不变；②∠MCN 的度数不变。可以证明, 只有一个是正确的, 请你作出正确的选择并求值。 M N Q P D C B A 11
第二讲不规则图形面积的计算（二） 不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。 例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。 解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。 解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半. 例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。 解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD
例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。 解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD ＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。 例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。 分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长. ＝（157-7）×2÷20 =15（厘米）。 例5 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
五上 第六单元《组合图形的面积》知识点总结 1、组合图形的意义 由几个简单的图形，通过不同的方式组合而成的图形。 2、求组合图形面积的方法 （1）“分割求和”法：根据图形和所给条件的关系，将图形进行合理分割，形成 基本图形。基本图形的面积和就是组合图形的面积。 例： 求法：S = S 长方形 + S 梯形 （2）“添补求差”法：将图形所缺部分进行添补，组成几个基本图形。几个基本 图形的面积减去添补图形的面积就是组合图形的面积。 例： 求法：S = S 长方形 - S 梯形 3、分割规则：分得越少，计算越简单。 4、不规则图形面积的估计与计算的方法 （1）数格子的方法：数格子时，不满一格的可采用凑整法将几个合拼成一格 或不满一格算半格。 （2）把不规则图形看成一个近似的基本图形,测量后计算出面积。
5、常见基本图形的面积 （1）长方形：周长＝(长+宽)×2字母公式： C=(a+b)×2 面积＝长×宽字母公式：S＝ab （2）正方形：周长＝边长×4字母公式：C=4a 面积＝边长×边长字母公式：S＝a2 （3）平行四边形的面积＝底×高字母公式：S＝ah 底=面积÷高；高=面积÷底 （4）三角形的面积＝底×高÷2 字母公式：S＝ah÷2 底=面积×2÷高；高=面积×2÷底 （5）梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2 字母公式：S＝(a＋b)×h÷2 上底=面积×2÷高－下底；下底=面积×2÷高－上底；高=面积×2÷（上底+下底）6、常用的单位间的进率 （1）长度单位：千米（km）米（m）分米（dm）厘米（cm）毫米（mm）1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米 （2）面积单位：平方千米（km2）公顷平方米（m2）平方分米（dm2）平方厘米（cm2）1平方千米=100公顷=1000000平方米 1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米=10000平方厘米 1平方分米=100平方厘米 （3）质量单位：吨（t）千克（kg）克（g） 1吨=1000千克 1千克=1000克 【注】单位换算的方法：大化小，乘进率；小化大，除以进率。 五上《数学好玩》知识点总结 1、设计秋游方案 既要考虑费用，花费的钱尽量少；又要考虑合理利用，尽量没有空位或剩余。 2、点阵图中的规律 通过观察前后图形中点的变化规律，推理出后续图形中点的数量。 3、鸡兔同笼 （1）列表法：逐一列表法、跳跃列表法、折中列表法。 （2）假设法。（3）列方程。 五上第七单元《可能性》知识点总结 1、判断游戏是否公平：要看事件发生的可能性是否相等。 2、用分数表示可能性的大小：客观事件中，“不可能”出现的现象用数据表述是“可能性是0”，“一定能”出现的现象用数据表述是“可能性是1”，
复习：求下列条件下线段AB 的长度. 1）A(－6，0)，B(－2，0) 2）A(－3，0)，B(2，0) 3）A(1，0)，B(5，0). 4）A(x 1，0)，B(x 2，0). 5）A(0，y 1)，B(0 ，y 2 ). 一、有一边在坐标轴上 例1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC 的面积. 分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值. 解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的距离，即AB 边上 的高为4，所以三角形ABC 的面积为12462 1=??. 二、有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积. 分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积. 解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则 D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC 的面积为10542 1=??. 三、三边均不与坐标轴平行
平面图形面积————圆的面积 班级 姓名 上课时间 专题简析：在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。并且同学们应该牢记几个常见的圆与正方形的关系量：在正 方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的3.144 ,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的23.14 ,这些知识点都应该常记于心，并牢牢掌握！. 例题1 。求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【分析】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成1/4圆的面积。 62×3.14×1/4＝28.26（平方厘米） . 练习1求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 例题2。 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【分析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。 3.14×42×1/4－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米） 练习2: 计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。 例题3。在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。 【分析】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。 既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米） 阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米） 答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。. 练习3 1、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。 2、如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的 面积（试一试，你能想出几种办法）。
坐标系与图形面积 安徽 李庆社 在平面直角坐标系中，求一个三角形的面积，则需要根据三角形的各顶点的坐标，确定边长或高，进而求出三角形的面积．而对于四边形，五边形等图形面积的计算，则往往需要转化为三角形解决． 例1 如图1，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上. 其中，A 点坐标为（3，2），则△ABC 的面积为 平方单 位. 解析：由于A 点坐标为（3，2），所以B 点坐标为（5，6）， C 点坐标为（2，5），要求△ABC 的面积，如图可以转化为求直角 梯形ABED 的面积和Rt △ACD 、Rt △BCE 的面积，此时有E 点坐 标为（2，6），D 点坐标为（2，2），于是△ABC 的面积为12 （AD+BE ）×DE －12 ×AD ×CD －12 ×CE ×BE ＝12 ×（1+3）×4－12 ×1×3－12 ×1×3＝5（平方单位）. 例2 如图2，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （2，3），B （4，0），C （－2，0）．求△ABC 的面积． 分析:观察图形可知，BC 在x 轴上，BC 的长为4－（－2）=6．要求三角形的面积，还应确定BC 边上的高．点A 到x 轴的距离恰好为BC 边上的高． 解：因为BC=4－（－2）=6，BC 边上的高就点A 到x 轴的距离，因为点A 的坐标是（2， 3），所以BC 边上的高是3，所以S △ABC =12 ×6×3=9． 评注：当三角形有一边在横轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点的横坐标差的绝对值，则这边上的高，等于另一顶点纵坐标的绝对值;当三角形的一边在纵轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点纵坐标差的绝对值，这边上的高，等于另一顶点的横坐标的绝对值． 例3 如图3，平面直角坐标系中，已知点A （－3，－2），B （0，3），C （－3，2）．求△ABC 的面积． 分析：在△ABC 中只有边AC 的长度是比较好求的，所以找到AC 边上的高，而点A 到纵轴的距离恰好是AC 边上的高． 解：AC=|2－（－2）|=4，作AC 边上的高BD ，而BD 就等于点A 到纵轴的距离，因 为点A 的坐标是（－3，－2），所以BD=|－3|=3，所以S △ABC =12 ×4×3=6．
基本图形的面积计算 小学数学平面图形计算公式： 1 、正方形：周长＝边长×4；面积=边长×边长 2 、正方体：表面积=棱长×棱长×6；体积=棱长×棱长×棱长 3 、长方形：周长=(长+宽)×2；面积=长×宽 4 、长方体：表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2；体积=长×宽×高 5、 三角形：面积=底×高÷2 6 平行四边形：面积=底×高 7 梯形：面积=(上底+下底)×高÷2 模块一、基本公式的应用 【例 1】 如图，两个正方形边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分。则两个正方形的空白 部分的面积相差多少平方厘米？ 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第9题，10分 【解析】 5×5－4×4=9（平方厘米），两个正方形的空白部分的面积相差9平方厘米。 【答案】9平方厘米 【巩固】 如图12，边长为4cm 的正方形将边长为3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等 于 2 cm 。 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，19题 【解析】 空白部分的面积差等于两个正方形的面积差，即?-?=44337（平方厘米）。 【答案】7平方厘米 【例 2】 在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽2米的路(如图)，这条路的面积是120平方米，那么水池 的面积是______ 平方米。 水池 【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，19题 【解析】 四个边角的面积和为2×2×4=16，则水池的边长为：104÷2÷4=13，所以水池的面积是：13×13=169平 方米。 【答案】169平方米 例题精讲 知识点拨
北师大版小学五年级上 组合图形的面积（复习） 【学习目标】 1.掌握各图形的面积公式； 2.学会用分割组合求面积。 【知识点一：基础知识】 在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点： 1.两个三角形等底、等高，其面积相等； 2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系； 3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。 4.在求组合图形的面积时，通过把它转化成基本图形来计算。把组合图形转化成基本图形的方法有：分割法和添补法、割补法。 组合图形面积
组合图形—转化→基本图形 【知识点二：组合图形的面积】 1.用分割法求组合图形的面积 【例1】求图中阴影部分的面积．（单位：cm） （1）（下图每小格为1平方厘米） 【变式1】 如图是一个组合图形，请用两种方法计算出这个图形的面积（单位：米）
【变式2】 一条长方形毛巾，长60厘米，宽25厘米，把它的4个角折向同一面（如图），所得的每个三角形的面积都是32平方厘米，求图中阴影部分面积． 2.添补法求组合图形的面积 【例2】求图中阴影部分的面积．（单位：cm） 3.通过基本图形的关系求面积
【例3】已知图中阴影部分的面积是8.2平方厘米，求梯形的面积． 【变式1】求图中阴影部分的面积．（单位：厘米） 【变式2】已知如图大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是3厘米，求阴影部分的面积． 【变式3】求如图平行四边形中阴影部分的面积．（单位：厘米）
【变式4】正方形面积是25平方厘米，△ADE的面积比△ACE的面积大1.5平方厘米，求DE的长和梯形ABCE的面积． 【变式5】如图，ABCD是长方形，AD长10厘米，AB长6厘米，CDEF是平行四边形，BH长4厘米，求图中阴影部分的面积． 三．方法总结 1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；
平面直角坐标系中面积及坐标的求法 1 、平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗 2、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，-2），B（0，-1），C（1，1），求△ABC的面积。 3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。求这个四边形的面积。
4、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的四个点A、B、C、D的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。 5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1），B （-1，4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积；
6、在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上， 且△ABC的面积12，求点C的坐标。 7、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。
8、已知，点A （-2，0）B （4，0）C （2，4） （1）求△ABC 的面积； （2）设P 为x 轴上一点，若12 APC PBC S S =，试求点P 的坐标。 9、在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S =，求 点P 的坐标
10、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上， 18ABC S =， （1）求点C 的坐标； （2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得1 2 APC ABC S S =。若存在，请 求出P 的坐标，若不存在，说明理由。 11、在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1，0），（3，0）， 现同时将点A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。 （1）求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积； （2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使1 2 APB ABDC S S = 四，若存在这样的点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由。
曲线型组合图形的面积计算方法姓名对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有： 一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计 算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。例如下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。 30厘米 二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图 形的面积之差。例如下图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。 三、
四、 重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。 五、 辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便. 六、 割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。 七、 平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。例如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边长方形内，这样整个阴影部分恰是一个长方形。 旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下左图中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A 与C 重合，从而构成如下右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。 九、 对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半。例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB 在原图下方作关于AB 为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。 十、 重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA ∪B ＝SA ＋SB-SA ∩B ）解决。例如欲求下图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部 分的面积恰好是两个扇形重叠的部分。 10厘米 6厘米 4厘米 20厘米 8厘米 10厘米 20厘米 30厘米 10厘米
组合图形的面积 学生姓名___________学科年级_____________ 教师姓名平台上课时间_____________ 1通过对三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形和组合图形的对比，理解组合图形的面积的求法 2.通过的视觉刺激，引促进学生对组合图形面积求法的有效记忆 3.通过视觉类比法，引导学生建构学科知识体系，激发解决相关问题的潜能 （25分钟） 回顾旧知识 标注出关键词，包括：数字字母、公式 探索新知识
那么组合图形的面积如何求解呢? 认识组合图形 标注出关键词，包括：数字字母、公式 （老师写出新知识） 1、掌握分割法和添补法求组合图形面积 2、熟记常见几何图形面积公式 （15分钟） 5 米2 米 5米
例2：求下列组合图形中的阴影部分的面积 （1） 巩固：求下面图形阴影部分的面积 1、 2、 3、 10 例3：求右图等腰直角三角形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 4
（15分钟） 练习题与例题知识点内容、难度、题型匹配
4 、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 5、求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 6、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。 至少2个习题 （5分钟）打印版和手写版，每个不少于3行 内容小结今天讲解了组合图形的面积的计算内容，利用割补和切补法把组合图形变成简单的图形，通过生动形象的视觉类比法让同学们对新知识产生更浓烈的学习兴趣和激情，（在这我们要注意：同学可以谈知识上的收获；也可以谈其它方面的收获，只要是学生的真实感受，老师就要鼓励。) 教师评语 （由老师根据学生当堂学习情况填写，包括学习情况、学习建议等，不少于2行） （20分钟）
组合图形的面积计算 组合图形的面积计算 教学内容:第106例10和响应的“试一试”，练一练和练习十九的第6~9题。 教学目标：1、使学生掌握计算环形的面积的方法，并能准确掌握和计算其他一些简单组合图形的面积。 2、进一步应用圆的周长公式和面积公式解决一些和生活相关的实际问题。使学生进一步体验图形和生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。 教学过程： 一、教学例10。 1、出示圆环图形，这是什么图形？你知道吗？ 2、出示例10题目，读题。 师：这是由两个同心圆组合成的圆环，要计算它的面积，你有什么好的方法？独立思考。 小组讨论，确立解题思路。 交流：（1）求出外圆的面积（2）求出内圆的面积（3）计算圆环的面积 3、学生独立操作计算。 4、组织交流解题方法，提问：有更简便的计算方法吗？ 小结：求圆环的面积一般是把外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法分配率进行简便计算。
二、“试一试” 1、出示题目和图形，学生读题。 师：（1）这个组合图形是有哪些基本图形组合而成的？ （2）半圆和正方形有什么相关联的地方？ 明确：正方形的边长就是半圆的直径。 （3）思考一下，半圆的面积该怎样计算？ 2、学生独立计算。 3、交流解题方法，注意提醒学生半圆的面积必须把整圆的面积除以2。 小结：圆、半圆和其他基本的平面图形组合在一起，产生了许多美丽的组合图形。在计算组合图形面积的时候，大家要看清，整个图形是由哪些基本的图形组合而成的。 三、巩固练习。 1、“练一练”。 思考：（1）求涂色部分的面积，需要计算哪些基本图形的面积？ （2）计算这些基本图形的面积分别需要哪些条件？ （3）第一个图形，两个基本图形有什么联系？第二个图形呢？ 明确：左图中长方形的宽与圆的半径相等，右图中半圆的直径是三角形的高。 学生独立完成，并全班反馈交流。 2、练习十九第6～9题。 （1）第6题。先学生独立完成，再交流。
知识点 有几个简单的图形拼出来的图形;我们把它们叫做组合图形. 计算组合图形的面积的方法是多种多样的.一般运用的方法是“分割法”和“添补法”. 分割法;即将这个图形分割成几个基本的图形.分割图形越简洁;其解题的方法也将越简单;同时又要考虑分割的图形与所给条件的关系. 添补法;即通过补上一个简单的图形;使整个图形变成一个大的规则图形. 运用所学的知识;解决生活中组合图形的实际问题. 能正确估计不规则图形面积的大小. 能用数格子的方法;计算不规则图形的面积. 估计、计算不规则图形面积的内容主要是以方格图作为北京进行估计与计算的;所以借助方格图能帮助建立估计与计算不规则图形面积的方法. 五年级数学（上册）：《组合图形的面积》试题 1、求图形的面积(单位：厘米) 梯形面积：三角形面积： （8+12）×8.5÷2 12×3÷2 = 20×8.5÷2 = 36÷2 = 170÷2 = 18（cm2） = 85（cm2） 图形面积= 梯形面积–三角形面积：85-18=67（cm2） 2、校园里有两块花圃(如图);你能计算出它们的面积吗?(单位：m)
图形面积=长方形面积6×（5-2）+ 正方形面积（2×2）图形面积=长方形面积 - 梯形面积 6×（5-2）+ 2×2 10×6 –[（3+6）×2÷2 ] = 6×3 + 4 = 60 -[ 9×2÷2 ] = 18 + 4 = 60 - 9 = 22（m2）= 51（m2） 3、下图直角梯形的面积是49平方分米;求阴影部分的面积. 直角梯形的高=直角三角形的高（阴影部分面积） 直角梯形的高= 49÷（6+8）×2 直角三角形面积= 6×7÷2 = 49÷14×2 = 42÷2 = 3.5×2 = 21（dm2） = 7（dm2） 4、图中梯形中空白部分是直角三角形;它的面积是45平方厘米;求阴影部分面积. 直角梯形的高=直角三角形的高梯形面积=（5+12）×7.5÷2 = 45÷12×2= 17×7.5÷2 = 3.75×2 = 127.5÷2 = 7.5（cm2）= 63.75（cm2） 阴影部分面积=梯形面积–空白部分面积：63.75 - 45 = 18.75（cm2） 5、阴影部分面积是40平方米;求空白部分面积.（单位：米） 梯形的高=三角形的高（阴影部分三角形）梯形面积=（6+10）×8÷2 = 40÷10×2 = 16×8÷2 = 4×2 = 128÷2 = 8（m2）= 64（m2） 空白部分面积=梯形面积–阴影部分面积：64–40 = 24（m2） 6、如图;平行四边形面积240平方厘米;求阴影部分面积. 梯形的下底=平行四边形的底梯形面积=（15+20）×12÷2 = 240÷12 = 35×12÷2 = 20（cm）= 420÷2 = 210（cm2） 阴影部分面积= 平行四边形面积–梯形面积：240–210 = 30（cm2）
平面直角坐标系 学生：授课时间：
A. （1,2 ）和（1,8） B.（-2，5 ）和（4,5） C. （ 4,8 ） D.（ -2,2） 8.已知：)3,4(A ，B （4，1），C （-2,1） （1）AB 与坐标轴的位置关系？线段AB 的长度是多少？ （2）BC 与坐标轴的位置关系？线段BC 的长度是多少？ 9.已知点)1,5(-m A ，点)1,4(+m B ，且直线y AB //轴，则m 的值为多少？若直线AB ∥X 轴呢？m 的值是多少？ 10. 将点P （－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q （x ，y ），则xy ＝___________ 11. 已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积. 四、坐标平面三角形面积的求法 1.有一边在坐标轴上或平行于坐标轴
【例1】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？ 2.三边均不与坐标轴平行 【例2】平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？ 二、平面直角坐标系四边形面积的求法 【例3】如图，你能求出四边形ABCD的面积吗？ 解法二：如下图，分别过点A、D作平行于y轴的直线，与过点C平行于x轴的直线交于点E、F. 1、 2、
3、 4、 5.已知A（-2,0），B（4,0） （1）若点C在坐标轴上，三角形ABC的面积=9，求点C的坐标。 （2）若点C在第四象限，三角形ABC的面积=12，C到Y轴的距离等于3，求C的坐标。
专题平面直角坐标系中的面积问题 学习目标： 1.了解平面直角坐标系中点与点之间的距离； 2.掌握平面直角坐标系中的三角形的面积的几种求法； 3.会求定三角形的面积和动三角形的最值问题. 学习过程 【知识准备】 规定：如图1，平面直角坐标系中有两点A（-1,0），B（2,3），过B点作x轴的垂线，垂足为C.其中线段AB的长度是两点的实际距离，线段AC的距离是两点的水平距离，线段BC 是两点的竖直距离。 图1 图2 (1)A、B两点的实际距离是____，水平距离是_____，竖直距离是_______； (2)在y轴上有一个点D（0，3），求出△ABD的面积?（至少用2种方法） 【典例探究】 探究：如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（1,0）、B（4,3）. 图1 图2
(1)点D 是y 轴的定点，坐标为（0,4），求△ABD 的面积? (2)点D 是直线y =2x 上一动点，若△ABD 的面积为3，则点D 的坐标为_______； (3)如图2，抛物线c bx x y ++=2 经过点A 、B 两点，点D (m ，n )是抛物线上一个动点，其中41<
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