三角形全等的判定
—“边角边”判定定理
教学内容：
本节课的主要内容是探索三角形全等的条件“边角边”以及利用“SAS”判定定理证明三角形全等。
教学目标：
1、知识与技能：
探索、领会“SAS”判定两个三角形全等的方法
2、过程与方法：
经历探索三角形全等的判定方法的过程，能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单推理，并能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。
3、情感态度与价值观：
培养学生合理的推理能力，感悟三角形全等的应用价值，体会数学与实际生活的联系。
学情分析：学生们已经学习了全等三角形的性质和“边角边”的判定定理，这为过渡到本节内容的学习起到了铺垫的作用。
重难点与关键：
1、重点：会用“边角边”证明两个三角形全等。
2、会正确运用“SAS”判定定理，在实践观察中正确选择判定三角形的方法，既是难点也是关键点。
教学方法：
采用“操作---实验”的教学方法，让学生有一个直观的感受。教学过程：
1、创设情境。
复习全等三角形的性质，复习提问SSS判定定理以及构成全等三角形的六个元素，列举单独的一个或两个元素不能判定两三角形全等。要三个元素有SSS、SAS、ASA、AAS。（AAA、SSA）
2、导入新课
活动1：画△ABC,∠B=60°BC=7cm.AB=5cm,用剪刀剪下来，看一下同桌的两个同学的图形能否完全重合。引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系
由活动1：让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。
边角边判定定理：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
活动2：画△ABC，AB=7cm，AC=5cm，∠B=300,观察同桌
所做的两个图形能否完全重合。（强化类比“SAS”）由学生观察总结出“边角边”不一定能判定两三角形全等。所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹角对应相等才能判定两三个角全等。
活动3：教师利用交互式电子白板进行上边的两个活动。
归纳结论：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
3、例题讲解：
例１、若AB=BＣ，∠１=∠２
求证：△ABＤ≌△CＢD
例2、填空：
(1)如图
3，已知AD∥BC，AD＝CB
△ABC≌△CDA
件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)。
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：一是___________,二是____________还需要一个条件________________(这个条件可以证得吗？)。
四、练习提高
1、已知：AD∥BC，AD＝CB(图3)。
求证：△ADC≌△CBA．
问题：如果把图3中的△ADC 沿着CA 方向平移到△ADF 的位置(如图5)，那么要证明△ADF ≌ △CEB ，除了AD ∥BC 、AD ＝CB 的条件外，还需要一个什么条件(AF ＝ CE 或AE ＝CF)？怎样证明呢？
2、已知：如图D 、E 分别是△ABC 的边
AB,AC 的中点,点F 在DE 的延长线上,且
EF=DE ．
求证：(1)BD=FC
(2)AB ∥CF
作业设计：44页10
课外考场
1、 已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一
条直线上
求证：BE=AD(变式△ECD 绕C 点旋转一定角度还相等吗？)
2、如图，已知，AB ∥DE ，AB=DE ，
AF=DC 。请问图中有那几对
全等三角形？请任选一对给予证明。
C B E
D A
关于《全等三角形的判定（角边角）》的说课稿 各位评委、各位老师： 大家好！今天我说课的题目是华东师大版实验教科书《数学》八年级上册第13章《全等三角形》第2节第三课时《全等三角形的判定方法——角边角》。下面，我将从教材分析、教学目标分析、教法学法分析及教学过程等几个方面对本课的设计进行说明。 一、教材分析（说教材）： 1、教材所处的地位和作用： 本节在知识结构上，它是同学们在学习了三角形有关要素、全等图形的概念的学习以及学习第一种识别方法“S.A.S”的基础上，进一步学习三角形全等的判定方法，为后续的学习内容奠定了基础，是初中数学的重要内容。在能力培养上，无论是动手操作能力、逻辑思维能力，还是分析问题、解决问题的能力，都可在全等三角形的教学中得以培养和提高。利用全等三角形可以证明线段相等、角相等，学好全等三角形对相似三角形的学习打下良好的基础，因此，全等三角形的教学对以后的学习是至关重要的。 2、教学目标： （1）让学生在探究的过程中得出“A.S.A”公理和推导出“A.A.S”定理。 （2）使学生会运用“A.S.A”公理和“A.A.S”定理解决实际问题。 3、教学重点、难点： 本着课程目标，在充分理解教材的基础上，我确立了如下的教学重点、难点。 教学重点：理解应用“角边角公理”及其推论，并能利用它们判定两个三角形全等。 教学难点：如何引导学生探索发现“A.S.A”公理和推导出“A.A.S”定理并灵活运用。 下面为了讲清重点和难点，使学生达到本节课的教学目标，我再从教法和学法上谈谈： 二、教学策略（说教法）： 1、教学手段： 根据本节课的教学特点和学生的实际情况：本节课我采用“创设问题情境→引导探索→发现归纳→运用与拓展”来展开，并用多媒体辅助演示和训练，在探索三角形全等判别方法的过程中，不是简单地让学生去发现课本上给出的判别方法，而是让学生通过动手操作经历知识形成，从而调动、引导学生发现三角形全等的判别方法，给学生创设自主探索、合作交流、独立获取知识的机会，进而让学生更好地理解和掌握三角形全等的判定方法, 教师给于充分肯定。通过本节课的教学，让学生学会自己探索知识，发现掌握、主动获取知识的能力，逐步养成通过合作交流形成勇于探索的意识，从而养成尊重客观事实和形成质疑的习惯。 2、教学方法： 明确探究方向，创设情境，激发学生的兴趣，让学生明白数学来源于生活，服务于生活。使学生都能获得学习数学的兴趣和热情，体现了新课程标准“学生是数学学习的主人”的理念。引导学生从不同角度去观察，培养观察能力、创新能力. 鼓励和提倡解决问题策略的多样化，引导学生与他人合作交流，取长补短，养成良好的学习习惯. 三、学情分析：（说学法） 其内容本身有一定难度，农村中学学生的学习水平参差不齐，在七年级时曾对三角形的中线、角平分线和高都进行了学习和应用，并不是所有学生都掌握的很好，由于基础教育发展的不均衡，知识的储备量有限，甚至有的同学对前面的知识有可能已经忘记了或者有些混淆，更有的同学对数学的学习已经失去兴趣或信心，但对八年级的学生却又已经具备了一定的学习能力。 四、教学过程： 1、回顾与探索：
全等三角形（三）AAS 和ASA 【知识要点】 1．角边角定理（ASA ）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. 2．角角边定理（AAS ）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 【典型例题】 例1．如图，AB ∥CD ，AE=CF ，求证：AB=CD 例2．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠，求证：BD=CE. 例3．如图，已知：ABD BAC D C ∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD. 例4．如图已知：AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E ，F.求证：AE=CF. 例5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE. A E B D C F O A D E B C A B O D C D F C O B A E A B D C E O 1 2 3
例6．如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点F 在AD 上，点E 在BC 上，AF=CE ，EF 的对角线BD 交于O ，请问O 点有何特征？ 【经典练习】 1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,'，C C '∠=∠则△ABC 与△C B A ''' . 2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠请补充一个条件，使△ABC ≌DFE,补充的条件是 . 3．在△ABC 和△C B A '''中，下列条件能判断△ABC 和△C B A '''全等的个数有（ ） ①A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B BC ''= ②A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A C A ''=' ③A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B AC ''= ④A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A B A ''=' A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．如图，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM ≌△CDN 的是（ ） A ． N M ∠=∠ B. AB=CD C ． AM=CN D. AM ∥CN 5．如图2所示， ∠E =∠F =90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论： ①∠1=∠2 ②BE=CF ③△ACN ≌△ABM ④CD=DN 其中正确的结论是_________ _________。(注：将你认为正确的结论填上) A B C D O 图2 图3 6．如图3所示，在△ABC 和△DCB 中，AB =DC ，要使△ABO ≌DCO ，请你补充条件________________(只填写一个你认为合适的条件). 7. 如图，已知∠A=∠C ，AF=CE ，DE ∥BF ，求证：△ABF ≌△CDE. A F D O B E C 1 2 A B C F E D M N A C B D
全等三角形角边角判定的基本练习 V三角形辅助线做法＞图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 注意：三角形全等的条件的选用选择哪种方法判定两个三角形全等, 要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：已知条件可选择的判定方法 一边一角对应相等SAS、AAS ASA 两角对应相等ASA、AAS 两边对应相等SAS、SSS 但形如“ SSA和“ AAA不能判定三角形全等。 1. 如图，∠ ABC∠ DCB ∠ ACB∠ DCB 试说明△ ABC^△ DCB. 4 / D
2. 已知：如图，∠ DAB∠ CAB ∠ DBE∠ CBE 求证：AC=AD. 3. 已知：如图，AB=AC ∠ B=∠ C, BE DC交于O点。求证：BD=CE. 4. 如图：在厶ABC和厶DBC中，∠ ABD∠ DCA,∠ DBC∠ ACB求证: AC=DB 5. 如图，D E分别在AB AC上，且AD=AE DB=DC ∠ B=∠ G 求证: BE=CD.
6. 如图，已知：AE=CE ∠ A= ∠ C ∠ BED ∠ AEC 求证：AB=CD. 9. 如图，AB // CD, AD BC 交于O 点，EF 过点O 分别交AB CD 于E 、 F ,且AE=DF, 求证：O 是EF 的中点. 求证: ZA=ZB. BE=CF l 求证:AB=DC. C F
全等三角形边角边判定的基本练习 一、例题与练习 1、填空： (1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)。 (2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD ≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：一是___________,二是____________还需要一个条件________________(这个条件可以证得吗？)。 2、例1 、已知：AD∥BC，AD＝CB(图3)。求证：△ADC≌△CBA．问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？
例2 、已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)。求证：△ABD≌△ACE。 练习： 1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．
A B C D E 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。
课题：11.2.3全等三角形的判定（角边角、角角边）（总第课时） 课型：新授课时：第三课时 执笔人：李春艳审核人：司艳珍 教学目标 1. 会说出三角形全等判定的角边角及其推论。 2．会应用角边角和角角边证明两个三角形全等，进而证明线段相等或角相等。 教学重点和难点 1.重点：会利用角边角定理证明三角形全等。 2.难点：在证明三角形全等时三个条件要分清楚是哪种判定方法 学法指导：启发式教学 教学过程： 一课前预习 1.作图：已知：△ABC，(让同学们自己画）再画一个三角形A′B′C′,使B′C′=BC, ∠ B′= ∠ B, ∠ C′= ∠ C. （1）.按步骤作图 （2）与同桌重叠比较，看所做的三角形ABC是否重合？ （3）从中你发现了什么？ 2、总结：两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” 3、在△ABC和△DEF中，角A=角D,角B=角E,BC=EF, △ABC与△DEF全等吗？ 4通过以上探讨得出结论：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 二．课中研讨 （一）重点研讨 (一)重点研讨 5．已知：如图中，∠1＝∠2，∠C＝∠D。求证：AC＝AD
（二） 深化提高： 6. 如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300， 则∠DCB= 度； 7、已知：如图，∠DAB=∠CAB ，∠C=∠D ，求证：AC=AD （三）达标测试 8、已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 交于O 点，AB=AC ，∠B=∠C. 求证：BD=CE 三．课后巩固 9、判断题： （1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等。（ ） （2）有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等。（ ） 10、下列条件能否判定△ABC ≌△DEF. （1）∠A=∠E AB=EF ∠B=∠D （2）∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E 11、如右图：已知，∠ABE=∠CBD, ∠BCE=∠DBA,EC=AD 。求证：AB=BE,BC=DB 学习反思： C B A
全等三角形的判定二复习 .判定复习 角边角公理:两个三角形两组角及两组角的夹边对应相等的两个三角形全等。简 写为：边角边公理。”(SAS) 角角边推论:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或（AAS） 1、如图，/ ABC M DCB / ACB W DCB 试说明△DCB. 3、已知：如图，AB=AC , M B=M C, BE DC交于O点。求证：BD=CE. 4、如图：在厶AB(和△ DB(中, M ABD M DCA,M DBC M ACB求证：AC=DB. 2、已知：如图，/ DAB M CAB M DBE M CBE 求证：AC=AD. E
5、如图，D E 分别在 AB AC 上，且 AD=AE DB=DQ / B=Z C,求证：BE=CD. 6、如图，已知：AE=CE Z A 二/ C,/ BED W AEC 求证：AB=CD. 7、已知：如图，AB// DE , AC// DF , BE=CF ，求证：/ A= / D. A n C B
9、如图，AB // CD, AD BC 交于O 点, EF 过点O 分别交 AB CDf E 、F ,且AE=DF, 求证：O 是EF 的中点. 10. 如图，在△ ABE 中，AB= AE,AD= AC,/BAD=Z EAC, BC DE 交于点 O. 求证：(1) △ ABC^A AED (2) OB = OE . 11. 如图，D 是等边△ ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△ EDC , 连接AE ,找出图中的一组全等三角形，并说明理由. &已知：如图 , AD// BC AB// DC 求证: A E
全等三角形边角边判定 的练习题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
全等三角形边角边判定的基本练习 1.如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是 ___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗)。 2.如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：一是___________,二是 ____________还需要一个条件________________(这个条件可以证得吗)。 3.已知：AD∥BC，AD＝ CB(图3)。求证：△ADC≌△CBA． 4.已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)。求证：△ ABD ≌△ACE。 5.已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中 点。求证：△ABE≌△ACF。 6、已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE， BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 7、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 8、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 9、已知：如图，AD∥BC，AD=CB。求证：△ADC≌△CBA。 10、已知：如图，AD∥BC， AD=CB，CF=AE。求证：△CEB≌△AFD。 11、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB=AC，DF=AE，AD⊥EA，AD⊥FD，垂足分别是A、D。求证：△FDC≌△EAB 12、已知：如图，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2。求证：△ACE≌△ABD。
第3课时“角边角”“角角边” 教学目标 1．三角形全等的条件：角边角、角角边． 2．三角形全等条件小结． 3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件． 4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题． 教学重点 已知两角一边的三角形全等探究． 教学难点 灵活运用三角形全等条件证明． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 三个角、三个边、两边一角、两角一边． （2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？ 三种：①定义；②SSS；③SAS． 2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？ Ⅱ．导入新课 问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？ 1．两角和它们的夹边． 2．两角和其中一角的对边． 问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，?你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？ 将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC ，?能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？ ①先用量角器量出∠A 与∠B 的度数，再用直尺量出AB 的边长． ②画线段A′B′，使A′B′=AB ． ③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A ，使∠D′AB=∠CAB ，∠EB′A′=∠CBA ． ④射线A′D 与B′E 交于一点，记为C′ 即可得到△A′B′C′． 将△A′B′C′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． C ' A ' B ' D C A E 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？ 探究问题4： 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ D C A B F E 证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180° ∠A=∠D ，∠B=∠E ∴∠A+∠B=∠D+∠E ∴∠C=∠F 在△ABC 和△DEF 中