开鲁一中2020-2021学年度上学期
高三年级第三次阶段性考试数学（理）学科试题
命题人：王金艳 时间：2020.11
一、选择题
1．已知集合{
}2
13
A ,,a =，{}1
B ,a 2=+，若A
B B =，则实数a 的取值为（ ）
A ．1
B ．-1或2
C ．2
D ．-1或1
2．若复数z 满足(1)2i z i -=，则下列说法正确的是（ ）
A ．z 的虚部为i -
B ．z 为实数
C ．
z = D ．2z z i +=
3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31235S a a +=，则数列{}n a 的公比为（ ）
A B
C ．2
D ．4．随着电子商务的快速发展，快递服务已经成为人们日常生活中必不可少的部分.国家邮政局数据显示，我国快递业务量已连续6年居世界榜首，下图是我国2011—2019年的快递业务量(单位：亿件)及增速情况，则以下说法正确的是（ ）
A ．2012—2019年我国快递业务量的增速逐年减少
B ．2013—2014年我国快递业务量的增速最大
C ．2019年我国快递业务量比2015年大约增长300%
D ．2019年我国快递业务量比2014年增加了495.6亿件 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A
B ．
83
C
．D ．
43
第5题 第6题
6．冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
7．已知1x >，0y >，且
12
11x y
+=-，则2x y +的最小值为（ ）
是
A ．9
B ．10
C ．11
D ．7+8．某集团军接到抗洪命令，紧急抽调甲?乙?丙?丁四个专业抗洪小组去A ，B ，C ，D 四地参加抗洪抢险，每地仅去1人，其中甲不去A 地也不去B 地，乙与丙不去A 地也不去D 地，如果乙不去B 地，则去D 地的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
9．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30B ∠=?，ABC ?的面积为3
2
，且sin sin 2sin A C B +=，则b 的值为( )
A ．
B ．4﹣
C 1
D 1
10．在ABC 中，AB AC AB AC +=-，3AB =，4AC =，则CA 在CB 方向上的投影为（ ）
A ．4
B ．
16
5
C ．
163
D ．5
11．数列{}n c 满足111
2(22)(21)
n n n n c +++=--，其前n 项和为n T ，若999
1000n T <成立，则n 的最大值是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
12．已知函数()()1
ln ,0,k e f x x x k k x
=+-∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点
()()1122,,,M x y N x y 使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行，则12x x ?的取值范围是（ ）
A ．2,e ??
+∞????
B ．24,e ??
+∞??
??
C ．2,e ??
+∞
???
D ．24,e ??
+∞
???
二、填空题
13．设实数x ，y 满足不等式组1021010x y x y x y -+≥??
--≤??+-≥?
，则2x y -的最小值是________.
14．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6
π
个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,
2π??
????
上是单调递减函数，则实数ω的最大值为________. 15．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22663n
n n S a ??+=-? ???
（*n N ∈），则数列{}n a 中最大项
等于______.
16．已知函数()()21,1
22,1a
x x f x x a x ?-+
，若函数()1y f x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取
值范围是________. 三、解答题
17．已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且122,1=+S a 是1a 与3a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足()22log =+?n n n b S a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．已知函数()()2
2
sin sin cos cos f x x a x x b x x R =++∈，且
()03f =
，6f π??=
???
. （1）求该函数的最小正周期及对称中心坐标；
（2）若方程(
)2f x =
的根为α，β且()k k Z αβπ-≠∈，求()tan a β+的值.
19．学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：
某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）.
本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分X的分
E X.
布列及数学期望()
20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 分别为AC 和11B C 的中点.
（1）证明：//DE 平面11ABB A ；
（2）若AB BC ⊥，12AB BC AA ===，求二面角B AE D --的余弦值.
21．已知函数()1x f x e x =--，2)(ax x g =（a R ∈）. （1）求()f x 的值域；
（2）当(),a t ∈+∞时，函数()()()2F x f x g x =-+有三个不同的零点，求实数t 的最小值； （3）当()0,x ∈+∞时，()()
()()ln 1f x x x g x ++≥恒成立，求a 的取值范围.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{
sin ,
x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极
点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（2）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()21f x x x =--+ （1）解不等式()0f x x +>．
（2）若关于x 的不等式()2
2f x a a ≤-的解集为R ，求实数a 的取值范围．
开鲁一中高三年级第三阶段性考试数学（理）学科试题答案
1.C
2.C
3.C
4.D
5.B
6.B
7.B
8.A
9.D 10.B 11.A 12.D 13. -1 14.
32 15.8
9
16.[)3,6 17.【答案】（1）2,*n n a n N =∈；（2）2
(1)24
n n T n +=-?+.
【详解】（1）等比数列{}n a 的公比设为q ，12S =，即12a =，
21a +是1a 与3a 的等差中项，可得()13221a a a +=+，
所以2
222(21)q q +=+，整理求得2q
， 则1222,*n n n a n N -=?=∈；
（2）由（1）可求得12(12)2212
n n n S +-==--，
()21122log 2log 22n n n n n n b S a n ++=+?=?=?，
∴234
11222322n n T n +=?+?+?+
+?.①
345221224322+=?+?+?+?+?n n T n ，②
①－②得234
1222222n n n T n ++-=+++
+-?
24(12)212
n n n +-=-?-222242(1)24n n n n n +++=--?=-?-， 所以2(1)24n n T n +=-?+，
18.【答案】(1) 最小正周期为π.对称中心坐标为(),228k k Z ππ??
+∈
??
?；(2)-1 【详解】（1）由()03f =
，562f π??
= ???
得：31344b b =??
?+=
??32b a =??=-?
， ()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x ∴=-+22cos sin 21x x =-+cos2sin 22x x =-+
224x π?
?=++ ??
?，
22
T π
π∴=
=，即函数的最小正周期为π. 由()24
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈得：()28
k x k Z ππ
=
+∈ ∴函数()f x 的对称中心坐标为(),228k k Z ππ??
+∈ ???
；
（2）由题意得：()(
)2f f αβ==
，即cos 2cos 244ππαβ????+=+ ? ?????， 22244k π
παβπ??∴+
=++ ???或()22244k k Z ππαβπ?
?+=-++∈ ??
?，
则k αβπ-=或()4
k k Z π
αβπ+=-
+∈，
由()k k Z αβπ-≠∈知：()4
k k Z π
αβπ+=-
+∈，
()tan tan 14παβ??
∴+=-=- ???
.
19. 【答案】分布列见解析，()321
32
E X =
分； 解：（1）随机变量X 的可能取值为9、9.5、10、10.5、11， 设一评、二评、仲裁所打分数分别为x ，y ，z ，
()()()99,99,11,9P X P x y P x y z ====+===()11,9,9P x y z +===
11111324444432
=?+???=， ()()()9.59,1010,9P X P x y P x y ====+==1112424
=??=，
()()111
1010,10224
P X P x y =====?=，
()()()10.510,1111,10P X P x y P x y ====+==()()9,11,1011,9,10P x y z P x y z +===+===
111115222444216
=??+???=， ()()1111,11P X P x y ====()()11,9,119,11,11P x y z P x y z +===+===
11111324444432
=?+???=. 所以X 分布列如下表：
数学期望()99.51010.51132441632E X ?
+?+?+?+?=32
=
.
20.【答案】（1）详见解析；（2 【详解】（1）如图，作线段BC 中点F ，连接DF 、EF ，
因为F 是线段BC 中点，点D 为线段AC 的中点， 所以//DF AB ，
因为F 是线段BC 中点，点E 为线段11B C 的中点，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，
所以1//EF B B ，
因为DF EF F =，直线AB
平面11ABB A ，直线1B B ?平面11ABB A ，
所以平面//DEF 平面11ABB A ，
因为DE ?平面DEF ，所以//DE 平面11ABB A .
（2）如图，以B 为原点、BC 为x 轴、BA 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系，
则()0,0,0B ，()0,2,0A ，()1,0,2E ，()1,1,0D ，
()0,2,0BA =，1,0,2BE
，1,1,0AD ，0,1,2DE ，
设()111,,n x y z =是平面BAE 的法向量，
则00
n BA n BE ??=?
?=?，即11
10
20y x z =??
+=?，
令12x =，则()2,0,1n =-，5n =， 设()222,,m x y z =是平面AED 的法向量，
则00
m AD m DE ??=?
?=?，即22220
20
x y y z -=??
-+=?，
令22x =，则()2,2,1m =，3m =
令二面角B AE D --为θ，
则35cos θ
35m n m
n
， 故结合图像易知，二面角B AE D --. 21.【答案】（1）∵()1x
f x e =-'，由()0f x '=得，
0x =
∴()f x 在区间(]
,0-∞上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，
∴函数()f x 的值域是[)0,+∞；
（2）()2
e 1x F x ax x =--+，∴()21x F x e ax '=--，()2x
F x e a ''=-
当0a ≤时，()0F x ''>，()F x '
单调递增
又()00F '=，∴()F x '在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，∴
()()00F x F ''≥=，∴()F x 在R 上单调递增，不合题意.-
当0a >时，由()20x
F x e a '=->'，得ln(2)x a >，
∴()F x '在区间(],ln(2)a -∞上单调递减，在区间[
)ln(2),a +∞上单调递增，
∵(0)0F '=，12102a F e a -?
?-=> ???
∴若1
02
a <<
，则在区间(]
,ln(2)a -∞上存在1x ， 当()1,x x ∈-∞时，()0F x '>，
当()1,0x x ∈时，()0F x '<，当()0,x ∈+∞时，()0F x '> ∴()F x 在区间()1,x -∞上单调递增，在区间()1,0x 上单调递减， 在区间()0,+∞上单调递增，此时函数()F x 有且只有一个零点.-
当1
2
a >
时，存在()2ln(2)x a ∈+∞，
，使得()222210x F x e ax '=--=， ∴()F x 在区间(),0-∞上单调递增，
在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增， 从而要使()F x 有三个零点，必有()22
22210x
F x e ax x =--+<，
∴()2
222120ax a x --->，即()()22210x ax -+>，∴22x >，
又∵2212x e a x -=，令()12x e h x x -=，则()()2112x x e h x x
-+'= ∵当2x >时，()0h x '>，∴()h x 在区间()2,+∞单调递增，
∴()2124e a h ->=，即2min 1
4
e t -=
.- （3）()()2
ln 1f x x x ax ++????()
()2
1ln 1e -x
x ax ?+，
∴()
()()()()
2
ln 1e -1e -1e -1ln 1e 1ln 1ln 1x x
x
x x x x a
x x x x +
+==-++，- 令()e -1x m x x =，则()()2
1e x
x m x x -'=
，
令()()1e 1x
x x ?=-+，则()e x
x x ?'=，
∵0x >，∴()0x ?'>，()x ?在()0,+∞上单调递增， ∴()()1
010x e
??>=-
>，于是()m x 在()0,+∞上单调递增， 又由（1）知当()0,x ∈+∞时，e 1x x >+
恒成立，∴()ln 1x x >+，
∴
()
()()
1,1ln 1m x a m x >+，
∴a 的取值范围是(]
,1-∞. 22.【答案】（Ⅰ）()30,0,2?
????
；
（Ⅰ）4.
【解析】
（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C
的直角坐标方程为220x y +-=．联
立2
2
2220,{0,
x y y x y +-=+-=解得0,{0,x y ==
或{3,
2
x y =
=所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)
和3)2． （Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为
(2sin ,)αα，B 的极坐标为
．所以2sin 23cos AB αα=-4()3
sin π
α=-
，
当56
π
α=
时，AB 取得最大值，最大值为4． 23.【答案】（I ）{
31x x -<<或}3x >；（II ）3a ≥或1a ≤-. 详解：(1)不等式()0f x x +>可化为21|x x x -+-.
当1x <-时，()()21x x x --+>-+解得3x >-即31x -<<-； 当12x -≤≤时，()21x x x --+>+解得1x <即11x -≤<； 当2x >时，21x x x -+>+解得3x >即3x >;
综上所述:不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >. (2)由不等式()2
2f x a a ≤-可得
2212x x a a ---≤-； 21x x ---≤ 213x --= 223a a ∴-≥，即2230a a --≥
解得3a ≥或1a ≤-
故实数a 的取值范围是3a ≥或1a ≤-.