第一章《勾股定理》单元测试（二）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1、在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，BC AB =32
，则边AC 的长是（ ）
A 、5
B 、3
C 、34
D 、13
2、如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高是（ ）
A 、22
3 B 、105
5 C 、55
3 D 、55
4 3、如果△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 4、把直角三角形两直角边同时扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的（ ） A 、2倍 B 、3倍 C 、4倍 D 、5倍
5、对于任意两个正整数m 、n （m ＞n ），下列各组三个数为勾股数的一组是（ ） A 、m 2+mn ，m 2－1，2mn B 、m 2－n 2，2mn ，m 2+n 2 C 、m+n ，m －n ，2mn D 、n 2－1，n 2+mn ，2mn
6、如图2，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ） A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上答案都不对
A
B
C 图1
A
B
C
图2
A
北
东
南
图3
7、如图3，一轮船以16海里/小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，则离开港口2h 后，两船相距（ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里 8、下列叙述中，正确的是（ ）
A 、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B 、如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C 、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+b 2=c 2，则∠A=90°
D 、如果△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，那么c 2=b 2－a 2
9、CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，若AB=2，AC ：BC=3：1，则CD 为（ ） A 、51
B 、52
C 、53
D 、54
10、如图4，矩形ABCG （AB ＜BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一直线上，∠APE 的顶点在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、如图5，将Rt △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°到△A′B′C 的位置，次开发 已知斜边AB=10cm ，BC=6cm ，设A′B′的中点是M ，连结AM ，则AM= cm ． 12、如图6，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 ．
C
D
P
E 图4
A
B
C
M
B′
A’
图5
A
E
M
F
A
C
D
1
2
13、已知|x －12|+（y －13）2
和z 2－10z+25互为相反数，则以x 、y 、z 为三边的三角形为 三
角形（填锐角、直角、钝角）
14、如图7，△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若EF=5，则CE 2+CF 2= ．
15、在△ABC 中，若AB=5cm ，BC=6cm ，BC 边上的中线AD=4cm ，则∠ADC 的度数是 ． 16、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 ．
17、某人要登上6m 高的建筑物，为确保安全，梯子底端要离开建筑物2.5m ，且顶端不低于
建筑物顶部，则梯子长应不少于 m ．
18、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长20cm ，则斜边上的高为 ． 19、如图8，在△ABC 中，∠B=90°，D 是斜边AC 的垂直平分线与BC 的交点，连接AD ，
∠DAC ：∠DAB=2：5，则∠DAC= ．
20、如图9，在四边形ABCD 中，AB ：BC ：CD ：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则 ∠DAB 的度数是 ． 、解答题（每小题7分，共28分）
21、如图10，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB 和CD 分别是图中1×3的两个矩形的对角线，显然AB ∥CD ，请你用类似的方法画出过点E 且垂直于AB 的直线，并证明．
A
B
C
D
E
图8
A
B
C
D
图9
F
22、台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理、几何学知识，图11－①是一个台 球桌，目标球F 与本球之间有一个G 球阻挡．
（1）击球者想通过击打E 球，让E 球先撞球台的AB 边，经过一次反弹后再撞击F 球，他应将E 球打到AB 边上的哪一点？请在图10－①中用尺规作出这一点H ，并作出E 球的运行路线；（不写画法，保留作图痕迹）
（2）如图11－②，现以D 为原点，建立直角坐标系，记A （0，4），C （8，0），E （4，3），F （7，1），求E 球按刚才方式运行到球的路线长度（忽略球的大小）
23、如图12，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别是BC 边上的高和中线，AB=9cm ，AC=7cm ，
BC=8m ，求DE 的长．
B C
D 图11-①
图11-②
A
B
C
D
E
图12
24、如图13所示的一块地ABCD ，已知AD=4m ，CD=3m ，∠ADC=90°，AB=13m ，BC=12m ，，求这块地的面积．
四、综合应用题（每小题11分，共22分）
25、观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 （1） 当a=19时，求b 、c 的值． （2） 当a=2n+1时，求b 、c 的值．
（3） 用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
26、如图14，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A 艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意．反走私艇A 和走私艇C 的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得距离C 艇12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？
A
B
C
D
图13
A
B
C
M
E
N
图14
参考答案
一、
选择题
1～10 ACBBB ADBCC
提示：2、如图1，AC=AB=2212+=5，BC=2211+=2，
作AD ⊥BC 于D ，则BD=DC ，
AD=
2
22)(5-=23
设AC 边上的高为h ，则21
AC·h=21
BC·AD h=AC AD BC ?=
5
2
2
3=553
5、可代m=2，n=1，检验
6、AC 2=32+22=13 AB 2=62+42=52
BC 2=82+12=65 ∵AC 2+AB 2=BC 2 ∴△ABC 为直角三角形 9、设AC=3x ，BC=x ，则9x 2+x 2=4 x 2=52
由CD·AB=AC·BC ，得CD=AB ACBC =23xx =232x =23·52=53
10、如图2，作EH ∥BD ，BH ∥BD 交于H ，设AB=a ，DE=b
若P 在BC 上，且∠APE 为直角，有
AP 2+PE 2=AE 2=（a+b ）2+（b －a ）2=2（a 2+b 2）（1）
又AP 2+PE 2=a 2+（b －PC ）2+b 2+（a+PC ）2=2（a 2+b 2）+2P （a+PC ）－2bpc （2） 当a+PC=b 时，（1）、（2）两式相等，此时，∠APE 为直角 当P 在C 时也适合，故选C ． 二、
填空题
B C
图
1
B
C D
E P
a b
c 图2
11～20 41 5 直角 25 90°
24 20 9.6cm 20° 135° 提示：11、如题图，过M 作MN ∥BA′，因为M 为A′B′的中点，所以N 为B′C 的中点 在Rt △ACB 中，由AB=10，BC=6得AC=8 ∴∠A′=8 B′C=6 ∴B′N=NC=3 AB′=AC －B′C=8－6=2 ∴AN=2+3=5 MN=21
CA′=4
在Rt △ANM 中，AM 2=25+16=41 ∴AM=41
12、如题图，易证含边长为1和2的两个直角三角形全等 ∴正方形边长=
2
21 =
5
13、由题意知，|x －12|+（y －13）2=0，z 2－10z+25=0 ∴x=12，y=13，z=5，∵122+52=132 ∴为直角△ 14、证∠ECF=90°
20、连接AC ，在△ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=BC=2DA ， ∴∠BAC=45° AC 2=AB 2+BC 2=8DA 2 在△ACD 中，∵AC 2=8DA 2，CD=3DA ∴AC 2+DA 2=CD 2 ∴∠CAD=90° ∴∠DAB=∠CAD+∠BAC=135°
三、解答题
21、解：直线AE 为所画的直线如图4
A
B
E
图4
证明：连接BE ，由网格的特征，得∠F=∠G=∠BCE=90° 由勾股定理，得AE 2=10，AB 2=10，BE 2=20 ∴AE 2+AB 2=BE 2
∴∠BAE=90°，即EA ⊥AB
22、解：（1）画出正确的图形．如图3（可作点3关于直线AB 的对称点E 1，连结E 1F 、E 1F 与AB 交于点H ，球E 的运动路线就是EH→HF ）
（2）过F 作AB 的平行线，交E 1E 的延长线于点N ， 由题意可知，E 1N=4，FN=3，在Rt △FNE 1中，E 1F=
221NF N E =5
因为是点E 1是点E 直线AB 的对称点，所以EH=E 1H ，所以EH+HF=E 1F=5 所以E 球运行到F 球的路线长度为5
23、解：在Rt △ABC 中，AD 2=AB 2－BD 2，即AD 2=92－（4+DE ）2 在Rt △ADC 中，AD 2=AC 2－DC 2 即AD 2=72－（4－DE ）2 ∴81－（4+DE ）2=49－（4－DE ）2
∴（4+DE ）2－（4－DE ）2=32 8·2DE=32 DE=2 24、解：连接AC
∵△ADC 为直角三角形 ∴由勾股定理，得AC 2=32+42=52 又AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2 ∴△ACB 为直角三角形
∴S 四边形ABCD =S △ACB －S △ACD =21
×12×5－21
×3×4=24（m 2） 25、解：（1）b=180，c=181
（2）通过观察知b －a=1，又（2n+1）2+a 2=b 2 ∴b 2－a 2=（2n+1）2
D 图3
x
（b+a ）（b －a ）=（2n+1）2 ∴b+a=（2n+1）2
∴b=2
1)12(2++n ，a=21)12(2-+n （3）由（2）知，2n+1，21)12(2-+n =2n （n+1），2
1)12(2++n =2n （n+1）+1为一组勾股数，当n=7时，2n+1=15，112－111=1，但2n （n+1）=2×7×8=112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数
26、解：设MN 与AC 相交于E ，则∠BEC=90° ∵AB 2+132=52+122=132=AC 2
∴△ABC 为直角三角形，∠ABC=90°
由于MN ⊥CE ，所以走私艇C 进入我领海的最的距离是CE
???=?=?=+?ABC
S BE AC BC AB BE CE 2121
22144 解得CE=13144
13144÷13=169144
≈0.85（h ）=51（min ）
9时50分+51分=10时41分
即走私艇C 最早在10时41分进入我领海．
①
②