曲线积分与路径无关性的应用
摘要：本文介绍了第二型曲线积分与路径无关的四个等价条件，并结合实例说明了此定理的应用：计算曲线积分、求原函数、求微分方程的解、求微分方程中的未知函数，特别是在求未知函数的例子中，解决了与之相关的一系列利用曲线积分与路径无关性求微分方程中的未知函数的问题。
关键词：曲线积分全微分全微分方程路径
对于第二型曲线积分，一般来说其积分值不仅与积分曲线的起点和终点位置有关，而且即便是同样的起点和终点，若沿的路线不同，其积分值也可能不同。但是在一定的条件下，第二型曲线积分完全可以做到与积分曲线的路线无关，只与曲线的起点和终点位置有关，这就是下面介绍的定理：
定理设是单连通闭区域，函数在区域内连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：
(1) 沿内任一按段光滑的闭曲线，有；
(2)对内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点和终点有关；
(3)是内某一函数的全微分；
关于积分对称性定理 1、 定积分： 设)(x f 在[],a a -上连续，则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分： 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则 （1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 （2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分
()()()()2 0,,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数. 其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 （3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 （4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.（二重积分的轮换对称 性） (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
积分中的对称性 作者：刘建康 【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称 在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。 在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论： 若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用 对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。 结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有 ①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数 ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。 其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。 结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有： ①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称； ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。
曲线积分与路径无关问题 1. 第一型曲线积分 (1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为 ),(y x ρ求弧AB 的质量m 。 ?=L ds y x f m ),(, (2)若BA L AB L ==21,，则?1 ),(L ds y x f =?2 ),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分 与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。 (3)对弧长的曲线积分的计算 设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为???==) () (t y t x ψ? ， )(βα≤≤t ,其中)(t ?、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψ?， 则曲线积分?L ds y x f ),(存在，且 ? L ds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψ?ψ?β α +?? )(βα< 特别,当1),(=y x f 时, ? L ds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。 当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则 ? L ds y x f ),(=[]dx x g x g x f d a )(1)(,2'+??； 把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程? ??==)(x g y x x ，)(b x a ≤≤， ? L ds y x f ),(=[]dy y h y y h f d c )(1),(2'+?? )(d y c ≤≤ 2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线 L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。
2 对称性在曲线积分计算中的应用 2.1 对称性在第一类曲线积分计算中的应用 结论1 若积分曲线L关于x轴（或y轴）对称，记L1为曲线L被坐标轴所分割的两个对称区域之一，则有： ①∫Lf(x,y)ds=0,f(x,y)为关于y（或x）的奇函数； ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,f(x,y)为关于y（或x）的偶函数。 结论2 若积分曲线L关于直线y=x对称，则当点(x,y)∈L时，有(y,x)∈L，即L关于x,y具有轮换对称性，这时有： ∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L［f(x,y)+f(y,x)］ds 若f(x,y)=-f(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x奇对称，则∫Lf(x,y)ds=0； 若f(x,y)=(y,x)，即f(x,y)关于直线y=x偶对称，则∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(y,x)ds。 其中L1为曲线L被直线y=x所分割的两个对称区域之一。 2.2 对称性在第二类曲线积分计算中的应用 设有曲线积分I=∫L P(x,y)dx，其中L为光滑的有向曲线弧，如果L关于某条直线（包括坐标轴）对称，这时利用对称性计算上述曲线积分时，不仅要考虑P(x,y)的大小和符号，还要考虑投影元素dx的符号。当积分方向和坐标轴正向之夹角小于π2时，投影元素为正，否则为负。一般地，我们有： 结论若积分曲线L关于某直线对称，记L1为曲线L被这条直线所分割的两个对称区域之一，则有： ①∫Lf(x,y)ds=0,P(x,y)dx在对称点上取相反的符号； ②∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,P(x,y)dx 在对称点上取相同的符号。 对于积分∫L Q(x,y)dy也有类似地结论。上述结论都可推广到空间曲线的情形。 3 对称性在曲面积分计算中的应用 3.1 对称性在第一类曲面积分计算中的应用
第二十一章 重积分 3格林公式、曲线积分与路线的无关性 一、格林公式 概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L. 定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式： ?????? ? ???-??D d y P x Q σ=?+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向. 证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d. 这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE 的方程, ∴?? ??D d x Q σ=????)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=?d c dy y y Q )),((2ψ-?d c dy y y Q )),((1ψ =?? CBE dy y x Q ),(-?? CAE dy y x Q ),(=?? CBE dy y x Q ),(+?? EAC dy y x Q ),(=?L dy y x Q ),(. 同理可证：-?? ??D d y P σ=?L dx y x P ),(. 即有?????? ? ???-??D d y P x Q σ=?+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)， 则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，
§ 22.2曲线积分和路径的无关性 引言 第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关， 而且也与所沿的积分路径有关。对同一 个起点和同一个重点， 沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。 在什么样的 条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面 中情形来讨论这个问题。 定理1：若函数P x,y ，Q x, y 在区域D 上有连续的偏导数， D 是单连通区域，则 F 列命题等价： ⑴对D 内任意一条闭曲线C ，有 P x,y dx Q x, y dy 0。 C ⑵对D 内任意一条闭曲线I ，曲线积分 P x, y dx Q x, y dy I 与路径无关（只依赖曲线的端点）。 ⑶存在可微函数 U x, y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy ； P Q ⑷ 在D 内处处成立。 y x 定义1：当曲线积分和路径无关时， 即满足上面的诸条件时， 如令点A x o ,y o 固定而点 B x, y 为区域内任意一点，那么 x,y U x, y Pdx Qdy x o ,y o 在D 内连续并且单值。这个函数 U x,y 称为Pdx Qdy 的原函数。 原函数的求法: （1）U x,y x P x, y dx x y Q x 0, y dy C ； y o 或 x y （2）U x, y P x,y ° dx Q x, y dy C 。 y o 例1 :求原函数u
(1) x2 2xy y2 dx x2 2xy y2 dy； 2 2 (2) 2xcosy y sinx dx 2ycosx x siny dy。 定义2：只绕奇点M —周的闭路上的积分值叫做区域D的循环常数，记为。于是，对D内任一闭路C C Pdx Qdy n , 这里n为沿逆时针方向绕M的圈数。 例2：证明；xd x 今关于奇点的循环常数是0,0，从而积分与路径无关。 x y
关于积分对称性定理 1、 定积分： 设 f ( x) 在 a,a 上连续，则 2、 二重积分： 若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则 (1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分 0, f x,y 为y 的奇函数 f x, y dxdy 2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数 D D 1 其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分 0, f x, y 为x 的奇函数, f x,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数. D D 2 其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。 (3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函 a -a x dx 0, a 2 f x dx, 0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶
数，即卩 f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分 0, f x,y为x,y的奇函数 f x,ydx：y 2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数 D D2 其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分 f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性) D D (5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有 0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时 D D 利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3) 中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特 性。 3、三重积分： (1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关 于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩 有
对称性在积分计算中的应用 定理2.1.1[3] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于 x 轴对称.如果函数),(y x f 是关于y 的奇函数， 即),(),(y x f y x f -=-，D y x ∈),(， 则(,)0D f x y d σ=??；如果),(y x f 是关于y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =-， D y x ∈),(，则1 (,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是D 在x 轴上方的平面区域. 同理可写出积分区域关于y 轴对称的情形. 则由定理2.1.1知32sin 0D y xd σ=??. 由定理2.1.1可得如下推论. 推论2 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，若积分区域D 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，则 ⑴ 若函数),(y x f 关于变量y x ,均为偶函数，则1 (,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是区域D 在第一象限的部分，{}1(,)|0,0D x y D x y =∈≥≥. ⑵ 若函数),(y x f 关于变量x 或变量y 为奇函数，则(,)0D f x y d σ=??. 当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理. 定理 2.1.2[]4 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于 原点对称.如果),(),(y x f y x f -=--，(,)x y D ∈，则(,)0D f x y d σ=??；如果),(),(y x f y x f =--，(,)x y D ∈，则1 2(,)2(,)2(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ==??????，其中{}1(,)|0D x y D x =∈≥，{}2(,)|0D x y D y =∈≥. 为了叙述的方便，我们给出区域关于y x ,的轮换对称性的定义. 定义 2.1.1 设D 为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(,)x y D ∈，存在(,)y x D ∈，则称区域D （或光滑平面曲线段）关于y x ,具
二重积分的对称性： ??=D d y x f I σ),( ⑴若D 关于y 轴)0(=x 对称， ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则??=1 ),(2D d y x f I σ，1 D ：0≥x ⑵若D 关于x 轴)0(=y 对称， ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I ， ②若),,(),(y x f y x f =-则??=2 ),(2D d y x f I σ，2 D ：0≥y 三重积分的对称性： ???Ω =dv z y x f I ),,( ⑴若Ω关于xoy 面)0(=z 对称， ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则1 ,),,(21 Ω=???Ωdv z y x f I ：0≥z ⑵若Ω关于yoz 面)0(=x 对称， ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则2 ,),,(22 Ω =???Ωdv z y x f I ：0≥x ⑶若Ω关于xoz 面)0(=y 对称， ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I ， ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则3,),,(2 3 Ω =???Ωdv z y x f I ： 0≥y 轮换对称性： 设Ω关于z y x ,,具有轮换对称性(既若Ω∈),,(z y x ，则将 z y x ,,任意互换后的点也属于Ω)，则被积函数中的自变量可以任意轮换 而不改变积分值： ???Ω dv z y x f ),,(???Ω =dv x z y f ),,(???Ω =dv x y z f ),,( 特别：???Ω dv x f )(???Ω =dv y f )(???Ω =dv z f )( 从而 3)]()()([=++???Ω dv z f y f x f ???Ω dv x f )(
对称性在积分中的应用 摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果. 关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称
目录 一、引言 二、相关对称的定义 （一）区域对称的定义 （二）函数对称性定义 （三）轮换对称的定义 三、重积分的对称性 （一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性 （一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性 （一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结 参考文献 谢词
一、 引言 积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义. 二、相关的定义 定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -?∈,则D 关于直线a x =对 称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ?)2,(y b x - ),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然 当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）. 定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈?),(a x a y --,则D a x y +=对称, 称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈?),(x a y a -- D ∈，则D 关于直线z y ±=对称. 注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线 对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义. 空间对称区域. 定义3：(1)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对 称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性. (2)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同 的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性. (3)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有 轮换对称性. 定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于 a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,
北方民族大学学士学位论文 论文题目:有关曲线积分、曲面积分的对称性研究 院(部)名称: 数学与信息科学学院 学生姓名: 陈敏 专业: 数学与应用数学学号: 20110536 指导教师姓名: 杨莉 论文提交时间: 2015.5.18 论文答辩时间: 2015.5.24 学位授予时间: 北方民族大学教务处制
有关曲线积分、曲面积分的对称性研究 摘要 积分在微积分学中既是重点又是难点，尤其是在解决积分的计算问题上，方法比较灵活、多样.然而，在很多时候，只要认真地审视题目，就会发现积分区域或被积函数具有某种对称性.倘使我们能将对称性原理巧妙地应用到曲线积分、曲面积分的计算问题中去，不但节省了很多时间，还会起到事半功倍的效果. 本文着重讲述了，常见的有关对称性在曲线积分、曲面积分计算中的几个重要结论，并结合实例进一步验证了：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来简化计算曲线积分和曲面积分，进而说明对称性在计算曲线积分、曲面积分中的可行性与优越性. 关键词：曲线积分，曲面积分，积分区域，对称性，奇偶性
The study of symmetry related surface integral、curve integral Abstract Integral in the calculus is both emphasis and difficulty, especially to deal with the problem of integral calculation, the method is more flexible and diverse. However, in many cases, as long as you carefully look at the title, you will find the integral region have a certain symmetry or integrand. If we can apply symmetry principle of opportunely clever ground to the curvilinear integral and surface integral calculation problem, not only save a lot of time, will get twice the result with half the effort effect. This paper tells the common about symmetry in curvilinear integral and surface integral calculation of several important conclusions, combined with the instance: further verified using the symmetry of integral area of and the parity of integrand to simplify the calculation of curvilinear integral and surface integral, and then explain symmetry in computational feasibility and superiority of curvilinear integral and surface integral. Keywords: curvilinear integral and surface integral, integral area, symmetry, parity
§22.2 曲线积分和路径的无关性 一 引言 第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关。对同一个起点和同一个重点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面中情形来讨论这个问题。 定理1：若函数(),P x y ，(),Q x y 在区域D 上有连续的偏导数，D 是单连通区域，则下列命题等价： ⑴ 对D 内任意一条闭曲线C ，有 ()(),,0C P x y dx Q x y dy +=?。 ⑵ 对D 内任意一条闭曲线l ，曲线积分 ()(),,l P x y dx Q x y dy +? 与路径无关（只依赖曲线的端点）。 ⑶存在可微函数(),U x y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy =+； ⑷P Q y x ??=??在D 内处处成立。 定义1：当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件时，如令点()00,A x y 固定而点(),B x y 为区域内任意一点，那么 ()()() 00,,,x y x y U x y Pdx Qdy =+? 在D 内连续并且单值。这个函数(),U x y 称为Pdx Qdy +的原函数。 原函数的求法： （1）()()()000,,,x y x y U x y P x y dx Q x y dy C = ++??； 或 （2）()()()000,,,x y x y U x y P x y dx Q x y dy C = ++??。 例1：求原函数u
（1）()()222222x xy y dx x xy y dy +-+--; （2）()()222cos sin 2cos sin x y y x dx y x x y dy -+-。 定义2：只绕奇点M 一周的闭路上的积分值叫做区域D 的循环常数，记为ω。于是，对D 内任一闭路C C Pdx Qdy n ω+=? ， 这里n 为沿逆时针方向绕M 的圈数。 例2：证明 ?++22y x ydy xdx 关于奇点的循环常数是()0,0，从而积分与路径无关。
一、曲线积分的对称性 ① 关于弧长的曲线积分。有奇偶对称性和轮换对称性。 奇偎对 称性:设积分曲线弧关于y 轴对称,则 r hf /（对刀山，当2、小关于工为偶函数 J=］几1 L b, 当心、心关于为为奇函数. 英中在’轴右侧的部分. 若L 关于R 轴对称，则有类似结论? 轮换对称性:设积分曲线孤L 关于直线y -工对称，则 了)d$ = J/(>,兀〉山. ② 关于地标的乎面曲线积分?有奇偶对称性? 奇偶对称性；若L 关于y 轴对称，则 f 2 〔 P （x, j ）dx, F （s 》＞血=］仏 J J L h, 其中轴右侧的部分. 若L 夬于文轴对称，则 f ［2（ P （H,，）d4 j P （=,，）dz = y L 2 L b, 其中乙2为L 在文轴上侧的部分? 关于\Q （x,y ）dy 亦有类似结论. ③ 关二坐标的空间曲线积分?有奇偶对称性. 奇偶对称性:若F 关于心 面对称，则 2 z ）dx, Jr i 0, 其中巧为I*在垃y 面上方的部分. 若厂关于.：Qz 面对称，则 2| z ）dLr ? 符别有 ^/( X )ds 二 5 )ds. 当PG Q 〉关于工为偶函数 当关于力为奇函数 当关于夕为奇函数 当PR”）关于y 为偶画数 ￡(巾 j, z)dx = 当P （孙八幻关于乂为奇函效 当Pg*关于2为偶函数 当PQ,""）关于工为偶西数 当FQ”, z ）关于，为奇函数
Jr2 0, 其中&为尸在妙面前方的部分?
若厂关于25面射称，则 f M P(z,g)dg 当P(z,y,2〉关于』为奇函数 J f P(x,y ^)d.r "3 r b 当P(^.y^)关于?为偶函数 其中C 为F 在以直面右方的部分. 关于仁(2(巧屏,z)dy 及|^jR[x,y, z)dz 有类似结论? 二、曲面积分的对称性 ?关于面积的曲面积分 奇偶对称性:按工关于戈Qy 面对称，则 |‘2『/(x,y^)d5,当/(…“)为农的偶函数, J /(JE , y,z)dS = y 莒 S 0? 当V, X)为Z 的奇函数. ②关于坐标的曲面积分 奇偶对称性：设工关于乂氏面对称.则 Q(rr, y Q)dzdLr 与『R(r, y. x)d^dy 有类似结论? 轮换对称性：若》关于工,％2对称，则 ^P(x,y y z)dydz =『P(z,朮，y)(h?dy - 特别有 JJ'P C X )dydz 二 j[p(3i )d?dac = T P ( ?)dxdj. 2 15 0, x f y,z)dydz = 当P(x, “黑)为 当 z)为 乂的奇函数， Z 的偶函数. THJS 于 对 ,z, x)d^djr.
积分中的对称性 【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。 【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称 在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi 1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。 在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论： 若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。
1 对称性在重积分计算中的应用 对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。 结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有 ① Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数 ② Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。 其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。 结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有： ① Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称； ② Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1 D2=0。 结论3 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有： ① Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称；