<连续介质力学> QM 复习提纲(2010.12) 一、基本要求 1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开； 2、掌握ij 与ijk e 的定义、性质及相互关系； 3、掌握二阶张量坐标转换的计算； 4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法； 5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算； 6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算； 7、掌握正应变的计算； 8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算； 9、掌握应力张量与应变张量的对称性； 10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算； 11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式； 12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系； 13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数； 14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导； 15、掌握从质点的运动方程推导Navier 方程的过程； 16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程； 17、掌握地震波速度与泊松比的关系； 18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征； 19、掌握P 波、SV 波入射到自由界面上的传播特征； 20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法； 21、掌握Reilaygh 波和Stonely 波的传播特征； 22、掌握P 波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法； 二、复习题 简答论述题 1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。 2、简述弹性动力学基本假设。 3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。 4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。 5、简述小变形应变张量的几何解释。
一、基本物理量 应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为： ??? ? ??????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量 的方向。应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。 3、应变 弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：l l l l ll ??-?=→?'lim 0ε。即正应变表示单位长度线段的伸长 或缩短。 弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。 应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分 量，得：??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。 关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。 4、外力 体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}T z y x V V f f f V =??=→?F f 0lim 。 表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}T z y x S S s s s S =??=→?F s 0lim 。 二、基本方程 1、平衡方程
张量分析在弹性力学中的应用 自然界的许多问题用数学语言来描述时都需要引入坐标系，但其本质又与坐标无关。当有些自然规律用坐标形式表达后，由于复杂的方程式往往使得人们忽略了它的内在本质。张量是一种特殊的数学表达形式，它描述的结果不会因为坐标系的变化而发生变化[1]，因此可以摆脱坐标系的影响，反应事物的本质。此外通过爱因斯坦求和约定、相关记法的规定等常用的表示方法，使得张量的表达形式变得十分简洁。 弹性力学，又称弹性理论，主要是研究弹性体在外力和其它外界因素作用下产生的应力、形变和位移，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。为了求得一定边界条件下物体的应力、应变和位移，先对构成物体的材料以及物体的变形作了五条基本假设，即：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设、完全弹性假设和小变形假设，然后分别从问题的静力学、几何学和物理学方面出发，导得弹性力学的基本方程，即平衡微分方程、几何方程和本构方程，共15个方程[2]。由于方程数目的众多，使得我们在分析过程中往往将大部分注意力集中在了方程的形式上，从而忽略问题的本质。 如果将张量引入到物体的应力、应变和位移中，关于弹性问题的15个方程都可以用相关的符号而不是展开式来表示，一方面可以使得书写简便，更重要的是可以将大部分注意力集中在物理原理上而不是方程本身，从而深化对问题的分析[3,4]。 由于表达简洁、不会改变方程式的本质，张量分析得到了广泛的应用。黄勇对张量的概念做出了具体的分析[5]；林诚之利用张量的概念推导了形状比能的表达式[6]；赵超先[7]、黄晓琴[8]将张量应用于物理学中，利用应力张量对麦克斯韦磁场力进行了重新推导；明华军等利用监测得到的张量结果得到了岩体破裂面空间方位的计算方法[9]；杨天鸿等以现场岩体渗透结构面概率模型统计资料为依据，采用离散介质方法建立典型裂隙网络模型，提出计算岩体结构面网络的等效渗透系数张量方法[10]。 本文的目的并不是概述张量在工程中的应用，而是主要介绍张量在弹性力学中的应用，具体介绍弹性力学中基本方程的张量表达形式以及用张量概念推导的弹性应变能函数的表达式。 2 弹性力学中基本方程的张量表达形式[2,3,4] 2.1 用张量表示弹性力学中的基本物理量 对于空间问题，受力物体在外力作用下，物体的各个点都会长生相应的应 来表示 力、应变和位移。将受力物体上一点的应力状态用应力张量 ij
发信人: Rubik (韦小宝@好事多磨), 信区: Mathematics 标题: 个人体会－如何学习《连续介质力学》－基本概念zz 发信站: 吉林大学牡丹园站(2008年04月07日00:04:04 星期一), 站内信件 作者为baibing@SimWe 连续介质力学，也叫连续统理论，或者叫理性力学。叫连续介质力学，是因为他的框 架内一个最重要得假设是“介质是宏观连续的”，可以用连续的数学理论来处理，显 然这种命名方法带有物理，力学的的痕迹。 叫连续统理论，实际上是借用了数学上的概念。学数学的人都知道，数学中就有“连 续统”的概念，比如，连续的线段，连续的曲面，和连续的体。由于数学上这些概念 都是抽象出来的，没有物理意义的，可以叫连续统。很多人不知道连续统，连续介质 ，我想实际上可以理解为不同学科的不同称呼。但是，说连续介质，实际上表示考虑了具体物理特性的连续统。 叫理性力学，实际上是从力学研究的方法论上来命名的。以那种理性的，数学化的， 公理化的思维和方法来研究力学。看过连续介质力学书籍的人应该是深有体会的。里 面到处充满这理性的思维的魅力。 说明：本人2004年在中国科学院研究生院学习了王文标教授的《连续介质力学基础》课程。这是本人一年后的感悟，欢迎我得同学一同加入进来讨论。 不知道从什么时候开始，我养成了一个习惯，那就是每接触一个新的学科，总是希望 获得这门学科最权威而且是最经典，最全面的书籍。当然这样的书籍是找不到的。但是，相对而样比较好的书籍还是有的，力学更是这样。 《非线性连续统力学》，北航出版社，李松年，黄执中的作品，80年代中期写的。这本书我第一次看到的时候，惊为天人所写，前半部分写的是张量分析，后面是连续统 力学，两方面都比一般的连续介质力学全面，而且讲解浅显易懂。特别是其前言和结语写的尤为出色，不仅概括了这门学科的梗概，而且指出了这门学科的前景，真是绝 佳的资料。 A.C.ERIGEN的《连续统力学》，这是我目前见到的最经典的书，实际上前面一本书很大一部分是参考了这本书编写的，当然，加入了自己的内容（这是我读后才知道的） 。这一点都不奇怪， A.C.ERIGEN是连续统力学的鼻祖人物，也是集大成者。和钱伟长先生关系很好。 英国东英格兰大学的查德威克先生写的《连续介质力学简明理论和例题》，虽然这本书只有短短一百多页，但是用逼一般力学书籍夺得数学，比数学书籍少得多的数学非 常准确地阐释了连续介质力学理论，尤其是和数学地结合方面，能够让你从本质上， 从数学的角度认识和理解连续介质力学。而且有大量的习题。 陈志达先生的《理性力学》。大家都知道陈志达先生吧，中国矿业大学的老师，98年
〈连续介质力学〉期末复习提纲一弹性力学部分 1、自由指标与哑指标判别（★） 2、自由指标与哑指标的取值范围约定 3、自由指标与哑指标规则 4> Einstein 求和约定（★） 5、Kronecker-delta 符号（★） 、、, f 0, i j 定乂：廿 性质:(1) §ij= Eji (2)e f -e)= % (3)戈=久+爲2+爲3=3 (6) S ik5kj=S ij 6、Ricci符号（置换符号或排列符号）（★） 1,北为1,2,3的偶排列 定义:e..k = -1, ■从为1,2,3的奇排列 0, 门，舛任两个相等 性质：(1) e ijk = e jki = e kij = -e Jik = -e ikj = -e kji (2)弓23 =幺23] =?】2 =1 (3)弓32=?2I =勺口=_1 ⑷e^ej=e ijk e k (5) (axb)k = egbj, a、b为向量 7、％与爲的关系（★） 魯i詁0 § ZQ
8、坐标变换（★） 向量情形： 旧坐标系： ox [兀込尹丘，仔，￡ 新坐标系： 州兀姿戸心乙列 变换系数： e[?e 尸（3 坐标变换关系： X ， i - 0ijXj x t = 0jXj 0厂（角）T 矩阵形式为： 011 012 013 011 0 】2 013 X * = 021 022 023 兀2 或[耳,兀;,堪]=[西，兀2,兀 021 022 023 A.几 2 A.3_ _^3_ .031 032 033. 011 012 013 A 011 012 013 兀2 — 021 022 023 %； 或[西，吃，兀3] = [X ，%；，兀；] 021 022 023 _031 032 033 _ .031 032 033. 张量情形 入芋与A“?是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有 気=炕0“九 矩阵形式为[匍=[0]|? ]|> ]，其中[A J=[A ]T （★） 9、 张量的基本代数运算 （1） 张量的相等 （2） 张量的加减法 （3） 张量的乘积 （4） 张量的缩并 （5） 张量的内积（★） （6） 张量的商法则 10、 几中特殊形式的张量 （1） 零张量 （2） 单位张量
第15章虚位移原理 解题的一般步骤及应注意的问题 １．解题的一般步骤 （１）根据题意，分清所分析的问题是属于哪一类问题 ①求平衡条件； ②求约束反力； ③求桁架内力。 （2）分析约束的性质, 画主动力的受力图. ①系统以外的物体对它的作用力； ②非理想约束的约束反力； ③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。 （3）确定系统的自由度，应包括因解除约束而增加的自由度。选择合适的坐标做广义坐标。 （4）给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移间的关系： ①几何法：运用运动学中分析速度的方法，进行计算。 ②分析法：先选一静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后再对广义坐标取变分，进行计算。 （5）建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。 2.应注意的问题 1应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离体。 2计算弹性力在虚位移中的虚功时，弹性力的大小与虚位移的大小无关。 3在计算转动刚体（或平面运动刚体）上的主动力的虚功时，如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴（或瞬时转动轴）之力矩的虚功，可能简便些。 三、典型例题分析 例1 图示曲柄连杆机构, 在曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶, 欲使机构在图示位置保持平衡, 试求加于滑块B上的水平力P应为多大? 已知OA=a, AB=b, 在图示位置AB与水平线的夹角α=30o 解: 这是属于求主动力的平衡条件的问题。作用于系统和主动力有Ｐ和Ｍ。系统受完整约束，有一个自由度，当机构有虚位移时，ＯＡ作定轴转动，曲柄ＡＢ作平面运动，滑块Ｂ作平动。令ＯＡ杆的虚位移为δ?，则Ａ点虚位移为δr A, B点虚位移为δr B, AB杆的虚位移为绕瞬心C的微小转角δψ, 机构的虚位移如图。 根据虚位移原理得： Ｐδr B－Ｍδ?＝０（１）
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分析力学基础 一是非判断题 1.不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。（√） 2. 均质圆柱绕其对称轴作定轴转动，则圆柱惯性力系对于空间中平行于转轴的任意一轴的力矩之和，都是同一值。（√） 3. 因为实位移和虚位移都是约束允许的，所以实际的微小位移必定是诸虚位移中的一个。（×） 4. 虚位移原理只适用于具有理想约束的系统。（×） 5. 凡几何约束都是完整约束，完整约束未必是几何约束。（√） 二选择题 1.下列约束中，非理想约束的是（B ）。 A 纯滚动，有摩擦力但无滚动摩阻。 B 有摩擦的铰链。 C 摩擦传动中两个刚性摩擦轮的接触处，两轮间不打滑，无滚动摩阻。 D 连接两个质点的不可伸长的柔索。 2. 如图所示四种情况，惯性力系的简化只有（ C ）图正确。 3. 均质细杆AB质量为m，长为L，置于水平位置，如图所示。若在绳BC突然剪断时角 加速度为α ，则杆上各点惯性力的合力大小为（ 1 2 mLα），方向为（垂直向上），作用点 的位置在杆的（左端A ）处 4. 四根等长等重的均质直杆用铰链连接起来，再把两端用铰链固定在同一水平线上，如图所示，平衡时图示两个角度α和β的关系是（ B ）。 第二(3)题图第二(4)题图
A ．tan 3tan βα=； B. tan 3tan αβ= C. tan 2tan βα=; D. tan 2tan αβ= 5. 图示系统中，O 处为轮轴，绳与滑轮间无相对滑动，则物块A 与物块B 的虚位移大小的比值为（ B ）。 A ．6； B ．5； C ．4； D ．3. 三 填空题 1. 图示平面系统，圆环在水平面上作纯滚动，圆环内放置的直杆AB 可在圆环内自由运动，A ，B 两点始终与圆环保持接触，则该系统的自由度数为（ 2 ）。 2. 轮轴质心位于O 处，对轴O 的转动惯量为O J 。在轮轴上系有两个质量各为1m 和2m 的物体，已知此轮轴顺时针转向转动，角加速度为α，则轴承O 处的动反力Ox F =( 0 ), Oy F =（ 12()m R m r α-）。 3. 在图所示的平面机构中，试用杆OA 的虚位移δ?表达套筒B 的虚位移B y δ， B y δ=（ 2sec l ?δ? ）。 第二(5)题图 第三（1）题图 第三（2）题图
第二章连续介质力学的基本定律 在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 应力矢量与应力张量 在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。 在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之对应的接触面S上的单位法矢量n，表面力的存在形式为 ()n t X t t,, =(2.101) 通常，我们规定()n t X t t,, =指向接触面S的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X和S面与S'面的曲率相差多少。 为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S截断成两部分A和B，如图2.3所示。此时S面就是A和B相互作用的接触面，B部分对A部分一 点的作用，便可以用A部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A部分对B部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量 t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即 t t n n =-(2.102) 对于物体内部的一点P，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同 方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P的附近任意给定一个单位法矢量为
7.3 Laplace-Runge-Lenz vector. Show form the Poisson bracket condition for conserved quantities that the Laplace-Runge-Lenz vector Is a constant of motion for a mass moving under the Kepler potential. Also, show this by taking the time derivative of this quantity Solution: (a) In terms of Possion brackets, the time rate of change of a dynamical variable, in this case the Laplace-Runge-Lenz vector, is given by Since, ,to show that is conserved, we need First, the Hamiltonian H is given by The canonical coordinates and moment are Write in polar coordinates The Poisson bracket is given by
Writing as a function of the canonical coordinates And recalling We have Hence So, (b) We can also show that is conserved by direct differentiation Where we have used Since:
2.6 张量函数的导数 1.张量函数的定义 张量函数是指自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数。例如 ()B f f =，() ij B f f = (2.6.01) ()B a a =，()ij k k B a a = (2.6.02) ()B C C =，()ij k k B C C 1 1 = (2.6.03) 分别称作二阶自变量张量B 的标量值、矢量值和二阶张量值的张量函数。 一般说来，这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的，如果它们对所有的单位正交基是相同的，我们就称它们是各向同性张量函数。 2.张量函数的梯度 现在考虑只有一个二阶自变量B 的标量值张量函()B f 数。B 的增量d B 和f 的微分df 仍然是二阶张量和标量。这时 ij ij dB B f df ??= (2.6.04) 写成不变性形式，则有 B B d d df df := (2.6.05) 根据商法则可知 B d df 也是二阶张量，称之为f 的梯度。 若B 是二阶对称张量，则f 是B 的六个独立分量的函数。这时在求f 的梯度时，需先在f 里用() ji ij B B +2 1代替ij B ，求得扩充 后的九个偏导数后再按ji ij B B =简化。例如 ()()()221122 124 1 B B B f += =B (2.6.06) 于是 ()1221121221 B B B B f =+=?? (2.6.07) 12 1221B f B B f ????== (2.6.08) 这一点需要切记，否则如果对()2 12B f 直接求导，就会导致 1221 2B B f =??的错误结果。 任意二阶张量B 的三个主不变量也是张量函数。现求它的梯度如下。 由式(1.11.07)—式(1.11.09)知 ir ri βδ=1I (2.6.09) js ir rst ijt B B e e 21 2= I (2.6.10) kt js ir rst ijk B B B e e 6 1 3=I (2.6.11) 于是 mn rn im ri mn r ri mn B B B I δδδδ??δ??===11 (2.6.12) ()mn js ir rst ijt mn B B B e e B I ????21 2= (2.6.13) ()() sn jm ir js rn im rj is js ir B B δδδδδδδδ+-= 21 ()[] nm jj mn B B -=δ22 1 ()T mn mn jj B B -=δ (2.6.14)
武汉理工大学考试试题纸（ A 卷） 课程名称 分析力学 专业班级 工力0901、02、1001、 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、试推导质点系理想约束情况下的动力学普遍方程，并写出解析表达式。(10分) 二、已知均质杆A 1B 1和A 2 B 2杆重为P 1和P 2，不计各处摩擦，试用虚位移原理求平衡时α、β角应满足的关系。（20分） 三、均质圆柱体半径R ，质量为M ，沿直线轨道做无滑动滚动，在圆心用铰链连接一长为l 的刚性杆OA ，不计杆的质量，杆的A 端有一质量为m 的小球，构成一单摆。试用拉格朗日方程求系统的运动微分方程，并写出其初积分。（30分） 四、具有水平轨道的管子可绕铅直轴转动，质量为m 的小球无摩擦地沿管子滑动。管子的转动惯量为J = mR 2 ，作用在小球上的力具有势函数V (r )。试用哈密顿正则方程建立系统的运动微分方程。（15分） 五、质量为m 的物体放在光滑水平面上，刚性系数为k 的弹簧水平放置，一端与物块相连，另一端固结在竖直墙面上，试由哈密顿原理求物体的振动微分方程。（10分） 六、图示均质杆OA 长 l =3m ，质量为m =2kg ；O 为铰链，A 端连一弹簧，刚度系数为k =4N/m 。弹簧原长为l 0=1.2m ，h =3.6m 。试用势力场质点系的平衡条件求平衡时的角度θ，并讨论平衡的稳定性。（15分） 2 1 x A
武汉理工大学教务处 试题标准答案及评分标准用纸 课程 分析力学 （ A 卷） 1、 解：质系n 个质点，第i 个质点质量m i ，主动力合力F i ，约束反力F Ni ，惯性力F gi =-ma i 由达朗伯原理 0=++gi Ni i F F F （3分） 给质点系一虚位移，第i 质点的虚位移为i r δ， 由虚位移原理 0)(=?++i gi Ni i r F F F δ （3分） 对上式求和 0)(=?++∑ i gi Ni i r F F F δ 理想约束情况下 0=?∑ i Ni r F δ （2分） 于是有 0)(=?+∑ i gi i r F F δ 或 0)(=?-∑ i i i i r a m F δ （1分） 解析表达式为 0)()()(=?-+?-+?-∑i i i i i i i i i i i i z z m Z y y m Y x x m X δδδ （1分） 2、 解：以系统为研究对象，单自由度，以α为广义坐标。 αsin 2 111l y C = βs i n 2 122l y C = αδαδcos 2 111l y C = βδβδc o s 2 122l y C = （4分） 由虚位移原理02211=--C C y P y P δδ （4分） 0cos 2 cos 2 22 11 =--βδβαδαl P l P （2分） 而L l l =+βαcos cos 21 （4分） 两边求变分0sin sin 21=--βδβαδαl l 即 δαβ αδβsin sin 21l l - = （2分） 0)sin sin cos 2cos 2 (2122 11 =+-δαβ αβ αl l l P l P 0≠?δα 0s i n s i n c o s 2 c o s 2 2122 11=+-β αβ αl l l P l P （2分） βαtan tan 2 1P P = （2分）
<连续介质力学> 期末复习提纲—弹性波理论部分 1、无界线弹性体中的波传播 （1）Helmholtz 定理 a. 定理内容 b. 位移场的分解---无旋部分与无散部分 (1)(2u u u =+ ，其中(1)0u ??= ，(2)0u ??= c. 转动向量与体积膨胀率的位移场表示 (2)21122 u ωψ=??=-? ， (1)2u θφ=??=? （2）无界线弹性体中的P 波与S 波 a. 体积膨胀率与转动向量满足的波动方程 （★） 2212211 112,f c c c λμ θθ ρ +?+??== 2 2 2222211,2f c c c μωωρ ?+??== b. Helmholtz 势满足的波动方程 222 2 22221211,b B c t c t φφφψ???+=?+=?? c. 位移场无旋部分与无散部分满足的波动方程 2 (1) (1)2 (2) (2) 221 2 1 1 ,u b u u B u c c ?+?=?+??= d. 纵波与横波的相速度及其比值 （★） 2 1121221222) 21c c c c c c c c ν??=- ????===?? ???= -?? ??? ?????? 2、无界线弹性体中的平面波 （1）波阵面、平面波与球面波 （2）一般平面波及其描述 （★）
a. 一般平面波位移场的形式 （★） (,)()u x t f x n ct d =?- b. 纵横波满足的条件及相速度公式 （★） 2 0()()()0d n n d c c P wave S wave c d n d n μρλμ?=±?=---++?= c. 一般平面波的能量密度与能通量密度向量 （★） ① 平面纵波的情况 （★） 能量密度： [][][] 222211112 21111 2211()()22 ()p ij ij i i e u u c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=?-+?-'=?- 能通量密度向量：[]2 311()p ij i j u e n c f x n c t ?τρ'=-=?- 二者关系： 1p p c n ?ε= ② 平面横波的情况 （★） 能量密度： [][][] 2222212122 211 12 2 11()()22 ()s ij ij i i e u u c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''= ?-+?-'=?- 能通量密度向量：[ ]2 321()s ij i j u e n c f x n c t ?τρ'=-=?- 二者关系： 2s s c n ?ε= （2）平面简谐波及其描述 （★） a. 描述平面简谐波的物理量 （★） kc ω=，2T π ω = ，12T ωαπ= =，22c cT k ππ ωΛ=== 2k n n c ωπ==Λ ， 22 2i i k k k k k c ω?===
6.1、一长为0l 、质量为m 的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗内，如图示。已知碗是光滑的，半径为r ；棒在碗内的长度为(2)l l r <。用虚功原理证明棒的全长为 2204(2)l r l l -=。 6.2、用绳子等距离地在定点O 处悬挂两个相同的匀质球。两球之上另旋转一相同的球体，如图示。已知分别悬挂两球的绳长都是l ，用虚功原理求出α角与β角之间的关系。 6.3、用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与球心的高度相同。将第四个同样的球体置于三球之上，由虚功原理求出橡皮圈中的张力。已知每个球体的重量为P 6.4、一弹性绳圈，它的自然长度为0l ，弹性系数为k ，单位长度质量(线密度)为σ。将此弹性圈套在一半径为0(2)R R l π>的光滑球面上，弹性圈因自重而下滑。用虚功原理求出平衡时弹性绳圈对球心所张的角度θ应满足的方程。 6.5、一半径为R 的半球形碗内装有两个质量分别为1m 和2m 的球体，它们的半径同为 (2)r r R <。用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角。
6.6、一轻杆长为2l ，一端光滑铰链于固定点O ，另一端点及中点分别焊接有质量为'm 和m 的小球。杆可在铅直平面内绕固定点摆动。写出此力学系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。 6.7、一半径为r 、质量为'm 的圆柱形轱辘，其轴线沿水平方向。轱辘上绕有长为l 的轻绳，绳的自由端系一质量为m 的重物。初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止。尔后重物下落带动轱辘转动。写出此力学系的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时轱辘转动角速度的大小。 6.8、上题中，如果绳子具有弹性，弹性势能为2 /2ks ，s 为绳子的伸长。证明重物m 的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为ω 的振动，其中2('2)/'k m m m m ω=+。求出此种振动的振幅。设初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止，尔后释放。 6.9、力学系统如图所示。二滑轮为相同的圆盘，半径为r ，质量为m 。悬挂的重物质量分别为1m 和2m ，且12()/2m m m >+。初始时系统静止。 (i)导出此力学系的运动微分方程 (ii)分别求出两重物下降的速度与重物下落距离h 之间的关系。
第六章分析力学习题解答
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6.1、一长为0l 、质量为m 的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗内，如图示。已知碗是光滑的，半径为r ；棒在碗内的长度为(2)l l r <。用虚功原理证明棒的全长为 2204(2)l r l l -=。 6.2、用绳子等距离地在定点O 处悬挂两个相同的匀质球。两球之上另旋转一相同的球体，如图示。已知分别悬挂两球的绳长都是l ，用虚功原理求出α角与β角之间的关系。 6.3、用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与球心的高度相同。将第四个同样的球体置于三球之上，由虚功原理求出橡皮圈中的张力。已知每个球体的重量为P 6.4、一弹性绳圈，它的自然长度为0l ，弹性系数为k ，单位长度质量(线密度)为σ。将此弹性圈套在一半径为0(2)R R l π>的光滑球面上，弹性圈因自重而下滑。用虚功原理求出平衡时弹性绳圈对球心所张的角度θ应满足的方程。 6.5、一半径为R 的半球形碗内装有两个质量分别为1m 和2m 的球体，它们的半径同为(2)r r R <。用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角。
6.6、一轻杆长为2l ，一端光滑铰链于固定点O ，另一端点及中点分别焊接有质量为'm 和m 的小球。杆可在铅直平面内绕固定点摆动。写出此力学系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。 6.7、一半径为r 、质量为'm 的圆柱形轱辘，其轴线沿水平方向。轱辘上绕有长为l 的轻绳，绳的自由端系一质量为m 的重物。初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止。尔后重物下落带动轱辘转动。写出此力学系的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时轱辘转动角速度的大小。 6.8、上题中，如果绳子具有弹性，弹性势能为2/2ks ，s 为绳子的伸长。证明重物m 的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为ωr 的振动，其中2 ('2)/'k m m m m ω=+。求出此种振动的振幅。设初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止，尔后释放。 6.9、力学系统如图所示。二滑轮为相同的圆盘，半径为r ，质量为m 。悬挂的重物质量分别为1m 和2m ，且12()/2m m m >+。初始时系统静止。 (i)导出此力学系的运动微分方程 (ii)分别求出两重物下降的速度与重物下落距离h 之间的关系。
第六章连续介质力学方法 连续介质力学方法的出发点是支护结构与围岩相互作用，组成一个共同承载体系，其中围岩是主要的承载结构，支护结构是镶嵌在无限或半无限介质孔洞上的加劲环。它的特点能反映出隧道开挖后围岩的应力状态。 解析法：即根据所给定的边界条件，对问题的平衡方程、几何方程和物理方程直接求解。由于数学上的困难，现在还只能对少数问题求解。 数值法：主要是指有限元法。它把围岩和支护结构都划分为若干单元，然后根据能量原理建立单元刚度矩阵，并形成整个系统的总体刚度矩阵，从而求出系统上各个节点的位移和单元的应力。它不但可以模拟各种施工过程和各种支护效果，同时可以分析复杂的地层情况(如断层、节理等地质构造以及地下水等)和材料的非线性等。 6.1 解析法 以均匀内压水工隧洞的计算为例，说明解析法计算的基本思路。 (1)衬砌应力的分析 水工隧洞衬砌厚度一般在20 cm以上、故力学分析中可将其视为厚壁圆筒。如图6.1.1 （a）所示。在均匀内水压力作用下，厚壁圆筒的内力分析是轴对称问题。 衬砌的径向应变为： 近似按平面应变问题分析衬砌，则由平面问题极坐标解的物理方程可写为： 作用在单元体上的外荷载为零，且在轴对称情况下单元体内力分量中的剪应力也为零，故根据平面问题极坐标解的静力平衡力程式，有：
(2)洞室围岩应力 分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。 由式(6.1.16)可知：内水压力使围岩产生的切向应力σt是拉应力。若σt 的量值大于围岩中原来存在的压应力，且差值超过岩体的抗拉强度，则当衬砌抗拉强度不足时岩体将与衬砌一起发生开裂。将式(6.1.16)中的r0理解为毛洞半径，Pa理解为内压力，则该式就成为无衬砌圆形水工隧洞围岩应力的计算式。 (3)衬砌与围岩共同作用的计算 分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。
《车辆系统动力学》复习题（前八章） （此复习题覆盖大部分试题。考试范围以课堂讲授内容为准。） 一、概念题 1. 约束和约束方程（19） 一般情况下，力学系统在运动时都会收到某些集合或运动学特性的限制，这些构成限制条件的具体物体称为约束。用数学方程所表示的约束关系称为约束方程。 2. 完整约束和非完整约束（19） 如果约束方程仅是系统位形和时间色解析方程，则这种约束称为完整约束。如果约束方程不仅包含系统的位形，还包括广义坐标对时间的导数或广义坐标的微分，而且不能通过积分使之转化为包含位形和时间的完整约束方程，则这种约束就成为非完整约束。 3. 车轮滑动率（30-31） 车轮滑动率表示车轮相对于纯滚动（或纯滑动）状态的偏离程度，是一个正值。驱动工况时为滑转率；被驱动（包括制动，常以下标b 以示区别）时称为滑移率，二者统称为车轮的滑动率。 其中100%100%d w d w d w u u u ωωω-?????-???? r 驱动时：s=r r 制动时：s=式中：d r 为车轮滚动半径；w u 为伦锌前进速度（等于车辆行驶速度）；ω为车轮角速度 4. 轮胎侧偏角（31） 轮胎侧偏角是车轮回转平面与车轮中心运动方向的夹角，顺时针方向为正，用α表示。 5. 轮胎径向变形（31） 轮胎径向变形是车辆行驶过程中遇到路面不平度影响时而使轮胎在半径方向上产生的变形，定义为无负载时轮胎半径t r 与负载时轮胎半径tf r 之差。即: t tf r r ρ=- 6. 轮胎的滚动阻力系数（40） 轮胎滚动阻力系数等于相应的载荷作用下滚动阻力R F 与车轮垂直载荷,z w F 的比
值即：,R R z w F f F = 7. 轮胎驱动力系数与制动力系数（50） 驱动时驱动力 x F 与法向力z F 之比称为轮胎驱动力系数μ；在制动力矩作用下，制动力bx F 与轮胎法向载荷z F 的比值为轮胎制动力系数b μ。 8. 边界层（70） 当流体绕物体流动时，在物体壁面附近受流体粘性影响显著的薄层称为“边界层”。 9. 压力系数（74） 定义车身某电的局部压力p 与远处气流压力p ∞间的压差与远处气流压力p ∞之 比为压力系数p C 。即p p p p C p p ∞∞∞ -?== 10. 风洞的堵塞比（77） 车辆迎风面积与风洞送风横断面面积之比称为风洞的堵塞比。 11. 雷诺数（79） 雷诺数v Re L v = 式中：v 是气流速度，L 是适当选择的描述流体特性的长度，v 为流体的运动粘度 12. 空气阻力系数（82-83） 空气阻力系数 D C 为单位动压单位面积的空气阻力。F F /=D D D A C Aq q ∞∞= 式中：F D 为空气阻力（单位N ），A 为参考面积（单位2m ），通常采用汽车的迎风面积；q 为动压力（单位Pa ）等于2/2a u ρ 13. 旋转质量换算系数（88） 旋转质量换算系数 21i i v d m r δΘ= + 式中：i Θ表示等效的旋转质量转动惯量，d r 驱动轮滚动半径，v m 车辆整备质量
第二章 连续介质力学的基本定律 在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 应力矢量与应力张量 在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。 在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t 对于任何物质坐标X 和与之对应的接触面S 上的单位法矢量n ，表面力的存在形式为 ()n t X t t ,,= (2.101) 通常，我们规定()n t X t t ,,=指向接触面S 的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X 和S 面与S'面的曲率相差多少。 为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S 截断成两部分A 和B ，如图2.3所示。此时S 面就是A 和B 相互作用的接触面，B 部分对A 部分一点的作用，便可以用A 部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A 部分对B 部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即 t t n n =- (2.102) 对于物体内部的一点P ，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P 的附近任意给定一个单位法矢量为 (),cos ,cos ,cos 321ααα=n ()n e n e n e ???=321,, (2.103) 的平截面。相应地，过P 点沿活动标架作三个坐标平面。于是它们在物体内截得一个微小四面体，如图2.4所示。在这个微小四面体的每一个面上，都受有物体的其余部分给它的作用力，不妨设在ABC 上受到的作用力为t A ?，在PBC ，PCA 与PAB 上的作用力分别为-t A 11?、-t A 22?与-t A 33?，其中?A 与?A i 分别为各微小平面的面积，作用于微小四面体ABCP 上单位质量的体力为b 。 现在假设对物体的任何部分，特别是对微小四面体ABCP 而言，动量的变化率与作用的合力成正比。虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(因为牛顿第二定律只适用于整个物体)，然而，它却不能用实验直接验证，因为不可