2021年九年级数学中考一轮复习：第18章训练
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,a=3,b=4,则c= ( )
A.5
B.√7
C.7
D.5或√7
2.在以下列数值为边长的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.5,12,13
B.6,8,10
C.4,7,9
D.9,40,41
3.下列四组数中,是勾股数的是( )
A.0.3,0.4,0.5
B.32,42,52
C.3,4,5
D.1
3,1 4 ,1
5
4.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是( )
A.6
B.5
C.4
D.3
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,边AC落在数轴上,点A表示的数是1,点C表示的数是3,负半轴上有一点B1,AB1=AB,则点B1所表示的数是( )
A.-2
B.-2√2
C.2√2-1
D.1-2√2
6.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,BC=a,AC=b,AB=c,则下列结论错误的是( )
A.c=√3b
B.c=2a
C.b 2=3a 2
D.a 2+b 2=c 2
7.已知直角三角形两条边的长为3和4,则此三角形的周长为( ) A.12
B.7+√7
C.12或7+√7
D.以上都不对
8.如图,东西方向上的A ,C 两地相距10千米,甲以16千米/小时的速度从A 地出发向正东方向前进,乙以12千米/小时的速度同时从C 地出发向正南方向前进,那么最快经过多少小时,甲、乙两人相距6千米? ( )
A .2
5 B .3
5 C .3
2 D .1
3
9.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算术书《周髀算经》中就有“若勾三股四,则弦五”的记载.如图1,是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC =90°, AB =3, AC =4,此时点D ,E ,F ,G ,H ,I 都在矩形KLMJ 的边上,则矩形KLMJ 的面积为( )
A.121
B.110
C.100
D.90
10.四个全等的直角三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD ,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S 的小正方形EFGH.已知AM 为Rt △ABM 的较长直角边,AM =2√2EF ,则正方形ABCD 的面积为( )
A.12S
B.10S
C.9S
D.8S
二、填空题(本大题共4题,每小题5分,满分20分)
11.在平面直角坐标系中,点P(-2,-2)到原点的距离为.
12.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则CD=.
13.在△ABC中,AB=10,AC=2√10,BC边上的高AD=6,则另一边BC的长为.
14.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,延长BC至点D,连接AD.若△ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形,则线段DC的长等于.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=16,AB=20,CD⊥AB于点D,求BC和CD的长.
16.《九章算术》中记载:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问:折者高几何?译文:一根竹子,原高一丈,虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好着地,着地处离原竹子根部3尺远.问:原处还有多高的竹子?(1丈=10尺)
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在四边形ABCD中,AB=13,BC=3,CD=4,DA=12,∠ADB=90°,求四边形ABCD的面积.
18.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(1,1).在第一象限内有以AB为底的等腰△ABC,腰长为√10.
(1)画出△ABC,并写出点C的坐标;
(2)在x轴上找一点D,使得直线AD平分△ABC的面积,画出直线AD,并写出点D的坐标.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程,显然,这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数.如(3,4,5)就是一组勾股数.
(1)请你再写出两组勾股数:(),();
(2)在研究直角三角形的勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果n表示大于1的整
数,x=2n,y=n2-1,z=n2+1,那么以x,y,z为三边的三角形为直角三角形(即x,y,z为勾股数),请你加以证明.
20.如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.
(1)求证:FD=FG;
(2)若AB=6,BC=4√6,求FD的长.
六、(本题满分12分)
21.【思考题】如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时点B到墙C的距离为0.7米.如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对【思考题】的解答补充完整:
解:设点B将向外移动x米,即BB1=x米,
则B1C=(x+0.7)米,A1C=AC-AA1=√2.52?0.72-0.4=2(米),
而A1B1=2.5米,在Rt△A1B1C中,由B1C2+A1C2=A1B12得方程,
解方程得x1=,x2=.
答:点B将向外移动米.
(2)解完【思考题】后,小聪提出了如下两个问题:
问题1:在【思考题】中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?
问题2:在【思考题】中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗?为什么?
七、(本题满分12分)
22.已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12=0的两个根.
(1)当k=-7时,求Rt△ABC的周长;
(2)当Rt△ABC为等腰直角三角形时,求k的值及△ABC的周长.
八、(本题满分14分)
23.教材在探索平方差公式时利用了面积法,面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图1,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示ab+(a-b)2,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为为4×1
2
c,则a2+b2=c2.
(1)图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”,请你利用图2推导勾股定理.
(2)如图3,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值.
(3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,画在如图4的网格中,并标出字母a,b所表示的线段.
答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,a=3,b=4,则c= ( )
A.5
B.√7
C.7
D.5或√7
2.在以下列数值为边长的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.5,12,13
B.6,8,10
C.4,7,9
D.9,40,41
3.下列四组数中,是勾股数的是( )
A.0.3,0.4,0.5
B.32,42,52
C.3,4,5
D.1
3,1 4 ,1
5
4.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是( )
A.6
B.5
C.4
D.3
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,边AC落在数轴上,点A表示的数是1,点C表示的数是3,负半轴上有一点B1,AB1=AB,则点B1所表示的数是( )
A.-2
B.-2√2
C.2√2-1
D.1-2√2
6.在△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,BC =a ,AC =b ,AB =c ,则下列结论错误的是( ) A.c =√3b B.c =2a C.b 2=3a 2
D.a 2+b 2=c 2
7.已知直角三角形两条边的长为3和4,则此三角形的周长为( ) A.12
B.7+√7
C.12或7+√7
D.以上都不对
8.如图,东西方向上的A ,C 两地相距10千米,甲以16千米/小时的速度从A 地出发向正东方向前进,乙以12千米/小时的速度同时从C 地出发向正南方向前进,那么最快经过多少小时,甲、乙两人相距6千米? ( )
A .2
5 B .3
5 C .3
2 D .1
3
9.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算术书《周髀算经》中就有“若勾三股四,则弦五”的记载.如图1,是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC =90°, AB =3, AC =4,此时点D ,E ,F ,G ,H ,I 都在矩形KLMJ 的边上,则矩形KLMJ 的面积为( )
A.121
B.110
C.100
D.90
10.四个全等的直角三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD ,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S 的小正方形EFGH.已知AM 为Rt △ABM 的较长直角边,AM =2√2EF ,则正方形ABCD 的面积为( )
A.12S
B.10S
C.9S
D.8S
二、填空题(本大题共4题,每小题5分,满分20分)
11.在平面直角坐标系中,点P (-2,-2)到原点的距离为 2√2 . 12.如图,在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,AC =4,BC =3,则CD =
125
.
13.在△ABC 中,AB =10,AC =2√10,BC 边上的高AD =6,则另一边BC 的长为 6或10 . 14.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =12,BC =5,延长BC 至点D ,连接AD.若△ABD 是以AD 为其中一腰的等腰三角形,则线段DC 的长等于 5或119
10 . 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =16,AB =20,CD ⊥AB 于点D ,求BC 和CD 的长.
解:∵∠ACB =90°,AC =16,AB =20,
∴根据勾股定理,得BC =√AB 2?AC 2=√202?162=12. ∵CD ⊥AB ,∴S △ABC =1
2AC ·BC =1
2AB ·CD , 即1
2×12×16=1
2×20×CD ,解得CD =9.6.
16.《九章算术》中记载:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问:折者高几何?译文:一根竹子,原高一丈,虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好着地,着地处离原竹子根部3尺远.问:原处还有多高的竹子?(1丈=10尺)
解:设竹子折断处离地面x 尺,则斜边长为(10-x )尺. 根据勾股定理,得x 2+32=(10-x )2,解得x =91
20. 答:原处还有91
20尺高的竹子.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在四边形ABCD 中,AB =13,BC =3,CD =4,DA =12,∠ADB =90°,求四边形ABCD 的面积.
解:∵AB =13,DA =12,∠ADB =90°, ∴在Rt △ABD 中,BD 2=132-122=25. 又∵BC =3,CD =4,∴BC 2+CD 2=32+42=25, ∴BC 2+CD 2=BD 2,∴∠BCD =90°,
∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =1
2×5×12+1
2×3×4=36.
18.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1,3),点B 的坐标为(1,1).在第一象限内有以AB 为底的等腰△ABC ,腰长为√10. (1)画出△ABC ,并写出点C 的坐标;
(2)在x 轴上找一点D ,使得直线AD 平分△ABC 的面积,画出直线AD ,并写出点D 的坐标.
答案图
解:(1)如图,△ABC 即为所求,点C 的坐标为(4,2). (2)如图,直线AD 即为所求,点D 的坐标为(4,0).
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2=z2的方程,显然,这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数.如(3,4,5)就是一组勾股数.
(1)请你再写出两组勾股数:(6,8,10),(9,12,15);
(2)在研究直角三角形的勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果n表示大于1的整
数,x=2n,y=n2-1,z=n2+1,那么以x,y,z为三边的三角形为直角三角形(即x,y,z为勾股数),请你加以证明.
解:(1)(答案不唯一,合理即可)
(2)∵x2+y2=(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1=n4+2n2+1=(n2+1)2=z2,∴x,y,z为勾股数.
20.如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.
(1)求证:FD=FG;
(2)若AB=6,BC=4√6,求FD的长.
解:(1)连接EF.
由折叠的性质可知,AE=EG,∠EGB=∠A=90°.
∵E是AD的中点,∴AE=ED,∴ED=EG.
在Rt△EDF和Rt△EGF中,{ED=EG, EF=EF,
∴Rt△EDF≌Rt△EGF,∴FD=FG.
(2)设FD=FG=x.
在Rt△BCF中,BF=6+x,CF=6-x,BC=4√6,
由勾股定理得(6+x)2=(6-x)2+(4√6)2,
解得x=4,∴FD=4.
六、(本题满分12分)
21.【思考题】如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时点B到墙C的距离为0.7米.如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对【思考题】的解答补充完整:
解:设点B将向外移动x米,即BB1=x米,
则B1C=(x+0.7)米,A1C=AC-AA1=√2.52?0.72-0.4=2(米),
而A1B1=2.5米,在Rt△A1B1C中,由B1C2+A1C2=A1B12得方程(x+0.7)2+22=2.52,
解方程得x1=0.8,x2=-2.2(舍去).
答:点B将向外移动0.8米.
(2)解完【思考题】后,小聪提出了如下两个问题:
问题1:在【思考题】中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?
问题2:在【思考题】中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗?为什么?
解:(2)问题1:不会.
理由:若AA1=BB1=0.9米,则A1C=2.4-0.9=1.5(米),B1C=0.7+0.9=1.6(米).
因为1.52+1.62=4.81,2.52=6.25,所以A1C2+B1C2≠A1B12,
所以该题的答案不会是0.9米.
问题2:有可能相等.
理由:设梯子顶端从A处沿墙下滑x米,点B向外也移动x米,
则有(x+0.7)2+(2.4-x)2=2.52,
解得x1=1.7,x2=0(舍去),
所以梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等,都为1.7米.
七、(本题满分12分)
22.已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12=0的两个根.
(1)当k=-7时,求Rt△ABC的周长;
(2)当Rt△ABC为等腰直角三角形时,求k的值及△ABC的周长.
解:(1)当k=-7时,x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4,
此时两条直角边长分别为3,4,则斜边长为√32+42=5,
∴Rt△ABC的周长为3+4+5=12.
(2)当Rt△ABC为等腰直角三角形时,方程有两个相等的实数根,
即Δ=k2-48=0,解得k=±4√3.
当k=4√3时,x2+4√3x+12=0,解得x1=x2=-2√3(舍去);
当k=-4√3时,方程x2-4√3x+12=0,解得x1=x2=2√3.
∴k的值为-4√3.
此时Rt△ABC的两条直角边长都为2√3,
斜边长为√(2√3)2+(2√3)2=2√6,
∴Rt△ABC的周长为2√3+2√3+2√6=4√3+2√6.
八、(本题满分14分)
23.教材在探索平方差公式时利用了面积法,面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图1,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示ab+(a-b)2,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为为4×1
2
c,则a2+b2=c2.
(1)图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”,请你利用图2推导勾股定理.
(2)如图3,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值.
(3)试构造一个图形,使它的面积能够解释(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2,画在如图4的网格中,并标出字母a,b所表示的线段.
解:(1)梯形ABCD 的面积为1
2(a +b )(a +b )=1
2ab +1
2ab +1
2c 2, ∴a 2+b 2=c 2.
(2)在Rt △ABD 中,AD 2=AB 2-BD 2=42-x 2, 在Rt △ACD 中,AD 2=AC 2-DC 2=52-(6-x )2, ∴42-x 2=52-(6-x )2,解得x =9
4.
(3)∵图形面积为(a +b )(a +2b )=a 2+3ab +2b 2, ∴边长为(a +b ),(a +2b ). 由此可画出的图形如图所示.