唐山数学一元二次方程易错题（Word 版 含答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两
点,OA=5,∠OAB=60°.
(1)如图1,求直线AB 的解析式；
(2)如图2,点P 为直线AB 上一点，连接OP ,点D 在OA 延长线上，分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ，连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22，求S 的值.
【答案】(1)直线解析式为353y x =-+(2)S=53253
22
m +
；(3)203S =. 【解析】 【分析】
(1)先求出点B 坐标，设AB 解析式为y kx b =+，把点A(5，0)，B(0，3分别代入，利用待定系数法进行求解即可；
(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m ，∠PCH=30°，过点C 作CH ⊥AB ，在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得CH=)3
52
m +，再由S=
1
2
AB ?CH 代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC ，设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，在BA 延长线上
截取AK=AD ，连接OK ，DK ，DE ，证明△ADK 是等边三角形，继而证明△PEC ≌△DKO ，通过推导可得到OP=OK=CE=CD ，再证明△CDE 是等边三角形，可得CE=CD=DE ，连接OE ，证明△OPE ≌△EDA ，继而可得△OAE 是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE 的周长等于22，可得ED=
172m -，过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=5
2
m +，由勾股定理得222EN DN DE +=， 可得关于m 的方程，解方程求得m 的值后即可求得答案.
【详解】
(1)在Rt △ABO 中OA=5，∠OAB=60°， ∴∠OBA=30°，AB=10 ， 由勾股定理可得OB=53，
∴B(0，53)，
设AB解析式为y kx b
=+，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得
05
53
k b
b
=+
??
?
=
??
，∴
3
53
k
b
?=-
?
?
=
??
，
∴直线解析式为353
y x
=-+；
(2)∵CP//OD，OP//CD，
∴四边形ODCP是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，
∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，
过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=
5
2
m
+
，由勾股定理得CH=()
3
5m
+，∴S=
1
2
AB?CH=
1353253
10(5)
2
m m
??+=+；
(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，
∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，
∴∠PEC=∠ADC，
设∠OPA=α，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α，
在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE，
∵∠DAK=60°，
∴△ADK是等边三角形，
∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，
∵PC=OD，
∴△PEC≌△DKO，
∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α，∠AKD= ∠APC=60°，
∴∠OPK= ∠OKB，
∴OP=OK=CE=CD，
又∵∠ECD=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=CD=DE ，
连接OE ，
∵ ∠ADE=∠APO ，DE=CD=OP ， ∴△OPE ≌△EDA ， ∴AE=OE ， ∠OAE=60°， ∴△OAE 是等边三角形， ∴OA=AE=5 ，
∵四边形ADCE 的周长等于22， ∴AD+2DE=17， ∴ED=
172
m
-， 过点E 作EN ⊥OD 于点N ，则DN=
5
2
m +， 由勾股定理得222EN DN DE +=， 即222
53517(
)()()22
m m -++=， 解得13m =，221m =-(舍去)， ∴S=
153253
+
=203.
【点睛】
本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使12
11
x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）k ＞﹣1
3
且k ≠0；（2
）存在，7k =±详见解析 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据
21
1212
11,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在． 【详解】
解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0 ∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0， 即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0， ∴12k ＞﹣4 解得：k ＞1
3
-且k ≠0
（2
）存在，且7k =±理由如下：
∵12122(1)1
,,k k x x x x k k
+-+=
= 又有21
1212
111,x x x x x x --
== 2112,x x x x ∴-=
2222
2121122,x x x x x x ∴-+=
22121212()4(),x x x x x x ∴+-=
22
22441(
)(),k k k k k k
+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=- 21430,k k ∴--= 1,14,3,a b c ==-=-
24208,b ac ∴?=-=
7k ∴=
=± k ＞13
-且k ≠0，
172130.21,3-≈
--＞ 1
7.3
+-
∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
3．已知关于x 的一元二次方程()22
1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值． 【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15
m =- 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()2
2140m m ∴?=-->且
20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.
（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 12
2
1
x x m =，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，22212
15m m m
--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值. 【详解】
（1）因为方程()22
1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根，
()2
21240m m ∴?=-->，解得14
m <
； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．
m ∴的取值范围是1
4
m <
且0m ≠． （2）
1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=
，12
2
1
x x m = 14m <
且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，122
1
0x x m
=>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，
2221215m m m -∴-
=-，2
15210m m ∴--=，解得113m =，2
15
m =-， 14m <
且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.
4．问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=?，4BC =，ABC 的面积为8，求BC 边上的高． 问题探究
（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积 问题解决
（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若
EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请
说明理由．
【答案】（1）4；（2）20
3
；（3）存在，最小值为16216- 【解析】 【分析】
（1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；
（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =
1
AE BH 2
即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1
AE BH 2
得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】
（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，
∵S △ABC =1
BC AM=82 ∴82
AM=
=44
? 即BC 边上的高为4；
（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
∵AD BC ∥，90D ∠=? ∴∠BCD=∠D=90°=∠F ∴四边形BCDF 为矩形， 又∵BC=CD=4
∴四边形BCDF 为正方形， ∴DF=BF=BC=4， 又∵AD ∥BC ∴∠FAB=∠CBA 又∵∠EAB=∠CBA ∴∠FAB=∠EAB ∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE ∴BH=BF=4，
在Rt △BCE 和Rt △BHE 中， ∵BE=BE ，BH=BC=4 ∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ） ∴EH=CE=2
同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ） ∴AF=AH
设AD=a ，则AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a 由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()2
2226+=-a a
解得8
=3
a
∴AE=6-a=
103
S △ABE
=
111020AE BH=4=2233?? （3）存在，
如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，
同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，
设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a
在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()2
2
244+-=-+a m a m 整理得8=
4
+m
a m ∴AE=AH+HE=2816
444
+-+=
++m m m m m 设△ABE 的面积为y ，
则y=()222161116AE BH=42244
++=
++m m m m ∴()()
2
4216+=+y m m
整理得：2
23240++-=m ym y ∵方程必有实数根
∴()2
=423240?-??-≥y y
整理得2
322560+-≥y y
∴(
)()16216162160????---≥?
???
y y （注：利用求根公式进行因式分解）
又∵面积y ≥0 ∴216≥y
即△ABE 的面积最小值为16216． 【点睛】
本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．
5．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2k
y x
=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；
（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．
【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA ＝6
3
． 【解析】
解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．
（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
由（1）知，点A ，B 分别在反比例函数2y x =-（x ＜0），3
y x
=（x ＞0）的图象上， ∴S △ACO ＝
12×2-＝1 ，S △ODB ＝12×3＝3
2
．∵∠ AOB ＝90°， ∴∠ AOC ＋∠ BOD ＝90°，∵∠ AOC ＋∠ OAC ＝90°，∴∠ OAC ＝∠ BOD ． 又∵∠ACO ＝∠ODB ＝90°，∴△ACO ∽△ODB ．
∴S S ACO ODB ??＝2OA OB ?? ???
＝23，∴OA OB ＝±63（舍负取正），即OA OB ＝6
3． ∴在Rt △AOB 中，tan ∠ OBA ＝
OA OB ＝6
3
．
6．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；
（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；
（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6
a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66
a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴2
60
(2)4(6)*0a a a a -≠???=-->?
， ∴a≥0且a≠6．
（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣
26a a -，x 1x 2=6
a
a -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣6
6
a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣
66a -是负整数，即6
6
a -是正整数． ∵a 是整数，
∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．
7．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数2
22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．
（1）当m =0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且
12111
4
x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分
别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．
【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析,
（3）AM 的解析式为1
12
y x =--． 【解析】 【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】
（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．
（2）令y=0，得△=
∴无论m 取何值，方程
总有两个不相等的实数根．
即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，
由
解得
．
∴函数的解析式为．
令y=0，解得
∴A(
)，B(4,0)
作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．
易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）
设直线AB’的解析式为y kx b =+，则
20{106k b k b -+=+=-，解得112
k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为1
12
y x =--， 即AM 的解析式为1
12
y x =-
-．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根（OA ＞OB ）． （1）求点D 的坐标． （2）求直线BC 的解析式．
（3）在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）D （4，7）（2）y=39
44
x -（3）详见解析 【解析】
试题分析：（1）解一元二次方程求出OA 、OB 的长度，过点D 作DE ⊥y 于点E ，根据正方形的性质可得AD=AB ，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE ，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO 全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA ，AE=OB ，再求出OE ，然后写出点D 的坐标即可；
（2）过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，同理求出点C 的坐标，设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0，k 、b 为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点P 与点B 重合时，△PCD 为等腰三角形；点P 为点B 关于点C 的对称点时，△PCD 为等腰三角形，然后求解即可． 试题解析：（1）x 2﹣7x+12=0， 解得x 1=3，x 2=4， ∵OA ＞OB ， ∴OA=4，OB=3， 过D 作DE ⊥y 于点E ， ∵正方形ABCD ，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∠DAE+∠OAB=90°，
∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°=∠AOB，
∵DE⊥AE
∴∠AED=90°=∠AOB，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴DE=OA=4，AE=OB=3，
∴OE=7，
∴D（4，7）；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，
同上可证得△BCM≌△ABO，
∴CM=OB=3，BM=OA=4，
∴OM=7，
∴C（7，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
代入B（3，0），C（7，3）得，，
解得，
∴y=x﹣；
（3）存在．
点P与点B重合时，P1（3，0），
点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．
考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数
9．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF . （1）当32BG = 时，求AE 的长； （2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；
（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.
【答案】（1）92AE =；（2）62EF =；（3）18
5
BG =
. 【解析】 【分析】
（1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得； （2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得． 【详解】
（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-， 由勾股定理，得()()
2
2
2
632
x x =-+，解得92x =
，即9
2
AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值， 当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合， 此时四边形AEGF 是正方形，
∴折痕226662EF =+=.
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论： ①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，
则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH 设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH 在Rt △CFH 中 ∵CF 2=CH 2+FH 2 ∴x 2=62+（10-x ）2 解得：x=
345
， ∴DF=CH=GH=10-165
， 即BG=10-
165×2=185
， ②当FG=GC 时，则有：AF=FG=GC=x ，CH=DF=10-x ； ∴GH=x-（10-x ）=2x-10，
在Rt △FGH 中，由勾股定理易得：x 2=62+（2x-10）2， 化简得：3x 2-40x+136=0， ∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0， ∴此方程没有实数根． 综上可知：BG=18
5
． 【点睛】
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．
10．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程
2
(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221
6
k k k -+-的值．
【答案】0. 【解析】 【分析】
由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2
则12123940x x x x a a +-??
??-≥?
＝＝＝ ，
由条件，知12
1212
11x x x x x x ++==3， 即
33a -=，且94
a ≤， 故a ＝－1，
则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，
Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106
k k k -=+-.
Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17
8
k ≤
， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使221
6k k k -+-无意义.
综上，代数式221
6
k k k -+-的值为0
【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，