2．2.2 双曲线的简单几何性质
[提出问题]
已知双曲线C 1的方程：x 29－y 2
16
＝1.
问题1：双曲线C 1中的三个参数a ，b ，c 的值分别为多少？ 提示：3,4,5.
问题2：试画出双曲线C 1的草图？ 提示：如图所示：
问题3：观察双曲线C 1的图象，曲线与x 轴、y 轴哪一条轴有交点？有无对称性？ 提示：与x 轴有交点，有对称性． [导入新知]
1．双曲线的几何性质
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [化解疑难]
对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞
0，b ＞0)，得x 2a 2＝1＋y 2b
2≥1，∴x 2≥a 2
，∴|x |≥a ，即x ≤－a 或x ≥a .
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
(4)对称性：由双曲线的方程x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，若P (x ，y )是双曲线上任意一点，
则P 1(－x ，y )，P 2(x ，－y )均在双曲线上，因P 与P 1，P 2分别关于y 轴、x 轴对称，因此双曲线分别关于y 轴、x 轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．
[例1] 渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 2
4＝1，
∴a 2
＝9，b 2
＝4， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝
133
，
渐近线方程为y ＝±2
3x .
[类题通法]
已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a ，
b 的对应值，利用
c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何
性质．
[活学活用]
求双曲线9x 2
－16y 2
＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．
解：把方程9x 2
－16y 2
＋144＝0化为标准方程为
y 2
9
－
x 2
16
＝1.
由此可知，实半轴长a ＝3； 虚半轴长b ＝4；
c ＝a 2＋b 2＝9＋16＝5，
焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；
离心率e ＝c a ＝5
3
；
渐近线方程为y ＝±a b x ＝±3
4
x .
双曲线的草图如图．
[例(1)虚轴长为12，离心率为5
4
；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±3
2x .
[解] (1)设双曲线的标准方程为
x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，
c a ＝54
且c 2＝a 2＋b 2
，
∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 2
36＝1.
(2)设以y ＝±3
2
x 为渐近线的双曲线方程为
x 24
－y 2
9
＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2
＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6?λ＝9
4.
当λ＜0时，a 2
＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 2
4＝1.
[类题通法]
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2
＝a 2
＋b 2
及e ＝c
a
列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝
λ(λ≠0)．
[活学活用]
分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝
103
. (3)与双曲线x 2
－2y 2
＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．
解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2
＋b 2
＝c 2
， 得b 2
＝1.
故双曲线C 的标准方程为x 2
3－y 2
＝1.
(2)由e 2
＝109，得c 2
a 2＝10
9
，
设a 2
＝9k (k ＞0)，
于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2
k ＝1，①
或y 29k －x 2
k
＝1，② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k ＞0矛盾； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线的标准方程为
y 2
81
－x 2
9
＝1. (3)设与双曲线x 2
2－y 2
＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 2
2－y 2
＝k (k ≠0)，
将点(2，－2)代入，得k ＝22
2－(－2)2
＝－2，
∴双曲线的标准方程为y 22－x 2
4
＝1.
[例3] 已知双曲线的渐近线方程为y ＝±4x ，求此双曲线的离心率．
[解] 当焦点在x 轴上时， 其渐近线方程为y ＝±b a
x ，
依题意，得b a ＝34，b ＝34a ，c ＝a 2＋b 2
＝54a ，
∴e ＝c a ＝5
4
；
当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±a b
x ，
依题意，得a b ＝34，b ＝43a ，c ＝a 2＋b 2
＝53a ，
∴e ＝c a ＝5
3
.
∴此双曲线的离心率为54或5
3.
[类题通法]
求双曲线离心率的常用方法
(1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝c a
.
(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解；
另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出b
a
后利用e ＝
1＋b 2
a
2求解． [活学活用]
已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的
双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．
解：设F 1(c,0)，
将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2
b 2＝1，
则y ＝±b 2
a
.
由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，
∴b 2a
＝2c ，∴b 2
＝2ac . ∴c 2
－2ac －a 2
＝0， ∴? ??
??c a 2－23c a
－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.
∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.
3.直线与双曲线的相交
[典例] (12分)已知斜率为2的直线被双曲线x 23－y 2
2＝1所截得的弦长为4，求直线l
的方程．
[解题流程]
[活学活用]
已知双曲线C ：x 2
－y 2
＝1及直线l ：y ＝kx －1.
(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．
(2)若直线l 与双曲线C 两支交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．
解：(1)由?
??
??
x 2
－y 2＝1，
y ＝kx －1，
消去y 整理，得(1－k 2
)x 2
＋2kx －2＝0.
由题意知?
????
1－k 2
≠0，
Δ＝4k 2＋8 1－k 2
＞0，
解得－2＜k ＜2且k ≠±1.
所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由(1)得x 1＋x 2＝－
2k 1－k 2，x 1x 2＝－2
1－k
2. 又直线l 恒过点D (0，－1)，且x 1x 2＜0， 则S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD
＝12|x 1|＋12|x 2|＝1
2
|x 1－x 2|＝ 2. 所以(x 1－x 2)2
＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝(22)2
，
即? ???
?－2k 1－k 22＋81－k 2
＝8. 解得k ＝0或k ＝±
62
， 由(1)知上述k 的值符合题意， 所以k ＝0或k ＝±
62
.
[随堂即时演练]
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 210－y 2
6
＝1 D.x 26－y 2
10
＝1
解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以? ??
??b a 2＋1＝e 2
＝4， 所以b a
＝3，
又由a 2
＋b 2
＝4a 2
＝c 2
＝16， 得a 2
＝4，b 2
＝12.
所以双曲线的方程为x 24－y 2
12
＝1.
2．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x
轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1
3
，则E 的离心率为( )
A. 2
B.3
2
C. 3 D ．2
解析：选A 因为MF 1与x 轴垂直，
所以|MF 1|＝b 2
a
.
又sin ∠MF 2F 1＝1
3
，
所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.
由双曲线的定义得 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝
2b
2
a
，
所以b 2
＝a 2
，所以c 2
＝b 2
＋a 2
＝2a 2
， 所以离心率e ＝c a
＝ 2.
3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上， 且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4， 即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4， ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2
16＝1.
答案：x 29－y 2
16
＝1
4．过双曲线x 2
－y 2
3＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π
6
的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与
双曲线的交点，则|AB |的长为________．
解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)， 将直线AB 的方程y ＝
3
3
(x ＋2)代入双曲线方程， 得8x 2
－4x －13＝0，显然Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－13
8
，
∴|AB |＝1＋k 2
2 x 1＋x 2 2
－4x 1x 2
＝
1＋13
3
? ????122－43? ??
??－138＝3. 答案：3
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝
5
2
； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，
设其标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
因为双曲线过点(3，－2)， 则9a 2－2
b
2＝1.①
又e ＝c a ＝
a 2＋
b 2a 2
＝52
，故a 2＝4b 2
.② 由①②得a 2＝1，b 2
＝14
，
故所求双曲线的标准方程为x 2
－y 2
14＝1.
若双曲线的焦点在y 轴上，
设其标准方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
同理可得b 2
＝－172
，不符合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2
－y 2
14＝1.
(2)由2a ＝2b 得a ＝b ， ∴e ＝
1＋b 2
a
2＝2， 所以可设双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2
－y 2
＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 2
6
＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列双曲线中离心率为
6
2
的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 24－y 2
6＝1 D.x 24－y 2
10＝1 解析：选B 由e ＝
62得e 2
＝32
， ∴c 2a 2＝3
2， 则a 2＋b 2a 2＝32，
∴b 2a 2＝12
， 即a 2
＝2b 2
.因此可知B 正确．
2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A ．x 2
－y 2
＝8 B ．x 2
－y 2
＝4 C ．y 2
－x 2
＝8 D ．y 2
－x 2
＝4 解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2
＝12c 2＝12
316＝8，故选A.
3．(全国乙卷)已知方程x 2
m 2＋n －y 2
3m 2－n
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，
则n 的取值范围是( )
A ．(－1,3)
B ．(－1，3)
C ．(0,3)
D ．(0，3)
解析：选A 由题意得(m 2
＋n )(3m 2
－n )>0，解得－m 2
，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2 ＋n ＋3m 2 －n ＝4，即m 2 ＝1，所以－1 4．双曲线x 24＋y 2 k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0) C ．(－3,0) D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0， ∴a 2 ＝4，b 2 ＝－k . ∴e 2 ＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4 . 又e ∈(1,2)， ∴1＜1－k 4＜4， ∴－12＜k ＜0. 5．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近 线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 2 4－y 2＝1 B ．x 2 －y 2 4＝1 C.3x 2 20－3y 2 5＝1 D.3x 2 5－3y 2 20 ＝1 解析：选A 由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直， 所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2 ，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24 －y 2＝1. 二、填空题 6．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±3 2 x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2 x ＝± 3 2 x ，得m ＝3，所以c ＝7，又焦点在x 轴上，则焦点坐标为(±7，0)． 答案：(±7，0) 7．过双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意知，a ＋c ＝b 2 a ， 即a 2 ＋ac ＝c 2 －a 2 ， ∴c 2 －ac －2a 2 ＝0， ∴e 2－e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案：2 8．双曲线x 29－y 2 16 ＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的 直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________． 解析：双曲线x 29－y 2 16＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±4 3x . 不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2 ＝9， 解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ? ????17 5，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝1 2(c －a )|y B | ＝123(5－3)33215＝32 15. 答案：3215. 三、解答题 9．已知椭圆方程是x 210＋y 2 5＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭 圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程． 解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)． 因双曲线以椭圆的焦点为顶点， 即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2 －16y 2 ＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45， 故所求方程是x 25－16y 2 45 ＝1. 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝3 3 . (1)求双曲线C 的方程； (2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2 ＋y 2 ＝5上，求m 的值． 解：(1)由题意得????? a 2c ＝33， c a ＝3， 解得{ a ＝1， c ＝ 3. 所以b 2＝c 2－a 2 ＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2 －y 2 2 ＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由? ?? x －y ＋m ＝0， x 2 －y 2 2＝1， 得x 2 －2mx －m 2 －2＝0(判别式Δ＞0)． 所以x 0＝ x 1＋x 2 2 ＝m ， y 0＝x 0＋m ＝2m . 因为点M (x 0，y 0)在圆x 2 ＋y 2 ＝5上， 所以m 2 ＋(2m )2 ＝5. 故m ＝±1. 百度文库- 让每个人平等地提升自我！ 1 双曲线的几何性质 学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进一步体会数形结合的思想. 学习重点：双曲线的几何性质及其运用. 一、学习情境 类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？ 二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完） 问题1: 画出 1 3 42 2 2 2 = - y x 与 1 3 42 2 2 2 = - x y 的图形，观察图形你能得出双曲线的哪些性质？ 问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质. 标准方程 图象 范围 对称轴 对称中心 实虚轴 顶点 渐近线 离心率 a,b,c关系 A级理P61 (文P53) 1、2、3、4 B级习题理2.3 (文2.2) 3、4 选做题 1、已知椭圆方程 1 9 16 2 2 = + y x 和双曲线方程 1 9 16 2 2 = - x y 有下列说法： ①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上; ②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3 ③它们的焦距都是10 其中说法正确的个数是（） A、0 B、1 C、2 D、3个 2、根据下列条件，求双曲线方程 ①与双曲线1 4 16 2 2 = - y x 有公共焦点，且过点（2 3，2） ②与双曲线1 9 16 2 2 = - y x 有共同的渐近线，且过点（3 2，-3） 三、归纳反思 椭圆和双曲线几何性质的比较： 椭圆双曲线定义 标准方程 图形 (顶点坐 标) (焦点坐 标) 范围 轴 对称轴 (对称中 心) 离心率 及其范围 a,b,c关系 渐近线 双曲线的简单几何性质 一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±， 课题：8．4双曲线的简单几何性质 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2．掌握标准方程中c b ,的几何意义 a, 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程 教学难点：渐近线几何意义的证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利 它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分 坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思 想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学 利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点 本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥 曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来 以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-22 22b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的 教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律 双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +, 双曲线的简单几何性质 山丹一中周相年 教学目标: (1 知识目标 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标 通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程? 问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称 中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 . 北安一中高二数学导学案 主备人：陈叔彤 审阅人：高二数学组 备课日期 ：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结 课时： 课时 班级： 姓名： 【学习目标】 知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等 几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。 【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围： 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可； 双曲线 双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。 双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义 一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。 取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。 将这个方程移项，两边平方得： 两边再平方，整理得：()() 22222222a c a y a x a c -=-- 由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得： 双曲线的标准方程：122 22=-b y a x 两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。坐标轴上 的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。 实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=， ②双曲线的第二定义 与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：122 22=-b y a x ，我们将222b a c +=代入， 可得：()a c c a x c x y =± ±+2 2 所以有：双曲线的第二定义可描述为： 平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (c a x 2 ±=)的距离之比为 常数()0c e c a a =>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双 曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率： （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e == 22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ； （3）双曲线形状与e 的关系： 1122222-=-=-==e a c a a c a b k ； 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点 )0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）； 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对 应着上准线 a y l 2 2:=。 《双曲线的简单几何性质》教学设计 首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红 一、教材分析 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察 能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推 理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。 （3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。 渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。 例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。 高 中 数 学 公 式 （苏教版） 使用说明：本资料需要有经验老师讲解每一个公式，然后根据公式出一个题来运用、理解公式，天天坚持直到高考。这样效果极佳；另外术业教育每天出一份高考数学挑战题卡（上传到学优高考网），保证你的学生数学成绩能够从20分迅速提高到100分，这项成果经过我们十几年的教学实践总结，效果绝对好。 一、集合 1. 集合的运算符号：交集“I ”，并集“Y ”补集“C ”子集“?” 2. 非空集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数） 3. 空集的符号为? 二、函数 1. 定义域（整式型：R x ∈；分式型：分母0≠；零次幂型：底数0≠；对数型：真数0>；根式型：被开方数0≥） 2. 偶函数：)()(x f x f -= 奇函数：0)()(=-+x f x f 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f 奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f 3. 单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减 单调减函数：与增函数相反 4. 指数函数计算：n m n m a a a +=?；n m n m a a a -=÷；n m n m a a ?=)(；m n m n a a =；10=a 指数函数的性质：x a y =；当1>a 时，x a y =为增函数； 当10<a 时，x a y log =为增函数 课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的 平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O 【知识导图】 教学过程 一、导入 1情境引入 类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式 上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆? 思考：那么平面上到两个定点的距离之差为一个常数的点的轨迹是什么呢？ 设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的 标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节 2、步步深化 类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系： 设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆? 二、知识讲解 平面内到两定点％F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2 ）的动点的轨迹叫双曲线.即||MF i — MF?] =2a. 【教学建议】注意差的绝对值为常数，如果只说差为常数，得到的轨迹是双曲线的一支?教师讲完定义后，可顺带引出实轴、虚轴、焦距的概念，对比椭圆记忆双曲线的量 —2 2 x y 2 - 2=1(a 0,b 0) a b 2 2 y x \ - 2 = 1(a 0,b 0) a b x_a 或x_-a, y R x R, y - -a,或y - a 渐近线 c2二a2b2(c a 0, c b 0) 注意: 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A _a, 0 ，A a,0 A 0, - a ，A0, a 考点2双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 离心率 e = c ，e 1,,其中c= a 准线 2 x* c 线段A 1A2 叫做双曲线的实轴，它的长?线段 AA2 =2a '线段 B B叫做双曲线的虚 B〔B 2 实虚轴 轴，它的长B^二加；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系 四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨 迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系 （二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的 方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越 大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 )0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 2 2:= ； 6．渐近线 过双曲线122 2 2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线 围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0 =±b y a x ），这两条直线就是双曲线 的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。 双曲线 Ⅰ、定义与推论： 1．定义1的认知 设M为双曲线上任意一点，分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端点，则有： (1)明朗的等量关系： (解决双焦点半径问题的首选公式) (2)隐蔽的不等关系：，(寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据) 2．定义2的推论 设为双曲线上任意上点，分别为双曲线左、右焦点，则有 ，其中，为焦点到相应准线l i的距离 推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时，； 当点M在双曲线左支上时，。 Ⅱ、标准方程与几何性质 3．双曲线的标准方程 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为① 中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为② (1)标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： (2)标准方程①、②的统一形式：或 (3)椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 4．双曲线的几何性质 (1)范围： (2)对称性：关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心) (3)顶点与轴长：顶点 (由此赋予a,b名称与几何意义) (4)离心率： (5)准线：左焦点对应的左准线；右焦点对应的右准线 (6)双曲线共性：准线垂直于实轴；两准线间距离为； 中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为 (7)渐近线：双曲线的渐近线方程： Ⅲ、挖掘与延伸 1．具有特殊联系的双曲线的方程 对于双曲线 (a) (1)当λ+μ为定值时，(a)为共焦点的双曲线(系)方程：c 2 =λ+μ; (2)当 为定值时，(※)为共离心率亦为共淅近线的双曲线(系)方程： ； (3)以直线 为渐近线的双曲线(系)方程为： 特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为： (左边相同，区别仅在于右边的常数) 2．弦长公式 设斜率为k 的直线l 与双曲线交于不同两点 则 1、双曲线标准方程的两种形式是：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y )00(>>b a ，。 2、双曲线12222=-b y a x 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2± =，离心率是a c e =，通径的长是a b 22，渐近线方程是02222=-b y a x 。其中2 22b a c +=。 3、与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ，即共渐近线为x a b y ±=； 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122 2 2=--+k b y k a x 。 4、双曲线焦半径公式：设P(x 0,y 0)为双曲线22 221-=x y a b (a>0,b>0)上任一点，焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),则: (1)当P 点在右支上时，1020,=+=-+PF a ex PF a ex ； (2)当P 点在左支上时，1020,=--=-PF a ex PF a ex ；(e 为离心率)； 另：双曲线12222=-b y a x (a>0,b>0)的渐进线方程为02222 =-b y a x ； 5、双曲线1222 2=-b y a x 的通径(最短弦)为a b 2 2，焦准距为2=b p c ，焦点到渐进线的距离为b; 6、处理双曲线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)为双曲线1222 2 =-b y a x (a>0，b>0)上不同的两点，M(x 0,y 0)是AB 的中点，则K AB .K OM =22a b 。 高中数学公式大全（最新整理版） 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式; (3)零点式. 2、四种命题的相互关系 原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否 §函数 1、若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数. 2、函数的图象的对称性 (1)函数的图象关于直线对称 . (2)函数的图象关于直线对称 . 3、两个函数图象的对称性 (1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. (2)函数与函数的图象关于直线对称. (3)函数和的图象关于直线y=x对称. 4、若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系：. 6、若函数存在反函数,则其反函数为,并不是 ,而函数是的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数,. (2)指数函数,. (3)对数函数,. (4)幂函数,. (5)余弦函数,正弦函数，，§数列 1、数列的同项公式与前n项的和的关系 ( 数列的前n项的和为). 2、等差数列的通项公式；其前n项和公式为. 3、等比数列的通项公式；其前n项的和公式为 或. 4、等比差数列:的通项公式为 ；其前n项和公式为 . §三角函数 1、同角三角函数的基本关系式，=，. 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3、和角与差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(辅助角所在象限由点的象限决定, ). 4、二倍角公式 . . 双曲线的简单性质 【学习目标】 1．知识与技能 理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念． 2．过程与方法 锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观 通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求． 【要点梳理】 【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】 要点一：双曲线的简单几何性质 双曲线 22 22 1 x y a b -=（a＞0，b＞0）的简单几何性质 范围 2 21 x a ≥，即22 x a ≥ ∴x a ≥，或x a ≤-． 双曲线上所有的点都在两条平行直线x= -a和x= a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a ≥，或x a ≤-．对称性 对于双曲线标准方程 22 22 1 x y a b -=（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同 时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的 轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别 为 A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a ==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1c e a =>． 由c 2 = a 2 +b 2 ，可得b a ===b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线a b =，所以离心率e = 渐近线 经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是b y x a =±． 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆 C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣ 4）2+y2=2，动圆 M 与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（） A．x=0B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标 准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，） 两点的双曲线的标准方程． 5、已知 P 是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲线的两个焦点， 若| PF1 2 | =17，则| PF | 的值为． 二、离心率 1、已知点 F 、F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点， 1 2 若△ PF1 2 F 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 ． 2、设 F1，F2是双曲线 C：（ a＞0，b＞0）的两个焦点．若 在 C上存在一点 P．使 PF1 2 1 2 ⊥PF ，且∠ PF F =30°，则 C的离心率为． 3、双曲线的焦距为 2c，直线 l 过点（ a，0）和 （0，b），且点（ 1，0）到直线 l 的距离与点（﹣ 1，0）到直线 l 的距 离之和．则双曲线的离心率 e 的取值范围是（） A．B．C．D． 3、焦点三角形 1、设 P 是双曲线 x2﹣=1 的右支上的动点， F 为双曲线的右焦点， 已知 A（3，1），则 |PA|+|PF| 的最小值为． 2、．已知 F1，F2分别是双曲线 3x2﹣5y2=75 的左右焦点， P 是双曲线上 的一点，且∠ F1PF2 =120°，求△ F1 PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y 轴上， F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是 实轴长的 2 倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若 P 为双曲线上一点，且满足∠ F1PF2=60°，求△ PF1F2的面积． 双曲线 平面到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22 2 21x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +，双曲线几何性质 (1)
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