不等关系与不编稿：张希勇审稿：李霞
【学习目标】
1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系. 2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 【要点梳理】
要点一、符法则与比较大小
实数的符：
任意xR?，则0x?（x为正数）、0x?或0x?（x为负数）三种情况有且只有一种成立。
两实数的加、乘运算结果的符具有以下符性质：
①两个同实数相加，和的符不变
符语言：0,00abab?????；
0,00abab?????
②两个同实数相乘，积是正数
符语言：0,00abab????；
0,00abab????
③两个异实数相乘，积是负数
符语言：0,00abab????
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符语言：20xRx???，200xx???. 比较两个
实数大小的法则：
对任意两个实数a、b
①0baba????；
②0baba????；
③0baba????.
对于任意实数a、b,ab?,ab?,ab?三种关系有且只有一种成立。
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
要点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1) 对称性：a>b b (2) 传递性：a>b, b>c a>c? (3) 可加性：abacbc????? (c∈R) (4) 可乘性：a>b，??????????????bcaccbcaccbcacc000 运算性质有： (1) 可加法则：,.abcdacbd?????? (2) 可乘法则：,ab>0cd>0acbd>0?????? (3) 可乘方性：*0,0nn abnNab?????? (4) 可开方性：nn ab0,nN,n1ab??????? 要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 要点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式a、b，可以作差ab?后比较ab?与0的关系，进一步比较a与b的大小。 ①0baba????； ②0baba????； ③0baba????。 作商法： 任意两个值为正的代数式a、b，可以作商ab?后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b的大小。 ①1baab???； ②1baab???； ③1baab???. 中间量法： 若a>b且b>c，则a>c（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论。 要点诠释：“三步一结论”。这里“定”是目的，“变形”是关键过程。 【典型例题】 类型一：用不等式表示不等关系 例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。 【解析】假设装修大、小客房分别为x间，y间，根据题意，应由下列不等关系：（1）总费用不超过8000元 （2）总面积不超过2180m； （3）大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有： **1800(0(100060080001815))xxNyyN xyxy???????????????即 **600(0(534065))xxNyyN xyxy??????????????? 此即为所求满足题意的不等式组 【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围. 举一反三： 【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为2.5(80.2)0.1xx???万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1xx???? 类型二：不等式性质的应用 例2．对于实数a,b,c判断以下命题的真假 （１）若a>b, 则ac （３）若a （５）若a>b, a1>b1, 则a>0, b<0． 【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。 【解析】 （１）因为c的符不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。 （２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。 （３）因为?????0aba，所以a2>ab ① 又?????0bba，所以ab>b2② 综合①②得a2>ab>b2，故原命题为真命题． （４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题． （５）因为???????baba11 ，所以0110abab????????? 所以?????????00ababab ，从而ab<0 又因a>b，所以a>0, b<0，故原命题为真命题． 【总结升华】不等式的性质应用要注意使用的条件，正确变形. 举一反三： 【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型二不等式的性质】 【变式1】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc； (2) 0abdc??；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立 的个数是()． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C； 【变式2】若a 不成立 B.1111a-ba|a||b|??和均不成立 C.221111a)(b)ababa?????和(均不成立 D.221111(a)(b+)|a||b|ba???和均不成立 【答案】B； 【解析】特殊值法：ab0,???取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得 选项B. 【变式3】(2014 四川)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有() A dbca? B dbca? C cbda? D．cbda? 答案：D 解析：不妨令a＝3，b＝1，c＝－3，d＝－1， 则1,1????dbca，∴A、B不正确； 31,3????cbda， ∴C不正确，D正确． 故选：D． 例3．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？ 【解析】设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)，则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间222SSuStuvuvuv?????? 平均速度222Suvutu???， ∵2220uvvuuuuu???????， ∴uu? 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。 【总结升华】 本例利用了做差比较大小的方法，注意符的判断方法. 举一反三： 【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若ab?，试判断 哪辆车先到达B地. 【答案】甲车先到达B地； 【解析】设从A到B的路程为S，甲车用的时间为1t，乙车用的时间为2t， 则1112211,,(),22222ttSSSSabSttababab????????? 22 2SS112S()S4S()S()S0222()2()abababababababababababab????????? ??＋－＋－－＋－＋＋＋＋ 所以，甲车先到达B地。 类型三：作差比较大小 【高清课堂：不等关系与不等式 387156 题型一比较大小】 例4.已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小． 【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符问题。 【解析】∵222()abcabbcca????? =2221[()()()]02abbcca?????， 当且仅当a＝b＝c时取等． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 【总结升华】 用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论； 第三步：得出结论。 举一反三： 【变式1】在以下各题的横线处适当的不等： (1)2(32)?626?； （2）2(32)?2(61)?； （3）251?561?； （4）当0ab??时，12loga12logb. 【答案】(1)＜；（2）＜；（3）＜；（4）＜ 【变式2】比较下列两代数式的大小： （1）(5)(9)xx??与2(7)x?；（2）22222abab??与223ab??. 【答案】 （1）2(5)(9)(7)xxx???? （2）22(222)(223)ababab????? 2222(21)(21)(2)1aabbaabb?????????? 222(1)(1)()110abab?????????， ∴22222223ababab?????. 【变式3】（2015 西城一模）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4 枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）。 A.2枝玫瑰的价格高 B.3枝康乃馨的价格高 C.价格相同 D.不确定 【答案】 设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x,y元， 由题意得：6324,4420xyxy???????化为28,5xyxy????????? 设2x-3y=m(2x+y)+n(-x-y)=(2m-n)x+(m-n)y, 令22,3mnmn????????解得m=5,n=8. 所以2x-3y=5(2x+y)+8(-x-y)>5×8-8×5=0 因此2x>3y. 所以2枝玫瑰的价格高。 故选A. 例5.已知ab?(0ab?), 试比较1a和1b的大小。 【解析】11baabab???， ∵ab?即0ba??， ∴当 0ab?时0baab??，11ab?； 当0ab?时0baab??，11ab?. 【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符为止；另需注意字母的符，必要时需要分类讨论 举一反三： 【变式1】已知a0,b>0ab??且，比较22ababba??与的大小 【答案】22()ababba???（） 33222()2()()()()0abababaabbababababab???????????? 22.ababba???? 【变式2】（2016春·简阳市校级期中）已知a，b为实数，则（a+3）（a―5）________（a+2）（a―4）。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】∵（a+3）（a―5）―（a+2）（a―4）=（a2―2a+15）―（a2―2a―8）=－7＜0， ∴（a+3）（a－5）＜（a+2）（a－4）， 故答案为：＜。 类型四：作商比较大小 例6．已知：a、bR??, 且ab?,比较abba abab与的大小. 【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符，由指数式是正项可以联想到作商法. 【解析】∵a、bR??，∴0ab ab?，0ba ab? 作商：()()()()()ababababba ababaaaabbabbb?????（*） (1)若a>b>0, 则1?ba，a-b>0, 1)(??ba ba, 此时abba abab?成立； (2)若b>a>0, 则10??ba, a-b<0，1)(??ba ba, 此时abba abab?成立。 综上，abba abab?总成立。 【总结升华】 1、作商比较法的基本步骤是: 判定式子的符并作商?变形?判定商式大于1或等于1或小于1 ?结论。 2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法. 举一反三： 【变式】已知abc、、为互不相等的正数，求证：2a2b2cbccaab abcabc.???? 【答案】abc、、为不等正数，不失一般性，设abc0,??? 这时2a2b2c abc0?，bccaab abc0????，则有： 2a2b2c(ab)(ac)(bc)(ba)(ca)(cb)abbccabccaab abcabcabc()()()abcbca????????????????? 不等式的概念及其基本性质 一、知识点复习： 1. 用 不等号 连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。 2．不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-； （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c >； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果)0(<>c b a ，那么bc ac <， c b c a <； （4）如果a b >，那么b a <； （5）如果a b >，b c >，那么a c >。 二、经典题型分类讲解： 题型1：考察不等式的概念 1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。其中不等式有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 题型2：考察不等式的性质 2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（ ） A 、22b a < B 、b a 22< C 、22+<+b a D 、b a -<- 3. 若0a b <<，则下列式子：12a b +<+ , 1a b > , a b ab +< , 11a b <,其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a c b c +>+，则a b > C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b > 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+（2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f 基本不等式 【考纲要求】 1. 2 a b +≤ 的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ 解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果,R a b ∈，那么2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果,a b 是正数，那么 2a b +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22 2a b ab +≥ 和2 a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。 （3）2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2 a b ab +≤. 3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD . 易证~Rt ACD Rt DCB ??，那么2 CD CA CB =?，即CD ab = . 这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b a ≥+2 ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称 2 b a +为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 2 b a +看作是正数,a b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式2 a b ab +≤的证明 1. 几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形 的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2 2 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以：22 2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2 2 2a b ab +=。 向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小） 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 不等式的知识要点 1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>> 0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)(0*2N n a n ∈≥（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）非负式：0,0||,2≥≥∈a a R a 则若；.0,0≥≥a a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）二元均值不等式：如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 常用为：a b +≥a=b 时取等号），2()2 a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式链：如果a ,b 都是正数，那么 2 112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号） ,3 a b c a b c R +++∈(4)三元均值不等式：若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 4.几个著名不等式 （1）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则 若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,, (一赛队中的4名成员,分为一辩、二辩、三辩、四辩手;亦有分 为一辩、二辩、三辩手及自由发言人等. 其中,一辩主要是阐述本方观点,要具有开门见山的技巧和深入探究的能力要能把观众带入一种论辩的氛围中.所以要求一辩具有演讲能力和感染能力; 二三辩主要是针对本方观点,与对方辩手展开激烈角逐,要求他们具有较强的逻辑思维能力和非凡的反应能力,要能抓住对方纰漏,加以揭露并反为己用,要灵活善动,幽默诙谐,带动场上气氛; 四辩很好总结本方观点,并能加以发挥和升华,要求有激情,铿锵有力,把气氛引入另一高潮. (二第一,是辩题的现实意义。即辩题本身是不是人们关注的问题。通过辩论能不能给人们一种思想启迪,这不但影响听众对辩论赛的热心程度,而且影响参赛人员的热心程度,最终会影响辩论赛的气氛和效果;第二,是辩题的可辨性。 2、陈词 提倡即兴陈词,引经据典恰当。 3、开篇立论 由于本次比赛辩题大都富于生活化色彩,所以开篇立论无须在理论的层面上过多纠缠。立论要求逻辑清晰,言简意赅。 4、攻辩 (1攻辩由正方二辩开始,正反方交替进行。 (2正反方二、三辩参加攻辩。正反方一辩作攻辩小结。正反方二、 三辩各有且必须有一次作为攻方;辩方由攻方任意指定,不受次数限制。攻辩双方必须单独完成本轮攻辩,不得中途更替。 (3攻辩双方必须正面回答对方问题,提问和回答都要简洁明确。重复提问和回避问题均要被扣分。每一轮攻辩,攻辩角色不得互换,辩方不得反问,攻方也不得回答问题。 (4正反方选手战立完成第一轮攻辩阶段,攻辩双方任意一方落座视为完成本方攻辩,对方选手在限时内任意发挥(陈词或继续发问。 (5每一轮攻辩阶段为1分30秒,攻方每次提问不得超过10秒,每轮必须提出三个以上的问题。辩方每次回答不得超过20秒。用时满时,以钟声终止发言,若攻辩双方尚未完成提问或回答,不作扣分处理。(6四轮攻辩阶段完毕,先由正方一辩再由反方一辩为本队作攻辩小结,限时1分30秒。正反双方的攻辩小结要针对攻辩阶段的态势及涉及内容,严禁脱离比赛实际状况的背稿。 5、自由辩论 这一阶段,正反方辩手自动轮流发言。发言辩手落座为发言结束即为另一方发言开始的记时标志,另一方辩手必须紧接着发言;若有间隙,累积时照常进行。同一方辩手的发言次序不限。如果一方时间已经用完,另一方可以继续发言,也可向主席示意放弃发言。自由辩论提倡积极交锋,对重要问题回避交锋两次以上的一方扣分,对于对方已经明确回答的问题仍然纠缠不放的,适当扣分。 这个值得我方辩手注意一下到时候可以申明对方此项犯规。 6、结辩辩论双方应针对辩论会整体态势进行总结陈词;脱离实际,背诵事先准备的稿件,适当扣分。 技巧 (一借力打力武侠小说中有一招数,名叫“借力打力”,是说内力深厚的人,可以借对方攻击之力反击对方.这种方法也可以运用到论辩中来. 初中不等式知识点总结 一、不等式的概念 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的.解法 一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项； （5）将 x 项的系数化为 1。 四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 第九章不等式与不等式组 一、目标与要求 1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上; 2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想; 3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。 二、知识框架 三、重点 理解并掌握不等式的性质; 正确运用不等式的性质; 建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程; 寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型; 一元一次不等式组的解集和解法。 四、难点 一元一次不等式组解集的理解; 弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式; 正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 五、知识点、概念总结 1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。 一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 5.不等式解集的表示方法： (1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3 (2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形 基本不等式知识点归 纳 基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； 一辩陈述观点： 主席，评委，对方辩友及在座各位大家好: 长期以来，我们已经习惯了用智商来预测人的成功。我们经常说：哇，这个人的智商好高，将来一定前途无量。但是有一些现象却引起人们的思考。 为什么有的人在学校是尖子生，进入社会后却“泯然众生”碌碌无为？ 为什么面对困难和烦恼时，有的人轻松愉快，若无其事；有的人情绪沮丧，无精打采？ 为什么有的人在任何环境下都能很好的适应，而有的人只因环境的稍微调整，就显得无所适从呢？ 为什么清华、北大的尖子生在毕业后还有人找不到工作？他们缺智商吗？这不是说明情商比智商更重要吗？ 微软全球副总裁李开复说到：“大家都认为，在高新技术企业中，领导的智商很重要，但实际上，情商的重要性超过了智商”。在当今这个信息爆炸的现代社会中，情商起的作用越来越让人思考。 首先，什么是情商呢？情商是情绪智力，也就是EQ，表示认识、控制和调节自身情感的能力，归根到底是对生命内在力量的尝试性把握和描述。它主要是指人在情绪、情感、意志、耐受挫折等方面的品质。概括为五个方面：认识自身情绪的能力、妥善管理自己情绪的能力，自我激励能力、认识他人情绪能力和人际关系处理能力。高情商表现为：尊重所有人的人权和人格尊严，不将自己的价值观强加于他人，对自己有清醒的认识，能承受压力，自信而不自满，人际关系良好，和朋友或同事能友好相处，善于处理生活中遇到的各方面的问题以及认真对待每一件事情。 而智商是用以表示智力水平的工具，也是测量智力水平常用的方法，智商的高低反映着智力水平的高低，简称IQ。我们不否认智商存在的必要性，因为我们不会要求一个智障能够妥善管理自己的情绪，调控自己激励自己。世界上真正智商在130以上的只占2.27%，难道除了这2.27%的人别人就无法成功吗？答案当然是否定的，当今社会是个信息爆炸的社会，分工越来越细，合作也越来越紧密，人际关系非常重要，许多智商平平但情商高的人却可以获得成功。 基本不等式知识点归纳 1基本不等式.ab空 2 (1) 基本不等式成立的条件： a . 0,b .0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a =b时取等号. ［探究］1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当a = b时，乞_卫_ ab取等号，即a = b= 皂卫hJ ab. 2 2 ②仅当a二b时，-—丄」ab取等号，即 -—=.-；：ab = a =b. 2 2 2?几个重要的不等式 2 2 b a a b 丄2ab(a,b R); 2(ab 0). a b 2 2 a + b 2 a +b 2 a +b ab 臥)(a,b R);( ) (a,b R) 2 2 2 3?算术平均数与几何平均数 设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为』~卫，几何平均数为,ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术 2 平均数不小于它的几何平均数. 4?利用基本不等式求最值问题 已知x 0, y - 0,则 (1) 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x y有最小值是2「p.(简记：积定和最小). 2 (2) 如果和x y是定值p,,那么当且仅当x = y时，xy有最大值是—.(简记：和定积最大). ［探究］2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 1 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解?例如，y=x 在x_2时的最小值，利用单调 x 5 性，易知X = 2时丫皿山二. 2 ［自测?牛刀小试］ 1.已知m?0, n ? 0,且mn =81，则m ? n的最小值为() A. 18 B. 36 C. 81 D . 243 解析：选 A 因为n>0, n>0,所以m+ n>2 mn= 2 81 = 18. 一、辩论的定义 什么是辩论呢？《墨经·经上》云：“辩，争胜也；辩胜，当也。”《经说下》云；“带也者，或谓之是，或谓之非，当者胜也。从文字学上看，“辩”含有辩论、辩解、辩明的文字意义“论”含有议论，评定之意。合起来的“辩论”即含有通过议论来评定，辨明是非之意。由此可见，辩论是一种人际传播活动，准确地说是以有声语言为载体、角色之间对等直接的人际传播活动。 从本质上说．辩论是一种高级的智力游戏，它离不开思维逻辑因此，辩论也是一种逻辑斗智。 公元前5世纪中期，古希腊辩论之风日盛曾出现了一个以教授修辞学、辩论术为业的学派——…智者学派。他们研究演说的艺术（修辞学）、辩论的艺术（辩论学）和证明的艺术（辩证法）被后人称为第一批职业教师。那时，辩论术,雄辩术和诡辩术都是一个意思，是通用的，只是到了后来，诡辩术分化了出来。 我国春秋战国时期，群雄割据、烽烟四起，社会的动荡孕育了一大批能言善辩的学者，形成了各种风格迥异的辩论艺术。如孟子的辩论气势奔放，咄咄逼人；庄子的辩论纵横跌宕，变幻莫测；墨子的辩论朴实无华，推理严密；苟子则总结了诸子百家的学说和辩论的经验，写出了著名的辩论艺术专论《非相篇》，第一次把辩论提高到探讨真理和捍卫真理的高度。这是西方辩论学者所不及的地方。汉代的刘向把苟子的辩论理论进一步阐述为：“辩之，明之，持之，固之。又中其人所善，其言神而珍，自而分，能人于人心，如此说而不行者，天卞未尝闻也，此之谓善说”（《善说》）。 在现代社会，一种观念、一种思想的形成，仅有独立的思考是不够的，还要在争辩中发展，在争辩中定型。辩论，通常有广义和狭义两种定义。狭义的辩论是指一种有明确目的、有准备的不同观点的争论。而广义的辩论是指双方或多方因观点不同而产生的不同程度上的言语冲突，它既包括有明确目的、有准备的不同观点的辩论，也包括日常生活中由某种分歧而引起的随意性的争论。 综上所述，我们可以这样给“辩沦" 下个定义——辩论是见解对立的双方（或多方）通过各种论证方法，阐述自己的见解，揭露对方的谬误，以便最终肯定正确的观点，取得共识的，一种有声语言为载体的人际传播活动。 二、辩论的审题 审题是正确立论的基础。辩论赛的辩题通常十分具体、集中，且对双方基本公平。 审题的作用：明确争论的对象；确定辩论的范围。 审题的原则：确立一个最有利本方论证的切入点（所谓最有利本方，就是指该切入点不仅观点旗帜鲜明，容易引起场上共鸣，而且用之攻，能破对方任何立论，用之守，能抵挡住对方的任何攻击）。 审题的具体方法和技巧： 1．定准基调 ①辨析辩题的类型 按辩题的性质可以分为：价值性命题，即辩论某事件的利与弊、好与坏。事实性命题，即辩论事实的真假。政策性命题，即辩论某事该做还是不该做。。 授课教案 ③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1 -= n n S S 偶 奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()2 1+n n ②()()6 1213212222++=+++n n n n Λ ③()2 2 13213333?? ??? ?+=++n n n Λ [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=?n n a ； 5，55，555，…()1109 5-=?n n a . 2 等比数列 （1）性质 当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2 =a p a q ，数列{ka n }，{ ∑=k 1 i i a }成等比数列。 3 等差、等比数列的应用 （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等； （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）； 若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。 典型例题 例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。 例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{ n S n }的前n 项和，求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1） 数列{a n }的通项公式； （2） 设1n n n a a 1b += ，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 2 1 <. 例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33， 且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。 例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=8 1 ，求等差数列的通项a n 。 4 练习 1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2)，则它的前n 项和 S n =______。 2 设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和为100，后2n 项之和为200，则该等差数列的中间n 项的和等于________。 3 若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2-log b a)(1+log c a)=________。 4 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。 5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0，公比q>-1（q ≠1），设数列{b n }的通项 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解
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