大学物理第07章习题
分析与解答
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
r R r R
E
O r (D)
E ∝1/r 2
2
2
第七章 静电场
7-1 关于电场强度与电势的关系，描述正确的是[ ]。
(A) 电场强度大的地方电势一定高； (B) 沿着电场线的方向电势一定降低； (C) 均匀电场中电势处处相等； (D) 电场强度为零的地方电势也为零。 分析与解 电场强度与电势是描述静电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零；电场强度等于负电势梯度；静电场是保守场，电场线的方向就是电势降低的方向。正确答案为（B ）。
7-2 半径为R 的均匀带电球面的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 之间的关系曲线为[ ]。
3、下
7-
分析与解 根据静电场的高斯定理可以求得均匀带电球面的电场强度分布为 ?????>πε<=R r r
Q R r E 2
040
。正确答案为（B ）。
7-3 下列说法正确的是[ ]。
（A ）带正电的物体电势一定是正的 (B)电场强度为零的地方电势一定为零 （C ）等势面与电场线处处正交 (D)等势面上的电场强度处处相等
分析与解 正电荷在电场中所受的电场力的方向与电场线的切线方向相同，电荷在等势面上移动电荷时，电场力不做功，说明电场力与位移方向垂直。正确答案为（C ）。
7-4 真空中一均匀带电量为Q 的球壳，将试验正电荷q 从球壳外的R 处移至无限远处时,电场力的功为[ ]。 （A ）
2
4R qQ o πε （B ）R Q o πε4 （C ）
R q o πε4 （D ）R
qQ o πε4 分析与解 静电场力是保守力，电场力做的功等电势能增量的负值，也可以
表示成这一过程的电势差与移动电量的乘积，由习题7-2可知电场强度分布，由电势定义式?∞
?=
R r E d V 可得球壳与无限远处的电势差。正确答案为（D ）。
7-5 关于静电场的高斯定理有下面几种说法，其中正确的是[ ]。
（A ）如果高斯面上电场强度处处为零，则高斯面内必无电荷；
（B ）如果高斯面内有净电荷，则穿过高斯面的电场强度通量必不为零； （C ）高斯面上各点的电场强度仅由面内的电荷产生；
（D ）如果穿过高斯面的电通量为零，则高斯面上电场强度处处为零
分析与解 静电场的高斯定理表明，高斯面上的电场强度是由面内外电荷共同产生，而高斯面的电通量只由面内电荷决定。正确答案为（B ）。
7-6 在棱长为a 的立方体中心放一点电荷Q ，则通过其下底面的电通量为[ ]。
（A ） o Q ε6 （B ）o
Q ε （C ）0 （D ） o Q
ε4
分析与解 由静电场的高斯定理可知，该立方体六个面的电通量只由面内电荷决定，并且六个面的电通量是均等的。正确答案为（B ）。
7-7 如图所示，当把正电荷Q 从A 点缓慢移动到B 点时，则导体内某点P 的电场
（A ）电场强度不变，电势升高 （B ）电场强度变大，电势升高
（C ）电场强度不变，电势不变
（D ）电场强度变大，电势不变
分析与解 静电平衡条件下的导体内部场强恒为零，故P 点的场强不变；电场线的方向是电势降落的方向，当正电荷从A 点移向B 点时，相当于P 点逆着电场线方向移动靠近正电荷Q ，电势升高。正确答案为（A ）。
7-8 一空气平行板电容器，充电后与电源断开，当在极板间充满介电体时，则下列叙述错误的是[ ]。
（A ）极板间的电场强度变小 （B ）极板间的电势差变小 （C ）电容器包含的电场能变小 （D ）电容器的电容变小
分析与解 介电体放入电场中因发生极化，从而改变自身的电荷分布并对电场产生影响。当电容器板间填充介电体后，可以提高电容器的容电能力和耐压能力。正确答案为（D ）。
7-9 真空中一均匀带电细圆环，电荷线密度为λ，则将单位正电荷从圆心移至无限远处时电场力的功为 。
分析与解 静电场力的功可以用移动的电荷与对应的电势差的乘积表示，而无限远处电势设为零，故只要求得细圆环圆心处的电势，就可得电场力的功。正
确答案为（02ελ
）。
7-10 半径为R ，电荷面密度为σ的均匀带电球面，若挖掉一小面积元S ?后，则球心处电场强度大小为 。
分析与解 均匀带电球面挖掉一小面元后，电荷分布不满足球对称，可用补偿法求解，即等效于带异号等量电荷的小面元在球心处所产生的电场强度。正确
答案为（R εS
04π?σ）。
7-11 负电荷逆着电场线方向运动，电场力做______功（填正、负），其电势能_______（增加、减少）。
习题7-7图
习题7-14图
d x 2
分析与解 负电荷逆着电场线方向运动与其所受电场力的方向相同，故电场力做正功；静电场力是保守力，保守力做正功时，其电势能减少。正确答案为（正、减少）。
7-12 与点电荷C 100.28-?=q 分别相距m 0.1=a 和m 0.2=b 的两点的电势差为 。
分析与解 由点电荷的电势分布式r εq
V 04π=可知，离点电荷相同距离的场
点，电势相同。正确答案为（v 901140=??
?
??-π=
?b a εq U ）。
7-13 地球表面附近的电场强度约为100N/C ，方向垂直地面向下，假设地球上的电荷都均匀分布在地表面上，则地球表面的电荷面密度为___ __ 。（真空的电容率为8.85×10-12C 2.N -1.m -2）
分析与解 在地面附近作钱币状高斯面，由静电场的高斯定理可求得地面附
近的电场强度为0
εσ
=E 。正确答案为（210m C 1085.8--??）。
7-14 如图所示，一长为L 、均匀带电量为Q 的细棒，其延长线上有一点P ，到细棒的中心的距离为L ，求P 处的电场强度和电势。
分析 这是一个连续带电体的电场强度的计算问题。此时棒的长度不能忽略，不能当作点电荷来处理，但带电细棒上的电荷是均匀分布的，在细棒上取一线元d x ，其所带的电荷在P 点产生的电场强
度满足点电荷的场强公式，积分遍及整个带电细棒即可。电势的计算类似。 解 （1）如题图，电荷元 x L
Q
q d d = d q 在点P 的电场强度
dx x L L Q
r dq dE 2
020)
(44-==
πεπε 积分得 2
020223)(4L Q
dx x L L Q dE E E L
L p πεπε=-==
=?
?+
-
（2）同理，d q 在点P 的电势
dx )
x L (L 4Q
r 4dq dV 00-πε=πε=
积分得
3ln 4)(40022L
Q
dx x L L Q dV V L L p πεπε=-==?
?+
- （2分）
7-15 如图所示，一个半径为R 的1/4圆弧状橡皮绳，均匀地分布着线密度为λ的
电荷，求其中心O 处的电场强度和电势。
分析 这是个连续带电体问题，求解关键是如何取电荷元。 解 （1）选择电荷元θR q d d λ=,其在圆心O 点电场强度为
θR
εR εq E d 44d d 020πλ
=π=
分解得 θθR
εθE E 0x d sin 4sin d d πλ
=
=， θθR
εθE E 0y d cos 4cos d d πλ
=
= 由对称性可知，E x =0， 积分得 R
θθR 004/4
y y 42d cos 4dE E πελ
=
πελ==??ππ
- 合场强E=Ey 方向沿y 轴负向。
（2）同理，d q 在圆心O 点的电势 θεR εq V d 44d d 00πλ
=π= 积分得圆心O 的电势 0
04/4
8d 4d ελ=πελ==??ππ
-θV V
7-16 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2（R 1
分析 电荷分布在无限长同轴柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强
度通量不为零，再求出不同半径高斯面内的电荷代数和，即可求得各区域电场分布。
解 如图，作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理
?∑ε
=?=?S
2πd 0
q/rL E S E
∑==<0，0,11E q R r 得当
∑π=
λ=< ελ E L q R r R 02212，，得时当 ∑==>0，0,32E q R r 得当 在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 0022εσ rL ελL r ελE =π=π=? 这一跃变是将带电圆柱面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。 7-17 两个同心球面的半径分别为R 1和R 2各自带有电荷Q 1和Q 2。求（1）各区域电势的分布，并画出分布曲线；（2）两球面上的电势差为多少？ 分析 求电势分布通常可采用两种方法：（1）由于电荷分布具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势；（2）利用电势叠加原理求电势，一个均匀带电球面内外的电势为： ???????<π>π=)(4）（400R r R εQ R r r εQ V 其中R 是球面的半径。将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势分布。 解1 （1）由高斯定理可求得电场分布 ）（011R r E <= )(42102R r R r εQ E r 21 <<π=e )(4202 3R r r εQ Q E r 2 1>π+= e 由电势?∞ ?=r V l E d 可求得各区域的电势分布。 习题7-17图 2 02 1012 02 1 210132111444)11(40d d d ，12 1 2 R εQ R εQ R εQ Q R R εQ V R r R r R R R π+ π= π++-π+=?+?+?=≤?? ?∞ l E l E l E 有时当 2 02 01202 120132221444)11(4d d 22 R εQ r εQ R εQ Q R r εQ V R r R R r R π+ π= π++-π=?+?=< ?∞ l E l E 时当 r 4d ,02 13322 εQ Q V R r R π+= ?= ≥? ∞ l E 有时当 （2）两球面间的电势差)1 1(4d 2 1012122 1 R R εQ U R R -π= ?= ? l E 解2 （1）由各球面电势的叠加计算电势分布。 2 02 1011144，，R εQ R εQ V R r π+π= ≤有时即若点位于两个球面之内 2 02 0122144，，R εQ r εQ V R r R π+π= <<有时当若点位于两个球面之间 r 4，，02 132εQ Q V R r π+= ≥有时即若点位于两个球面之外 （2）两个球面间的电势差)1 1(4) (2 10121122 R R εQ V V U R r -π= -== 7-18 在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V ，被迁移的电荷约为30C ，如果一个家庭1年消耗的能量为3000kw·h ，则可为多少个家庭提供1年的能量消耗？ 解 一个家庭一年消耗的能量为J 1008.1h kw 300010?=?=0E 故 8.2==?= 0E qU E E n 即一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持3个家庭一年清耗的电能。
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