35、逻辑思路
“逻辑思路”，主要是指遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。
【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的
基本容是，在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象，必须保持前后
一致性，亦即保持确定性。这是逻辑推理的一条重要思维规律。运用这一规律
来解题，我们把它叫同一律思路。
例1 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：
甲：丙第二个进去，乙第三个进去。
乙：甲第三个进去，丙第一个进去。
丙：甲第一个进去，乙第三个进去。
三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？
分析（用同一律思路推理）；
这一类问题具有非此即彼的特点。比如甲是否是第一个进办公室只有两种
可能：是或非。我们用1表示“是”，0表示“非”，则可把口供列表处理。
（1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾；
（2）若甲非第一，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如右表，与“三人口供仅对一半”相符。
从而可以判定，丙最先进入办公室。
这个问题也可以不列表而用同一律推理。
甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然
乙第一，甲第二，这个结论与丙说的话“半对半错”不符。因此，有甲的第一句错，第二句对。即乙第三个进去，丙不是第二个，自然是第一个。这个结论与
乙的话“半对半错”相符：甲不是第三，丙是第一。并且这个结论与丙的话“半对
半错”也相符：甲不是第一，乙是第三。
在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都
符合题目给定的条件为止。
例2 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另
一个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，
他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？”
“匹兹乌图。”那个人回答。
外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意思？”
第二个人回答：“他说他是宝宝族的。”
第三个人回答：“他说他是毛毛族的。”
请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？
分析（用同一律思路思考）：
如果第一个人是宝宝族的，他说真话，那么他说的是“我是宝宝族的”。如
果这个人是毛毛族的，他说假话，他说的还是“我是宝宝族的”。这就是说，第
一个人不管是什么民族的，那句话的意思都是：“我是宝宝族的”。
根据这一推理，那么第二个人回答“他说他是宝宝族的”这句话是真的，而
从条件可知，说真话的是宝宝族人，因此可以判断第二个人是宝宝族人。
不管第一个人是什么民族的，根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”，而第三个人回答“他说他是毛毛族的”显然是错的，而说假话的是毛毛族人，因此可以断定第三个人是毛毛族人。
我们在分析本题时，始终保持了思维前后的一致性，这就是同一律思路的
具体运用。
【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本容是：同一
对象，在同一时间和同一关系下，不能具有两种互相矛盾的性质，它是逻辑推
理的又一重要规律，运用不矛盾律来推理、思考某些问题的解答，这种思路我
们把它叫做不矛盾律思路。
例1 有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时
讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边的
是哪一位？”和尚回答说“讲真话的。”他又问中间的和尚：“你是哪一位？”和尚答：“我是半真半假的。”他最后问右边的和尚：“你旁边是哪一位？”答：“讲假
话的。”根据他们的回答，智者马上分清了他们，你能分清吗？
分析（运用不矛盾律思路探讨）：
两件相互矛盾对立的事情，如果一件是不正确的，另一件就是正确的，这
就是不矛盾律的基本思路。我们先假设左边和尚讲的是真的，那么中间的和尚
是讲真话的，但这与他的回答：“我是半真半假的”矛盾，所以左边和尚讲真话
这一假设不对。从而左边和尚讲的是假话，他一定不是讲真话的和尚。中间那
个和尚也一定不是讲真话的，所以右边的和尚是讲真话的和尚。根据他的话，
中间是讲假话的和尚，剩下左边的和尚自然就是半真半假的。
例2 一次学校举行田径运动会，A、B、C、D、E五个班取得了团体前五名，发奖后有人问他们的名次，回答是：
A班代表说：“B是第三名，C是第五名。”
B班代表说：“D是第二名，E是第四名。”
C班代表说：“A是第一名，E是第四名。”
D班代表说：“C是第一名，B是第二名。”
E班代表说：“D是第二名，A是第三名。”
最后，他们都补充说：“我的话是半真半假的。”请你判断一下，他们各个
班的名次。
分析（用不矛盾律思路分析）：
先简化一下记法，比如B班是第三名，则写成B-3，其它类似，这样五个
班代表的讲话可简记为：
（1）B-3，C-5。
（2）D-2，E-4。
（3）A-1，E-4。
（4）B-2，C-1。
（5）A-3，D-2。
假设（1）的前半句是真的，即B-3，那么由（4）有C-1，由（3）知A-1
不对，有E-4；再由（2）知D-2不对，从（5）知A-3，这与假设矛盾，所以（1）中正确的应是C-5，于是由（4）知C-1不对，应该是B-2，进而知（2）
D-2不对，有E-4，并知（5）D-2不对，有A-3，最后只剩下D及第一名，所
以知道D应为第一名。
最后排出名次自然就非常简单了。
上述叙述虽然简化了记号，但文字表述仍然觉得累赘，所以还可以借助图
表表达上述推理过程。
如图2.21，假设B-3，在B上画一个圆圈（左图），表示推理的起点，找
到另一个B，则应是不对的，画一个“×”，再找与这个B同行的“C”，它应是对的，画一个“√”，找与C同列的“A”，它不对，画一个“×”，等等。最后A-3被
画了一个“√”，这与B-3相矛盾，故B-3是错的。在这个“B”上画一个“×”，重新
开始推理（右图）。
从（1）的C开始，因B-3是错的，则C-5记“√”，则（4）中C-1画“×”，
B-2记“√”，由此推出（5）D-2记“×”，（2）D-2记“×”，……从表中可以看出，B-2，A-3、E-4、C-5，那么谁是第一，表中虽然未表达，但明眼人一看就知道了。
【排中律思路】排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。它的基本容是：同一对象在同一时间和同一关系下，或者是具有某种性质。或者是不具有某种
性质，二者必居其一，不能有第三种情况。它是处理肯定判断与否定判断之间
的关系的一个规律。运用这一规律来推理的思路，我们把它叫排中律思路。
排中律和不矛盾律的基本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。但也
有区别：一是适用围不同，不矛盾律的适用围宽，既适用于互相反对的判断，
也适用于互相矛盾的判断，排中律的作用围窄些，只适用于互相矛盾的判断，
不适用互相反对的判断；二是要求不同，不矛盾律要求对互相反对的和互相矛
盾的判断，不能同时断定其中每一个都是真的，因为其中至少有一个是假的。
排中律则要求：对于互相矛盾的判断，必须肯定其中一个是真，因为其中必有
一真，不能都假。如果我们确定了某一个是正确的，根据不矛盾律，就可以得
出另一个是错误的。反过来。如果我们确定了某一个是错误的，根据排中律，
就可以得出另一个是正确的。从这方面来看，如果说不矛盾律提供我们逻辑否
定的基础，那么排中律则主要提供我们逻辑肯定的基础；三是逻辑错误性质不同，不矛盾律要求的逻辑错误是“自相矛盾”，排中律要求的逻辑错误是“模棱两
不可”。
例1 老师有一黑两白三顶帽子，给两个学生看后，让他们闭上眼睛，从中
取出两顶给他们戴上，然后让他们睁开眼睛，互相看清对方戴的帽子，并立即
说出自己头上戴的帽子是什么颜色，两位同学都不能立即说出，请问你知道这
两位学生戴的各是什么颜色的帽子吗？
分析（运用排中律思路思索）：
假设你是这两个学生中的一个，因为你知道只有一顶黑帽子，当你看到对
方戴的是黑帽子时，你能判断自己戴的帽子颜色吗？可以的，根据排中律：“非
此即彼”，你一定会推断出自己戴的是白帽子。
现在两个学生都不能利用排中律很快地说出自己戴的是白帽子，说明他们
两人都没有看见黑帽子，由此断定，老师给两位学生戴的是两顶白帽子。
例 2 曾实、晓、毛梓青在一起，一位是工程师、一位是医师、一位是教师。现在只知道：
（1）毛梓青比教师年龄大；
（2）曾实和医师不同岁；
（3）医师比晓年龄小。
你能确定谁是工程师？谁是医师？谁是教师吗？
分析（沿着排中律思路探索）：
根据排中律的要求，如果我们能确定某个是错误的，就可以得出另一个是
正确的。现在已知（1）曾实和医师不同岁，（2）医师比晓年龄小，就可以判
定曾实和晓都不是医师，因此只有毛梓青是医师；
若晓是教师，则根据（1）毛梓青比教师年龄大，即毛梓青比晓年龄大，与（3）医师比晓年龄小，即毛梓青比晓年龄小，这两个结论是互相矛盾的，因此晓不可能是教师。晓既不是医师（因为毛梓青是医师），又不是教师，所以晓
应该是工程师了。因为三个人、三个职业，已经确定了毛梓青是医师，晓是工
程师，剩下的曾实只能是教师了。
该题的思路还可以用下表表示：
【充足理由律思路】充足理由律的形式是：“所以有甲，是因为有乙”。它
的意思是说，任何正确的思想，一定有它的充足理由；任何思想，只有当它具
有充足的理由时，这种思想才能被认为是正确的。在数学中，如果由条
正确的，A就是B的正确性的充分理由。因此B的正确性要以A的正确性
为基础，而要使A的正确性得到确认，又得为它提出充足的理由，照此类推。
这样，当我们要论证某一思想是正确的时候，常常要引证一系列的理由。以此
连锁引证下去，直到最后的理由——它的正确性已经确定，并且得到普遍承认的。具体说来有下列三种：（1）明显的事实，它可以为人们所直接感知的；（2）公理；（3）科学的规律。当然在实际进行论证时，并不是总要引证到最
后的理由，数学中已经证明过的定理、定律、公式、法则等，都可以作为论证
所根据的理由。
充足理由律是进行推理的基础。运用充足理由律来思考数学问题，我们把
它叫做充足理由律思路。
例1 200米赛跑，强比军快0.2秒，王明的成绩是39.4秒，刚的成绩比王明慢0.9秒，但比强快0.1秒，林林比强慢3秒，请你给这五人排出名次来。
分析（运用充足理由律思路思索）：
题中有两种概念。一是成绩好坏，需要进行量的计算；二是快慢关系推理，先用计算量进行比较推理。
抓住“各人跑200米需要的时间”为比较量。并设字母A、B、C、D、E来
分别表示强、军、王明、刚、林林的时间。
∵王明的成绩是39.4秒，刚的成绩比王明慢0.9秒（即C=39.4秒，D=C＋0.9）
∴D=39.4+0.9=40.3（秒）
又∵刚比强快0.1秒（即D＋0.1＝A）
∴A=40.3＋0.1=40.4（秒）（传递性）
又∵强比军快0.2秒（即A=B-0. 2）
∴B=A＋0.2=40.4＋0.2=40.6（秒）
又∵林林比强慢3秒（即A=E-0.3）
∴E=A＋3=40.4＋3=43.4（秒）
由43.4＞40.6＞40.4＞40.3＞39.4
即 E＞B＞A＞D＞C
谁是第一、谁是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了吗？本题还可以单纯用快慢关系来进行判断。
∵ A＜B，D＞C， D＜A， E＞A，
可得B、E均＞A＞D＞C，
∴一、二、三名分别应是C、D、A。
但第四、五名仍需计算。
由E=A＋3秒，B=A＋0.2秒，
可知E＞B，
故 B是第四，E是第五名。
例2 填数使下列竖式成立：
分析（运用充足理由律思路来探讨这两个式题）：
第（1）题。抓住乘、除法法则和乘除的互逆关系去思考。
∵( )( )×5=33( )
∴只要求得 33( )÷5=( )( )，就可以得出竖式被乘数了，现可知33( )÷5商的
十位得6，故被乘数的十位应是6，个位是几呢？
再往下看：乘数35的十位数字是3，3与被乘数个位相乘的积的末尾数字
要是8，显然只有3与6相乘末尾数字才能是8，所以被乘数是66。
找到了被乘数是66以后，其他数字自然就容易找到了。
第（2）题仍抓住除法算式特征和乘除的互逆关系去找理由。
由除法竖式特征第二次余数为0，只好把被除数十位数和个位数同时移下，故可得y=0。
∴x＞8。
又∵1≤x≤9，∴x=9，
则商数为9807。
∴ab≥12。
故ab=12。
此题确定了商和除数，其他数字自然就容易找了。
1.小学奥数解题方法1——分类 有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(单位：厘米)的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形? 提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制： ①a、b只能取1～11的自然数; ②三角形任意两边之和大于第三边。 1、11 一种 2、11 2、10 二种 3、11 3、10 3、9 三种 4、11 4、10 4、9 4、8 四种 5、11 5、10 5、9 5、8 5、7 五种 6、11 6、10 6、9 6、8 6、7 6、6 六种 7、11 7、10 7、9 7、8 7、7 五种 8、11 8、10 8、9 8、8 四种 9、11 9、10 9、9 三种 10、11 10、10 二种 11、11 一种 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种 小学奥数解题方法2——化大为小找规律 10条直线最多可把一个长方形分成多少块? ( 56 ) 小学奥数解题方法3——把未知量具体化 幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个。如果全部分给大班小朋友，那么平均每人可分10个。如果全部分给小班的小朋友，平均每人可分几个? (15)
将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。 问剩余部分的管子最少是多少厘米?(2) 小学奥数解题方法5——移多补少 新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台?(52) 小学奥数解题方法6——等量代换 百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋? 用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米?(12,30) 小学奥数解题方法7——画图 A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B 赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘?(2) 小学奥数解题方法8——反过来想 用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛?(199) 小学奥数解题方法9——分析因果关系 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少?(80,200)
逻辑推理大全之演绎推理 演绎推理 1.推理及其分类 所谓推理，是指由一个或几个已知的判断推导出另外一个新的判断的思维形式。一切推理都必须由前提和结论两部分组成。一般来说，作为推理依据的已知判断称为前提，所推导出的新的判断则称为结论。推理大体分为直接推理和间接推理。只有一个前提的推理叫直接推理。例如： 有的高三学生是共产党员，所以有的共产党员是高三学生。 一般有两个或两个以上前提的推理就是间接推理。例如： 贪赃枉法的人必会受到惩罚，你们一贯贪赃枉法，所以今天你们终于受到法律的制裁和人民的惩罚。 一般说，间接推理又可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理等三种形式。(1)演绎推理。所谓演绎推理，是指从一般性的前提得出了特殊性的结论的推理。例如： 贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的，你们一贯贪赃枉法，所以，你们今天是必定要受到法律的制裁、人民的惩罚的。 这里，“贪赃枉法的人是必定会受到惩罚的”是一般性前提，“你们一贯贪赃枉法”是特殊性前提。根据这两个前提推出”你们今天是必定要受到法律的制裁和人民的惩罚的”这个特殊性的结论。 演绎推理可分为三段论、假言推理和选言推理。 (2)归纳推理。归纳推理是从个别到一般，即从特殊性的前提推出普遍的一般的结论的一种推理。一般情况下，归纳推理可分为完全归纳推理、简单枚举归纳推理。 完全归纳推理，也叫完全归纳法，是指根据某一类事物中的每一个别事物都具有某种性质，推出该类事物普遍具有这种性质的结论。正确运用完全归纳推理，要求所列举的前提必须完全，不然推导出的结论会产生错误。例如： 在奴隶社会里文学艺术有阶级性；在封建社会里文学艺术有阶级性；在资本主义社会里文学艺术有阶级性；在社会主义社会里文学艺术有阶级性；所以，在阶级
1.想数码 例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。 思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。 相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是 思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。 不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。” 2.尾数法 例1比较 1222×1222和 1221×1223的大小。 由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。 知 1222×1222＞1221×1223 例2二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。 由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。 由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。 甲数是348，乙数是34。 例3请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。 由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7； 由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为 142857×3＝428571。 3.从较大数想起 例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？ 思路一：较大数不可能取5或比5小的数。 取6有6＋5； 取7有7＋4，7＋5，7＋6；
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A'′P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
第一讲观察法 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。 第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。 从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。 从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。 又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。 图1-5是填完数字后的幻方。 例2看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度） 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。 解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6 大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。 观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。 观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。 这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。 80、73、66、59、52、45、38。 例3将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）
应舍友的强烈要求，给大家分享一下我的考研经验（大家还需要结合自己的性格、学习特点和学科特点，自行斟酌） 先说一下我的基本情况，本科双非一本，报考南开大学哲学院逻辑学专业，现已被录取。我的初试成绩总分408，专业第一名。政治73，英语一76，马克思主义哲学原理122，形式逻辑137. 一、英语 英语是考研中非常重要的一科，而且随着考研人数的增多，许多学校都加强了英语的要求。所以大家一定要在备考这一年尽自己最大努力学好英语。我报考的南开大学哲学系英语基本分数线是60，而且许多考试都是因为英语没有过线，所以英语很重要！！！ 1、3-5月份，背英语单词，至少背过一遍之后，才可以做真题！！！我自己是拿新东方的单词书背的，没有结合视频。背到10月份，发现单词方面没有什么长进，还是会弄混，所以在背单词方面没有什么好的建议给大家。背单词是整个考研期间一直要重复做的事情。 2、5-12月份一直持续做真题（尽量用铅笔做题，因为真题起码要做三遍。提前把最近2-3年的真题收起来，一眼都不要看，留到12月全真模拟的时候用！！） （1）5-8月底，我是每天做一篇阅读，做的时候完全不查单词。做完之后不要马上对答案。准备一个笔记本，翻译这篇阅读，翻译的时候自己划分句子结构，分析句子。遇到不认识的词语结合上下文猜单词意思，可以在卷子上勾画出不认识的单词。（注意在做题和翻译的过程中不要查单词！！！！）翻译完之后，去查不认识单词的意思，写到笔记本上。翻译完之后再去看题目，改正自己的答案。之后自己用红笔对照答案改正自己的翻译和阅读选项。自己做错的题目一定要看答案解释，回到文中找问题出处。就这样到了8月底，做完了2000年到16年的真题。 （2）9月份--10月底，第二遍开始做真题。这次做的时候不要查单词，做完之后，自己翻译全文，这次不用写下来翻译，而是用笔指着文章，一句一句在心里翻译。翻译完一段之后，对照标准答案的翻译，看看哪里翻译的不好，哪个单词不认识，再次勾画。（这次要换一个笔的颜色勾画）翻译完之后的步骤和之前第一遍的一样的。（3）10月份，我就开始了新题型和翻译的专项训练。（之前集中做阅读，新题型和翻译没有做） 新题型我看的是李玉技老师的新题型，我觉得看完对自己的新题型很有帮助。老师会告诉你做题的方法以及要看哪些重点词语进行排序，这些是自己闷头做题很难总结出来的，所以我建议大家去看下新题型的相关视频。结合视频，自己做笔记，记下重点。然后在看完视频之后，结合真题去运用这些解体方法。开始可以一边做题一边看自己的笔记，到后来做到自己做题不看自己的笔记，而把重点都记在心里。做完题后，对答案，看一下答案的解题思路和自己有没有不同，如果有的话，也可以适当地记在笔记本上。 翻译我看的是唐静的视频，大家可以去微博上搜别人分享的视频以及笔记。看视频做翻译的时候，严格按照老师的要求去做，准备一个翻译本，自己动手翻译，每一个句子限时4分钟，遇到不会的单词不要查单词（我觉得这个真的超级有用，因为在考研的时候翻译最多用时20分钟，一个句子最多4-5分钟）。听完老师的讲解，你会发现做翻译的顺序：划分句子结构-小句子--再连接成大句子--最后检查一下是否通顺。看完视频之后，自己把老师没有涉及到的句子按照步骤自己进行翻译，一天3个左右，不要过量。每天做完新句子之后再把以前讲的句子遮住答案，自己翻译，看看哪些有问题或者自己不理解。一直重复到12月初。
1、最值问题 【最小值问题】 例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、 乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿 途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都 相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少 要增加______位民警。 （《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题） 讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有 一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。 由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民 警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。 例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图 5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪 点会面最省时？ （湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题） 讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须 三者同时到达，即各自行的路程相等。 我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。 故，O点即为三只蚂蚁会面之处。 【最大值问题】 例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？ （全国第二届“华杯赛”初赛试题） 讲析：三个图的面积分别是： 三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。 故图（3）的面积最大。 例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。 （台北市数学竞赛试题） 讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。 现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。
线段图解题 主要内容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。 重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。 意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。 一、线段图解题方法和技巧： 什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。 1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据； 2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段； 3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小； 4、画多条线段时，一般先画最小的量。 5、虚实结合。“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据； 二、常见的可以用线段图来表示的数量关系 1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。 例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？ 2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。 例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比 甲的5个 乙的2个 7个文具
小明少几分？ 小强的得分： 小明的得分： 3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。 例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？ 甲的年龄： 乙的年龄： 注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。 练习：用线段图表示下列数量关系。 1、妈妈的年龄是小明的4倍。 2、王强的得分比李军的得分少3分。 3、甲乙的弹珠总数为17颗。 三、用线段图解一般题 例题1：甲乙两人今年共有27岁，其中甲比乙大了3岁，求甲乙今年各多少岁？ 示意图： 乙的年龄： 甲的年龄： 分析：题目中既出现了“和”关系，又出现了“差”关系，那么我们画图时，就要先表示出“差”关系，再用大括号来表示“和”关系。 计算过程：甲：（27+3）÷2=15岁 乙：27-15=12岁 拓展：已知两个数的和、差，求这两个数分别是多少？（可进行推导） （和+差）÷2=较大数 （和-差）÷2=较小数 练习： 3岁 27岁 小明比小强多的5分 甲的3倍，即甲的线段长度的3倍
思考与练习： 1．李娜心中的白马王子是高个子、相貌英俊、博士。她认识王威、吴刚、李强、刘大伟4位男士，其中有一位符合她所要求的全部条件。 （1） 4位男士中，有3个高个子，2名博士，1人长相英俊； （2）王威和吴刚都是博士； （3）刘大伟和李强身高相同； （4）李强和王威并非都是高个子。 请问谁符合李娜要求的全部条件？ A.刘大伟 B.李强 C.吴刚 D.王威 正确答案是C 。吴刚是博士；吴刚不是矮个子，因为李强和王威并非都是高个子；王威是另一位博士，但是矮个子。 2. 某学校有四名外国专家，分别来自美国、加拿大、韩国和日本。他们分别在电子、机械和生物三个系工作，其中： ①日本专家单独在机械系； ②韩国专家不在电子系； ③美国专家和另外某个外国专家同在某个系； ④加拿大专家不和美国专家同在一个系。 以上条件可以推出美国专家所在的系为: （A）电子（B）机械系 （C）生物系 (D）电子系或生物系 3.一个热力站有5个阀门控制对外送蒸汽。使用这些阀门必须遵守以下操作规则： （1）如果开启1号阀，那么必须同时打开2号阀并且关闭5号阀。 （2）如果开启2号阀或者5号阀，则要关闭4号阀。 （3）不能同时关闭3号阀和4号阀。 现在要打开1号阀，同时要打开的阀门是哪两个？ A. 2号阀和4号阀。 B. 2号阀和3号阀。 C. 3号阀和5号阀。 D. 4号阀和5号阀。 B 打开2号阀和3号阀关闭了5号阀和4号阀，因此保证了打开1号阀。 4.“马斯特杯2003年中国机器人大赛”中的足球赛正在进行，有三位教授对决赛结果进行预测： 赵教授说：“冠军不是清华大学队，也不是浙江大学队。” 钱教授说：“冠军不是清华大学队，而是中国科技大学队。” 孙教授说：“冠军不是中国科技大学队，而是清华大学队。” 比赛结果表明，他们中只有一人的两个判断都对，一人的判断一对一错，另外一人全错了。 根据以上情况可以知道，获得冠军的是 A.清华大学队 B.中国科技大学队 C.浙江大学队 D.北京航空航天大学队 正确答案是A。钱教授、孙教授中有一人的两个判断都对，另外一人全错了。 5. 甲、乙和丙在一起，一位是作家，一位是市长，一位教授。丙比教授年龄大，甲和市长不同岁，市长比乙年龄小。 根据上述资料可以推理出的结论是： A. 甲是作家，乙是市长，丙是教授。 B. 甲是市长，乙是作家，丙是教授。
1. 掌握最值中的数字谜的技巧 2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题 数字谜中的最值问题常用分析方法 1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以 转化为竖式数字谜； 2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等． 3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、 分解质因数法、奇偶分析法等． 4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的 最值的可能值，再验证能否取到这个最值． 5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、 方程、估算、找规律等题型。 【例 1】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么 其中最小的四位数是多少？ 【考点】加减法的进位与借位 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设这四个数字是a b c d >>>，如果0d ≠，用它们组成的最大数与最小数的和式是 11469 a b c d d c b a +，由个位知9a d +=，由于百位最多向千位进1，所以此时千位的和最多为10， 与题意不符．所以0d =，最大数与最小数的和式为0 011469a b c c b a + ，由此可得9a =，百位没有向千位进位，所以11a c +=，2c =；64b c =-=．所以最小的四位数cdba 是2049． 【答案】2049 【例 2】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7902，那么所有符 合这样条件的四位数中原数最大的是 ． 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-2-4.最值中的数字谜（一）
【小学奥数】小学奥数最全解题思路，超详细解析！（下） 还有上篇哦，需要的在历史消息找下。六、消去思路 对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未知数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法。二元一次方程组的解法，就是沿着这条思路考虑的。例1 师徒两人合做一批零件，徒弟做了6小时，师傅做了8小时，一共做了312个零件，徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？分析（用消去思路考虑）： 这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量为1份，把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替，那么师傅8小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显，师傅2小时的工作量相当于徒弟5小时的工作量，那么8小时里有几个2小时就是几个5小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数。 然后再看312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少个。求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量了。
例2 小明买2本练习本、2枝铅笔、2块橡皮，共用0.36元，小军买4本练习本、3枝铅笔、2块橡皮，共用去0.60元，小庆买5本练习本、4枝铅笔、2块橡皮，共用去0.75元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？ 分析（用消去法思考）： 这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知数是有困难的。应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数，只留下一个未知数就好了。 如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下： 小明2本2枝2块0.36元小军4本3枝2块0.60元小庆5本4枝2块0.75元 现在把小明的各数分别除以2，可得到1本练习本、1枝铅笔、1块橡皮共0.18元。接着用小庆的各数减去小军的各数，得1本练习本、1枝铅笔为0.15元。再把小明各数除以2所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到1块橡皮0.03元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。七、转化思路解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改
从概念特征的角度分析《白马论》的逻辑意旨 摘要：任何属概念与它的种概念都是“有异的”，这种差别不应该被抹煞。合乎逻辑的另外的命题可以是“黄马非马”、“黑马非马”等等，公孙龙不可能穷其所有类似的命题，但就“白马非马”这一个例子而言，它足以让我们窥探其中的逻辑奥妙了。我们这样推测《白马论》的意旨并不过分。如果不从逻辑的角度来理解这篇文章，那也就真的不可思议了；只有把它看成讨论概念内涵外延区别的逻辑篇章，才能展现它的价值。 关键词：概念特征内涵外延白马非马 （一） 客曰：“白马非马，可乎？” 主曰：“可。” 客曰：“何哉？” 主曰：“马者，所以命形也；白者，所以命色也。命色者非命形也。故曰：…白马非马?。” （二） 客曰：“有白马不可谓无马也。不可谓无马者，非马也？有白马为有马，白之，非马何也？” 主曰：“求马，黄、黑马皆可致；求白马，黄、黑马不可致。使白马乃马也，是所求一也。所求一者，白者不异马也。所求不异，如黄、黑马有可有不可，何也？可与不可，其相非明。故黄、黑马一也，而可以应有马，而不可以应有白马，是白马之非马，审矣！” （三） 客曰：“以马之有色为非马，天下非有无色之马也。天下无马，可乎？” 主曰：“马固有色，故有白马。使马无色，有马如已耳，安取白马？故白者非马也。白马者，马与白也。马与白，马也？故曰白马非马也。” （四） 客曰：“马未与白为马，白未与马为白。合马与白，复名…白马?，是相与以不相与为名，未可。故曰：…白马非马?，未可。” 主曰：“以…有白马为有马?，谓有白马为有黄马，可乎？” 客曰：“未可。” 主曰：“以…有马为异有黄马?，是异黄马于马也；异黄马于马，是以黄马为非马。以黄马为非马，而以白马为有马，此飞者入池而棺异处，此天下之悖言乱辞也。”
线段图解题 主要容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。 重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。 意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。 一、线段图解题方法和技巧： 什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。 1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据； 2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段； 3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小； 4、画多条线段时，一般先画最小的量。 5、虚实结合。“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据； 二、常见的可以用线段图来表示的数量关系 1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。 例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？ 2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。 例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比甲的5个 乙的2个 7个文具
小明少几分？ 小强的得分： 小明的得分： 3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。 例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？ 甲的年龄： 乙的年龄： 注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。 练习：用线段图表示下列数量关系。 1、妈妈的年龄是小明的4倍。 2、王强的得分比军的得分少3分。 3、甲乙的弹珠总数为17颗。 三、用线段图解一般题 例题1：甲乙两人今年共有27岁，其中甲比乙大了3岁，求甲乙今年各多少岁？ 示意图： 乙的年龄： 甲的年龄： 分析：题目中既出现了“和”关系，又出现了“差”关系，那么我们画图时，就要先表示出“差”关系，再用大括号来表示“和”关系。 计算过程：甲：（27+3）÷2=15岁乙：27-15=12岁 拓展：已知两个数的和、差，求这两个数分别是多少？（可进行推导） （和+差）÷2=较大数 （和-差）÷2=较小数 练习： 27岁 小明比小强多的5分 甲的3倍，即甲的线段长度的3倍
小学四年级奥数解题技巧：逻辑推理 专题简析： 解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般能 够从以下几方面考虑： 1，选准突破口，分析时综合几个条件实行判断; 2，根据题中条件，在推理过程中，持续排除不可能的情况，从而 得出要求的结论; 3，对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到 的结论和条件不矛盾，说明假设是准确的; 4，遇到比较复杂的推理问题，能够借助图表实行分析。 例1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的 比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多?谁做的好事最少? 分析与解答：我们用“>”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。 兰兰>静静冬冬>静静冬冬>兰兰 所以，冬冬>兰兰>静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。 练习一 1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道： 卢刚和医生不同岁;医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员?
2，小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家 和工程师。 小张年龄比工程师大;小李和数学家不同岁;数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师? 3，江波、刘晓、吴萌三个老师，其中一位教语文，一位教数学， 一位教英语。已知： 江波和语文老师是邻居;吴萌和语文老师不是邻居;吴萌和数学老 师是同学。请问：三个老师分别教什么科目? 练习三 1，已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开 汽车。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人 中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车? 2，某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了A、B、C三个学生。A说：“是B做的。”B说：“不是我做的。”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件好事是谁做的? 3，A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打碎的。”B说：“是D打碎的。”C说：“我没有打碎玻璃。”D说： “不是我打碎的。”他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃? 例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后： 甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁 是第四名。”丙说：“丁是第一名，我是第三名。”丁没有说话。成 绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们 的名次吗? 分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。 为了协助分析，我们能够借助图表实行分析。
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-5.容斥原理之最值问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1 A B 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， C 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-
第一讲观察法 在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。 小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。 观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题 目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方 法。 观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。 *例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学 第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨 在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正 方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。 解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。 从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。 从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。 从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。 又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填 入4（图1-5）。 图1-5是填完数字后的幻方。 例2看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度） 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。 解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。 观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。 观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。 这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。 80、73、66、59、52、45、38。 例3将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于 三年级程度）
逻辑推理类题型分析及解题技巧总结 此种题型是在每道题中给出一段陈述，这段陈述被假设是正确的，不容置疑的。请你根据这段陈述从四个备选答案中选出一个能够从陈述中直接推出的结论。 逻辑判断主要考察的是应试者逻辑推理判断的能力。从作题的要求也可以看出，做逻辑判断题目必须紧扣题干内容，以题目中的陈述为依据，根据形式逻辑的推论法则推出正确结论。题中的陈述是被假设为正确的，不要对其作出怀疑或否定，给自己解题带来不必要的干扰。对于逻辑判断题目中比较难的，多种条件相互制约或是数理逻辑的题目，可以忽略其具体情境，在草纸上抽象出其数理模型，加以逻辑运算这样比较容易得出结论。下面举几个比较典型的例题来分析一下如何做这种题目。 解题技巧 1、紧扣题干内容，不要对题中陈述的事实提出任何怀疑，不要被与题中陈述不一致的常理所干扰； 2、紧紧依靠形式逻辑有关推论法则严格推理，注意大前提、小前提、结论三者之间的关系； 3、必要时，可以在草稿纸上用你自己设计的符号来表示推论过程，帮助你记住一些重要信息和推出正确结论。 逻辑推理类解题规律总结 A判断：全称判断，所有s都是p例如“一切鲸都是水栖哺乳动物”。 E判断：全称否定，所有s都不是p例如“所有被子植物不是裸子植物”。 I判断：特称肯定，有些s是p例如“有的水生动物是用肺呼吸的”。 O判断：特称否定，有些s不是p例如“有的鸟不是会飞的”。 1．A命题（所有S是P）与E命题（所有S不是P）之间的关系，例如： 我班所有同学都是共青团员。 我班所有同学都不是共青团员。 二者决不能同真，即一个真，另一个必假；但二者可以同假，即当一个假时，另一个可真可假。这种不能同真、可以同假的关系，逻辑上叫做“反对关系”。 2．I命题（有的S是P）与O命题（有的S不是P）之间的关系，例如： 我班有的同学是共青团员。 我班有的同学不是共青团员。 二者不能同假，即一个假时，另一个必真；但二者可以同真，即当一个真时，另一个可真可假。这种不能同假、可以同真的关系， 逻辑上叫做“下反对关系”。 3ASPOSPSPISP ．命题（所有是）与命题（有的不是），正命题（所有不是）与命题（有的是）之间的关系，例如：
小学数学应用题解题技巧大全 小升初应用题大全，可分为一般应用题与典型应用题。1归一问题 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元） （2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式0.6÷ ＝0.12（元） （2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。例23台拖拉机3天耕地90公顷，照这 样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷）列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。例35辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？ 解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5×7＝35（吨） （3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。2归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、 几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数 总量÷另一份数＝另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？ 解（1）这批布总共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套）答：