习 题 1
1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。
???
??≥≥+≥++=0
x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21
212121， ??
?
??≥≥+≤++=0
x ,x 124x 3x 2
x 2x 2x 3x maxz )b (2121212
1
??
???≤≤≤≤≤++=8
x 310x 5120
10x 6x x x maxz )c (21
212
1
??
?
??≥≤+-≥-+=0
x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T
); (b)无可行解;
(c)唯一解16*,)
6,10(*==z X T
); (d)无界解）
2 用单纯形法求解下列线性规划问题。
?????≥
≤+≤++=0
x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21
212121 ??????
?
≥
≤+≤+≤+=0
x ,
x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212
12122
1 答案：
(a)唯一解5.17*,)
5.1,1(*==z X T
)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T
; (b)唯一解5.8*,)
5.1,5.3(*==z X T
）
，5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T
3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。
?????
??≥≥-≥+-≥+++-=0
x x x 0x 2x 2x 2x 6
x x x 2x x 2x maxz )a (3
,
2,
13231321
321 ?????≥≥+≥++++=0
x ,
x ,
x 62x 3x 82x 4x x
x 3x 2x minz )b (321
21
3
21
3
21
答案：
(a)无界解；(b)唯一解8*,)
0,8.1,8.0(*==z X T
)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T
4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。
表1-54 初始单纯形表
表1-55 单纯形法迭代后的表
表1-55基变量x 1列向量????
??=0'
1
p ，所以g=1,h=0
（2）初始表 ,,
j p b 某步表j p B b B
11
,
--
有已知表查出???
?
??=-12/102/11
B
,341612/102/141
=????? ??=???? ?????? ??????? ??=-f f f b B
201112/102/10111
=????? ??=???? ??-???? ??????? ??=-b b p B
5,42312/102/1221
==????? ??=???? ?????? ??????? ??=-i c i c i p B
2
,21112/102/11131
=-=????
? ??-=???? ?????? ??????? ??-=-e d e d p B （3）初始表主元行×（-主元检验数/主元）加到检验数行得下一步表的检
验数行。
表1-54第一行系数×（-a/b ）+表1-54检验数行=表1-54检验数行
即：0,2
1
,2,712=-==+-=--l a k j a a
故：0,2
3
,5,3=-===l k j a
。
5某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A、B两道工序加工。设A工序可分别在设备A1或A2上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。已知产品Ⅰ可在A、B任何一种设备上加工；产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据见下表1-56，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。
6 一家糖果商店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、胡桃仁。为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表1-57所示：
表1-57 每个品牌中所含有的果仁的比例表
商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大。建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。 7 写出下列线性规划问题的对偶问题。
??????
?≥=+≤++≥++++=无约束
3213
21321321321x 0,
x ,x 5
3x 4x x 33x x 2x
2
4x 3x x 4x 2x 2x minz )a ( ???
??????+=<=≥+==<=≤=∑∑∑===)n ,,1n j (x )n n ,,1j (0x )m ,,1m i (b x a )m m ,,1i (b x a x c maxz )b (1j
1j 1i n 1j j ij 1i n 1j j ij n
1
j j
j 无约束 答案： （a ）
??????
?≥=++≤++≤++++=ω无约束
3213
21321321321x 0,
x ,x 4
3x 3y 4y 24y y 3y
2
y 2y y 5y 3y 2y max （b ）
???
??????+=<=≥+==+<=≥++=ω∑∑∑∑∑∑=+==+=+==)m ,,1i (v )n ,,1i (0u )n ,...,1n j (c v a u a )n n ,,1j (c v a u a v b u b min 1i
1i 1j m 1i m
1m i i
ij i ij 1j m 1i m 1m i i ij i ij m
1
m i i
i m 1
i i i 11
1
111
m m 无约束
8 已知线性规划问题：
???
??≥≤-+-≤++-+=0
x x x 1
x x 2x 2x x x x x maxz 32
13213
212
1，，
试应用对偶理论证明上述线性规划问题最优解为无界。
答案：显然T
(0,0,0)X =为该问题的可行解， 其对偶问题为：
????
?
????≥≥-≥+≥--+=0y y 0y y 1y y 1
2y y y y 2min 2121
212121，ω
显然第一个约束与变量非负要求矛盾，故对偶问题无可行解。由无界性该问题最优解
为无界。
9 已知线性规划问题：
?????
???
?=≥≤++≤++≤+≤
+++++=)
4,,1j (0x )
4(9
x x x )3(6x x x )2(6x 2x )1(8
x 3x x x x 4x 2x maxz j 3214322142
14321
要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0)T ，试根据对偶理论求出
对偶问题最优解。 答案： 对偶问题
?????
???
?=≥≥+≥++≥+++≥+++++=)
4,,1j (0y (4)
1
y y (3)1y y (2)4y y y 3y (1)2y 2y y 9y y 66y 8y min j 3143432142
14321 ω
设对偶问题的最优解为),,,(*
4*3*2*1*
y y y y Y
=
将X *=(2,2,4,0)T 代入原问题，约束（4）为严格不等式（即x *S1，x *S2，x *S3）0），由互补松
弛性，y *4=0。
又因为x *
1 =2,x *
2 =2,x *
3 =4
都大于0，由互补松弛性，对偶问题对应（1）--（3）
约束为等式，（即y *S1= y *S2 =y *S3=0）
故有???
????=+=++=+(3)
1y (2)4y y 3y (1)22y y *
*
**1
*2
*
3
3
2
1
， 解得对偶问题的最优解为)0,1,5/3,5/4(*
y Y =。
10 已知线性规划问题：
?????≥≤+-≤+++-=0
x ,x ,x 4
2x x 6
x x x
x x 2x maxz 32121
321
3
21
先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况最优解的变化。 （1）目标函数变为321x 3x 2x maxz ++=； （2）约束右端项由??????46变为??
????43；
（3）增添一个新的约束条件：22x x 31≥+-。
答案：
该问题的最优解T
X )10,0,0,0,6(*=，最优值1262*=?=z 对偶问题的最优解)2,1,3,0,2(*=Y ，最优值1226*=?=ω （1）目标函数中非基变量2x 的系数2c 由-1变为3 重新计算2x 的检验数2σ
0131)02(3'22>=???
?
??-=-=j
B p
C c σ
最优解发生变化，将2x 的检验数12
=σ，系数3c 2=代入最终表，用单纯形法求
解之，见下表
该问题的最优解T
X )0,0,0,3/10,3/8(*=，最优值3
463103382*=?+?
=z 对偶问题的最优解)3/4,0,0,3/1,3/7(*=Y ,最优值3
463
143
76*=?+?=ω
（2）037324331313132'1>?????
? ??=????? ???????? ??-=-b B ，故最优基不变
最优解为T
X )0,0,0,3/7,3/2(*=，最优值3
25373322*=?+?=z （3）最优解T
X )10,0,0,0,6(*=不满足新加的约束 将约束化为等式，选松弛变量作为基变量得-2x 2x x 631
=+-
将其添加到最终表得过渡表，然后将第一行乘-1加到第三行将基变量x 1的系数列向
量化为单位向量
新的最优解T X )3/22,0,3/8,0,3/10(*=，最优值3
28332*=+?=z
11 用分支定界法求解下列整数规划问题：
(1) ???
??≥≤+≤++=，且为整数
，0x x 36
9x 4x 357x 5x 3x 2x maxz 21
21212
1 (2) ?????≥≤+≤++=且为整数,0x ,x 305x 6x 16
5x 2x x x maxz 2
12
1212
1
12 用隐枚举法求解下列0-1规划问题：
???
???
?==≥-+-≤++≤+++++--+=)5,,1j (10x 35x 3x 6x 11x 83x 4x -3x 7x 4x 2x x x x 3x 2x 5x 2x 3x maxz j 542
15431543215
4321 或 x j =0 或1，j = 1，2，3，4，5
13 某航运公司承担六个港口城市A 、B 、C 、D 、E 、F 的四条固定航线的物资运输任务已知各条航线的起点、终点城市及每天航班数见表1-59。假定各条航线使用相同型号的船只，
又各城市之间的航程天数见表1-60。又知每条船只每次装卸货物的时间各需1天，则该航运公司至少应配备多少条船,才能满足所有航线的运货需求? 建立模型并用软件求解。
表1-60 各城市之间的航程天数表
14设某公司有五个人可以完成五项工作，每人做每项工作的用时如表1-61所示。每人仅做一项工作，每项工作仅一人做。如何安排是用时最少？建立数学模型并用软件求解表1-61 每人完成任务的用时表单位：天
15 思考题
（1）线性规划问题在数学模型的形式、可行域的组成和最优点的位置等方面与非线性规划问题有什么不同？
（2）如何理解线性规划问题的求解其实就是可行域顶点的转换方法？
（3）线性规划的基解、基可行解和最优解之间有什么关系？
（4）在解得转换中，如何保证从一个基可行解转换得到的仍然是一个基可行解？
（5）在解的转换中，如何保证目标函数的值不仅下降，而且下降得最多？
（6）在单纯形算法中，如何选择主元？主元可以是负的吗？
（7）线性规划问题的约束条件是等式约束时，如何通过建立辅助规划问题的一个初始基本可行解？
（9）简述对偶单纯形法的优点、适用条件和求解步骤。
(10) 试从经济上解释对偶问题和对偶变量的含义。
（11）分支定界法求解极大化问题时，任何一个可行解的目标函数是否都是该问题目标函数
值的下界？
16 案例练习
题目：木材的储存和收购售出最优化问题
问题背景：在实际的销售模型中，往往会碰到一类由于每个时期的需求和供给量不同，而需要囤积货物在后期高价出售的问题，由于受到储存的成本，储存的空间，每个时期的销量等各方面的限制，使这个问题显得愈加复杂。
目标：要求就一个实际的木材的储存和收购售出的问题，简化该模型，使用线性规划的方法对其进行求解，并对各个参数进行灵敏度分析，最后给出合理的方案。
问题提出：江苏省某木材储运公司有一个非常大的仓库以用来存储和出售木材，由于木材的每季度价格不同，该公司计划在每季度初购入木材，根据实际的市场需求，一部分用于出售，另一部分则存储起来，等待以后出售。
已知该公司的仓库的最大存储量为200万立方米，储存费用为(a+bu)元/万立方米，其中a=7万，b=10万，u为存储的时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价格以及预计的销售量如表1-62所示。由于木材不适宜长期存储，所有的库存木材应该于每年的秋天末售完。
需解决的问题：
①怎么样能获得最大的利润，并给出具体的策划方案。
②若由于市场的变化导致某个或几个季度的预计销售量变化该怎么应对？
③公司为了扩张规模，将改建仓库扩大容量，在该表的情况下该如何规划？
④对该问题和模型尝试进行改进。
第七章决策论 1.某厂有一新产品，其面临的市场状况有三种情况，可供其选择的营销策略也是 三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值如下表所示，要求分别用非确定型 （1）悲观法：根据“小中取大”原则，应选取的经营策略为s3； （2）乐观法：根据“大中取大”原则，应选取的经营策略为s1； （3）折中法（α=0.6）：计算折中收益值如下： S1折中收益值=0.6?50+0.4?(-5)=28 S2折中收益值=0.6?30+0.4?0=18 S3折中收益值=0.6?10+0.4?10=10 显然，应选取经营策略s1为决策方案。 （4）平均法：计算平均收益如下： S1:x_1=（50+10-5）/3=55/3 S2:x_2=(30+25)/3=55/3 S3:x_3=(10+10)/3=10 故选择策略s1,s2为决策方案。 （5）最小遗憾法：分三步 第一，定各种自然状态下的最大收益值，如方括号中所示； 第二，确定每一方案在不同状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示； 第三，大中取小，进行决策。故选取S1作为决策方案。
2．如上题中三种状态的概率分别为: 0.3, 0.4, 0.3, 试用期望值方法和决策树方法决策。 （1）用期望值方法决策：计算各经营策略下的期望收益值如下： 故选取决策S2时目标收益最大。 （2）用决策树方法，画决策树如下： 3. 某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3）， 估计可能的概率为：P (θ1) =0.5, P (θ2)=0.3，P (θ3)=0.2。已知钻井费为7万元，若贫油可收入12万元，若富油可收入27万元。为了科学决策拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质构造差(I1)、构造一般(I2)和构造好(I3)。根据过去的经验，地质构造与出油量间的关系如下表所示： P (I j|θi) 构造差(I1) 构造一般(I2) 构造好(I3) 无油(θ1) 0.6 0.3 0.1 贫油(θ2) 0.3 0.4 0.3 富油(θ3) 0.1 0.4 0.5 假定勘探费用为1万元, 试确定：
第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= + ∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥ 0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 min z=23 466 ..424 ,0 x x x x s t x x x x + +≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为 最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为 min 3 z=2303 2 ?+?= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 max z=10x5x 349 ..528 ,0 x x s t x x x x + +≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点， 即 1 12 122 1 349 3 528 2 x x x x x x = ? += ?? ? ?? +== ?? ? ，即最优解为* 3 1, 2 T x ?? = ? ?? 这时的最优值为 max 335 z=1015 22 ?+?=
单纯形法： 原问题化成标准型为 121231241234 max z=10x 5x 349 ..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=?? ++=??≥? j c → 10 5 B C B X b 1x 2x 3x 4x 0 3x 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 0 1 j j C Z - 10 5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x 8/5 1 2/5 0 1/5 j j C Z - 1 0 - 2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10 1x 1 1 0 -1/7 2/7 j j C Z - -5/14 -25/14
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案 第1章线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？ 答：线性规划（LinearProgramming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0 i b ，决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。答：可行解：满足约束条件0 AX，的解，称为可行解。 b ≥ =X 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 1/8 0 (1/4)/(1/8) 3/4 1 (13/2)/(1/4) -1/2 0 2
故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3） （4）0,012≤>a c ； （5）1x 为人工变量，且1c 为包含M 的大于零的数，2 34a d >；或者2x 为人工变量，且2c 为包含M 的大于零的数，0,01>>d a ． 7．用大M 法求解如下线性规划。
运筹学基础及应用 习题解答 习题一 P46 1.1 (a) 该问题有无穷多最优解，即满足2 1 0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.2 (a) 约束方程组的系数矩阵 ???? ? ??--=1000030204180036312A 4
最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。 (b) 约束方程组的系数矩阵 ? ?? ? ??=21224321A 最优解T x ??? ??=0,511,0,5 2。 1.3 (a) (1) 图解法
最优解即为?? ?=+=+82594321 21x x x x 的解??? ??=23,1x ，最大值235=z (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ???=++=+++++=8 25943 ..00510 max 421321 4321x x x x x x t s x x x x z 则43,P P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5 839,58min =?? ? ??=θ
02>σ，23 28,1421min =??? ? ?=θ 0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2 3 1,4321====x x x x 。最大值 2 35*=z (b) (1) 图解法 最优解即为?? ?=+=+5 24262121x x x x 的解??? ??=23,27 x ，最大值217=z (2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 1234523124125 max 2000515.. 6224 5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=?? ++=??++=? 21=+x x 2621+x x
运筹学基础课后习题答案 [2002年版新教材] 第一章导论 P5 1.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。 定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法 定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。 举例：免了吧。。。 2、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？ .观察待决策问题所处的环境； .分析和定义待决策的问题； .拟定模型； .选择输入资料； .提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）； .实施最优解； 3、．运筹学定义： 利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据 第二章作业预测P25 1、. 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？ 答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。 2.、某地区积累了5 个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α= 0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤） 年度 1 2 3 4 5 大米销售量实际值 （千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。 答： F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1 F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9
习 题 1 1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。 ??? ??≥≥+≥++=0 x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21 212121， ?? ? ??≥≥+≤++=0 x ,x 124x 3x 2 x 2x 2x 3x maxz )b (2121212 1 ?? ? ??≤≤≤≤≤++=8 x 310x 5120 10x 6x x x maxz )c (21 212 1 ?? ? ??≥≤+-≥-+=0 x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T ); (b)无可行解; (c)唯一解16*,) 6,10(*==z X T ); (d)无界解） 2 用单纯形法求解下列线性规划问题。 ?????≥ ≤+≤++=0 x ,x 82x 5x 9 4x 3x 5x 10x maxz )a (21 212121 ?????? ? ≥≤+≤+≤+=0 x , x 5x x 242x 6x 15 5x x 2x maxz )b (21212 122 1 答案： (a)唯一解5.17*,) 5.1,1(*==z X T )，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T ; (b)唯一解5.8*,) 5.1,5.3(*==z X T ） ，5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T 3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。 ???????≥≥-≥+-≥+++-=0 x x x 0x 2x 2x 2x 6 x x x 2x x 2x maxz )a (3 ,2, 132 31321 321 ?????≥≥+≥++++=0 x , x ,x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (3 21 21321321 答案： (a)无界解；(b)唯一解8*,) 0,8.1,8.0(*==z X T )，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T 4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。 表1-54 初始单纯形表
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z
清华第三版 运筹学 答案[键入文字] [键入文字] [键入文字] 运筹学教程 1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg 维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg 营养成分含量及单价如表1所示。 表1 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。 解：设总费用为Z 。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。i x 表示满足动物生长的营养需要时，第i 种饲料所需的数量。则有： ????? ? ?=≥≥++++≥++++≥++++++++=5,4,3,2,1,01008.022.05.0305.022.05.07008623..8.03.04.07.02.0min 54321543215432154321i x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z i 2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。每班护士值班 开始时间向病房报道，试决定： （1） 若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要； （2） 若除22:00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其他班次护士由医院 排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。 表2
6 2:00～6:00 30 解：（1）设x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6 ???????????=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=且为整数 6,5,4,3,2,1,030 2050607060..min 655443 322161 654321i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x Z i 解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。则设设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4。 ??? ????? ?? ??? ??=≥=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++++++=4 ,3,2,1,1002 1502 16021702 ,160..30 min i 444342414444433422411434 33323133 443333223113242322212244233222211214131211114413312211114321j i y x y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y t s x x x x Z ij 变量，—是，，，第四班约束，，第三班约束，，第二班约束，第一班约束 3. 要在长度为l 的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n 种，分别为j a （j=1,2，…n ）。问每种毛坯应当截取多少根，才能使圆钢残料最少，试建立本问题的数学模型。 解：设i x 表示各种毛坯的数量，i=1,2,…n 。
《运筹学》习题答案 一、单选题 1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B A.任意网络 B.无回路有向网络 C.混合网络 D.容量网络 2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B A.非线性问题的线性化技巧 B.静态问题的动态处理 C.引入虚拟产地或者销地 D.引入人工变量 3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧 B.人为的引入时段 C.引入虚拟产地或者销地 D.网络建模 4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取 B.决策变量的选取 C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式 5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。C A.降低的 B.不增不减的 C.增加的 D.难以估计的 6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远 B.较远 C.最近 D.较近 7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D A.结点不占用时间也不消耗资源 B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始 C.箭线代表活动 D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间 8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。D A.最短路线—定通过A点 B.最短路线一定通过B点 C.最短路线一定通过C点 D.不能判断最短路线通过哪一点 10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈 B.存在两个圈 C.存在三个圈 D.不含圈 11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。C A.大于 B.小于 C.等于 D.不一定等于
实验二用MATLAB解决动态规划问题 问题:有一部货车每天沿着公路给四个售货店卸下6箱货物,如果各零售店出售该货物所得利润如下表所示,试求在各零售店卸下几箱货物,能使获得总利润最 解: 1)将问题按售货店分为四个阶段 2)设s k表示为分配给第k个售货店到第n个工厂的货物数, x k设为决策变量,表示为分配给第k个售货店的货物数, 状态转移方程为s k＋1＝s k－x k。 P k(x k)表示为x k箱货物分到第k个售货店所得的盈利值。 f k(s k)表示为s k箱货物分配给第k个售货店到第n个售货店的最大盈利值。 3)递推关系式: f k(s k)＝max[ P k(x k)+ f k+1(s k－x k) ] k=4,3,2,1 边界条件:f5(s5)＝0 4)从最后一个阶段开始向前逆推计算。 第四阶段: 设将s4箱货物(s4＝0,1,2,3,4,5,6)全部分配给4售货店时,最大盈利值为: f4(s4)＝max[P4(x4)] 其中x4＝s4＝0,1,2,3,4,5,6 x4*表示使得f4(s4)为最大值时的最优决策。 第三阶段:
设将s3箱货物(s3＝0,1,2,3,4,5,6)分配给3售货店与4售货店时,对每一个s3值,都有一种最优分配方案,使得最大盈利值为:f3(s3)＝max[ P3(x3)+ f4(s3－x3) ] ,x3＝ 第二阶段: 设将s2箱货物(s2＝0,1,2,3,4,5,6)分配给2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f2(s2)＝max[ P2(x2)+ f3(s2－x2) ] 第一阶段: 设将s2箱货物(s1＝0,1,2,3,4,5,6)分配给1售货店、2售货店、3售货店与4售货店时,则最大盈利值为:f1(s1)＝max[ P1(x1)+ f2(s1－x1) ] 按计算表格的顺序反推,可知最优分配方案有6个: 1） x1*＝1,x2*＝1,x3*=3,x4*=1。 2） x1*＝1,x2*＝2,x3*=2,x4*=1。 3） x1*＝1,x2*＝3,x3*=1,x4*=1。
运筹学（第3版）习题答案 第1章线性规划 P36 第2章线性规划的对偶理论 P74 第3章整数规划 P88 第4章目标规划 P105 第5章运输与指派问题P142 第6章网络模型 P173 第7章网络计划 P195 第8章动态规划 P218 第9章排队论 P248 第10章存储论P277 第11章决策论P304 第12章 多属性决策品P343 第13章博弈论P371 全书420页 第1章 线性规划 1.1工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示． 310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为 1231231 23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400 150250260310120130,,0 Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤??++≤??≤≤?? ≤≤??≤≤?≥?? 1.2建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格 及数量如表1－24所示：
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解 设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为 10 1 12342567368947910 min 2800212002600223900 0,1,2,,10 j j j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==?+++≥? +++≥?? +++≥??+++≥??≥=?∑L （2）余料最少数学模型为 2345681012342567368947910 min 0.50.50.52800 212002********* 0,1,2,,10 j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++?+++≥? +++≥?? +++≥??+++≥??≥=?L 1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。 （2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。 【解】设x j 、y j （j ＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
第一章 线性规划 1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2 ????? ??≥≤≤≥+≤+-01058 2442 12121x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中 x 3’≥0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
47页1.1b 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d 无界解
1.2（b） 约束方程的系数矩阵 A= 1 2 3 4 ( ) 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题 设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13 +6000x23+7300x14 s.t. x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为：
用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 118400.0 VARIABLE VALUE REDUCED COST Z 0.000000 1.000000 X11 3.000000 0.000000
X21 0.000000 2800.000000 X31 8.000000 0.000000 X41 0.000000 1100.000000 X12 0.000000 1700.000000 X22 0.000000 1700.000000 X32 0.000000 0.000000 X13 0.000000 400.000000 X23 0.000000 1500.000000 X14 12.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -2800.000000 3) 2.000000 0.000000 4) 0.000000 -2800.000000 5) 0.000000 -1700.000000 NO. ITERATIONS= 3 答若使所费租借费用最小，需第一个月租一个月租期300平方米，租四个月租期1200平方米，第三个月租一个月租期800平方米，
习 题 1 1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。 ??? ??≥≥+≥++=0 x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21 212121， ?? ? ??≥≥+≤++=0 x ,x 124x 3x 2 x 2x 2x 3x maxz )b (2121212 1 ?? ???≤≤≤≤≤++=8 x 310x 5120 10x 6x x x maxz )c (21 212 1 ?? ? ??≥≤+-≥-+=0 x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T ); (b)无可行解; (c)唯一解16*,) 6,10(*==z X T ); (d)无界解） 2 用单纯形法求解下列线性规划问题。 ?????≥ ≤+≤++=0 x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21 212121 ?????? ? ≥ ≤+≤+≤+=0 x , x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212 12122 1 答案： (a)唯一解5.17*,) 5.1,1(*==z X T )，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T ; (b)唯一解5.8*,) 5.1,5.3(*==z X T ） ，5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T 3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。 ????? ??≥≥-≥+-≥+++-=0 x x x 0x 2x 2x 2x 6 x x x 2x x 2x maxz )a (3 , 2, 13231321 321 ?????≥≥+≥++++=0 x , x , x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (321 21 3 21 3 21 答案： (a)无界解；(b)唯一解8*,) 0,8.1,8.0(*==z X T )，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T 4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。
运筹学（第3版）习题答案 第1章 线性规划 P36 第2章 线性规划的对偶理论 P74 第3章 整数规划 P88 第4章 目标规划 P105 第5章 运输与指派问题P142 第6章 网络模型 P173 第7章 网络计划 P195 第8章 动态规划 P218 第9章 排队论 P248 第10章 存储论P277 第11章 决策论P304 第12章 多属性决策品P343 第13章 博弈论P371 全书420页 第1章 线性规划 1.1 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示． 310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为 1231231 23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400 150250260310120130,,0 Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤??++≤??≤≤?? ≤≤??≤≤?≥?? 1.2 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格 及数量如表1－24所示：
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解 设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为 10 1 12342567368947910 min 2800212002600223900 0,1,2,,10 j j j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==?+++≥? +++≥?? +++≥??+++≥??≥=?∑L （2）余料最少数学模型为 2345681012342567368947910 min 0.50.50.52800 212002********* 0,1,2,,10 j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++?+++≥? +++≥?? +++≥??+++≥??≥=?L 1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。 （2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。 【解】设x j 、y j （j ＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
0后退" 地址匹I hi ip://wvw.doc in. c om/p-34224062, html 笫2章线性规划的图解法 a 可行城为OABC b ?聲值线为图中W 线所示。 C.IIIRH 可知.加优解为B 点，衆优M ： x, = y x 2 = y , 69 〒 文件匕）編辑电）查看电）版藏逻 工具① 帮 址优JI 杯沥数们:
b 无可行解 C 无界斛 d 无可行解 e 尢穷多解 20 戈厂三 92 f 冇唯一解 ?两数值为学 8 3 3、Vh a 标准形式： max / = 3? + 2r 2 + 0打 + 0s 2 + 0% max / = 一4* 一 6X 3 - 0刁-0孔 v =（）2 冇呱一解宀―“函数值为3.6 x 2 ■ 0.6
3勺 _ 兀2 一 B ■ 6 X] + 2X2+s2 = 10 7.v1 - 6A2二 4 f汕』2 2 0 C标准形式:max f =-?i； + 2.v s一2x； - 0片 - Qs2 -a— + 5X2-5A* +斗二70 2A； - 5.Vj + 5xj 二50 3x\ + 2x z一2r； - s2 =- 30 f 2 , *2，?，*2 2 ° 4、斡 标浪形式：max c = 10A（十5.v2十0、十0.T2 3\ + 4.V2 +耳二9 5x1 + 2X2 +52 = 8 兀“工2?亠? 0 5 .餅： 标ME形式：min f - 11xj + + 5 + O.v2 + O.v3 10A,+2X2 - 51— 20 3.V, + 3.V2-s2 =18 4x1 + 9X2一内=36 斗=0,y2 =0,^ = 13 6 >贻 b 1 s q 兰 3 c 2Sq S6 x2 = 4 e 斗G（4,8）x2 = 16 -2v1 2 f变化。廉斜率从-彳变为-1
专业资料 ? = 0.6 《管理运筹学》第四版课后习题解析（上 ） 第2章 线性规划的图解法 1．解： （1）可行域为OABC 。 （2）等值线为图中虚线部分。 （3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解 x = 12 ， x 15 1 7 2 7 图2-1 ；最优目标函数值 69 。 7 2．解： （1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解 x 1 0.2 ，函数值为3.6。 x 2 图2-2 （2）无可行解。 （3）无界解。 （4）无可行解。
? （5）无穷多解。 x （6）有唯一解 1 20 3 ，函数值为 92 。 8 3 x 2 3 3．解： （1）标准形式 max f 3x 1 2x 2 0s 1 0s 2 0s 3 9x 1 2x 2 s 1 30 3x 1 2x 2 s 2 13 2x 1 2x 2 s 3 9 x 1, x 2 , s 1, s 2 , s 3 ≥ 0 （2）标准形式 min f 4x 1 6x 2 0s 1 0s 2 3x 1 x 2 s 1 6 x 1 2x 2 s 2 10 7x 1 6x 2 4 x 1 , x 2 , s 1, s 2 ≥ 0 （3）标准形式 min f x 12x 2 2 x 20s 1 0s 2 3x 1 5x 2 5x 2 s 1 70 2x 1 5x 2 5x 250 3x 1 2x 22x 2 s 2 30 x 1, x 2 , x 2 , s 1, s 2 ≥ 0 4．解： 标准形式 max z 10x 1 5x 2 0s 1 0s 2 3x 1 4x 2 s 1 9
１８９ 习题七7.1计算如图所示的从A 到E 的最短路线及其长度（单位：km ）： （1） 用逆推解法；2用标号法。 7.2 用动态规划方法求解下列问题 （1） max z ＝x 12x 2 x 33 x 1＋x 2＋x 3 ≤6 x j ≥0 （j ＝1,2,3） （2）min z ＝ 3x 12＋4x 22 ＋x 32 x 1x 2 x 3 ≥ 9 x j ≥0 （j ＝1,2,3） 7.3 利用动态规划方法证明平均值不等式： n n n x x x n x x x 12121)()( ≥+++ 设x i ≥0，i ＝1，2，…，n 。 7.4 考虑一个有m 个产地和n 个销地的运输问题。设a i （i ＝1，2，…，m ）为产地i 可发运的物资数，b j （j ＝1，2，…，n ）为销地j 所需要的物资数。又从产地i 到销地j 发运x ij 单位物资所需的费用为h ij （x ij ），试将此问题建立动态规划的模型。 7.5 某公司在今后三年的每一年的开头将资金投入A 或B 项工程，年末的回收及其概率如下表所示。每年至多做一项投资，每次只能投入1000万元。求出三年后所拥有的期望金额达到最大的投资方案。 投 资 回 收 概 率 A 0 0.4 2000 0.6 B 1000 0.9 2000 0.1 7.6 某公司有三个工厂，它们都可以考虑改造扩建。每个工厂都有若干种方案可供选择，各种方案的投资及所能取得的收益如下表所示(单位：千万元)。现公司有资金5千万元，问应如何分配投资使公司的总收益最大?
7.7 某厂准备连续3个月生产A种产品，每月初开始生产。A的生产成本费用为x2，其中x是A产品当月的生产数量。仓库存货成本费是每月每单位为1元。估计3个月的需求量分别为d1＝100，d2＝110，d3＝120。现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。试问：每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。 7.8 设有一辆载重卡车，现有4种货物均可用此车运输。已知这4种货物的重量、容积及价值关系如下表所示。 货物代号重量（吨）容积（立方米）价值（千元） 1 2 2 3 2 3 2 4 3 4 2 5 4 5 3 6 若该卡车的最大载重为15吨，最大允许装载容积为10立方米，在许可的条件下，每车装载每一种货物的件数不限。问应如何搭配这四种货物，才能使每车装载货物的价值最大。 7.9 某警卫部门有12支巡逻队负责4个仓库的巡逻。按规定对每个仓库可分别派2－4支队伍巡逻。由于所派队伍数量上的差别，各仓库一年内预期发生事故的次数如下表所示。试应用动态规划的方法确定派往各仓库的巡逻队数，使预期事故的总次数为最少。 巡逻队数预期事故次数仓库 1 2 3 4 2 18 38 14 34 3 16 36 12 31 4 12 30 11 25 7.10 （生产计划问题）根据合同，某厂明年每个季度末应向销售公司提供产品，有关信息见下表。若产品过多，季末有积压，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费0.2万元。现需找出明年的最优生产方案，使该厂能在完成合同的情况下使全年的生产费用最低。 季度j生产能力a j（吨）生产成本d j（万元/吨）需求量b j（吨） 1 30 15.6 20 2 40 14.0 25 3 25 15.3 30 4 10 14.8 15 （1）请建立此问题的线性规划模型。（提示：设第j季度工厂生产产品x j吨，第j季度初存贮的产品为y j吨，显然y1＝0）（2）请建立此问题的动态规划模型。（均不用求解） １９０