．
哈师大附中２０１４ 级高一下学期期末专试
数 学 试 卷（理）
本试卷分第Ⅰ 卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共１５０ 分，考试时间１２０ 分钟。
考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交囚。 注意事项：
１ ．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域
６ ．已知 犿 ，狀 是两条不重合的直线，α 、β 、
γ 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ① 若 犿 ⊥ α ，犿 ⊥ β ，则α ∥ β ； ② 若α ⊥ γ ，β ⊥ γ ，则α ∥ β ； ③ 若 犿 α ，
狀 β ，犿 ∥ 狀 ，则α ∥ β ； ④ 若 犿 ，狀 是异面直线，犿 α ，犿 ∥ β ，狀 β ，狀 ∥ α ，则α ∥ β ． 其中真命题是（ ） Ａ ．① 和③
Ｂ ．① 和④
Ｃ ．③ 和④
Ｄ ．① 和②
７ ．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为２ ，这个球的表面积为６π ，则这个正四棱柱的体积 为（ ）
Ａ ．１
Ｂ ．２
Ｃ ．３
Ｄ ．４
８ ．设向量犪 ＝ （槡３ ｓｉｎθ ＋ ｃｏｓθ ＋ １ ，１ ），犫 ＝ （１ ，１ ），犿 是犪 在犫 方向上的技影，则 犿 的最大值是（ ） ３ ２ Ａ ．
槡
。
２
Ｂ ．４
Ｃ ．２ 槡２ Ｄ ．３
２ ．选择题必须使用２ Ｂ 铅笔填涂；非选择题必须使用 ０ ．５ 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。 ９ ．犛 狀 为等差数列｛犪 狀
公差
｝的前狀 项和，犛 ５ ＞ 犛 ６
，犛 ６ ＝ 犛 ７
，犛 ７ ＜ 犛 ８
，以下结论中正确的是（ ）
３ ．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效。
４ ．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
５ ．保持卡面清沽，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ 卷（选择题 共６０ 分）
Ａ ． 犱 ＜ ０ Ｂ ．犪 ７ ＝ ０
Ｃ ．犛 ９ ＞ 犛 ４
Ｄ ．存在唯一的狀 ∈ 犖
使 犛 狀 最小
１０ ．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
Ａ ．１ ＋ 槡３ Ｂ ．２ ＋ 槡３ Ｃ ．１ ＋ ２ 槡２
Ｄ ．２ 槡２
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求 的．）
１１ ．数列｛犪 狀 ｝满足 犪 １ ＝ ２ ，犪 狀 ＋ １ ＝ １
１ － 犪 狀
犛 ２０１５ ＝ （ ）
， 若 数 列 ｛犪 狀 ｝ 的 前 狀 项 和 为犛 狀 ， 则
１ ．已知 犃 ＝ ｛
狓 ｜狓 － ２｜ ＜ ２ ｝，犅 ＝
狓 狓 － １ ＜ ０ ，则 犃 ∩ 犅 ＝ （
） 狓 － ５
Ａ ．２０１５
Ｂ ．－ １
Ｃ ２ ０ １ ５
２
Ｄ ．１
２
Ａ ．（０ ，４ ）
Ｂ ．（０ ，５ ）
Ｃ ．（１ ，４ ）
Ｄ ．（１ ，５ ）
１２ ．在等腰梯形 犃 犅 犆 犇 中，已知 犃 犅 ∥ 犇 犆 ，犃 犅 ＝ ２ ，犅 犆 ＝ １ ，∠ 犃 犅 犆 ＝ ６０° ，动 点 犈 和 犉 分 别 在 线 段 犅 →犈 ＝ λ 犅 →犆 犇 →犉 ＝ １ 犇 →犆 ，则犃 →犈 · 犃 →犉 的最小值为（ ）
２ ．如果犪 ＞ ０ ＞ 犫 且犪 ＋ 犫 ＞ ０ ，那么以下不等式正确的个数是（ ）
犅 犆 和犇 犆 上，且
， ９λ
① 犪 ２
＞ 犫
２
② １ ＞ １ 犪 犫
③ 犪 ３ ＜ 犪犫 ２
④ 犪 ２
犫 ＜ 犫
３
Ａ ．
３ ２
４ ２９ Ｃ ． １８
Ｄ ．５ ３
Ａ ．１ Ｂ ．２ Ｃ ．３ Ｄ ．４
３ ．在等比数列｛犪 狀 ｝中，若犪 １犪 ２犪 ３ ＝ ２ ，犪 ２犪 ３犪 ４ ＝ １６ ，则公比狇 ＝ （ ） 第Ⅱ 卷（非选择题 共９０ 分）
Ａ ．
１ ２
Ｂ ．２
Ｃ ．２ 槡２
Ｄ ．８
二、填空题（本题共４ 小题，每小题５ 分．） ４ ．设 犇 为△ 犃 犅 犆 所在平面内一点，犅 →犆 ＝ ３ 犆 →
犇 ，则（ ）
Ａ ．犃 →犇 ＝ － １ 犃 →犅 ＋ ４ 犃 →犆 Ｂ ．犃 →
犇 ＝ １ 犃 →犅 － ４ 犃 →犆
１３ ．已知在正方体 犃 犅 犆 犇 — 犃
为
．
１ 犅 １ 犆 １ 犇
１
中，犈 为
犆
１ 犇 １
的中点，则异面直线 犃 犈 与犅 犆 所成角的余弦值
３ ３ ３ ３ 已知等比数列｛犪 狀 ｝中，犪 ３
，犪 ４犪 ６
，则
犪 １０ － 犪 １２
的值为 ．
Ｃ ．犃 →
犇 ＝ ４ 犃 →犅 ＋ １ 犃 →犆 Ｄ ．犃 →
犇 ＝ ４ 犃 →犅 －
１ 犃 →犆
１４ ．
＝ ２
＝ １
６
犪 ６ － 犪 ８
３ ３
３
３
正四面体 的棱长为 ，犌 是△ 犃 犅 犆 的中心，犕 在线段 犇 犌 上，且
犃 犕 犅 ＝ ９０
° ，则 犌 犕 的 ５ ．已知向量犪 、犫 满足｜犪 ｜ ＝ １ ，｜犫 ｜ ＝ ６ ，
犪 · （犫 － 犪 ）＝ ２ ，则犪 与犫 的夹角为（ ） １５ ．
犃 犅 犆 犇 １ ∠
Ｂ ．
长为．
Ａ．π
２Ｂ．π
３
Ｃ．π
４
Ｄ．π
６１６．
已知狓＞０，狔＞０，且满足１＋
２
狓狔
＝１，则２狓＋狔的最小值为．理科数学第１页（共４页）理科数学第２页（共４页）
槡
三、解答题（本题共７０ 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） １７ ．（本小题满分１２ 分）
△ 犃 犅 犆 中内角 犃 、犅 、犆 的对边分别为犪 、犫 、犮 ，犿 ＝ （２ｓｉｎ犅 ，－ ３ ），狀 ＝ （ｃｏｓ２犅 ，２ｃｏｓ２ 犅
２
－ １ ），且 犿 ∥ 狀 ． ２０ ．（本小题满分１２ 分）
如图，在四棱柱 犃 犅 犆 犇 － 犃 １ 犅 １ 犆 １ 犇 １ 中，侧棱 犃 １ 犃 ⊥ 平面 犃 犅 犆 犇 ，犃 犅 ⊥ 犃 犆 ，犃 犅 ＝ １ ，犃 犆 ＝ 犃 犃 １ ＝ ２ ， 犃 犇 ＝ 犆 犇 ＝ 槡５ ，且点 犕 、犖 分别为 犅 １ 犆 、犇 １ 犇 的中点． （Ⅰ ）求证：犕 犖 ∥ 平面 犃 犅 犆 犇 ； （Ⅰ ）求锐角 犅 的大小；
（Ⅱ ）如果犫 ＝ ２ ，求△ 犃 犅 犆 的面积犛 的最大值．
１８ ．（本小题满分１２ 分）
如图，三棱锥 犘 － 犃 犅 犆 中，犘 犆 ⊥ 平面 犃 犅 犆 ，犘 犆 ＝ ３ ，∠ 犃 犆 犅 ＝ π
２ 点，且 犆 犇 ＝ 犇 犈 ＝ 槡２ ，犆 犈 ＝ ２ 犈 犅 ＝ ２ ．
．犇 ，犈 分别为线段 犃 犅 ，犅 犆 上的 （Ⅱ ）求三棱锥 犖 — 犃 犃 １ 犆 的体积；
（Ⅲ ）设犈 为棱 犃 １ 犅 １ 上的点，若直线 犖 犈 和平面 犃 犅 犆 犇 所成角的正弦值
为
３
２１ ．（本小题满分１２ 分）
已知数列 ｛犪 狀 ｝中，犪 １ ＝ １ ，且（１ － 犪 狀 ＋ １ ）（１ ＋ 犪 狀 ）＝ １ ．
，求线段 犃 １ 犈 的长． （Ⅰ ）证明：犇 犈 ⊥ 平面 犘 犆 犇 ； （Ⅱ ）求二面角 犃 － 犘 犇 － 犆 的余弦值．
（Ⅰ ）证明： １
犪 狀
１ ｝
为等差数列； 狀
（Ⅱ ）设犫 狀 ＝
（ ）
· １ 的前狀 项和为犜 狀 ，求 犜 狀 ； ２ 犪 狀 ２
犪 狀 ＋ １ （Ⅲ ）已知当狓 ＞ ０ 时，２ｌｎ （狓 ＋ １ ）＋ 狓
狓 ＋ １ ＜ ２狓 ，
若数列｛犪 狀 ｝的前狀 项和为犛 狀 ，求证：犛 狀 ＞ ２犪 狀
－ ｌｎ犪 狀 ＋ １ ．
１９ ．（本小题满分１２ 分）
在△ 犃 犅 犆 中，２ｓｉｎ２ 犆 · ｃｏｓ犆 － ｓｉｎ３ 犆 ＝ 槡３ （１ － ｃｏｓ犆 ）． （Ⅰ ）求角 犆 的大小；
（Ⅱ ）若 犃 犅 ＝ ２ ，且ｓｉｎ犆 ＋ ｓｉｎ （犅 － 犃 ）＝ ２ｓｉｎ２ 犃 ，求△ 犃 犅 犆 的面积．
请考生在第２２ 、２３ 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． ２２ ．（本小题满分１０ 分）
已知函数犳 （狓 ）＝ 狓 ＋ １ － ２ 狓 － 犪 ． （Ⅰ ）当犪 ＝ １ 时，求不等式犳 （狓 ）＞ １ 的解集；
（Ⅱ ）若犳 （狓 ）≤ ２狓 － １ 对一切狓 ∈ 犚 恒成立，求犪 的取值范围．
２３ ．（本小题满分１０ 分）
（Ⅰ ）已知０ ≤ 狋 ≤ ４ ，求证： 槡 － ３狋 ＋ １２ ＋ 槡狋 ≤ ４ ；
（Ⅱ ）已知犪 ，犫 ，犮 都是正数，求证：犪 犫 ＋ 犫 ２犮 ２
＋ 犮 ２犪 ２
犪犫犮 ．
犪 ＋ 犫 ＋ 犮
≥
理科数学第３ 页（共４ 页）
理科数学第４ 页（共４ 页）
１
２
３
哈师大附中２０１４ 级高一下学期期末专试
数 学 试 卷（文）
本试卷分第Ⅰ 卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共１５０ 分，考试时间１２０ 分钟。 考试结
６ ．已知 犿 ，狀 是两条不重合的直线，α 、β 、
γ 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ① 若 犿 ⊥ α ，犿 ⊥ β ，则α ∥ β ； ② 若α ⊥ γ ，β ⊥ γ ，则α ∥ β ； ③ 若 犿 α ，
狀 β ，犿 ∥ 狀 ，则α ∥ β ； ④ 若 犿 ，狀 是异面直线，犿 α ，犿 ∥ β ，狀 β ，狀 ∥ α ，则α ∥ β ． 其中真命题是（ ） Ａ ．① 和③
Ｂ ．① 和④
Ｃ ．③ 和④
Ｄ ．① 和②
７ ．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为２ ，这个球的表面积为６π ，则这个正四棱柱的体积 为（ ）
Ａ ．１ Ｂ ．２
Ｃ ．３
Ｄ ．４
束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
８ ．设向量犪 ＝ （ｓｉｎθ ，ｃｏｓθ ），
犫 ＝ （１ ，１ ），犿 是犪 在犫
方向上的投影，则 犿 的最大值是（ ）
１ ．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。
２ ．选择题必须使用 ２ 犅 铅笔填涂；非选择题必须使用 ０ ．５ 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚。
３ ．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效。
４ ．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
５ ．保持卡面清沽，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ 卷（选择题 共６０ 分）
Ａ ．２槡２
Ｂ ．２ Ｃ ．槡２
Ｄ ．１
９ ．犛 狀 为等差数列｛犪 狀 ｝的前狀 项和，犛 ５ ＞ 犛 ６ ，犛 ６ ＝ 犛 ７ ，犛 ７ ＜ 犛 ８ ，以下结论中正确的是（
）
Ａ ．公差犱 ＜ ０ Ｂ ．犪 ７ ＝ ０ Ｃ ．犛 ９ ＞ 犛 ４
Ｄ ．存在唯一的狀 ∈ 犖
使 犛 狀 最小
１０ ．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
Ａ ．１ ＋ 槡３ Ｂ ．２ ＋ 槡３ Ｃ ．１ ＋ ２ 槡２
Ｄ ．２ 槡２
１１ ．数列｛犪 狀 ｝满足 犪 １ ＝ ２ ，犪 狀 ＋ １ ＝ １
１ － 犪 狀
， 若 数 列 ｛犪 狀 ｝ 的 前
狀 项 和 为犛 狀 ， 则
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
犛 ２０１５ ＝ （ ）
２ ０ １ ５ １
的．） １ ．已知 犃 ＝
｛狓 ｜狓 － ２｜ ＜ ２ ｝，犅 ＝
｛
狓 狓 － １ ＜ ０
｝
，则 犃 ∩ 犅 ＝ （ ）
Ａ ．２０１５
Ｂ ．－ １
Ｃ ．
２
Ｄ ．２
３
狓 － ５
Ａ ．（０ ，４ ）
Ｂ ．（０ ，５ ）
Ｃ ．（１ ，４ ） Ｄ ．（１ ，５ ）
１２ ．在直角梯形 犃 犅 犆 犇 中，已知 犃 犅 ∥ 犇 犆 ，∠ 犇 犃 犅 ＝ ９０° ，犃 犅 ＝ ，犇 犃 ＝ 犇 犆 ＝ １ ，动点犈 和犉 分别在
２ ２ ．如果犪 ＞ ０ ＞ 犫 且犪 ＋ 犫 ＞ ０ ，那么以下不等式正确的个数是（
）
线段 犅 犆 和犇 犆 上，且犅 →犈 ＝ λ 犅 →犆 ，犇 →犉 ＝ ２ 犇 →犆 ，则犃 →犈 · 犃 →犉 的最小值为（ ）
３λ
① 犪 ２
＞ 犫 ２
②
１
＞ １
③ 犪 ３
＜ 犪犫 ２
④ ｜犪 ｜ ＜ ｜犫
｜
Ａ ．
３
４ ２９ ５ Ｂ ．
Ｃ ． 犪
犫
１８
Ｄ ．３
Ａ ．１
Ｂ ．２
Ｃ ．３
Ｄ ．４
３ ．在等比数列｛犪 狀 ｝中，若犪 １犪 ２犪 ３ ＝ ２ ，犪 ２犪 ３犪 ４ ＝ １６ ，则公比狇 ＝ （ ）
第Ⅱ 卷（非选择题 共９０ 分）
Ａ ．
１ ２
Ｂ ．２ Ｃ ．２ 槡２ Ｄ ．８ 二、填空题（本题共４ 小题，每小题５ 分．） ４ ．已知向量犪 、犫 满足｜犪 ｜ ＝ １ ，｜犫 ｜ ＝ ６ ，
犪 · （犫 － 犪 ）＝ ２ ，则犪 与犫 的夹角为（ ） １３ ．已知在正方体 犃 犅 犆 犇 — 犃
１ 犅 １ 犆 １ 犇
１
中，犈 为犆 １ 犇
１
的中点
，则异面直线 犃 犈 与犅 犆 所成角的余弦
值
Ａ ．π
２
Ｂ ．π
３
Ｃ ．π
４
Ｄ ．π
６
为
．
犪 １０ － 犪 １２
５ ．设 犇 为△ 犃 犅 犆 所在平面内一点，犅 →犆 ＝ ３ 犆 →
犇 ，则（
）
１４ ．已知等比数列｛犪 狀 ｝中，犪 ３ ＝ ２ ，犪 ４犪 ６ ＝ １６ ，则 犪 ６ － 犪
８
的值为
．
Ａ ．犃 →犇 ＝ － １ 犃 →犅 ＋ ４ 犃 →犆 Ｂ ．犃 →犇 ＝ １ 犃 →
犅 －
４ 犃 →犆
１５ ．正四面体 犃 犅 犆 犇 的棱长为１ ，犌 是△ 犃 犅 犆 的中心，犕 在线段 犇 犌 上，且∠ 犃 犕 犅 ＝ ９０° ，则 犌 犕 的
３ ３
３
３
长为．
Ｃ．犃→犇＝
４
犃→犅＋
１
犃→犆Ｄ．犃→犇＝
４
犃→犅－
１
犃→犆
３３３３１６．已知狓＞０，狔＞０，且满足
１
＋２
狓狔
＝１，则２狓＋狔的最小值为．文科数学第１页（共４页）文科数学第２页（共４页）
槡
三、解答题（本题共７０ 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） １７ ．（本小题满分１２ 分）
在△ 犃 犅 犆 中，犪 、犫 、犮 分别为内角犃 、犅 、犆 所对的边，且满足ｓｉｎ 犃 ＋ 槡３ ｃｏｓ犃 ＝ ２ ． （Ⅰ ）求 犃 的大小；
（Ⅱ ）现给出三个条件：① 犪 ＝ ２ ；② 犅 ＝ ４５° ；③ 犮 ＝ 槡３ 犫 ． 试从中选出两个可以确定△ 犃 犅 犆 的条件， 写出你的选择并以此为依据求△ 犃 犅 犆 的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一 种方案记分）．
１８ ．（本小题满分１２ 分）
如图，已知 犃 犃 １ ⊥ 平面 犃 犅 犆 ，犅 犅 １ ∥ 犃 犃 １ ，犃 犅 ＝ 犃 犆 ，点 犈 、犉 分别是犅 犆 、犃 １ 犆 的中点． ２０ ．（本小题满分１２ 分
）
如图，四边形 犃 犅 犆 犇 为菱形，犌 为犃 犆 与犅 犇 交点，犅 犈 ⊥ 平面 犃 犅 犆 犇 ． （Ⅰ ）犃 犆 ⊥ 犈 犇 ；
（Ⅱ ）若∠ 犃 犅 犆 ＝ １２０° ，犃 犈 ⊥ 犈 犆 ，三棱锥 犈 － 犃 犆 犇 的体积为槡６ ，求直线 犆 犈 与平面犅 犈 犇 所成角
３
的大小．
２１ ．（本小题满分１２ 分
）
已知数Ll ｛犪 狀 ｝中，犪 １ ＝ １ ，且（１ － 犪 狀 ＋ １ ）（１ ＋ 犪 狀 ）＝ １ ．
（Ⅰ ）证明： １ 为等差数Ll ；
犪 狀
１
狀
（Ⅰ ）求证：犈 犉 ∥ 平面 犃 １ 犅 １ 犅 犃 ； （Ⅱ ）设犫 狀 ＝
（ ） · １
的前狀 项和为犜 狀
，求 犜 狀 ．
（Ⅱ ）求证：平面 犃 犈 犃 １ ⊥ 平面 犅 犆 犅 １ ．
２ 犪 狀
１９ ．（本小题满分１２ 分）
△ 犃 犅 犆 中内角 犃 、犅 、犆 的对边分别为犪 、犫 、犮 ，犿 ＝ （２ｓｉｎ犅 ，－ ３ ），狀 ＝ （ｃｏｓ２犅 ，２ｃｏｓ２ 犅
２
－ １ ），且 犿 ∥ 狀 ． 请考生在第２２ 、２３ 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． ２２ ．（本小题满分１０ 分）
已知函数犳 （狓 ）＝ 狓 ＋ １ － ２ 狓 － 犪 ．
（Ⅰ ）当犪 ＝ １ 时，求不等式犳 （狓 ）＞ １ 的解集；
（Ⅱ ）若犳 （狓 ）≤ ２狓 － １ 对一切狓 ∈ 犚 恒成立，求犪 的取值范围．
（Ⅰ ）求锐角 犅 的大小；
（Ⅱ ）如果犫 ＝ ２ ，求△ 犃 犅 犆 的面积犛 的最大值．
２３ ．（本小题满分１０ 分）
（Ⅰ ）已知０ ≤ 狋 ≤ ４ ，求证： 槡 － ３狋 ＋ １２ ＋ 槡狋 ≤ ４ ；
（Ⅱ ）已知犪 ，犫 ，犮 都是正数，求证：犪 犫 ＋ 犫 ２犮 ２
＋ 犮 ２
犪 ２
犪犫犮 ．
≥
犪＋犫＋犮
文科数学第３页（共４页）
理科数学试题答案
二、填空题
13．14．15．16．
三、解答题
17．解：(I)
，即4分
因为B为锐角
6分
(II)，
8分
，（当且仅当时，取“=”）
10分
（当且仅当时，取“=”）
又，当且仅当为正三角形时12分
18．
4分
(II)解：由（１）知，CDE为等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，
故FB＝２．
由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．
以Ｃ为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴
的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ(0,0,0,)，Ｐ(0,0,3)，
Ａ(,0,0),Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，
6分
设平面ＰＡＤ的法向量，
由，，
得.8分
由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取为,即.10分从而法向量，的夹角的余弦值为
故所求二面角A-PD-C的余弦值为.12分
19．(I) 2分
4分
6分
(II) 8分
10分
12分
20．如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，
，又因为分别为和的中点，得.2分
(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，
由此可得，，又因为直线平面，所以平面
4分
(II)，为平面的法向量，
因此点到平面的距离，6分
所以8分
(III)依题意，可设，其中，则，从而，10分又为平面的一个法向量，由已知得
，整理得，
又因为，解得，
所以线段的长为.12分
21．（I）
所以是以为首项，为公差的等差数列3分
(II)
8分
(III)令，则
10分
所以，
累加得，，即12分
22．（I）当时，化为.
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.
所以的解集为. ……5分(II)原不等式对一切都成立
设，，
函数图象如图所示
所以或……10分
23．
（I）
当且仅当，即时等号成立，
故.……5分
(II)证明：因为，所以. ①
同理. ② . ③
①②③相加得
从而.
由都是正数，得，因此.
……10分
文科数学第４页（共４页）