从初高中衔接视角理解初中数学教学

从初高中衔接视角理解初中数学教学

厦门市教育科学研究院基础教育教研室 肖 鸣

一、函数

1. 定位

与高中学习直接衔接的、联系最紧密的知识.可以这么说：初中学的有关函数的知识、技能，所掌握的相关的解题方法、能力是高中学习的直接基础.

2. 主要内容及教学要求

（1）函数的概念

问题1：找出“函数的概念”在“初中阶段”和“高中阶段”的共同点.

表达函数的概念的工具一致：图象、列表、解析式.

问题2：找出“函数的概念”在“初中阶段”和“高中阶段”的两个不同点.

要求：一个不同点的要求是高中有，初中没有.

集合、对应.

一个不同点的要求是:用高中的“函数的概念”容易解释，用初中的“函数的概念”不易解释，但是这种现象在初中出现.

x ＝2是函数， 二次函数的对称轴，从直线的角度理解.

问题3：如何理解“变量”、“自变量”、“因变量”.

不要刻意强调“变量”——否则就不意解释x ＝2是函数；

重点理解“自变量”、“因变量”之间的关系是：互相依赖，密切相关.

问题4：在初中阶段学习“函数的概念”的重点是什么？

表达函数的概念的工具；

问题5：“函数的概念”初高中的衔接点是什么？

表达函数的概念的工具；

自变量的取值；

函数值的取值；

（2）函数的图象

看：坐标轴（单位）；是什么线、图象的趋势；特殊点（起点、端点、交点、最高点、最低点、与坐标轴的交点）；自变量的取值范围.

例1：（厦门09中考第7题）药品研究所开发一种抗菌新药.经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药后时间x （时）之间的函数关系如

图2所示.则当1 ≤x ≤6时，y 的取值范围是

A . 83≤y ≤6411

B . 6411

≤y ≤8

C . 83

≤y ≤8 D . 8≤y ≤16

[答题情况] 本题满分人数9691人，满分率40.33%，零分人数14341人，零分率为59.67%；难度为0.4033学生.选择A 的有39.90%，选择B 的有11.26%，选择D 的有8.09%.

[评析] 本题改编自华师大版八下P57第4题.以实际问题为背景，考查学生能否用一次函数的图象解决实际问题的能力. 其实质是考查学生能否将图形信息转换成用符号表达的能力.由于有39.90%的学生选择A ，说明这部分学生没有理解决定y 的取值范围的是“最低点”和“最高点”.

画:—最终目的是画草图.对解题有帮助.

例2：（09厦门中考（第20（1）题

已知：△ABC中，AB＝AC.

（1）设△ABC的周长为7，BC＝y，AB＝x（2≤x≤3）.写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；

本题难度系数是0.5625，满分率是20.39%，零分率是24.48%；

直角坐标系画得不规范，如：不会选择正方向，单位长度不标准；

线段画成直线.

（3）待定系数法

一种求未知数的方法.一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值.从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法.

也可以这么说，待定系数法一种常用的数学方法.对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数.

使用待定系数法解题的一般步骤是：

确定所求问题含待定系数的解析式；

根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；

解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.

解方程或消去待定系数有两种常见的方式给定的特殊点,自选符合条件的特殊点.

解方程（两种类型）

例3:在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－bx＋c与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点.求抛物线的解析式.

例4: 若点D（x1，y1）、E（x2，y2）、在抛物线y＝x2－x＋c上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，求直线DE的解析式.

消去待定系数—高中常见.

（4）配方法

一元二次方程、二次函数

（5）性质——重点

一次函数、反比例函数、二次函数

从整体到局部性

三种语言表述：

“函数图象从左到右上升”——直观

“当k＞0时，y随x的增大而增大”——描述

“k＞0，x1＜x2，y1＜y2”——抽象.高中不是这样描述，初中阶段，好生可以这样要求.

例5：（厦门八下市质检卷）已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（－1，－2），Q（2，m）.

（1）求这两个函数的解析式；

（2）当x＞3时，试比较一次函数的值与反比例函数的值的大小，并说明理由.

本题是改编题，改编自教材P53.5.第（1）题是简单计算题，考查学生“用待定系数法求解析式的技能” .本题的难度系数是0.54，满分率23.02%，零分率38.89%.在设一次函数与反比例函数解析式时，有19.04%的学生没有写不同的参数，而是均设为k，在表达上显得含混不清. 第（2）题是代数说理题，考查学生借助函数的图象“运用函数的性质、不等传递的意义解决比较函数值大小的问题的能力”.本题的难度系数是0.25，满分率3.18%，零分率69.04%.有21.31%的学生只写出一次函数（反比例函

数）的性质，而没有把两者的性质结合起来考虑.

（6）解析式、方程、不等式之间的关系

作用：理解函数、运用性质、熟悉工具.

关系：解析式为主，由解析式想方程、想不等式.

注意点：方程、不等式不一定是标准式.

3.教学注意点

（1）“自变量”、“因变量”与不一定就是“x ”、“y ”，与字母无关.

例6: (厦门09卷16题) 已知ab ＝2.（1）若－3≤b ≤－1，则a 的取值范围是 ；

[评析]本题难度系数是0.3698，即满分率为36.98%，零分率为63.02%.不知此为函数问题，字母不

是“x ”、“y ”；部分学生写的是－2≤x ≤－23

. （2）关于用实际问题引入一次函数的概念.

华师大版问题：

● 教材用问题1和问题2引入，而问题1和问题2的自变量的取值范围是有限制的，把问题1和问题2作为引例，是否会让学生以为一次函数的自变量的取值范围是有限制的.

● 教材写s ＝570－95t 和y ＝kx ＋b 的形式不符.

解决的方式：实际问题引入会涉及求自变量的取值范围，在用实际问题作为引例时，一定要有自变量的取值是不受限制的的例子.

（3）理解一次函数解析式中k 、b 的重要性.

● k 、b 是如何来的——通过探究采用归纳概括的方式，学生会记得更深.

● k 、b 的几何意义.

● k 、b 的常数性.及参数性.

（4）关于函数综合题.

● 函数综合题常见类型

例7：如图，抛物线n mx x y ++=22

1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，四边形OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点D （5，2），连结BC 、AD .

（1）求C 点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH 绕点B 按顺时针旋转90°后 再沿x 轴对折得到△BEF （点C 与点E 对应），判断 点E 是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）设过点E 的直线交AB 边于点P ， 交CD 边于点Q . 问是否存在点P ，使直线PQ 分梯形ABCD 的面积为1∶3两部分？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.

例8如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y 直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动.点P 、Q 同时出发，

且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<

（1）求直线2l 的解析式；

（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式.

（3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？

例9 已知二次函数y ＝x 2－x ＋c .

（1）若点A （－1，n ）、B （2，2n －1）在二次函数y ＝x 2－x ＋c 的图象上，求此二次函数的最小值；

（2）若点D （x 1，y 1）、E （x 2，y 2）、P （m ，m ）（m ＞0）在抛物线y ＝x 2－x ＋c 上，且D 、E 两点关

于坐标原点成中心对称，连结PO ，当22≤PO ≤2＋2时，试判断直线DE 与抛物线y ＝x 2－x ＋c ＋38

的

交点个数，并说明理由.

● 这些试题中与函数内容相关性

例7（1）求解析式；（2）点与解析式的关系；（3）无.

例8（1）求解析式；（2）用几何的知识通过化归，得出函数关系式；（3）无.

例9（1）点与解析式的关系、求解析式、求二次函数最小值；（2）求解析式、二次函数性质. 例7、8的第（3）问的结构是“函数的皮，几何的魂”，行“函数之名，考几何之实”.

●分清类型，把握解题方向.

二、分类思想

1.定位

● 三大基本思想之一；

● 可以用纸笔方式直接测试；

● 大规模考试必测的内容.

2. 分类思想解题的思维过程分析

在运用分类的思想进行解题时，其思维过程通常可以分为：第一，要明确是否需要分类讨论；第二，确定分类的对象；第三，确定分类的标准；第四，逐类逐级分类讨论；第五，综合、归纳结论.

第一 明确是否需要分类讨论

运用分类的思想解题首先需要明确分类讨论的原因.即哪些问题常常需要用到分类的思想来解决.大多数的学生在面对一个数学问题时，不易判断此问题是否需要用到分类的方法来解决该问题，即无法根据问题的条件和结论迅速辨认问题中与分类有关的数量关系或位置关系.因此，从所给的问题情境中，正确而迅速地辨认题目中与分类有关的数量关系或位置关系的，是解决问题的基础，一般地说，当我们研究的问题是下列几种的情形时，可以考虑使用分类的思想方法来解决问题.

● 涉及到分类定义的概念.

有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、等腰三角形、平方根、有理式的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法.

例10：等腰三角形的周长为16，其中一条边的长为6，求另两条边的长. 有些概念在下定义时，对所考虑的对象的范围进行了限制，如分式、一元二次方程的概念等，当解

题过程中需要突破这些限制时，就必须考虑使用分类讨论的方法.

例11：解关于x 的方程（a －1）x 2－2ax ＋a ＝0

● 直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则.

《数学课程标准》的要求，直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的有：

有理数的大小比较法则；有理数的加法、乘法、除法、乘方法则；有理数乘法运算律之际的符号与因数的符号的关系；添括号、去括号法则；方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正（负）数，不等号的方向不（改）变；一元二次方程的求根公式；一元二次方程根的判别式；直线与圆的位置关系（交点的个数多少、半径与圆心到直线的距离的数量大小比较）；两圆的位置关系（（交点的个数多少、两圆半径的和与圆心距的数量大小比较）；一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质等.

当我们应用一元二次方程根的判别式，直线与圆的位置关系（交点的个数多少、半径与圆心到直线的距离的数量大小比较），两圆的位置关系（（交点的个数多少、两圆半径的和与圆心距的数量大小比较），这些性质解题时，可以考虑使用分类讨论的方法.

当我们应用其他受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题时需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制时可以考虑使用分类讨论的方法.

例12：函数y ＝kx ＋3 (－1≤x ≤1,且k ≠0)的图象上的点都在x 轴的上方,则k 的取值范围是 . ● 进行某些有限制的运算.

在解题时，遇到除法、开偶次方、含有绝对值符号等运算时，应该考虑使用分类讨论的方法. ● 在计算、推理过程中，遇到数量大小不确定.

在计算、推理过程中，往往会遇到同一个已知条件具有不同的取值（在取值范围内），且由于取值的不同，导致了不同的结果的出现.遇到这种情况，可以考虑使用分类的方法解决问题.

例13：为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛,在同等的条件下，教练给甲、乙两名同学安排了一次射击测验， 每人打10发子弹，下面是甲、乙两人各自的射击情况记录（其中乙的情况记录表上射中9、10环的子弹数被墨水污染看不清楚，但是教练记得乙射中9、10环的子弹数均不为0发)：

甲: 乙：

① 求甲同学在这次测验中平均每次射中的环数；

② 根据这次测验的情况，如果你是教练，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由（结果保留 到小数点后第1位）.

例14：已知方程组???x ＋y ＝4－2k

x －y ＝2

的解满足x ＞0，且k 为整数. ① 求k 的取值范围；

② 若n 是正整数，试比较代数式2n 4＋2k 2－kn 4－4k 的值与0的大小.

● 在计算、推理过程中，遇到图形的位置和形状不确定.

有些题目，由于条件无法确定图形的位置和形状，且由于图形的位置和形状不确定影响了结论或推理的方式.这时，可以考虑使用分类的方法.

例15：甲、乙两人分别从赵庄、张庄出发步行到李庄.甲从赵庄到李庄需2小时,乙从张庄到李庄需2.5小时.已知赵庄到李庄的距离比张庄到李庄远2千米,每行1千米甲比乙少花5分钟.

①求赵庄到李庄的距离;

②设赵庄到李庄、张庄到李庄、赵庄到张庄这三条道路均为直的，若甲以同样的速度从赵庄走到

张庄.求甲所需的时间t的取值范围.

例16：已知直线y = 5

8

x＋

15

8

与直线y = kx－3交于点C ，若点C在第一象限，且点C到x轴

的距离与到y轴的距离相等.

①求k的值；

②设直线y = 5

8x＋

15

8与x轴的交点为A，直线y = kx－3与y轴的交点为B，若以原点O为

圆心，半径为r的⊙O与△ABC有且只有两个交点，试说明r的取值情况.

第二确定分类对象

分类的对象是什么，有些问题比较明显，如涉及到分类定义的概念的问题，直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的问题，某些有限制运算的问题.在这些问题中，分类的对象通常可以用数学的符号加以表达.如例11的分类对象是“二次项的系数（a－1）” .

有些问题则比较隐蔽，需要认真分析.例15的分类对象是“赵庄、李庄、张庄三点的位置” .

第三确定分类标准

分类的对象确定以后，就要确定分类的标准，根据这个标准将问题划分成几个相对确定的能用不同形式去解决的小问题.因此确定恰当的分类标准是用分类思想方法解题的关键.在这个环节，应注意：（1）分类时，同一级的分类标准要统一，而且标准应当是科学的，合理的，即要满足互斥，无漏的要求.

（2）如果分类对象是基本的概念，已学的定理、性质、公式、法则，某些有限制的运算，要联系已有的知识，确定分类的标准.

（3）如果遇到的问题是数量大小不确定而需要用分类的方法解决的问题.首先一定要明确数量的取值范围，然后根据具体的情况再确定分类的标准.

例17：小明与他的爸爸一起做投篮球游戏，两人商量规则为：小明投中1个球得3分，小明爸爸投中1个球得1分.结果两人一共得了20分.

①若两人一共投中12个球，则他们两人各投中几个球？

②若小明爸爸的得分比小明少，则他们两人各投中几个球？

第②小题分析：由于条件只说明“小明爸爸的得分比小明少”，对于不同的得分情况，就有不同的结果.因此如果能够求出小明爸爸的得分范围，就可以求出各种结果.

解：根据题意，得3x＋y＝20，3x＞y，

解得3＜x≤6（x是整数）.

∴当x＝4时，y＝8；x＝5时，y＝3；x＝6时，y＝2.

当小明投中4个球，小明爸爸投中8

个球；当小明投中5个球，小明爸爸投中3个球；当小明投中6个球，小明爸爸投中2个球.

（4）如果遇到图形的位置不确定而需要用分类的方法解决的问题.首先要明白是什么因素影响了图形的位置，然后根据不同的图形位置来确定分类的标准.

第四逐类逐级分类讨论

在明确分类的对象，确定了分类的标准后，可以对分类的对象进行逐类逐级的讨论.由于已经将一个复杂的问题分解成若干个较为简单的问题，这时一定要明确每个讨论问题的已知条件是什么，要求的问题是什么.对于要逐级讨论的问题，更要如此.

在讨论时，同类的几种情况可能都成立、可能都不成立、可能成立可能不成立.

第五综合、归纳结论

逐类逐级分类讨论后，应该对这些较为简单的问题的结论进行综合、归纳，积零为整，进而解决

全局的问题.

3.考点分析

从思维过程的分析得出，用纸笔测试的方式可以测试的是第三，确定分类的标准；第四，逐类逐级分类讨论；第五，综合、归纳结论.重点是第三、四.

● 只测试如何确定分类的标准的试题.

例18：（厦门03卷）已知点A （3,3）， B （1，1），C （9，1），D （5，3），E （－1，－9），F （－2，－12

）. （1）请将上述的6个点按下列的要求分成两类,并写出同类点具有而另一类点不具有的一个特征.请 将答案按下列要求写在横线上:特征不能用否定的形式表示．．．．．．．．．．．．

,点用字母表示）； ① 甲类含两个点，乙类含其余四个点.甲类: 点 ， 是同一类点,其特征是 . 乙类: 点 ， ， , 是同一类点，其特征是 .

② 甲类含三个点，乙类含其余三个点.

甲类: 点 ， ， 是同一类点,其特征是 .

乙类: 点 ， ， 是同一类点,其特征是 .

例19：（厦门市八上质检卷）

（1）用“＜”或“＞”填空；

4 4；1100 1100； 6.2

5 6.25； 2＋ 2 2＋2；π－3 π－3；

（2）在（1）的条件下，在请你将上述的5个不等式分成两类，并说明每类不等式的特征. 测量的目标是以确定事物分类的标准作为载体，考查学生观察、分析、抽象、概括思维方式. ● 三、 四、五都测.

如例16、09泉州卷26题.

4.教学建议

平时的渗透与专题的训练相结合.尤其是在课堂教学中一定不要忽略教材的资源.

如：七（上）P28化简： （1）－（＋3）；（2）＋（－12

）；（3）＋（＋2.81）；（4）－（－20）； 目的是为了得到相反数化简的规律：正正得正，正负得负.

设计一个教学活动，培养分类思想.

三、几何

几何是改革的一个焦点.

1.几何的教育功能

几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力.这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的.

几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来.几何思想主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力.几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力.借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力.但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片面的.

2.高中的要求

必修：立体几何初步、平面解析几何初步（高考）.

选修1、2：圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何（高考）.

选修4：几何证明选讲.

课标要求：

●了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理.

●证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.

●证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.

3.初中几何的基本脉络

实验稿：空间与图形

图形的认识；图形与变换；图形与坐标；图形与证明.

修订稿：图形与几何

图形的性质；图形的变化；图形与坐标.

图形的认识、证明统一到图形的性质.

解决课改初期反映的“学生演绎推理能力下降”问题；

4.初高中衔接

图形的性质—立体几何初步；

图形与坐标—平面解析几何初步；

图形变换—空间想象力、直观洞察力；

选修4“几何证明选讲”单独说明.

●图形的性质

载体—多边形；

主要内容：演绎推理；体系之间的关系；化归思想.

●图形的变化

作为知识：空间想象力、直观洞察力.

严谨性：图形的变化是有要求的，规则的.不是随意的.

例如“图形的旋转”

通用性：性质在几何图形的表述；在坐标系中的表述.

例如：轴对称、中心对称的点坐标如何表述.

作为方法：几何的通性通法；

从变换的角度看几何图形，能有更概括的的认识；

作为研究的方法，较迅速发现图形性质和关系；

提高空间观念和合情推理的能力.

●图形与坐标

图形：直线型、封闭的图形.

史上最全的初高中数学知识点衔接归纳

初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：

新高一数学衔接课专题一 因式分解教案

专题一 因式分解(2课时） 教学目标：使学生掌握因式分解的几种典型方法（提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，配方法，求根法） 重点：十字相乘法分解因式 难点：灵活选择适当方法分解因式 教学方法：启发法，讨论法 学法指导：带领学生复习初中因式分解的相关知识，为高中知识的学习做好铺垫。讲练结合。 教具：多媒体 教学过程： 一、知识前测（通过做题回顾初中所学习的因式分解的方法） 1.完成下列因式分解，并思考所用的方法。 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能． 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等． 一、公式法 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222() 2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++； （5）两数差立方公式 33223() 33a b a a b a b b -=-+- 二、分组分解法 2(1)9x -2(2)69x x -+2(3)36xy xyz -+2(5)32 x x -+y b x b y a x a 2222)4(+++例1因式分解： 33 (1) 8 (2) 12527x b +-34(3)381a b b -76(4)a ab -

初中升高中数学衔接教材

第一节 乘法公式、因式分解 重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法 难点：公式的灵活运用，因式分解 教学过程： 一、 乘法公式 引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如?)(3=+b a ， 能用学过的公式推导吗？（平方―――立方） 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++==++=+ · ··················① 那?)(3=-b a 呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将3)(b a +中的b 换成－b 即可。（R b ∈ ）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换 3223333)(b ab b a a b a -+-=-············符号的记忆，和――差 从代换的角度看 问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ）（ ）＝33b a ± 由①可知，))(()33()(2222333b ab a b a ab b a b a b a +-+==+-+=+ ······② 立方差呢？②中的b 代换成－b 得出：))((2233b ab a b a b a ++-=- ▲符号的记忆，系数的区别 例1：化简)1)(1)(1)(1(22+++--+x x x x x x 法1：平方差――立方差

法2：立方和――立方差 （2）已知,012=-+x x 求证：x x x 68)1()1(33-=--+ ▲注意观察结构特征，及整体的把握 二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等） （1）十字相乘法 试分解因式：)2)(1(232++=++x x x x 要将二次三项式x 2 + px + q 因式分解，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x 2 + px + q = x 2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: 1 a 1 b a + b （交叉相乘后相加） 若二次项的系数不为1呢？)0(2≠++a c bx ax ，如：3722+-x x 如何处理二次项的系数？类似分解：1 －3 2 －1 -6 + -1 = -7 )12)(3(3722--=+-x x x x 整理：对于二次三项式ax 2+bx+c （a ≠0），如果二次项系数a 可以分解成两个因

初高中数学衔接研究报告

初高中数学衔接研究报告

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初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求，造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学，使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1．学生升入高中学习之后，无论选择理科或者文科的学习，数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上，均密切相关。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2．初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求，试图找出初高中数学教学衔接的相关关

键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，让高一学生尽快适应高中数学，从而进行有效的学习。 3．近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及，一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性，但大多是从教学内容上进行简单地分类研究，也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 １．找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2．从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 １、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点，充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。

最权威初中升高中数学衔接讲义

目录第一章数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章相似形、三角形、圆 3.1 相似形

3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定 3.2 三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用 3.3 圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程（选学）

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??-， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4． 解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知 点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空： （1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________. （2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 1 3 A B x 4 C D x P |x －1| |x －3| 图1．1－1

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点归纳

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223() 33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

初高中数学教学衔接问题的研究

北京家教 找家教上阳光家教网 初高中数学教学衔接问题的研究 唐惠荣 一、研究背景 “八五”期间，市政府制定了上海市建设一流基础教育规划，并着手制定《进入21世纪的中小学数学教育行动纲领》。中小学数学教育是整个基础教育的重要内容之一，对于培养学生辩证唯物主义的世界观和方法论具有独特的作用。然而中学作为基础教育的重要组成部分，由于受办学条件的限制，严重影响教育质量的提高，高中数学教育质量的下降是中学教学所面临的共同问题。随着高中教育规模的扩大，大量学生进入高中学习，学生由初中升入高中后，普遍认为数学难学，许多学生在初中阶段数学成绩较好，但步入高中后数学成绩明显下降。究其原因主要在于初、高中数学未能很好衔接。 初、高中数学教学衔接问题存在的原因主要有以下三个方面： （1） 教材内容方面：初中数学教材通俗易懂，难度不大，侧重于定量计算；而高中数学教材，较多研究的是变量和集合，不但注重定量计算，且需作定性研究，注重于各种数学思维能力的提高、空间想象能力的培养等，在初、高中教材知识点衔接上有脱节现象。 （2） 教学方法方面：初中教师的教学主要依据初中学生特点及教材的内容，教学进度较慢，对重点内容及疑难问题都有较多时间反复强调、答疑解惑；而高中教师在处理高中教材时却没有充裕的时间去反复强调教材内容，对于习惯于初中教师教法的学生进入高中后，难以适应高中教师的教法。另外，初中教师在知识点的处理上侧重记忆，学生只要记住概念、公式、定理和法则，就能取得较好的成绩，而高中教师在教学中，不仅要对教材中的概念、公式、定理和法则加以认真讲解，还要重视学生各种能力的培养，加上其他原因，要求教学中不但重视书本上内容，还要补充各种课外知识，对习惯于“ 依样画葫芦”缺乏“举一反三”能力的高一学生，显然无法接受。 （3） 学习方法方面：初中学生习惯于跟着老师转，不善于独立思考和刻苦钻研数学问题，缺乏归纳总结能力。进入高中后，则要求学生勤于思考、勇于钻研、善于触类旁通、举一反三、归纳探索规律。然而高一新生往往沿用初中一套学习方法，不善于抓住学习中自学、阅读、复习、小结等必要环节，对高中学习内容缺乏必要的抽象思维能力和空间想象能 力。 二、概念内涵的界定 教学内容的衔接。以《衔接教材》为载体，通过相关知识点的比较和补充、单元知识的补充，达到完成初、高中知识和能力的衔接的目的。 教学方法的衔接。以《衔接教材》为载体，通过问题教学融合衔接教学模式的探索和实践，达到完成初、高中教学衔接的目的。

初升高暑假数学衔接教材含答案

初升高暑假数学衔接教材 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ● 第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化 1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显着的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发

初高中数学衔接教案(含答案)

第一讲 数与式 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??-， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4． 解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知 点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空： （1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则 x =_________. （2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题： 下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）． 1 0 C |x －1| |x －3| 图1．1－1

初中升高中数学衔接最全经典教材

初高中数学衔接教材 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接 第一部分如何做好初高中衔接 1-3页 第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页 第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点5-9页 第四部分分章节讲解 10-66页 第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页 第一部分，如何做好高、初中数学的衔接 ●第一讲如何学好高中数学● 初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。 一高中数学与初中数学特点的变化

1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二不良的学习状态 1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，

(完整word版)初高中数学衔接教材(已整理精品)

初高中数学衔接教材 1.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． 解法一：原式=2222 (1)(1)x x x ??-+-?? =242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空： （1）221111 ()9423 a b b a -=+（ ） ； （2）(4m + 22 )164(m m =++ )； (3 ) 2222 (2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题： （1）若2 1 2 x mx k + +是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2 m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22 248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 2．因式分解 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

初高中数学衔接课程(一)

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1-

初中升高中数学衔接教材(最全最新)

初升高中衔接教程 数学 典型试题举一反三 理解记忆成功衔接

前言 现有初高中数学教材存在以下“脱节”： 1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用； 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用； 3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等； 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧； 5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法； 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节； 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领； 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一； 9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习； 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。 新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。 欢迎广大读者提出宝贵意见，我们将不胜感激！

初高中数学衔接知识点总结

初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

《新课程背景下初高中数学教学的衔接研究》课题开题报告

开远市教育科研“小课题” 《新课程背景下初高中数学教学的衔接研究》 课题研究开题报告 立项编号： 20120661 课题名称：新课程背景下初高中数学教学的衔接 研究 课题类别：市级一般课题 研究领域：学科教学 课题负责人：刘红映 所在单位：开远市第九中学

《新课程背景下初高中数学教学的衔接研究》 课题开题报告 一、课题名称 《新课程背景下初高中数学教学的衔接研究》 二、课题研究周期 2012年6月—2013年9月（一年） 三、课题提出的背景 2009年云南省进入高中新课改，高中课程标准，教学大纲都有很大变化，数学结构、内容等都与往年有所改变，初高中脱节问题日益突出。近几年来普通高中办学规模不断扩大，学业水平起点不同的新生涌入高中，我校作为普及高中试点学校，学生录取成绩较低，被调查对象15届高一新生，入学数学成绩最高分85，最低分6，平均分约为52.4。初中基础较弱，大部分高一新生学习数学感觉很吃力，教师教学方面也倍感困难，不但要教授高中新知还要补充初中知识，因此研究衔接教学十分必要。通过分析初高中学习衔接方面存在问题，主要集中在以下几点： 1. 教材的变革与深化需要进行衔接教学 教材是课程建设的主要载体，是课程改革的主要内容之一，每次的课程改革都体现出新的课程理念，全新的课程设计，新课程改革后使用的教材，虽然初高中教材的难度都有所降低，但与初中义务制教材相比，高中现行教材（人教A 版）有如下特点：一是容量大，高中必修课本5本，高考考察选修内容理科3本，文科2本，另外高考选作题涉及选修4系列的三本课本。高中知识点增多、灵活性加大、课时减少、课容量增大、进度加快。二是内容抽象，高中教材不仅有大量抽象的数学符号和数学术语，我们既要准确理解他们的意义，区别与初中教学中的差距，同时还要能够运用它们进行推理、运算，这对刚进高中抽象思维能力不强的学生来说难度不小。三是起点高，从整个高中教材编排体系来看，要求高一学年完成必修1、2、3、4四本课本的教学，由于《函数》这一章太难，很容易让学生产生畏惧情绪，新教材又把空间立体几何安排在高一上学期，也超出了部分学生的思维水平和接受能力，造成知识脱节。加上高中受高考指挥棒的牵制，虽然教材缩减了不少内容，但许多教师不敢轻易降低难度，补充了大量的知识，人为加大初高中教材的内容难度差距。 2.学法与教法的变化需要进行衔接教学研究

初中升高中数学知识点衔接——分式运算

初中升高中数学知识点衔接——分式运算 ————初中知识———— （一）分式的运算规律 1、加减法 同分母分式加减法： 2、异分母分式加减法： 3、乘法： 4、除法： 5、乘方： （二）分式的基本性质 ————高中知识———— 比例的性质

分式求解的基本技巧 1、分组通分 2、拆项添项后通分 3、取倒数或利用倒数关系 4、换元化简 5、局部代入 6、整体代入 7、引入参数 8、运用比例性质 提分秘籍 1.细心地发掘概念和公式 很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：

一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。例如，在代数式的概念（用字母或数字表示的式子是代数式）中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。 二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。这样就不能很好地将学到的知识点与解题联系起来。 三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢？ 我们的建议是：更细心一点（观察特例），更深入一点（了解它在题目中的常见考点），更熟练一点（无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如）。 2.总结相似类型的题目 这个工作，不仅仅是老师的事，我们的同学要学会自己做。 当你会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，你才真正的掌握了这门学科的窍门，才能真正的做到“任它千变万化，我自岿然不动”。 这个问题如果解决不好，在进入初二、初三以后，同学们会发现，有一部分同学天天做题，可成绩不升反降。 其原因就是，他们天天都在做重复的工作，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之，不会的题目还是不会，会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握，弄得一团糟。 我们的建议是：“总结归纳”是将题目越做越少的最好办法。 3.收集自己的典型错误和不会的题目 同学们最难面对的，就是自己的错误和困难。但这恰恰又是最需要解决的问题。同学们做题目，有两个重要的目的：

初高中数学教材衔接的必要性与措施

初高中数学教材衔接的必要性与措施 仙桃中学高一数学组整理黄茂斌 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。仙桃市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：

高中数学与初中数学怎么衔接

高中数学与初中数学怎么衔接数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的基本公式，熟练运用，才能解考试过程中的各种题型。 一、初中数学与高中数学的差异 1、知识差异初高中数学有很多衔接知识点，如四种命题、函数概念等。因此，在讲授新知识时，教师要引导学生联系旧知识，复习和区别旧知识，特别注重对那些易错易混的知识加以分析、比较，从而达到温故而知新的效果。例如，在学习一元二次不等式解法时，教师应引导学生回顾在初中已学过的一元二次方程和二次函数的有关知识，为学习一元二次不等式的解法做好必要的铺垫，如：根的判别式，求根公式，根与系数的关系(即韦达定理)，二次函数的图像等等。 初中数学知识少、浅、难度容易、知识面窄。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善。如：初中学习的角的概念只是0度180度范围内的，但实际当中也有720度和负300度等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积;还将学习排列组合知识，以便解决排队方法种数等问题。如：①三个人排成一行，有几种排队方法，( =6种);②四人进行乒乓球双打比赛，有几种

比赛场次?(答：=3种)高中将学习统计这些排列的数学方法。初中一个负数开平方无意义，但在高中规定了=-1,就使-1的平方根为i。即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。 2、学习方法的差异(1)初中课堂教学量小、知识简单，通过教师课堂教慢的速度，争取让全面同学理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解，直到学生掌握。而高中数学的学习随着课程开设多(有九们课学生同时学习)，每天至少上六节课，自习时间三节课，这样各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相对比初中少，数学教师将像初中那样监督每个学生的作业和课外练习，就能达到像初中那样把知识让每个学生掌握后再进行新课。(2)模仿与创新的区别初中学生模仿做题，他们模仿老师思维推理较多，而高中学生有模仿做题和推理思维，但随着知识的难度大和知识面广泛，学生不能全部模仿，即就是学生全部模仿训练做题，也不能开拓学生自我思维能力，学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。初中学生大量地模仿使学生带来了不利的思维定势，