第3讲实际问题与一元二次方程
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础偏上
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们重点学习根与系数的关系以及一元二次方程在实际问题中的应用，能够熟练使用根与系数的关系进行代数式的求解，对常见的一元二次方程的应用有一定的了解，本节课的难点在于实际问题中的一元二次方程的构造，是中学阶段关于应用题部分常考的一个知识点，希望同学们认真学习，为后面的二次函数的学习奠定良好的基础。
知识梳理
讲解用时：25分钟
根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况，
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
△当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
△当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立。
课堂精讲精练
【例题1】
已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=。
【答案】﹣1
【解析】本题主要考查了根与系数的关系，
△x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，
△﹣n=﹣2，即n=2，△x1x2=n﹣3=2﹣3=﹣1．
讲解用时：2分钟
解题思路：利用根与系数的关系求出n的值，再利用利用根与系数的关系求出两根之积即可。
教学建议：熟练运用根与系数的关系。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：潜江模拟年份：2018 【练习1】
设x1、x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，则x12+x1x2+x2-2=。
【答案】﹣1
【解析】本题主要考查了根与系数的关系，
△x1、x2是方程x2﹣x﹣2017=0的两实数根，
△x12﹣x1﹣2017=0，x1+x2=1，x1?x2=﹣2017，
△x12=x1+2017，
△x12+x1x2+x2﹣2
=x1+2017+x1x2+x2﹣2
=x1+x2+x1x2+2015
=1﹣2017+2015
=﹣1．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据一元二次方程的解的定义得到：x 12=x 1+2017，结合根与系数的关系得出与系数的关系得出x 1+x 2=a b ，x 1?x 2=a
c ，代入求出即可。 教学建议：利用根与系数的关系代入相关数值。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：成都模拟 年份：2018
【例题2】
已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数是 %，按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为 万台。
【答案】10、146.41
【解析】本题考查利用一元二次方程处理增长率问题，
设年平均增长率为x ，依题意列得100（1+x ）2=121，
解方程得x 1=0.1=10%，x 2=﹣2.1（舍去），
所以第4年该工厂的年产量应为121（1+10%）2=146.41万台.
讲解用时：5分钟
解题思路：根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x ，则第一年的常量是100（1+x ），第二年的产量是100（1+x ）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量。
教学建议：找到等量关系准确的列出方程。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：南开区模拟 年份：2018
【练习2】
某种品牌手机经过4，5月份连续两次降价，每部售价由5000降到3600元，且5月份降价的百分率是4月份降价的百分率的2倍，设4月份降价的百分率为x ，根据题意可列方程： （不解方程）。
【答案】5000（1﹣x ）（1﹣2x ）=3600
【解析】本题考查利用一元二次方程处理增长率问题，
设4月份降价的百分率为x ，则5月份降价的百分率为2x ，
根据题意，得：5000（1﹣x ）（1﹣2x ）=3600。
讲解用时：3分钟
解题思路：设4月份降价的百分率为x ，则5月份降价的百分率为2x ，根据某件商品原价5000元，经过两次降价后，售价为3600元，可列方程。
教学建议：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b 。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：苍南县一模 年份：2018
【例题3】
一个三位数，百位上的数字比十位数字大1，个位数字比十位数字小1，且个位数字和十位数字的平方和比百位数字大2，求这个三位数。
【答案】321
【解析】本题考查利用一元二次方程处理数字问题，
设这个三位数十位为x ，则百位为1x +，个位为1x -，
依题意可得()()2
2112x x x -+-+=，
整理得22320x x --=，解得112x =-（舍），22x =，则百位与个位分别为3和1， 即这个三位数为321．
讲解用时：5分钟
解题思路：通过设未知数分别表示出每位数字，再根据题意列出等式求解即可。 教学建议：设未知数分别表示出每位数字。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：临洮县期末 年份：2017秋 【练习3】
有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的2倍多5，求这个两位数。
【答案】85
【解析】本题考查利用一元二次方程处理数字问题，
设这个两位数个位为x ，则十位为3x +，
依题意可得：()()103235x x x x ++-+=????，
整理得225250x x --=，解得：152
x =-（舍），25x =，即得这个两位数为85． 讲解用时：3分钟
解题思路：通过设未知数分别表示出每位数字，再根据题意列出等式求解即可。 教学建议：设未知数分别表示出每位数字。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：汶上县二模 年份：2018 【例题4】
如图，是一个长为30m ，宽为20m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为 米。
【答案】1
【解析】本题考查了利用一元二次方程处理几何面积问题，
设小道进出口的宽度为x 米，依题意得（30﹣2x ）（20﹣x ）=532，
整理，得x 2﹣35x+34=0，解得，x 1=1，x 2=34，
△34＞30（不合题意，舍去），△x=1．
讲解用时：5分钟
解题思路：设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可。
教学建议：表示出剩余的空地的长和宽是解决本题的关键。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：定陶县期末 年份：2017秋
【练习4】
如图，某小区有一块长为30m ，宽为24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m 。
【答案】2
【解析】本题考查了利用一元二次方程处理几何面积问题，
设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x ）m ，宽为（24
﹣2x ）m ，
由已知得：（30﹣3x ）?（24﹣2x ）=480，整理得：x 2﹣22x+40=0，
解得：x 1=2，x 2=20，
当x=20时，30﹣3x=﹣30，24﹣2x=﹣16，不符合题意舍去，即x=2． 讲解用时：5分钟
解题思路：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x ）m ，宽为（24﹣2x ）m ，根据矩形绿地的面积为480m 2，即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出x 的值。
教学建议：注意实际问题需要验根。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：平阳县期末 年份：2017秋
【例题5】
一次会议上，每两个参加会议的人都互相握手一次，有人统计一共是握了66次手，则这次会议到会人数是 人。
【答案】12
【解析】此题考查了利用一元二次方程处理循环（如握手、球赛）问题， 设参加会议有x 人，依题意得：2
1x （x ﹣1）=66， 整理得：x 2﹣x ﹣132=0，解得x 1=12，x 2=﹣11，（舍去）．
讲解用时：5分钟
解题思路：设参加会议有x 人，每个人都与其他（x ﹣1）人握手，共握手次数为2
1x （x ﹣1），根据题意列方程。 教学建议：注意计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为2
1x （x ﹣1），而x 个人互赠明信片时，每两个人之间有两张明信片，故明信片共有x （x ﹣1）张。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：和平区期末 年份：2017秋
【练习5】
甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔
离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
【答案】2、2187
【解析】本题考查了利用一元二次方程处理传播问题，
设每天传染中平均一个人传染了x个人，
1+x+x（x+1）=9，解得x=2或x=﹣4（舍去），
∴每天传染中平均一个人传染了2个人，
9+18=27，
27+27×2=81，
81+81×2=243，
243+243×2=729，
729+729×2=2187．
故5天后共有2187人得病.
讲解用时：8分钟
解题思路：设每天传染中平均一个人传染了x个人，根据某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，可列方程求解，然后再求出5天后的患甲型H1N1流感的人数。
教学建议：注意传播问题与握手问题的区别。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：潮南区一模年份：2018 【例题6】
已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2=0，
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x2+mx+m﹣2=0的两个实数根为x1，x2，若y=x12+x22+4x1x2，求出y与m的函数关系式。
【答案】（1）证明：△△=m2-4（m-2）=（m-2）2+4＞0，
△无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根。
（2）y=m2+2m-4
【解析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，
（1）证明：△△=m 2-4（m -2）=（m -2）2+4＞0，
△无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：设x 2+mx+m ﹣2=0的两个实数根为x 1、x 2，
△x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣2，
△y=x 12+x 22+4x 1x 2=（x 1+x 2）2+2x 1x 2=（﹣m ）2+2（m ﹣2）=m 2+2m -4． 讲解用时：8分钟
解题思路：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（m ﹣2）2+4＞0，进而即可证出：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣m 、x 1x 2=m ﹣2，将其代入y=x 12+x 22+4x 1x 2=（x 1+x 2）2+2x 1x 2中即可找出y 与m 的函数关系式。
教学建议：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出x 1+x 2=-m 、x 1x 2=m -2。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：如东县一模 年份：2018
【练习6】
已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k ，使（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）=23-
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；
（2）求使1
221x x x x +﹣2的值为整数的实数k 的整数值； （3）若k=﹣2，λ=
21x x ，试求λ的值． 【答案】（1）不存在；（2）﹣2，﹣3或﹣5；（3）3±3
【解析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系， （1）△x 1、x 2是一元二次方程4kx 2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，
△x 1+x 2=1，x 1x 2=k
k 41+， △（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）
=2x 12﹣4x 1x 2﹣x 1x 2+2x 22
=2（x 1+x 2）2﹣9x 1x 2
=2×12﹣9×
k k 41+=2﹣k
k 4)1(9+， 若2﹣k k 4)1(9+=﹣23成立，解上述方程得，k=59， △△=16k 2﹣4×4k （k+1）=﹣16k ＞0，△k ＜0， △k=5
9，△矛盾，△不存在这样k 的值； （2）原式=2212221-+x x x x =22)(2
121221--+x x x x x x =14+-k ， △k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4
解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．
△k ＜0，△k=﹣2，﹣3或﹣5；
（3）△k=﹣2，λ=21x x ，x 1+x 2=1，△λx 2+x 2=1，x 2=，x 1=，
△x 1x 2==，△=，△λ=3±3．
讲解用时：15分钟
解题思路：（1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x 1+x 2=1，x 1x 2=，然后把x 1+x 2、x 1x 2代入（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）=﹣中，进而可求k
的值；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得
=﹣，根据的值为整数，以及k 的范围即可确定k 的取值；（3）由k=﹣2，λ=
，x 1+x 2=1，得到x 2=，x 1=，然后根据x 1x 2==，代入即可得到结果。 教学建议：注意数值的正负不等号的变化关系以及完全平方公式的使用。 难度：5 适应场景：当堂练习 例题来源：井研县模拟 年份：2018
【例题7】
某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销
售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律。
（1）求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元。
【答案】（1）y=﹣2x+280；（2）95元或125元
【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，
（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把（90，100），（100，80）代入y=kx+b得，
，解得，，
y与销售单价x之间的函数关系式为y=﹣2x+280．
（2）根据题意得：w=（x﹣80）（﹣2x+280）=﹣2x2+440x﹣22400=1350，
解得（x﹣110）2=225，解得x1=95，x2=125，
答：销售单价为95元或125元．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）设函数解析式为y=kx+b，将（90，100），（100，80）代入y=kx+b 即可；（2）每千克利润乘以销售量即为总利润；根据某月获得的利润等于1350元，求出x的值即可。
教学建议：（1）找准点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程。
难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：雅安期末年份：2017秋【练习7】
七中育才初2017届某班作文集准备在周边学校进行销售，试销售成本为每本20元，班级规定试销售期间的售价不低于成本价，也不高于每本40元，经试销售发现，销售量y（本数）与销售单价x（元）之间符合一次函数关系，下图是y 与x的函数图象。
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值
范围；
（2）为了销售利润要达到520元，并且要将制作班级作文征集活动在周边学校进行推广（让了解的人越多越好），此时销售价应该定为多少元？
【答案】（1）y=﹣20x+700（20≤x≤35）；（2）22元
【解析】此题考查了一元二次方程的应用及一次函数的应用的知识，
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（20，300）、（21，280）代入y=kx+b，
，解得：，
△y与x之间的函数关系式为y=﹣20x+700（20≤x≤35）．
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣20x+700）=520，
整理，得：x2﹣55x+726=0，解得：x1=22，x2=33，
△要将制作班级作文征集活动在周边学校进行推广（让了解的人越多越好），
△x=22，故此时销售价应该定为22元．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式，再找出y=0时x的值，由此可确定x的取值范围；
（2）根据利润=单本利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由销售数量越多越好可确定x的值，此题得解。
教学建议：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：金堂县期末年份：2017秋【例题8】
如图，在△ABC中，△ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q
分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度
为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，求△PBQ
的面积为15cm2时运动了多久？
【答案】3秒钟
【解析】此题考查了利用一元二次方程处理几何类问题中的动点问题，
设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t=15，解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．讲解用时：8分钟
解题思路：设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答。
教学建议：首先要明确动点运动的路线、速度、时间，根据路程=时间×速度表示行动的路程，再利用已知条件列等式解决问题。
难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：龙岗区期末年份：2017秋【练习8】
如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形。
【答案】（1）；（2）x=2或4
【解析】此题考查了利用一元二次方程处理几何类问题中的动点问题，
（1）△P，N重合，△2x+x2=20，
△，（舍去），△当时，P，N重合；
（2）因为当N点到达A点时，x=2，此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧，
△当点P在点N的左侧时，依题意得
20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2，
即当x=2时四边形PQMN是平行四边形；
△当点P在点N的右侧时，依题意得
20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=﹣10（舍去），x2=4，
即当x=4时四边形NQMP是平行四边形，
所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
讲解用时：15分钟
解题思路：（1）由于若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2=20，解这个方程即可求出x的值；
（2）由于当N点到达A点时，x=2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q 只能在点M的左侧。
以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况：
△当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可；
△当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可
教学建议：第（2）问注意分类讨论。
难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：新泰市期中年份：2018
课后作业
【作业1】
若一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22-x1?x2的值是。
【答案】15
【解析】本题主要考查根与系数的关系，
△一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根为x1，x2，
△x1+x2=3，x1?x2=-2，
△x12+x22-x1?x2=（x1+x2）2-3x1x2=32-3×（-2）=15，
讲解用时：5分钟
难度：3 适应场景：练习题例题来源：南昌一模年份：2018
【作业2】
2015年某市曾爆发登革热疫情，登革热是一种传染性病毒，在病毒传播中，若1个人患病，則经过两轮传染就共有144人患病。
（1）毎轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，按照这样的传染速度，三轮传染后，患病的人数共有多少人？
【答案】（1）11；（2）1728
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，
由题意，得1+x+x（x+1）=144，解得x=11或x=﹣13（舍去）
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人；
（2）144+144×11=1728（人）
答：三轮传染后，患病的人数共有1728人．
讲解用时：8分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：乐昌市期末年份：2017秋
【作业3】
某商场以45元/件的价格购进800件T恤，第一个月以75元/件售出了200件；第二个月若单价不变，预计仍可售出200件，为增加销售量，商场决定降价销售，经市场信息知，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于进价；第二个月后，商场将对剩下的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个
月单价降低了x元．
（1）填写表（不需化简）：
时间第一个月第二个月清仓时单价（元）7540
销售量（件）200
（2）如果商场在此批次销售中要获利9000元，那么第二个月的售价应是多少？【答案】（1）
时间第一个月第二个月清仓时单价（元）7575-x40
销售量（件）200200+10x800-200-（200+10x）
（2）55元
【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，
（1）设第二个月单价降低了x元，则第二个月的售价为（75-x）元，第二个月可销售T恤（200+10x）件，剩余T恤[800-200-（200+10x）]件，
故答案为：75-x；200+10x；800-200-（200+10x）．
（3）根据题意得：
75×200+（75-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）]-45×800=9000，
整理得：x2﹣15x﹣100=0，解得：x1=﹣5（不合题意，舍去），x2=20，
△75﹣x=75﹣20=55．
答：第二个月的售价应是55元．
讲解用时：15分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：安庆期中年份：2018