阶段检测(二)
数学试卷
一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,两个都选对但不全的得2分,有选错或只选一个或不选的不得分. 1. 命题“0x ?>,20x x +≥”的否定是( )
A .0x ?>,20x x +<
B .0x ?>,20x x +≤
C .00x ?>,2000x x +<
D .00x ?>,2000x x +≤
2. 在△ABC 中,AC =3,AB =4,BC =6,则△ABC 的最大内角的余弦值为( )
A .4348
B .14-
C .712-
D .1124-
3. 若{}n a 是首项为1的等比数列,则“
8
6
9a a >”是“23a >”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 4. 已知函数()11f x x +=,则()
12
f '-=( )
A .4
B .1
C .-4
D .14
-
5. 若数列{}n a 的通项公式是()()132n
n a n --=,则1210a a a ++
+=( )
A .15
B .12
C .-12
D .-15
6. 已知椭圆22195
y x +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是( ) A 15 B 3 C .3 D .2
7. 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -,()5,6,2B -,()1,3,1C -,则AC 边上的高BD 等于( )
A .5
B 41
C .4
D .58. 直三棱柱111ABC A B C -中,∠BCA =90°,M ,N 分别是11A B ,11A C 的中点,BC =CA =1CC ,
则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A .110
B .25
C 30
D 2
9. 已知1F 、2F 是双曲线C :22221y x a b
-=(a >0,b >0)的左、右焦点,若直线3y x =与双
曲线C 在第一象限交于点P ,过P 向x 轴作垂线,垂足为D ,且D 为2OF (O 为坐标原点)的中点,则该双曲线离心率为( )
A 2
B 3
C 21
D 31
10.设函数()m f x x ax +=的导数为()21f x x '+=,则数列()1f n ??
????
(n *∈N )的前n 项和是
( )
A .1n n +
B .21n n ++
C .1n n -
D .1n n +
11.下列结论正确的是( )
A .若22a b >,则11a b <
B .若x >0,则44x x
+≥
C .若a >b >0,则lg lg a b >
D .若ab >0,a +b =1,则114a b
+≥
12.在正方体1111ABCD A B C D -中,下列直线或平面与平面1ACD 平行的是( )
A .直线1A
B B .直线1BB
C .平面11A DC
D .平面11A BC
13.若函数()e 1x f x -=与()g x ax =的图象恰有一个公共点,则实数a 可能取值为( )
A .2
B .0
C .1
D .-1
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡中的横线上. 14.若0<x <1,则181x x
+-的最小值为 ▲ .
15.设函数()e ln x f x a b x +=,且()1e f '=,()11e
f '-=,则a +b = ▲ .
16.已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA =PB =PC =2,则三棱
锥P -ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ .
17.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,
上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则自上而下的第1节的容积为 ▲ ,这9节竹子的总容积为 ▲ .
三、解答题:本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分12分)
已知命题p :“11x ?-≤≤,不等式20x x m --<成立”是真命题. (1)求实数m 的取值范围;
(2)若q :-4<m -a <4是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.
19.(本小题满分12分)
设函数()1f x ax x b ++=(a ,b ∈Z ),曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为y =3.
(1)求()f x 的解析式;
(2)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.
20.(本小题满分14分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且231n n S a -=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若()()
1311n
n n n b a a +++=,求{}n b 的前n 项和n T ,并比较n T 与1316的大小.
21.(本小题满分14分)
A
B
()C H
()D G
E
F
图1
B
C
D
E
F
H
G
A
图2
图1是由菱形ABCD ,平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形,其中2AB =BE =EH =1,π3ABC ∠=,π4ABE ∠=,将其沿AB ,EF 折起使得CD 与HG 重合,如图2.
(1)证明:图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ; (2)求图2中点F 到平面BCE 的距离; (3)求图2中二面角E -AB -C 的余弦值.
22.(本小题满分15分)
已知抛物线C :22x py =(0<p <2)的焦点为F ,()02,M y 是C 上的一点,且52
MF =.
(1)求C 的方程;
(2)直线l 交C 于A 、B 两点,2OA OB k k ?-=且△OAB 的面积为16,求直线l 的方程.
23.(本小题满分15分)
已知椭圆C :22214y x a
+=(a >2),直线l :y =kx +1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ,B 两点,
D 为AB 的中点(O 为坐标原点).
-,求椭圆C的方程;
(1)若直线l与直线OD的斜率之积为12
(2)在(1)的条件下,y轴上是否存在定点M,使得当k变化时,总有AMO BMO
=.若
∠∠
存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.
高二数学试卷
一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,两个都选对但不全的得2分,有选错或只选一个或不选的不得分.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】BCD
12.【答案】AD
13.【答案】BCD
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡中的横线上.14.【答案】942
+
15.【答案】1
16.【答案】
) 331
2
+
17.【答案】13
22升201
22
升
三、解答题:本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)
【答案】
19.(本小题满分12分) 【答案】 (1)f ′(x )=a -
1
(x +b )2
, 于是???
2a +12+b
=3,
a -
1
(2+b )2
=0.
解得???
??
a =1,
b =-1,
或???
a =9
4,
b =-8
3.
因为a ,b ∈Z ,故f (x )=x +
1
x -1
. (2)证明:在曲线上任取一点????x 0,x 0+1
x 0-1,
由f ′(x 0)=1-1
(x 0-1)2知,过此点的切线方程为
y -x 20-x 0+1x 0-1=
????1-1(x 0-1)2(x -x 0). 令x =1,得y =x 0+1
x 0-1
,
切线与直线x =1的交点为? ??
?
?1,x 0+1x 0-1;
令y =x ,得y =2x 0-1,
切线与直线y =x 的交点为(2x 0-1,2x 0-1);
直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1),从而所围成的三角形的面积为12??????
x 0+1x 0-1-1|2x 0-1-1|=
12????
2x 0-1|2x 0
-2|=2.
所以所围成的三角形的面积为定值2.
20.(本小题满分14分) 【答案】
21.(本小题满分14分) 【答案】
(1)由题知,在BEC ?中:2
2
2
BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分 又在矩形EFGH 中:EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =
所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为?CE 平面BCE
所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分
(2)由(1)知:⊥CE 平面ABEF ,所以CE AE ⊥ 因为菱形ABCD 中的3
ABC π
∠=
,所以ABC ?为等边三角形,2AC AB ==
,
所以在Rt AEC ?中:2
2
2
||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分 所以在AEB ?中,2
2
2
||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ,且平面 BCE 平面BE ABEF =
所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分 又因为//AF 平面BCE ,所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE =·
································ 9分
(3)以E 为坐标原点,分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由(1)知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =,因为(1,0,1)BA =-,(1,1,0)BC =-
由00
n BA n BC ??=???=??,得???=+-=+-00y x z x ,取1x =得,(1,1,1)n = ············································· 12分
所以||3cos 3||||
m n m n θ?==,即二面角C AB E --的余弦值为3 14分
22.(本小题满分15分)
【答案】
(1)将M (2,y 0)代入x 2=2py 得y 0=, 又|MF |=y 0﹣(﹣)=+=,∴p =1, ∴抛物线的方程为x 2=2y ,-------5分
(2)直l 的斜率显然存在,设直线l :y =kx +b ,A (x 1,y 1)、B (x 2,
)
由得:x 2﹣2kx ﹣2b =0
∴x 1+x 2=2k ,x 1x 2=﹣2b 由,k OA k OB =
?
=
=﹣=﹣2,∴b =4
∴直线方程为:y =kx +4,所以直线恒过定点(0,4), 原点O 到直线l 的距离d =
,
∴S OAB=×d|AB|=×?=
=2=16,
∴4k2+32=64,解得k=±2
所以直线方程为:y=±2x+4.---------14分
23.(本小题满分15分)
【答案】
(1)由得,显然,
设,,,则,,∴,.
∴.
∴. 所以椭圆方程为.-------6分
(2)假设存在定点,且设,由得.
∴. 即,
∴.
由(1)知,,∴. ∴. 所以存在定点使得.------14分