不等式的基本性质
课型：新授课 学习内容：P7—9，不等式的基本性质
学习目标：
1. 经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的
异同；
2. 掌握不等式的基本性质，能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，
发展其代数变形能力。
学习方法：自主探究，合作交流
学习过程：
一. 复习：等式的基本性质1： 2： 二．1）.探索不等式的基本性质：同学们看下面的例子：
∵3＜5
∴3+2＜5+2
3－2＜5－2
3+a ＜5+a
3－a ＜5－a
所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.
［生］∵3＜5
∴3×2＜5×2
3×21＜5×2
1. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.
［生］不对.
如3＜5
3×（－2）＞5×（－2）
所以上面的总结是错的.
［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明.
［生］如3＜4
3×3＜4×3
3×31＜4×3
1 3×（－3）＞4×（－3）
3×（－31）＞4×（－3
1） 3×（－5）＞4×（－5）
由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.
［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导.
总结性质：1：
2：
3：
2）用不等式的基本性质解释 42l ＞16
2
l 的正确性 三．不等式基本性质的应用：
1.请同学们模仿课本例题做课本随堂练习1,
2.和习题1,2.
2. 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：
（1）x －2＜3; （2）6x ＜5x －1; （3）
21x ＞5; （4）－4x ＞3.
3.设a ＞b.用“＜”或“＞”号填空.
（1）a －3 b －3;（2）2a 2
b ;（3）－4a －4b;（4）5a 5b; （5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0;
（7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0.
4.讨论下列式子的正确与错误.
（1）如果a ＜b ，那么a+c ＜b+c;
（2）如果a ＜b ，那么a －c ＜b －c;
（3）如果a ＜b,那么ac ＜bc;
（4）如果a ＜b,且c ≠0,那么
c a ＞c b . 反思与总结：
不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性)
(2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
§1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 （一）教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与 交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.2 A） 第二张：（记作§1.2 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. ［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 ［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. ［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a＜5+a 3－a＜5－a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.
［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3× 21＜5×2 1. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如3＜5 3×（－2）＞5×（－2） 所以上面的总结是错的. ［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如3＜4 3×3＜4×3 3× 31＜4×3 1 3×（－3）＞4×（－3） 3×（－31）＞4×（－3 1 ） 3×（－5）＞4×（－5） 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导. ［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释π42l ＞16 2 l 的正确性 ［师］在上节课中，我们知道周长为l 的圆和正方形，它们的面积分别为π 42 l 和 162l ，且有π42l ＞16 2 l 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？ ［生］∵4π＜16 ∴ π41＞16 1 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2 得 π42l ＞16 2 l 3.例题讲解 将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －5＞－1; （2）－2x ＞3; （3）3x ＜－9. ［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
5.2不等式的基本性质 教学目的: 1．使学生理解不等式的概念，初步掌握不等式的三条基本性质； 2．培养学生对比以及观察、分析问题的能力，并初步领会对比的思想方法． 教学重点： 不等式的三条基本性质． 教学难点： 不等式的基本性质3． 教学过程: 引言：运用对比的方法，引导学生猜想出不等式的三条基本性质，并通过实例加以验证 首先，让学生用“＞”或“＜”号填空： (1)7+3______4+3； (2)7+(-3)______ 4+(-3)； (3)7×3 ______ 4×3； (4)7×(-3)______ 4×(-3)． 然后，启发学生由上面第(1)、(2)小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质．并请学生叙述不等式的基本性质1．此时，教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正．即不能笼统地说“仍是不等式”，要改为书中所说的“不等号的方向不变”．对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质，让学生思考不等式类似的性质．引导学生观察上述第(3)、(4)小题，并将题中的3换成5，-3换成-5，按题中的要求再做一遍，并猜想出结论．然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质2，3．(在观察上述练习题时，引导学生注意不等号的方向，并用彩色粉笔标出来，并问原因是什么？当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时，教师应作适当的引导，启发．并依次板书这几条基本性质)
不等式基本性质： 1．不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 2．不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 3．不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 此时，教师要特别强调不等式基本性质3，并举例：若a ＜b ，c ＜0，则ac ＞bc(或c a ＞c b ) 然后，让学生用不等式-2＜4两边都分别加上5，-6，两边都分别乘以3， -3来验证上述不等式的三条基本性质． 问题：(1)在不等式 -2＜6两边都乘以m 后，结论将会怎样？(当字母m 的取值不明确时，需对m 分情况讨论) (2)比较等式性质与不等式的基本性质的异同． (问这两个问题的目的在于，强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质3的理解) 五、应用举例，变式练习 例1 根据不等式基本性质，把下列等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式： (1)x-2＜3； (2)6x ＜5x-1； 解：(1)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以 x-2+2＜3+2， x ＜5． (2)、(3)、(4)题略． (解题时，要求学生要联想解一元一次方程的思想方法，并将原题与x ＞a 或x ＜a 对照着用哪条基本性质能达到题目要求．同时强调推理的根据，尤其要注意不等式基本性质3和基本性质2的区别，解题书写要规范) 例2 设a ＞b ，用“＜”或“＞”号填空： (3)-4a ______ -4b ； (4)ma ______mb ．(m ≠0) 解：(1)因为a ＞b ，两边都减去3，所以由不等式基本性质1，得
第3页，共3页 第二章不等式 2.1 不等式的基本性质 【夯实基础】 一、选择题 1. 下列结论正确的是( ) A. 若ac
第3章 一元一次不等式 3.2 不等式的基本性质 知识提要 1.不等式的基本性质1：若ab+5 B ．3a>3b C ．-5a>-5b D ．> 2. 如果１－ｘ是负数，那么ｘ的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ＞1 D ．x ＜1 3．已知a 1；①a ＋b ＜ab ；①1a <1b .其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4． 若－a>a ，则a 必是（ ） A ． 正整数 B ． 负整数 C ． 正数 D ． 负数 5．(乐山中考)下列说法中，不一定成立的是( ) A. 若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c B. 若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b C. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 D. 若ac 2＞bc 2，则a ＞b 6．若a ＜4，则关于x 的不等式(a －4)x ＞4－a 的解是( ) A. x ＞－1 B. x ＜－1 C. x ＞1 D. x ＜1 二、填空题 1. 由x ＜y 得到ax ＞ay ，则a 的取值范围是_________ 2. 若a ＜b ＜0，把1，1-a ，1-b 这三个数按由小到大的顺序用“＜”连接起来：______ 3．满足不等式12 x <1的非负整数是 ． 4．填空 ①如果a －b<0，那么a____________b ； ①如果a －b ＝0，那么a____________b ； ①如果a －b>0，那么a___________b ； 三、解答题
2.1.2等式性质与不等式的性质 1. 已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是() A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 2. 给出下列命题： ①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；③a>b?b a<1；④a>b? 1 a< 1 b. 其中正确的命题个数是() A．0B．1 C．2 D．3 3. 若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是() A．－2<α－β＜0B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 4. 若a>b>0，c
＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >c B ．b >c >d >a C ．d >b >c >a D ．c >a >d >b 7．已知a >0，b >0，c >0，若 c a ＋b ><，则mb _____ma ， b m a m --_____b a (用>，<填空). 10．已知若a >b > c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 0.(填“>”“<”或“＝”) 11.已知12,36a b ≤≤≤≤，则32a b -的取值范围为_____． 12．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是 . 13.对于实数a ，b ，c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac
高中数学 不等式的基本性质 习题 1．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，则必有( )． A ．a ≤0 B ．a ＞0 C ．b ＝0 D ．c ＞0 2．若a ＜1，b ＞1，那么下列命题中正确的是( )． A ．11a b > B ．1b a > C ．a 2＜b 2 D ．ab ＜a ＋b －1 3．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )． A ．11a b < B ．11a b > C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 4．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，则3a －2b 的取值范围是( )． A ． B ． C ． D ． 5．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( )． A ．2a a a b b > > B ．2a a a b b >> C ． 2a a a b b >> D ．2a a a b b >> 6．已知－3＜b ＜a ＜－1，－2＜c ＜－1，则(a －b )c 2的取值范围是__________． 7．若a ，b ∈R ，且a 2b 2＋a 2＋5＞2ab ＋4a ，则a ，b 应满足的条件是__________． 8．设a ＞b ＞c ＞0，22()x a b c =++，22()y b c a =++，22()z c a b =++，则x ，y ，z 之间的大小关系是__________． 9．某次数学测验，共有16道题，答对一题得6分，答错一题倒扣2分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上列出其中的不等关系． 10．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较33S a 与55 S a 的大小．
【课堂例题】 例1.利用性质1和性质2证明： (1)如果a b c +>，那么a c b >-； (2)如果,a b c d >>，那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明： 如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明： 如果0a b >>，那么110a b < <.
【知识再现】 1.不等式性质的基础： a b >? ；a b =? ；a b >，则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >，则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>，则 ; 若,0a b c ><，则 . 3.几条比较有用的推论： 性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>，则 ； 性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>，则 ； 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>，则 ； 性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>，则 *()n N ∈； 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>，则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系： (1)a 是非负实数， ; (2)实数a 小于3，但不小于2-， ； (3)a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9， . 2.判断下列语句是否正确，并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >，则a b c c >；( ) (2)若ac bc <，则a b <；( ) (3)若a b <，则1 1 a b <； ( ) (4)若22ac bc >，则a b >；( ) (5)若a b >，则n n a b >；( ) (6)若0,0a b c d >>>>，则a b c d >；( ) 3.用“>”或“<”号填空： (1)若a b >，则a - b -; (2)若0,0a b >>，则b a 1b a +； (3)若,0a b c >>，则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><，则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><，则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >，那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>，那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈，使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 .
2．2 《不等式的基本性质》练习题 一、选择题（每题4分，共32分） 1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（ ） A 、m －9＜n －9 B 、－m ＞－n C 、1 1 n m > D 、1m n > 2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ） A 、a ＞b B 、ab ＞0 C 、0a b < D 、－a ＞－b 3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜b a ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a≤0 B 、a ＜0 C 、a≥0 D 、a ＞0 4、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ） A 、a ＋t ＞a B 、a ＋t ＜a C 、a ＋t≥a D 、不能确定 5、如果34a a <--，则a 必须满足（ ） A 、a≠0 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a 为任意数 6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ） a 0b c A 、cb ＞ab B 、ac ＞ab C 、cb ＜ab D 、c ＋b ＞a ＋b 7、有下列说法： （1）若a ＜b ，则－a ＞－b ； （2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0； （3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0； （4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ； （5）若a ＜b ，则11a b >； （6）若1122x y --<， 则x ＞y 。 其中正确的说法有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、2a 与3a 的大小关系（ ） A 、2a ＜3a B 、2a ＞3a C 、2a ＝3a D 、不能确定 二、填空题（每题4分，共32分） 9、若m ＜n ，比较下列各式的大小： （1）m －3______n －3 （2）－5m______－5n
9.1.2 不等式的性质（二） ◆回顾归纳 1．如果a>b ，并且c<0，那么ac____bc ，或a c ____b c ，即不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向______． 2．符号“≤”和“≥”分别比“<”和“>”各多了一层相等的含义，?它们是_____号比_____号的合写形式，?通常把用符号“≤”和“≥”表示大小关系的式子，也称为______式． ◆课堂测控 知识点一 不等式的性质3 1．若- 32 m n >-，则2m______3n ． 2．若a>b ，则b_____0时，abab ． 3．若-23x+5>-2 3 y+5，则x______y ． 4．不等式mx-2<3x+4的解集是x>6 3 m -，则m 的取值范围是_______． 5．下列说法中，错误的是（ ） A ．如果ab ，c>0，那么ac>bc C ．如果a D ．如果a>b ，c<0，那么-a c <-b c 6．若a<0，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．3a<2a B ．a-3
据不等式的性质_______，将不等式的两边同时_______．其中有错误的一步是步骤_______．本题正确的结论是_____． 知识点二含“≥”或“≤”的不等式 8．若x为非负整数，则-1≤32 5 x 的解集是______． 9．下列说法不正确的是（） A．不等式-x≤1的解集是x≥1 B．不等式-1 2 x>-2的解集是x<4 C．不等式2（x-1）≤3的解集是x≤2.5 D．不等式1≤x的解集是x≥1 10．（经典题）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券．（?奖券购物不再享受优惠） 根据上述促销方法，顾客在该商场的购物可获得双重优惠，如果李老师在该商场购标价为450元的商品，他获得的优惠额为多少元？ ◆课后测控 1．满足x-9<3x-3的最大负整数解是_______． 2．若│2a+3│>2a+3，则有理数a的取值范围是______． 3．关于x的不等式3x-2a≤-2的解集是x≤-1，则a的值是_____． 4．不等式21-5x>4的正整数解的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若点P（3a-2，2b-3）在第二象限，则（） A．a>2 3 ，b> 3 2 B．a> 2 3 ，b< 3 2 C．a< 2 3 ，b> 3 2 D．a< 2 3 ，b< 3 2 6．利用不等式的性质解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． （1）3 4 x-1<5 （2）-3x+2≤10
不等式的基本性质 一、教材分析 【教材的地位和作用】 不等式的基本性质是中职数学的主要内容之一，在中职数学中占着重要地位。它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，有着重要的实际意义。同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容，起到重要的奠基作用。 【教学结构】 课本建议教学时间为约一课时。针对所带学生的特点，为使学生更好地理解性质、深化知识探究过程，将课时调整为2节。第一节：集中探索不等式的三个基本性质并作简单应用；第二节：不等式的基本性质的运用，处理例题和习题。本稿为第一节。 根据课程标准，我将教学重难点确定如下： 【教学重难点】 教学重点：不等式的三条基本性质及其应用。 教学难点：不等式的基本性质3的探索与运用。 二、【学情分析】 基础能力：数学基础知识相对薄弱，学习目标也不明确，但是具备一定的观察动手能力。 认知现状：通过初中的学习，学生对不等式的性质多多少少有所理解，并且通过上节课的学习，已初步掌握应用作差比较法比较两个实数及两个代数式 的大小。 情感特点：学习兴趣淡薄, 缺乏自信及成功的体验， 有好奇心，愿意尝试新事物及联系生活 三、教学目标 根据上述对教材内容的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，我确定以下教学目标。 【教学目标】 知识与技能：1.掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题；2.进一步掌握应用作差比较法比较实 数的大小。 过程与方法：通过观察、操作、猜想、探究等合情推理活动，归纳出不等式的基本性质，体验数学发现和创造的历程。 情感、态度价值观：通过教学，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质。
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 2．不等式的基本性质 一、学生知识状况分析 本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上，开始研究简单的不等关系。学生已经掌握等式的基本性质，同时经历了解一元一次方程、二元一次方程组的研究过程及方法，为进一步学习不等式的基本性质奠定了基础。学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质。 二、教学任务分析 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。 本节课教学目标： （1）知识与技能目标： ①经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 ②掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。 （2）过程与方法目标： ①能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。 ②通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法。 ③进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。 （3）情感与态度目标： ①通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。
②尊重学生的个体差异，关注学生对问题的实质性认识与理解。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：情景引入，提出问题；第二环节：活动探究，验证明确结论；第三环节：例题讲解及运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。 第一环节：情景引入，提出问题 活动内容：利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平？ 活动目的：让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时，比较才是公平的，高的同学仍然高，矮的同学仍然矮，这是不可能改变的事实。 活动实际效果：学生对能自己参与的活动很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。 第二环节：活动探究，验证明确结论 活动内容：参照教材与多媒体课件提出问题： （1）还记得等式的基本性质吗？请用字母表示它。不等式有类似的性质吗？先猜一猜。 （2）用等号或不等号完成下面的填空。 如果2 < 3；那么 2 × 5 3 × 5； 2 × 3 ×； 2 × (-1) 3 × (- 1)； 2 × (- 5) 3 × (- 5)； 2 × (-) 3 × (-). （3）验证你的结论，用字母表示你所发现的结论。 （4）与同伴交流你的结论，并展示。
第二单元 第2课时不等式的性质 一、选择题 1．已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a+3＞b+3 B ．2a ＞2b C ．-a ＜-b D ．a-b ＜0 2．下列不等式中，一定成立的有( ). ①5＞-2；②21a >；③x+3＞2；④a +1≥1；⑤22 (1)(1)0a b ++>． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3．若a ＜b ，则下列不等式：①111122 a b -+<-+；②5151a b -+<-+； ③22a b --<--．其中成立的有( ). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 4.已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b
8.如果x
不等式的性质（二） 第二课时教学目标1．理解同向不等式，异向不等式概念； 2．掌握并会证明定理1，2，3； 3．理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据； 4．初步理解证明不等式的逻辑推理方法.教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法教学方法：引导式教学过程一、复习回顾上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要根据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此，我们来作一下回顾：这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质.二、讲授新课在证明不等式的性质之前,我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念. 1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：是同向不等式. 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：是异向不等式. 2．不等式的性质：定理1：若，则定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.证明：∵，∴由正数的相反数是
负数，得说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.定理2：若，且，则.证明：∵∴根据两个正数的和仍是正数，得∴说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.定理3：若，则定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.证明：∵∴说明：（1）定理3的证明相当于比较与的大小，采用的是求差比较法；（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若，则即. 定理3推论：若.证明:∵,∴①∵∴②由①、②得说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）三、课堂练习1．证明定理1后半部分；2．证明定理3的逆定理.说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.课堂小结通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.课
不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b
（３）若a
第二节不等式的基本性质 1.2不等式的基本性质—目标导引 1.历经不等式基本性质探索，进一步体会不等式与等式的区别. 2.掌握并能灵活运用不等式的基本性质 1.2不等式的基本性质—内容全解 1.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向. 2.等式性质与不等式性质的区别 其最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 第二课时 ●课题 §1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 （一）教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简.
●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.2 A ） 第二张：（记作§1.2 B ） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. ［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 ［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. ［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. ［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3×21＜5×2 1. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如3＜5 3×（－2）＞5×（－2） 所以上面的总结是错的. ［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如3＜4 3×3＜4×3
9.1.2不等式的性质（第2课时） 教学目标： （1）能运用不等式的性质对不等式进行变形和解简单的不等式.（2）知道符号“≥”和“≤”的意义及在数轴上表示不等式的解集时实心圆点与空心圆点的区别. 教学重、难点： 重点：不等式性质的运用. 难点：不等式的解集在数轴上的表示方法. 一、复习引入： 不等式具有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示. 二、讲授新课： 1、利用不等式的性质解不等式 例1利用不等式的性质解下列不等式 （1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1 （3）x＞50 （4）-4x＞3 分析：解不等式，就是借助不等式的性质使不等式逐步化为x>a或x 根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以：3x-2x＜2x+1-2x x＜1 第（3）（4）题由学生独立完成，老师纠错 2、在表示两个数量大小关系时，我们会经常用到像a≥b或a≤b这样的式子，如一天内的温度变化t≥19℃且t≤28℃. 三、当堂训练： 1.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示出来. （1）x+5＞-1；（2）4x＜3x-5； （3）3x＜-4 ；（4）-8x＞10 . 2.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集 （1）x的3倍大于或等于1； （2）x与3的和不小于6； （3）y与1的差不大于0； （4）y的1 4小于或等于-2. 四、归纳总结： （1）如何利用不等式的性质解简单不等式？（2）依据不等式性质3解不等式时应注意什么？（3）请说明符号“≥”和“≤”的含义？ 五、布置作业： 教科书习题9.1 第5、7、8题
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