突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍
函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段。本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法,期望对考生的备考有所帮助。 一、函数与方程关系的应用
函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)=0的解就是函数y =f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y =f(x)也可以看作二元方程f(x)-y =0通过方程进行研究。就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点。
【例1】已知函数???≥-<+--=)
0)(1()
0(2)(2x x f x a x x x f ,且函数x x f y -=)(恰有3个不同的零点,则实数a 的取
值范围是__________________________.
【分析】根据题中所给函数的特征:一段为二次函数;另一段与之相关,所求函数的零点可转化为对应方程的根,即:令0y =,()f x x =,从而可转化为两函数图象的交点,两函数的图象何时有三个交点,则可求出a 的范围。
【点评】本题考查了函数的零点、方程的根以及函数图像与x 轴的交点之间存在相互转化关系。主要考察
学生对方程的根与函数零点关系的理解,以及利用函数图象确定函数零点的个数的方法。求零点问题也可转化为方程的根,进而将问题转化为两个函数的交点的情况。
【小试牛刀】已知函数1
1,1
()10ln 1,1
x x f x x x ?+≤?=??->?,则方程()f x ax =恰有两个不同实数根时,实数a 的取值范
围是__________________. 【答案】2
11
(1,0][
,)10e -
二、函数与不等式关系的应用
函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的。函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分。在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y =f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用。
【例2】已知函数21
3
,1()log , 1x x x f x x x ?-+≤?
=?>?? ,()|||1|g x x k x =-+-,若对任意的12,R x x ∈,都有
12()()f x g x ≤成立,则实数k 的取值范围为 .
【分析】根据题中条件:对任意的12,R x x ∈,都有12()()f x g x ≤成立,将问题转化为max min ()()f x g x ≤。
再由题中所给两函数的特征:函数21
3,1()log , 1x x x f x x x ?-+≤?
=?>??是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数
的最大值max ()f x =
1
4
;而另一个函数()|||1|g x x k x =-+-中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值min ()|1|,g x k =-,即可得到不等式1
|1|4
k -≥,则可求出k 的取值范围。
【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式:≤±≤-||||||b a b a ||||b a +对R b a ∈,是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识。且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视。
【小试牛刀】设函数()|2|f x x ax =--.当0a >时,不等式()20f x a +≥的解集为R ,求实数a 的取值范围为 . 【答案】]1,0(.
三、函数、方程和不等式关系的应用
函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此,要高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视。 【例3】已知函数e ()ln ,()e x
x
f x mx a x m
g x =--=,其中m ,a 均为实数. (1)求()g x 的极值;
(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111
()()()()
f x f x
g x g x -<
-
恒成立,求a 的最小值;
(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x == 成
立,求m 的取值范围.
【分析】(1)求()g x 的极值,就是先求出'()g x ,解方程'()0g x =,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里'()g x 的符号,从而得出极大值或极小值;(2)此总是首先是对不等式
21()()f x f x -<
2111
()()
g x g x -恒成立的转化,由(1)可确定()f x 在[3,4]上是增函数,同样的方法(导数法)可确定函数
1
()
g x 在[3,4]上也是增函数,不妨设21x x >,这样题设绝对值不等式可变为2()f x - 1()f x <
21()g x 11
()
g x -,整理为212111()()()()f x f x g x g x -<-
,由此函数1()()()u x f x g x =-在区间[3,4]上为减函数,则2
1e (1)
()10e x a x u x x x
-'=--?≤在(3,4)上恒成立,要求a 的取值范围.采取分离参数法得11
e e
x x a x x ---+≥恒成立,于是问题转化为求11
e ()e x x v x x x
--=-+在[3,4]上的最大值;(3)由于0x 的任意性,我们可先求出()g x 在(0,]e 上的值域(0,1],题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得1()f t =
2()f t 0()g x =成立”
,转化为函数()f x 在区间(0,]e 上不是单调函数,极值点为2m
(2
0e m <<),其次()1f e ≥,极小值2()0f m ≤,最后还要证明在2
(0,)m
上,存在t ,使()1f t ≥,由此可求出m 的范围.
【解析】(1)e(1)
()e x
x g x -'=
,令()0g x '=,得x = 1. 列表如下:
∵g (1) = 1,∴y =()g x 的极大值为1,无极小值.
设11
e ()e
x x v x x x --=-+
,∵11
2
e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+,x ∈[3,4], ∴1221133
e [()]e 1244
x x --+>>,∴()v x '< 0,()v x 为减函数.
∴()v x 在[3,4]上的最大值为v (3) = 3 -22
e 3.
∴a ≥3 -22e 3,∴a 的最小值为3 -22
e 3
.
【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法:先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值. 【小试牛刀】不等式2
(1)
log a x x -<在(1,2)x ∈内恒成立,实数a 的取值范围为______________.
【答案】
(1,2]
【迁移运用】
1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()2
21,0
,0
x x f x x x x ->?=?
+≤?,若函数()()g x f x m =-有三个零点,则实数m 的取值范围是__________.
【答案】1,04??
- ???
【解析】
试题分析:函数()()g x f x m =-有三个零点,即函数()y f x =的图象与直线y m =有三个交点,作出函数
()y f x =的图象和直线y m =,有三个交点,则必有1
04
m -
<≤.
2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知函数31
1,
,()11,,
x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程
()(1)f x k x =+有两个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 ▲ .
【答案】1
(0,)2
【解析】
3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知()
f x 为定义在R 上的偶函数,当0
x ≥时,
()22
x f x =-,则不等式
()16
f x -≤的解集是 ▲ .
【答案】[]2,4- 【解析】
试题分析:当0x ≥时,()22x f x =-单调递增,又()33226f =-= ()16|1|324f x x x ∴-?-≤?-≤≤≤
4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知函数2
+1, 1,
()(), 1,
a x x f x x a x ?-?=?->??≤ 函数()2()g x f x =-,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则实数a 的取值范围是 ▲ .
【答案】23a <≤ 【解析】
试题分析:()()0()1f x g x f x -=?=,所以要有4个零点,需满足2
1,1+11,
23(1)1,1,a a a a a ?>-≤??<≤?->>??
5. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】定义在R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=,当
()1,4x ∈-时,x x x f 2)(2-=,则函数()f x 在[]0,2016上的零点个数是__________.
【答案】605
6. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】 已知函数()133x x a
f x b +-+=+.
(1) 当1a b ==时,求满足()3x f x =的x 的取值; (2) 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在R t ∈,不等式()()
2222f t t f t k -<-有解,求k 的取值范围;
②若函数()g x 满足()()()
12333
x x
f x
g x -?+=-????,若对任意x R ∈,不等式 (2)()11g x m g x ?-≥恒成立,求实数m 的最大值. 【答案】(1) 1x =- (2) ①()1,-+∞,②6 【解析】
试题解析:(1) 由题意,1
31331
x x
x +-+=+,化简得()2332310x x ?+?-= 解得()1
3133
x x
=-=
舍或 , 所以1x =- ,
(2) 因为()f x 是奇函数,所以()()0f x f x -+=,所以1133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++
化简并变形得:()()
333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立,则30260a b ab -=-=且
解得:11
33a a b b ?==-????
==-???或,因为()f x 的定义域是R ,所以13a b =-??=-?舍去 所以1,3a b ==, 所以()131
33
x x f x +-+=+ ,
①()131********x x x f x +-+??
==-+ ?++??
对任意1212,,x x R x x ∈<有: ()()()()21
12
12
121222333331313131x x x x x x f x f x ??-??
?-=-=
? ?++++??
??
因为12x x <,所以21330x x ->,所以()()12f x f x >, 因此()f x 在R 上递减.
因为()()
22
22f t t f t k -<-,所以2222t t t k ->-,
即220t t k +-<在R t ∈时有解 所以440t ?=+>,解得:1t >-,
所以k 的取值范围为()1,-+∞ .
7. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分14分)已知函数()22
1f x x x kx =-++,且定
义域为()0,2.
(1)求关于x 的方程()3f x kx =+在()0,2上的解;
(2)若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两个的解12,x x ,求k 的取值范围.
【答案】(2)7
12
k -<<-. 【解析】
试题分析:(1)借助题设条件分类探求;(2)借助题设运用方程有解建立不等式组求解. 试题解析:
(1) ()()221,3f x x x kx f x kx =-++∴=+ ,即22
13x x -+=.当01x <≤时,
2222111x x x x -+=-+=,此时该方程无解. 当12x <<时,222121x x x -+=-,原方程等价于:
22x =综上可知:方程()3f x kx =+在()0,2
8.【2016届福建省三明一中高三第一次月考】已知函数f (x )=且关于x 的方程f (x )
+x -a =0有且只有一个实根,则实数a 的取值范围是________. 【答案】 【解析】
【方法点睛】本题考查方程的根与函数图象的交点的关系的应用,属于中档题;因为题中方程中涉及对数、指数与一次函数,无法直接求方程的根或函数的零点或判定其个数,可借助函数的图象,利用数形结合思
想转化为判定两函数图象的交点个数问题.
9.【2015-2016学年江苏省启东中学高一上期中】已知函
若
1234x x x x <<<,且12()()f x f x =34()()f x f x ==,则
【答案】2 【解析】
【名师点晴】方程的根也就是与方程对应的函数零点,一方面判断方程的根是否存在,可以通过构造相应的函数,将其转化为函数零点的存在性问题求解,也可直接通过分离参数,转化为函数的值域问题求解,另一方面与方程的根有关的问题,可能通过数形结合的思想方法找到根之间的关系,象本题,就是发现了1x 与2x 的关系,3x 与4x 的关系,从而得解.学科网
10.【2015-2016学年
浙江省余姚中学高一10月月考】
程
4个互异的实根,则实数a 的取值范围是 .
【答案】()()0,19, +∞. 【解析】
的函数图象如下图所示,则可知满足条件的实数a 的取值范围是()()0,19, +∞.
【思路点睛】函数与方程的应用主要表现在利用方程根的情况求参数范围,根据方程解的情况通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造函数,利用函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想应用. 11.【2016届山东师大附中高三上学期二模】知函数()2
ln f x x x x =-+
(1)求函数()f x 的单调递减区间; (2)若对于任意的0x >,不等式a 的最小值. 【答案】(1)(1,)+∞;(2)2. 【解析】
大值为
所以当2a ≥时,()0h a <. 所以整数a 的最小值为2.
又2,≥∴∈a Z a (必要性), 下面证明充分性,当2≥a 时,
所以不等式成立学科网
12.【2016届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中】已知函数322
()2f x x ax a x =+-+,0a >.
(1)若1x =-为()y f x =的极值点,求()f x 的单调区间;
(2)如果对于一切1x ,2x ,3[0,1]x ∈,总存在以1()f x ,2()f x ,3()f x 为三边长的三角形,试求实数a 的取值范围.
【答案】(1)()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-
和
(2
【解析】
试题解析:(1)22
'()32f x x ax a =+-,由题意知'(1)0f -=,即2230a a +-=,有1a =(负值舍去)
当1a =时,令'()0f x =,得
x (,1)
-∞-
1-
'()f x + 0
-
+
()f x
增
极大值
减
极小值
增
从而()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和 由1
,又02a <
<,得而不等式2
立,所以()g a
为增函数,故当2)
综上所述,所求正数a 的取值范围为 13.【2016届浙江省瑞安市高三上学期第一次四校联考】已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-.
(Ⅰ)若当x ∈R 时,不等式()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)求函数()|()|()h x f x g x =+在区间]2,0[上的最大值. 【答案】(Ⅰ)2a ≤-;(Ⅱ)()()()
max 3,30,3a a h x a +≥-??=?
<-??. 【解析】
(Ⅱ)????
???≤<--+=<≤++--=2
1,11,01
0,1)(22x a ax x x x a ax x x h
① 时,即0≥a ,1)0()1(max 2+==++--a h a ax x 3)2()1(max 2+==--+a h a ax x
此时,3)(max +=a x h
② 时,即02<≤-a ,3)2()1(max 2+==--+a h a ax x
此时3)(max +=a x h
14.【2016届江苏省歌风中学高三九月月考】已知函数2()(,)f x ax bx a b R =+∈,函数()ln g x x =. (1)当0=a 时,函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象有公共点,求实数b 的最大值; (2)当0b =时,试判断函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象的公共点的个数;
(3)函数)(x f 的图象能否恒在函数()y bg x =的图象的上方?若能,求出,a b 的取值范围;若不能,请说明理由.
【答案】(1(2有两个公共点;(3)0,0a b =>或0,0a b >≥时函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方. 【解析】
试题分析:(1)0a =时()f x 是一次函数,图象为直线,因此题意直线与曲线ln y x =相切时斜率最大;(2)
问题转化为方程2
ln ax x =的解的个数,即的解的个数,又转化为直线y a =与函数(3)这个问题比较难,两个参数要分别讨论,0a <时,()f x 的图象是开口向下的抛物线,不可能恒在()g x 图象上方,0a =时,()f x bx =,问题为当0x >时,ln bx b x >恒成立,只有0b >才能满足题意,当0a >时,()f x 的图象是开口向上的抛物线,再按0,0,0b b b <=>分类讨论可得. 试题解析:(1)bx x f a =∴=)(0 ,
由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b取最大值,
设切点横坐标为
x ,
即实数b 的最大值为
15.【2016届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】已知函数ax
x
x
ax
x
f-
-
+
+
=2
3
)1
ln(
)
()
(R
a∈.