§7.3 方向导数、偏导数与全微分
一、方向导数与偏导数
22
1212{,}(1),v v v xOy v v =+=设是平面上的一个单位向量000(,)P x y 在经过点且
(,),v l P x y 与方向平行的直线上任取一点000{,},P P x x y y =--则有向量
0.P P v 且平行于0R ,t P P tv ∈=从而必存在使得
0101
0202,,x x tv x x tv y y tv y y tv -==+????
-==+??
即
或写成（.l 直线的参数方程） (,),P x y l 当点沿着直线变动时二元函数
0102(,)(,)f x y f x tv y tv =++
.t 就变成了变量的一元函数
0102()(,),g t f x tv y tv =++令00(0)(,).g f x y =则
0d ()(0)
lim
d t t g g t g t
t =→-=如果导数
0102000(,)(,)lim ,t f x tv y tv f x y t
→++-=存在 0
00000(,)
(,)(,),.
P x y f
f f x y P x y v v
v
????则称此导数值为函数在点处沿方向的方向导数记为
或
例1 22(,),(12)f x y x y =+设二元函数分别计算此函数在点，沿方向{3,4}
w =-
{10}.u =与方向，的方向导数 解;34,,,55w w v w ??
=
=-????
将向量单位化得单位向量 010200(,)(,)f x tv y tv f x y ++-则
3
41,2(1,2)5
5f t t f ??=+-- ???22,t t =-
21,202lim t f t t
v t
→?-=?（）从而
2.=- ,(1,2)u 类似地可求得在点沿方向的方向导数为
(1,2)
0(1,2)(1,2)lim t f
f t f u
t →?+-=?202lim
t t t
t
→+= 2.=
定义7.5 000(,)(,),z f x y P x y =设二元函数在的某邻域内有定义若方向导数
0000(,)(,)
,(,)x y x y f f f x y x y i
j
????和存在则他们分别称为关于的偏导数和关于的偏
,导数00000000(,)
(,)(,)
(,)
,,x y x y x y x y f f z z x
y
x
y
????????分别记为
及
或
及
00000000(,)(,)(,)(,).x y x y f x y f x y z x y z x y ''''或及或及 例2 (1,1)
(1,1)
sin()e (1,1).xy z z z x y x
y
--??=+-??求在点处偏导数及
解:
(1,1)1
d
[sin(1)e ]d x x z x x
x
--=?=
-?1
e [cos(1)sin(1)]
x x x x -==---1e ,-=
(1,1)
1
d
[sin(1)e ]d y y z
y y y
-=-?=
+?1
e [sin(1)cos(1)]
y y y y =-=+++1e .-=
例3 (1,2)
ln()(0,0)y x y x
z x xy x y z z z '''=+>>求函数的偏导数与以及
解:,,x z y '求时将看作常数可得1
y x y
z yx
xy
-'=+11y yx x -=+ (1,2)
3;x
z '=从而
,,,y z x '类似地求时将看作常数可得1
ln y
y z x x y
'=+
(1,
2)
1.2
y z '=从而 例4 22cos(e ).z u x y =--求三元函数的偏导数 解:,y z 把和看作常数得
22sin(e )2z u
x y x x
?=---??222sin(e ),z x x y =--- ,x z 把和看作常数得
22sin(e )(2)z u
x y y y
?=---?-?222sin(e ),z y x y =-- ,x y 把和看作常数得
22sin(e )(e )z z u
x y z
?=---?-?22e sin(e ).z z x y =-- 偏导数的几何意义
0000
(,)
(,): .x z f x y f x y M x y y =?'?=?曲线在点处的切线对轴的斜率
00(,):y f x y '
00(,)z f x y M x x =??=?曲线在点
.y 处的切线对轴的斜率
例5.2222
22,0(,)0,0xy
x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?讨论函数(0,0)在点的偏导数与连续性的关系
解:
由偏导数的定义知道
(,0)(0,0)
(0,0)lim
0x x f x f f x
?→?-'==?,
(0,)(0,0)
(0,0)lim
0y y f y f f y
?→?-'==?
(,)(0,0),f x y 从而在点的偏导数都存在而(,)(0,0)f x y 函数在点不连续 性质7.3 00(,)(,)(),z f x y x y x y =设在处关于或的偏导数存在0(,)f x y 则
000((,))().f x y x x y y ==或在点或点连续
二、全微分
定义7.6 00000(,)(,),,z f x y P x y x y =设在的某一邻域内有定义给一个
,x y z ??改变量和如果的改变量可以表示成
0000(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-()
(*)A x B y o ρ=?+?+
000,(,),(,),,()(,)(0,0),
A B P x y f x y x y o x y ρρρ??=??→其中是只与有关、与无关的常数表示时的高阶无穷小量0000000000(,)
(,)
(,)(,),(,)(,),d d ,x y x y f x y P x y A x B y f x y P x y z
f ?+?则称在点处可微且称为在处的全微分记为或即
00(,)
d (74)x y z
A x
B y
=?+?-
00(,)
,,d ,x y x y z
A x
B y z ??=?+??当很小时是的主部从而得到近似公式
0000(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-00(,)
d (75)x y z
A x
B y ≈=?+?-
(,),(,).f x y D f x y D 当在区域内处处可微时称是内的可微函数
定理7.1 000(,)(,),z f x y P x y =若在处可微则
0(1)(,),(*),f x y P A B 在点处的偏导数都存在且式中的分别为
0000(,),(,)x y A f x y B f x y ''==
22001212(2)(,)(,){,}(1),f x y x y v v v v v =+=在点处沿任意方向的方向导数存在且
00(,)
001002
(,)(,)(76)x y x y f
f x y v f x y v v
?''=+-?
证明 ：
00(1)(,)(,),(*),f x y x y 当在点可微时有式成立0,,y x ρ?==?在其中令得
0000(,)(,)()z f x x y f x y A x o x ?=+?-=?+?
由此即得 0lim
x z
A x
?→?=?
00(,).x A f x y '=因此00(,).y B f x y '=同理可证 (2)(1)由可得
0000(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-0000(,)(,)()x y f x y x f x y y o ρ''=?+?+
12,,,x tv y tv t ρ?=?==令则12(,){,}z f x y v v v ==在方向上的变化率为
00010200(,)
(,)(,)
lim
x y t f x tv y tv f x y f v
t
→++-?=?
0010020
(,)(,)()
lim
x y t f x y tv f x y tv o t t
→''++=001002(,)(,)x y f x y v f x y v ''=+
7.1.定理证毕
000(,)(,),z f x y P x y =若在点处可微则全微分可写成
00(,)
0000d (,)d (,)d x y x y z
f x y x f x y y ''=+
(,),z f x y D =当在区域内处处可微时(,)z f x y D =则在内的全微分函数为
d (,)d (,)d (77)x y z f x y x f x y y
''=+-
12(,,
,),n n u f x x x =对元函数它的全微分公式为
1212d d d d (78)n x x x n
u f x f x f x '''=+++-
定理7.2 (,)(,),(,)x y z f x y f x y f x y ''=若的偏导数000(,),P x y 在点连续
000(,)(,).z f x y P x y =则在点处可微
二元函数的可微性、偏导数存在及连续性之间的关系为
例6 求下列函数的全微分
33(1);z xy x y =+ (2)(2)
z u x y =- 解：(1),.x y z z ''先求 32
3,x z y x y '=+ 233.y z xy x '=+ 因此 d d d x y
z z x z y ''=+3223(3)d (3)d .y x y x xy x y =+++ (2),,.x y z u u u '''先求
1(2),z x u z x y -'=- 12(2)
,z y u z x y -'=-- (2)ln(2),z
z u x y x y '=-- 因此 d d d d x y z u u x u y u z '''=++2(2)d d ln 2)d .22z z z x y x y x y z x y x y ??=--+-??--??
（ 三、梯度
定理7.7 000(,)(,)(,)(,),x y z f x y P x y f x y f x y ''=设在点处存在偏导数和则称 向量0
0{(,),(,)}(,),x y p p f x y f x y f x y P f
f
''?为函数在点处的梯度记为或
(,grad ),p p z
z
?或即 0
0000grad {(,),(,)}p p x y f
f
f x y f x y ''?==
(,),{(,),(,)}(,)().
x y f x y D f f x y f x y f x y D ''?=若在区域内处处存在偏导数则称为在内的梯度函数
,f f ??=梯度是一个向量其长度为 0,.f f ?≠?当时称的方向为梯度方向
000(,)(,),z f x y P x y =设在处可微12{,}(1
),v v v v ==是任一给定的方向 0
P P f
f
v v
???可将方向导数
写成梯度与的标量积形式
001002(,)(,)p x y f f x y v f x y v v
?''=+?0
cos (79)p f
θ=?-
0,.f f ?≠?当时称的方向为梯度方向
000(,)(,),z f x y P x y =设在处可微12{,}(1
),v v v v ==是任一给定的方向 0
P P f f
v v
???可将方向导数
写成梯度与的标量积形式
001002(,)(,)p x y f f x y v f x y v v
?''=+?0
p f
v =??0
cos (79)p f
θ=?-
.v θ其中表示梯度与之间的夹角
性质7.4 000(,)(,),z f x y P x y =设在点处可微则000(,)(,)f x y P x y 在点
,,.p f
?的所有方向导数中沿梯度方向的方向导数最大并且等于梯度的长
梯度的几何意义：梯度方向是函数变化率最大的方向.
例7212(1)(,),(,)(1,1){,}(1)f x y xy f x y v v v v =-==设求在点处沿任意方向的
222,;(2)ln(),.u x y z u u =++??方向导数并指出方向导数的最大值和取得最大值方向的单位向量设求及
解：2(1)(,),(,)2,x y f x y y f x y xy ''==由于
(1,1)12(1,1)(1,1)x y f
f v f v v
-?''=-+-?
由于沿梯度方向的方向导数最大，且最大方向导数为梯度的长度，而 (1,1)
{(1,1),(1,1)}x y f
f f -''?=--{12}=-，
(1,1f
-?=
(,)(1,1)f x y -因此在 取得最大值方向的单位向量为 (1,1)
(1,
1)f v f
--?=
?=
（2） 由于 2222,x x u x y z '=
++2222,y y u x y z '=++222
2,z z
u x y z
'=++ 因此 {,,}x y z u u u u '''?=222
2
{,,}x y z x y z =
++
u ?=
=
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数
1。偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数 对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率 对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分 偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz=fx（x,y）detax+o(detax) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分 这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分 全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量 全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分
同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系 dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数 全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。 u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数 如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！
偏导数与全微分习题 1. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x '。 2. 习题8 17题。 3. 设?? ??? =+≠++=0 001sin ),(22222 2 y x y x y x y y x f ，考察f (x , y )在点（0,0）的偏导数。 4. 考察?? ??? =+≠++=0 001sin ),(22222 2 y x y x y x xy y x f 在点 （0,0）处的可微性。 5. 证 明 函 数 ?? ???=+≠+++=0 001sin )(),(222 22 22 2y x y x y x y x y x f 在 点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0）不连续，而f (x , y )在点（0,0）可微。 }
1． 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，求)1,(x f x '。 y y x y x y y x f x 1) (2111 )1(1),(21 ??- -+='- ∴ 1)1,(='x f x 。 ： &
2.习题8 17题。 17. 设22)()(ln b y a x z -+-=（a , b 为常数），证明 02 22 2=??+??y z x z 。 先化简函数 ))()ln((2 1 22b y a x z -+-=， ， 2 222)()() ()()()(221b y a x a x b y a x a x x z -+--= -+--?=??， 2222) ()() ()()()(221b y a x b y b y a x b y y z -+--=-+--?=??， 2 22 2 222 2))()(()(2)()(b y a x a x b y a x x z -+----+-= ?? 2 22 22) )()(()()(b y a x a x b y -+----= ， 2 222 222 2))()(()(2)()(b y a x b y b y a x y z -+----+-= ?? 2 2222) )()(()()(b y a x b y a x -+----= ， ∴ 02 22 2=??+ ??y z x z 。 3. $
第十四章 偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) 2 2 2 ln()u x x y =+； (2) ()cos()u x y xy =+； (3) arctan x u y =； (4) sin()xy u xye =. 2．设22 22 221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，考察函数在(0,0)点的偏导数. 3 ．证明函数u =(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) u = (2) yz x u xe e y -=++.
5．求下列函数在给定点的全微分： (1) u =在点(1,1,1)； (2) (u x y =+-0，1）. 6．证明函数22222 22, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=? 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 7 ．证明：函数22 220(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?在点(0, 0)处偏导数存在，但不可微. 8．设,x y 很小，利用全微分推出下列式(1)(1)m n x y ++的近似公式：
9．求下列函数指定阶的偏导数： (1) 3 3 sin sin u x y y x =+,求633u x y ???； (2) ln()u ax by =+,求m n m n u x y +???. §2. 求复合函数偏导数的链式法则 1．求下列函数指定的偏导数： （1）．设(,,),x y z Φ=Φ ,,,x u v y u v z uv =+=-=求, u v ?Φ?Φ ??. （2） 设),,22(xyz z y x f z --=求x z ?? 2. 求下列函数指定的偏导数（假定所有二阶偏导数都连续） (1) 2 2 (,)u f xy x y =，22u x ?? ； (2) (,)x y u f y z =,2u x y ???； (3) 2 2 2 ()u f x y z =++,22u y ??； (4) (,,)x u f x y xy y =+,2u y x ???.
第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 设2(,)f x y x y xy y +-=+ 则(,)f x y = （A ） A ． ()2x x y - B ．2xy y + C ．()2 x x y + D ．2x xy - 解： (,)()f x y x y x y y +-=+ []1()()()2 x y x y x y = ++-- (,)()2x f x y x y ∴=- 2． 22 1cos lim 1x x y o e y x y →→++= （D ） A ． 0 B ．1 C ． 1e D ． 2 e 解：22cos (,)1x e y f x y x y =++在点（1，0）连续 '221cos cos 0lim 11102x x y o e y e e x y →→∴==++++ 3．设(,) f x y 在点00(,)x y 处有偏导数存在，则0000(2,)(,)lim h o f x h y f x h y h →+--=（D ） A ．0 B ．'00(,)x f x y C ．'002(,)x f x y D ．'003(,)x f x y 解：原式=0000(2,)(,)lim 22h o f x h y f x y h →+-? 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h →--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y += 4．(,)z f x y =偏导数存在是(,)z f x y =可微的 （B ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。
全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系 朱丽娜 郑州工业安全职业学院 451192 摘要 本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。 关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续 对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的． 一、 全微分、偏导数和连续三者之间的关系 定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在． 定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分． 读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不 一定存在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微． 偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续． 二、 全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系
定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立． 例1 ：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x ?→??-=?? 故z =在点(0,0)处对x 的偏导数不存在， 同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 由定理1 z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在． 但z =在点(0,0)处沿任意方向的方向导数为 即任意方向上的方向导数存在． 三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系 咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如： 例2： 2 222422,0,0,0,xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 它在任意方向上的方向导数为： 这一结果表明2 222422,00,0xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在． 但是222001lim (0,0)2 y x x x z z x x ++ →→==≠+，即函数在该点不连续． 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在． 证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为：
1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分
全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数