第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A （小学高年级组）
一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行．
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
2. 某次考试有50道试题，答对一道题得3分，答错一道题扣1分，不答题不得分．小龙得分120分，那么小
龙最多答对了（ ）道试题． A ．40
B ．42
C ．48
D ．50
3. 用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形．若在右下图的16个方格分别填入1，3，5，
7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A ，B ，C ，D 四个方格中数的平均数是（ ）．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4. 小明所在班级的人数不足40人，但比30人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（ ）．
A ．2:3
B ．3:4
C ．4:5
D ．3:7
5. 某学校组织一次远足活动，计划10点10分从甲地出发，13点10分到达乙地，但出发晚了5分钟，却早到
达了4分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（ ）． A ．11点40分
B ．11点50分
C ．12点
D ．12点10分
6. 如右图所示，7AF =cm ，4DH =cm ，5BG =cm ，1AE =cm ．若正方形ABCD 内的四边形EFGH 的面积为
78cm 2，则正方形的边长为（ ）cm ．
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
二、填空题（每小题10分，满分40分）
7. 五名选手A ，B ，C ，D ，E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，
5个编号之和等于35．已知站在E 右边的选手的编号和为13；站在D 右边的选手的编号和为31；站在A 右边的选手的编号和为21；站在C 右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是________．
8. 甲乙同时出发，他们的速度如下图所示，30分钟后，乙比甲一共多行走了________米．
9. 四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成________种不同的2×2×2的正方体（经过旋
转得到相同的正方体视为同一种情况）．
10. 在一个圆周上有70个点，任选其中一个点标上1，按顺时针方向隔一个点的点上标2，隔两个点的点上标
3，再隔三个点的点上标4，继续这个操作，直到1，2，3，…，2014都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了2014的点上标记的最小整数是________．
乙
甲
20
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A （小学高年级组）
答案解析
1. 【答案】 C
【解析】 当4条直线都互相平行时，平面被分成5个部分，不满足要求，因此最多只能3条直线互相平行．构
造：有3条直线互相平行，另外一条直线与它们都互相垂直，此时平面被分成8个部分．
2. 【答案】 B
【解析】 得分120分，说明至少需要答对40道题，其余10道题不答，满足题意．若答对41道题，答错3道题，
其余题不答，此时得分也是120分．若答对42道题，答错6道题，其余题不答，此时得分也是120分．若答对43道题，得分依然为120分，需要再答错9道题，此时至少需要有52道题，52>50，因此不满足题意．
另一解答：设作对x 题，做错y 题，未答z 题，则有：3120
50x y x y z -=??++=?
合并两个等式，得到：24170, 424
z
x z x -=-=+，x 是非负整数，尽可能大，故2, 42z x ==，即小龙最多答对42道试题．
3. 【答案】 A
【解析】 如左下图，用M ，N ，P ，Q 标记16个方格图最下面4个方格，
因为135716+++=，所以16A B M N +++=，16C D P Q +++=，即3A B M N C D P Q +++++++=2．又因为16M N P Q +++=，所以321616A B C D +++=-=．右上图是一种满足要求的填法，且A ，B ，C ，D 四个方格中数的平均数是4．
4. 【答案】 D
【解析】 如果男、女生人数的比是2:3，那么全班人数一定是5的倍数，男生14人，女生21人，满足题意．如
果男、女生人数的比是3:4，那么全班人数一定是7的倍数，男生15人，女生20人，满足题意．如果男、女生人数的比是4:5，那么全班人数一定是9的倍数，男生16人，女生20人，满足题意．如果男、女生人数的比是3:7，那么全班人数一定是10的倍数，但本班人数不足40人，但比30人多，所以男、女生人数的比不可能是3:7．
5.
【答案】B
【解析】从10点10分到13点10分共有3个小时，比计划时间少用9分钟，即每小时少用3分钟，少用5分钟的时候即是到达B点的时间．此时需要5(360)100
÷÷=分钟，即1小时40分钟，所以到达B点的时间是11点50分．
6.
【答案】C
【解析】用竖直线和水平线将正方形ABCD分割为如右图所示的5个长方形，中间长方形的面积是4312
?=，所以，正方形的面积()
=-?+=，正方形的边长是12．
7812212144
7.
【答案】11
【解析】由于31＞21＞13＞7，说明A在D的右边，E在A的右边，C在E的右边．由于，站在C右边的选手的编号和为7，推出B站在C的右边．因此，D是最左侧的选手，B是最右侧的选手．所以，B，C，E，D和A的选手编号分别为7，6，8，4，10．B与D的选手编号和为11．
8.
【答案】300
【解析】由图所示，前10分钟，甲和乙速度相同；第10分钟至第20分钟，乙速度是100米/分，甲的速度是80米/分，故乙多走了200米；第20分钟至第30分钟，乙的平均速度是80米/分，甲的平均速度是70米/分，故乙多走了100米；乙共计多走了300米．
9.
【答案】7
两个正方体各有一个侧面相互完全贴合，则称为两个正方体有公共侧面，以公共侧面个数分类枚举：（1）4个黑色正方体，每个与其他黑色正方体都没有公共侧面，此时只有1种2×2×2的正方体，如图5a （是何道理，请读者思考）；
（2）4个黑色正方体，每个最多与一个黑色正方体之间有公共侧面，且至少有1个黑色正方体和某个黑色正方体有公共侧面，此时只有1种2×2×2的正方体，如图5b（是何道理，请读者思考）；
（3）4个黑色正方体中，至少有1个黑色正方体和另两个黑色正方体有公共侧面的情况：
①有1个且只有1个黑色正方体与另两个黑色正方体之间都有公共侧面，此时只有1种2×2×2的
正方体，如图5c-1；
②有2个且只有2个黑色正方体，每个与另两个黑色正方体之间都有公共侧面，此时有2个2×2×2
的正方体，如图5c-2和图5c-3，且正如图中的标记，图5c-2中的4个黑色正方体，从有1个公共
侧面黑色正方体到有2个公共侧面的黑色正方体是逆时针，而图5c -3则是顺时针，则图5c -2和图5c -3不可能旋转后相同；
③显然，不可能有且仅有3个黑色正方体，每个都和另两个都有公共侧面；
④有4个黑色正方体，每个都和另两个黑色正方体有公共侧面，此时，有1种2×2×2的正方体，如图5c -4；
图5c -1至图5c -4显然是不同的2×2×2的正方体．
（4） 4个黑色正方体中，有1个黑色正方体和其余3个黑色正方体都有公共侧面，此时，只有1种2×2×2
的正方体，如图5d ．
共有7种2×2×2的正方体，除此之外，别无其他不同类型2×2×2的正方体．
10. 【答案】 5
【解析】 将70个点中某个点为起始点，然后按顺时针方向依次将这70个点记为第1个，第2个，第3个，…，
第70个．
第一种方法：用i a 表示第i 个点上标记的数字． 依题意13610 =1, =2, =3, =4,a a a a ，…，且按规律得：=2014k a ，这里k 是
20142015
123201420291052
?+++
+=
=除以70的余数，
即：2029105289877015=?+，155a =． 因此第15个点上标记的最小整数为5．
第二种方法：用i a 表示第i a 个点上标记的数字是i ． 依题意1234 =1, =3, =6, =10,a a a a ，…，且按规律得：
201420142015
123201420291052
a ?=+++
+=
=，2029105289877015=?+，515a =． 因此第15个点上标记的最小整数为5．
图5a 图5b 图5c -1 图5c -2 图5c -3 图5c -4 图5d