对数与对数函数知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、对数概念
(0)log (01)x a a N N n N a a =>?=>≠且，叫做以a 为底N 的对数.
注：①0N >，负数和零没有对数；
②log 10,log 1a a a ==； ③10lg log ,ln log e N N N N ==. 二、对数的运算性质
(1)log ()log log (,);(2)log log log (,);
(3)log log ();log (4)log (01,0,01)log a a a a a a n a a c a c MN M N M N R M M N M N R N M n M M R b
b a a b
c c a
+++=+∈??
=-∈ ???
=∈=
>≠>>≠且且（换底公式）
特殊地1
log (,01,1)log a b b a b a b a
=
>≠≠且； log (5)log log (,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log (,01).
m a n a a N
N a n
b b a b m a n R m
a N N a a a N N R a a =>≠≠∈=>>≠=∈>≠；且；且
化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.
三、对数函数
（1）一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数. （2）对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质，如表2-7所示.
log a y x =
1a > 1a <
图像
题型归纳及思路提示
题型1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算
例2.56552log 10log 0.25+=（ ）
.0A
.1B
.2C
.4D
分析log log log log log ().n m n m
a a a a a n x m y x y x y +=+=
解析22
5555552log 10log 0.25log 10log 0.25log (1000.25)log 52+=+=?==
故选C .
评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提. 变式1 已知,x y 为正实数，则（ ）
lg lg lg lg .222x y x y A +=+lg()lg lg .222x y x y B +=? lg lg lg lg .222x y x y C ?=+lg()lg lg .222xy x y D =?
变式2 2
2
(lg 2)lg 4lg5(lg5)+?+= ________.. 变式3 222
lg5lg8lg5lg 20(lg 2)3
+
+?+= ________.. 例2.5727
4log 81log 8+=________. .
解析32432734
2324433log 81log 3log 3,log 8log 2log 2.3322
====== 所以原式4317
.326
=
+= 变式1 = ________.. 例2.58 lg30lg0.515()3
?= ________.. 分析(,0)log log .c c a b a b a b =>?= 解析lg30lg0.515(),3
x ?=
则()lg0.5
lg30lg0.5lg30111
lg lg 5()lg 5lg lg30lg5lg 0.5lg 333
x ????
=?=+=?+? ?
??????
(lg30lg3)lg5(lg5lg10)(lg1lg3)lg5lg3lg5lg 3lg5lg3=+?+--=+?-?+
lg15=
所以15x = 二、对数方程
例2.59解下列方程：
22111
(1)(lg lg3)lg5lg(10);22(2)log (231) 1.
x x x x x --=---+= 分析利用对数的运算性质化简后求解. 解析（1）
11
(lg lg3)lg5lg(10)22
x x -=--，首先方程中的x 应满足10x >，原方程可变形为lg lg32lg5lg(10)x x -=--，即25lg lg
310x x =-，得25
310
x x =-，从而15x =或5x =-（舍），经检验，15x =是原方程的解.
（2）22
1log (231)1x x x --+=，
222
2
1011
2311
x x x x x ?->-≠???-+=-??且，解得2x =. 经检验2x =是方程的解.
评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.
变式1 函数2()log (41).x
f x ax =+-
（1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若4a =，求函数()f x 的零点.
三、对数不等式
例2.60设01a <<，函数()
2()log 22x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是（）
.(,0)A -∞.(0,)B +∞
.(,log 3)a C -∞.(log 3,)a D +∞
分析先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解.
解析()
2()log 220log 1x x a a f x a a =--<=，又01a <<，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，得
22221230(3)(1)0x x x x x x a a a a a a -->-->?-+>即，因为10x a +>，故3x a >，又01a <<，
所以log 3.a x <故选.C
变式1 已知函数()f x 为R 上的偶函数，且在[]0,+∞上为增函数，103f ??
= ???
，则不等式13
log 0
f x ??> ??
?
的解集为 .
例2.61设2
554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则（ ）
.Aa c b <<.Bb c a << .C a b c <<.Db a c <<
分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助0和1作为分界点. 解析因为5log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以
25545554log 3log 41,log 51(log 3)log 3log 41log 5b a c <<>?<<<
故选D .
变式1 设2
lg ,(lg ),a e b e c === ）
.Aa b c >> .B a c b >> .C c a b >>
.Dc b a >>
变式2 设324log 0.3
log 3.4log 3.615,5,5a b c ??
=== ?
??
，则（ ）
.Aa b c >> .Bb a c >> .C a c b >>
.Dc a b >>
变式4 （2012大纲全国理9）已知1
2
5ln ,log 2,x y z e
π-===，则（）
.A x y z << .B z x y << .C z y x <<
.D y z x <<
题型2 对数函数的图像与性质
思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向. 一、对数函数的图像
例2.62如图2-15所示，曲线1234,,,C C C C 是底数分别为,,,a b c d 的对数函数的图像，则曲线1234,,,C C C C 对应的底数,,,a b c d 的取值依次为（）
11.3,2,,
32A
11.2,3,,32B
11.2,3,,
23C
11.3,2,,23
D
分析给出曲线的图像，判定1234,,,C C C C 所对应的,,,a b c d 的值，可令1y =求解.
解析如图2-16所示，作直线1y =交1234,,,C C C C 于,,,A B C D ，其横坐标大小为01c d a b <<<<<，那么1234,,,C C C C 所对应的底数,,,a
b
c
d
的值可能一次为11
2,3,,
32
.故选B .
评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16所示，则
01c d a b <<<<<.log (01)a y x a a =>≠且在第一象限的图像，a 越大，图像越靠近x 轴；a 越小，
图像越靠近y 轴.
变式 1 若函数()(01)x
f x a a a -=>≠且是定义域为R 的增函数，则函数()lo
g (1)a f x x =+的图像大
致是（ ）
变式2 设,,a b c 均为正数，且11222
112log ,log ,log 22b c
a
a b c ????=== ? ?????，则（）
.Aa b c <<.B c b a <<
.C c a b <<.Db a c <<
例2.63函数log (1)2a y x =++的图像必过定点.
分析对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像过定点(1,0)，即log 10a =.
解析因为log (01)a y x a a =>≠且恒过点(1,0)，故令11,0x x +==即时，log (1)0a y x =+=，故
log (1)2a y x =++恒过顶点(0,2).
变式1 函数log (2)21a y x x =++-的图像过定点. 二、对数函数的性质（单调性、最值（值域））
例2.64 设1a >，函数()log a f x x =在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为1
2
，则a =（ ） 分析本题考查对数函数的单调性和最值.
解析因为对数函数的底1a >，所以函数()log a f x x =在区间[],2a a 上单调递增，故
max min 1()log 2,()log 1,log 212a a a f x a f x a a ===-=
，即1
log 22
a =解得4a =故选D . 变式1 若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）
A
B
1.
4C
1.2
D 例2.65设2
112
22
2
2(log )7log 30,()log log 24x x x x f x ????++≤=? ? ?????
求的最大值和最小值. 解析211112
2
2
2
2(log )7log 30(2log 1)(log 3)0x x x x ++≤?+?+≤
12
1
3log 2x ?-≤≤-
8x ≤≤.
又2
2222()(log 1)(log 2)(log )3log 2f x x x x x =--=-+.
令21log ,32t x ??=∈????
，则2
()()32f x g t t t ==-+
当3,2t x =
=即min max 1
();3,8,() 2.4
f x t x f x =-===当即时 变式1 已知[]3()2lo
g (1,9)f x x x =+∈，求函数[]2
2()()()g x f x f x =+的最大值与最小值.
例2.66若函数2 1
2
log(0)
()log()(0)
x x
f x x x
>
??
=?-<
??
，且()()
f a f a
>-则实数a的取值范围是.
解析依题意，函数()
f x的图像如图2-17所示，知()
f x为奇函数，由()()
f a f a
>-的得()0
f a>，解得
(1,0)(1,)
a∈-+∞
U.
变式1 已知函数()lg
f x x
=，若0a b
<<，且()()
f a f b
=，则2
a b
+的取值范围是（）2,)
A+∞)
.32,
B?+∞
?
.(3,)
C+∞[)
.3,
D+∞
变式2 定义区间[]
1212
,()
x x x x
<的长度为
21
x x
-，已知函数
1
2
()log
f x x
=的定义域为[],a b，值域为[]
0,2，则区间[],a b的长度的最大值与最小值的差为.
题型3 对数函数中的恒成立问题
思路提示
（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；
（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.
例2.67 已知函数
124
()lg
3
x x
a
f x
++?
=，若(),1
x∈-∞时有意义，求a得取值范围.
解析因为
124
()lg
3
x x
a
f x
++?
=在(),1
x∈-∞上有意义，即
124
3
x x
a
++?
>在(),1
-∞上恒成立.
所以
11
42
x x
a
??
????
>-+
??
? ?
????
??
??
在(),1
-∞上恒成立.
令()
11
(),,1
42
x x
g x x
??
????
=-+∈-∞
??
? ?
????
??
??
.
因为14x y ??= ???与12x
y ??
= ???在(),1-∞上为减函数，故()g x 在(),1-∞上为增函数，所以对任意的
(),1x ∈-∞时，3
()(1)4
g x g <=-.
因为1142x x a ??????>-+?? ? ?????????
在(),1-∞上恒成立，所以3
4a ≥-.
所以a 的取值范围是3,4??
-
+∞????
. 评注为了求a 的取值范围，把a 进行了分离，若()g x 存在最大值，则()g x a <恒成立等价于max ()g x a <；若()g x 不存在最大值，设其值域为()(),g x m n ∈，则()g x a <恒成立等价于a n ≥. 变式1 当(1,2)x ∈时，不等式()2
1log a x x -<恒成立，则a 的取值范围是（）
.(0,1)A .(1,2)B (].1,2C 1.0,2D ??
???
变式 2 函数()log (3)(01)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图像上的点时，点
(2,)Q x a y --是函数()y g x =图像上的点.
（1）写出函数()y g x =的解析式；
（2）当[]2,3a a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.
最有效训练题
1.设0.2
1122
1log 2,log 3,2a b c ??
=== ???，则（ ）
.Aa b c <<
.B a c b <<
.C b c a <<
.Db a c <<
2.设函数2log (1)(2)
()11(2)2x x x f x x -≥??
=???-
?，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）
.(,0)(2,)A -∞+∞U
.(0,2)B
.(,1)(3,)C -∞-+∞U
.(1,3)D -
3.设定义在区间(,)b b -上的函数1()lg
12ax
f x x
+=-是奇函数(,2)a b R a ∈≠且，则b a 的取值范围是（ ）
(
.A
(
.B
C
D
4.已知log (2)a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）
.(0,1)A
.(1,2)B
.(0,2)C
.(2,)D +∞
5.已知lg lg 0a b +=，则函数()x
f x a =与函数()lo
g b g x x =-的图像可能是（ ）
6.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，2
()f x x =，则函数
5()log y f x x =-的零点个数是（ ）
.3A
.4B
.5C
.6D
7.设函数()ln(1)f x x =+，若1()()a b f a f b -<<=且，则a b +的取值范围是________. 8.已知lg lg 2lg(23)x y x y +=-，则23log y x ??
=
??
?________. 9.若函数2
log (1)a y x ax =-+在[]1,2上为增函数，则实数a 的取值范围是________..
10.已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2
,m n ????上的最
大值为2，则m n +=________.
11.设121()log 1ax f x x -??
= ?-?
?为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值；
（2）证明：()f x 在区间(1,)+∞内单调递增；
（3）若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式1()2x
f x m ??
>+ ???
恒成立，求实数m 的取值范围.
12.已知集合1,22
P ??=????
，函数2
2log (22)y ax x =-+的定义域为Q .
（1）若P Q ≠?I ，求实数a 的取值范围；
（2）若方程2
2log (22)2ax x -+=在P 内有解，求实数a 的取值范围.
专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域
（1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围
一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0
⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称 其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 对数函数·例题解析 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2 x y a -=．
对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有
专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 |
一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2 ）log a y =(0,1).a a >≠； （3）2 (21)log (23)x y x x -=-++ （4 ）y = ？ (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数 的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ { 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0
知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3
基本初等函数知识点 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1)(2)(3) 知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2.指数函数函数性质： 函数名称指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数
函数值的变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么①加法：②减法：③数乘： ④⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2.对数函数性质： 函数名称对数函数 定义函数且叫做对数函数图象
高一数学 对数与对数函数 一、 知识要点 1、 对数的概念 （1）、对数的概念： 一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 （2）、对数的运算性质： 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= （3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、01log =a ，1log =a a ③、对数恒等式N a N a =log （4）、对数的换底公式及推论： I 、对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) II 、两个常用的推论: ①、1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② 、b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 佛山学习前线教育培训中心
2、 对数函数 （1）、对数函数的定义 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数； 它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞ （2）、对数函数的图像与性质 log (01)a y x a a =>≠且的图象和性质
对数与对数函数 1.对数 （1）对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？ 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实