初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲
一. 本周教学内容:
弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 教学目的
1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征,使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。
2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。
3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。
4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。 教学重点和难点:
教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算
难点是圆锥侧面展开图（扇形)中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程
１. 圆周长:r 2C π= 圆面积:2r S π=
2. 圆的面积C 与半径Ｒ之间存在关系R 2C π=,即3６0°的圆心角所对的弧长,因此,1°的圆心角所对的弧长就是
360
R
2π。 n °的圆心角所对的弧长是180
R
n π 180
R
n π=
∴l ? P 1２０
＊这里的18０、n 在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。
3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。
发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。
4． 在半径是R 的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为ｎ°的扇形面积是： R 2
1
360R n S 2l =π=扇形
（n 也是１°的倍数，无单位)
5. 圆锥的概念
观察模型可以发现:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆,侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上,展开图是一个扇形。 如图,从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心Ｏ,垂线段SO 的长叫做圆锥的高,点S 叫做圆锥的顶点。
锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO 叫做圆锥的轴,圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且垂直于底面。另外,连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段ＳA 、SA １、SA 2、……都叫做圆锥的母线,显然,圆锥的母线长都相等。 母线定义:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P 122 6. 圆锥的性质 由图可得
（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心; （2）圆锥的母线长都相等
7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。
圆锥侧面积是扇形面积。
如果设扇形的半径为ｌ,弧长为ｃ，圆心角为n(如图),则它们之间有如下关系:
180
n c l
π=
同时,如果设圆锥底面半径为r,周长为c,侧面母线长为l ,那么它的侧面积是：
l l r c 2
1
S π==圆侧面
圆锥的全面积为:2r r π+πl
圆柱侧面积:rh 2π。
例:在⊙中,12０°的圆心角所对的弧长为cm 80π,那么⊙Ｏ的半径为______＿＿___ｃm 。
答案:1２0 解:由弧长公式:180
R
n π=l 得： cm 12012080180n 180R =π
π
?=π=
l 例:若扇形的圆心角为１20°,弧长为cm 10π,则扇形半径为______＿＿＿＿＿＿_，扇形面积为＿__＿＿___＿_＿＿________。 答案:１５;２5π
例:如果一个扇形的面积和一个圆面积相等,且扇形的半径为圆半径的2倍,这个扇形的中心角为_＿_____＿＿__＿。 答案：9０°
例:已知扇形的周长为28cm ，面积为４９cm 2
,则它的半径为_______＿____cm 。 答案:7
例：两个同心圆被两条半径截得的π=?10AB ,π=?
6CD ,又A Ｃ=1２,求阴影部分面积。
解:设ＯC=r ，则OA=ｒ+1２，∠Ｏ=n ° π=+π=
∴?
10180)
12r (n AB l
π=π=?
6180
r n CD
l
?
??==∴18r 60
n
∴OC=18,OA ＝ＯＣ+AC=30 COD AOB S S S 扇扇阴-=∴
OC 21
OA 21CD AB ?-?=
??l l 1862
1
301021?π?-?π?=
π=96
例:如图,已知正方形的边长为a,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。
解:∵正方形边长为a
∴2a S =正,222a 8
1
)2a (21R 21S π=π=π=
半圆 两个空白处半圆正方形S S 2S =- 2222a 4
1a a 812a S π-=π?-=∴两个空白处 222a 2
1a 2S 2S π-==∴个空白四个空白处 22222a a 2
1
)a 21a 2(a S S S -π=π--=-=∴四个空白处正阴
∴叶的总面积为
22
a a 2
1-π ＊也可看作四个半圆面积减去正方形面积
2222a a 2
1
a )2a (214S S 4S -π=-π?=-=正半阴
例：已知ＡB 、CD 为⊙O 的两条弦，如果AB ＝８，CD=６,?
AB 的度数与?CD 的度数的和为１８0°，那
么圆中的阴影部分的总面积为？
解:将弓形CD 旋转至B,使D 、B 重合 如图，C 点处于E 点
?
∴ABE 的度数为180°
∴AE 是⊙O 的直径 ∴∠ABE ＝９0° 又∵AB ＝8,BE=CD=6
由勾股定理1068AE 22=+= ∴半径5102
1
OA =?=
242
256821521S S S 2ABE -π=??-?π=
-=∴?半圆阴 例:在△ＡOB 中，∠O=9０°，OA ＝OB ＝４c ｍ，以O 为圆心,OA 为半径画?
AB ,以AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积。
解:∵OA=4c ｍ,∠Ｏ=９0°
∴cm 4360
490S 2
AOB π=?π?=扇形
cm 24AB = )cm (8S 2
AOB =?,)cm (42
)22(S 22π=π=半圆
)cm )(84(S S S 2AOB AOB AmB -π=-=∴?扇形弓形 则阴影部分的面积为:
)cm (8)84(4S S S 2AmB =-π-π=-=弓形半圆阴影
例：①、②……○
m 是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心,以１为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧,4条弧,…… （1）图①中3条弧的弧长的和为＿_＿__＿＿_＿＿_______ 图②中４条弧的弧长的和为＿＿_________＿____＿ (２)求图○
m 中n 条弧的弧长的和(用n 表示)
解：（1)π，2π （２)解法１：
∵n 边形内角和为:(n-2)１８0°
前n 条弧的弧长的和为:
)2n (2
1
360180)2n (-=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长
∴ｎ条弧的弧长的和为：π-=-??π)2n ()2n (2
1
12
解法２:设各个扇形的圆心角依次为
n 21,,,ααα 则
180)2n (n 21-=α+α+α ∴n 条弧长的和为：
1
180
1
180
1
180
n
2
1?
π
α
+
?
π
α
+
?
π
α
π
-
=
?
-
π
=
α
+
α
+
α
π
=
)2
n(
180
)2
n(
180
)
(
180n
2
1
例：如图,在Rt△AＢC中,已知∠BＣA＝90°,∠BAC=30°，AＣ=6ｍ，把△ＡBＣ以点Ｂ为中心逆时针旋转，使点C旋转到ＡＢ边的延长线上的点Ｃ'处，那么AC边扫过的图形(阴影部分)的面积为?
分析：在Rｔ△ＡＣB中,∠C=90°,∠BAC=3０°，AB=6
60
CBA
,3
AB
2
1
BC=
∠
=
=
∴
3
3
BC
AB
AC2
2=
-
=
∴
法一：
2
3
9
3
3
3
2
1
'C'A
'
BC
2
1
S
B'C'A
=
?
?
=
?
=
?
π
=
?
π
=
π
=
∴12
360
6
120
360
r
n
S
2
2
BA
'A
扇
π
=
?
π
=3
360
3
120
S
2
BC
'C
扇形
π
=
-
-
+
=
∴
?
?
9
S
S
S
S
S
ACB
BC
'C
B'C'A
BA
'A扇
扇
阴影
法二:以B为圆心,ＢC为半径画弧
交A'B于Ｄ，ＡB于D'
有
ACB
B'C'A
S
S
?
?
=，
'
CBD
BD
'C
S
S
扇
扇
=
π=π-π=?π-?π=-=∴9312360
31203606120S S S 22BD
'D 'ABA 扇扇阴
例:如图，已知R ｔ△A ＢC 的斜边A Ｂ=1３cm,一条直角边AC=5ｃm ，以直线ＡC 为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB 为轴旋转一周,能得到一个什么样的图形?
解：)cm (12513BC 22=-=
以直线AC 为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为:
)cm (300131212S S S 22π=??π+?π=+=侧底表 以直线A Ｂ为轴旋转一周,所得到的图形如图所示。
1252
1
13CD 21??=? 13
60
CD =
AC CD BC CD S S S ??π+??π=+=下上
π
=
??
π
=
?
?
π
+
?
?
π
=
13
1020
17
13
60
5
13
60
12
13
60
例：一个圆锥的模型,这个模型的侧面是用一个半径为９cm,圆心角为24０°的扇形铁皮制作,再用一块圆形铁皮做底,则这块图形铁皮的半径为＿___＿____＿＿___。
答案：6
例:若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_＿____＿。
答案：2π
例：已知圆锥的底面半径为４0cm，母线长为90cｍ,则它的侧面展开图的圆心角为____＿＿。
答案：160°
例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则侧面展开图的圆心角是___＿__＿_＿＿。
答案：180°
例:如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cｍ,母线长50cｍ。
（1)画出它的展开图；
(２)计算这个展开图的圆心角及面积。
解：（1)烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长,弧长是圆锥底面周长（如图）
(2)设扇形的半径为l,弧长为c，圆心角为α,则l=50cm，cm
80
cπ
=
lπ
=
α
∴
c
180
180
c
l
απ
=
π
π
?
=
50
80
180
＝288（度）
)
cm
(
6280
50
40
r
S2
≈
?
?
π
=
π
=l
扇形
例:一个圆锥的高是10ｃm，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。
解:设圆锥底面半径为r ，圆锥母线长为ｌ，扇形弧长(即半圆)为ｃ，则由题意得
r 2c ,22c π=π=
l
即r 2,r 22
2=∴π=πl l
在Ｒt △SOA 中,22210r +=l 由此求得)cm (3
3
20),cm (3310r ==
l 故所求圆锥的侧面积为l r S π=圆侧面)cm (3
200332033102π
=??π=
例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为2m 9π，高为３．5ｍ,外围高4ｍ的蒙古包,至少要多少平方米的毛毡？
解:3r ,r 9,r S 22=∴π=π∴π= ∵ｈ１＝４,∴5r h l 22
1=+= 柱锥S S S +=∴
π
=π+π=??π+??π=π+π=3621155.33253rh
2r l
π=π?=7203620S 总
答：至少要π720平方米的毛毡。
【模拟试题】
[基础演练]
1. 已知扇形的弧长为6πｃm ，圆心角为60°，则扇形的面积为＿_＿＿___＿___＿。
２. 已知弓形的弧所对的圆心角为6０°,弓形弦长为a,则这个弓形的面积是__＿__＿__＿_。 3． 如图,在平行四边形ＡＢCD 中，34AB =,32AD =，ＢD ⊥A Ｄ，以BD 为直径的⊙O 交A Ｂ于E,交CD 于F,则图中阴影部分的面积为＿_____＿___＿。
4. 如图，AB 是⊙O 1的直径，AO 1是⊙Ｏ2的直径,弦MN//ＡB ，且MN 与⊙O ２相切于C 点，若⊙O 1的半径为
2，则O 1Ｂ、?
BN 、CN 、?C O 1所围成的阴影部分的面积是_____________。
5. 如图，△A ＢＣ为某一住宅区的平面示意图,其周长为８0０m ，为了美化环境，计划在住宅区周围５m 内，（虚线以内，△ＡBC 之外）作绿化带,则此绿化带的面积为___＿＿_＿____。
6. 如图,两个同心圆被两条半径截得的cm 6AB π=?,cm 10CD π=?，⊙O'与?AB ,?
CD 都相切,则图中阴影部分的面积为_＿_＿＿＿______。
[综合测试］
7. 如图，OA 是⊙O 的半径，ＡB 是以OA 为直径的⊙O ’的弦，O ’Ｂ的延长线交⊙O 于点Ｃ，且ＯA=4，
∠ＯA Ｂ=45°，则由?AB ,?
AC 和线段BC 所围成的图形面积是_＿＿__＿。
8． 如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条A Ｂ,A Ｃ的夹角为120°,A Ｂ长为３0cm ，贴纸部分ＢＤ长为２0cm,贴纸部分的面积为( ）
Ａ.
2cm 3
800
π? ? B.
2cm 3
500
π C ． 2cm 800π ??? D. 2cm 500π
９. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、4,∠AOB=120°，则阴影部分的面积为（ ）
Ａ. π4?? B. π2?? C.
π3
4
? ?D ． π 10. 一块等边三角形的木板,边长为1，现将木板沿水平翻滚（如图），那么，B 点从开始至结束所走过的路径长度为( )
A.
2
3π
B ． 34π? ? C. ４? D. 232π+
11. (２00４·湖北黄冈）如图,要在直径为５0c ｍ的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面,问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？
[探究升级]
12． （2004·新疆）在相距40k ｍ的两个城镇A 、B 之间，有一个近似圆形的湖泊，其半径为１0ｋm,圆心恰好位于A 、B 连线的中点处,现要绕过湖泊从A 城到B 城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，有如图所示两种行走路线,请你通过推理计算，说明哪条路线较短。
（1)的路线:线段→?
→CD AC 线段DB
(2）的路线：线段→?
→EF AE 线段ＦＢ(其中E 、Ｆ为切点）
[参考答案]
1. 2cm 27π
? ? ? 2. 2
a )436(-π
3. π-332
15
??
?? ４. 12312++π ５. 2m )40025(+π???? ６. 2cm 60π
7. )323
5
(-π
８． A ? 9. B ???1０. B 11． 截法如图所示
B O 4 O 3
O
O 1 O 2
A
根据圆的对称性可知：
Ｏ1，O ３都在⊙O 的直径AB 上，设所截出的凳面的直径为r 则O 1O ２=ｒ,O ２O 3=r,r 2O O 31= 又r 50)B O A O (AB O O 3131-=+-= 50r )12(,r 50r 2=+∴-=∴ )cm (7.20)12(50r ≈-=∴
１2． 由题意可知图答（１）路径：)km (42.51101010DB CD AB S 1≈+π+=+?
+=
图答(2)路径：如图连接OE 、ＯF,连结CD 由题意可知A 、C 、D 、Ｂ共线，且经过O 点 ∵E 为切点,∴ＯE ⊥AE 在Rt △ＯＡE 中,A Ｏ=2E Ｏ ∴∠Ａ=30°,∠AOE=60° 同理∠ＢＯF=60°
3102
3
2030cos OA AE =?=?= 同理310BF =
π=?π=?=∠3
10
1801060EF ,60EOF
)km (11.453103
10
310FB EF AE S 2≈+π+=+?+=∴
由计算可知图（2）路线较短。