2．6.1 曲线与方程
[学习目标] 1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义．
知识点曲线的方程、方程的曲线
如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
思考(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
答案(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．
(2)若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
题型一曲线与方程的概念
例 1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________．(填序号)
①曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0；
②凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
③不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0；
④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0.
答案③
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
解①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.
反思与感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程；
二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上． 跟踪训练1 判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2
－x 2
； (2)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.
解 (1)不正确．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2
－x 2
的解，则y 0＝r 2
－x 2
0，即x 2
0＋y 2
0＝r 2
.两边开平方取算术平方根，得x 2
0＋y 2
0＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r 为半径的
圆上的一点如点(r 2，－32
r )在圆上，却不是y ＝r 2－x 2
的解，这就不满足曲线上的点的坐
标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2
－x 2
，而应是y ＝±r 2
－x 2
.
(2)不正确．直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解．然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2. 题型二 由方程判断其表示的曲线
例2 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，
所以可得???
??
2x ＋3y －5＝0，
x －3≥0，
或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方
程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.
反思与感悟 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 跟踪训练2 “(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0”，其表示什么曲线？ 解 因为(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0，
所以可得???
?
?
2x ＋3y －5＝0，x ＋2y >0，
或者x ＋2y ＝8，即2x ＋3y －5＝0(x <10)或者x ＋2y ＝8，故方
程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x <10)(去除端点)和一条直线x ＋2y ＝8. 题型三 曲线与方程关系的应用
例3 若曲线y 2
－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围．
解 ∵曲线y 2
－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2
＋a 2
＋2a ＋k ＝0.
∴k ＝－2a 2
－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.
∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，1
2
]．
反思与感悟 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上． (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
跟踪训练3 (1)已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是________． 答案 a >1
解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图象大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.
(2)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2
有两个公共点，求b 的取值范围．
解 由方程组??
?
y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2，
得?
????
y ＝x ＋b ，x 2＋y 2
＝1y ≥0.
消去x ，得到2y 2
－2by ＋b 2
－1＝0(y ≥0)．
l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，
可得???
??
Δ＝4b 2－8b 2－1>0，
y 1
＋y 2＝b >0，y 1y 2
＝b 2
－12
≥0，
解得1≤b < 2.
所以b 的取值范围为[1，2)．
1．“点M 在曲线y 2
＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的________条件． 答案 必要不充分
解析 ∵y ＝－2x ≤0，而y 2
＝4x 中y 可正可负，
∴点M 在曲线y 2
＝4x 上时， 点M 不一定在y ＝－2x 上．
反之，点M 在y ＝－2x 上时，点M 一定在y 2
＝4x 上． 2．方程(x 2
－4)2
＋(y 2
－4)2
＝0表示的图形是________． 答案 四个点
解析 由已知得?
????
x 2
－4＝0，
y 2
－4＝0，∴?
??
??
x ＝±2，
y ＝±2
即???
??
x ＝2，y ＝2
或???
??
x ＝2，
y ＝－2
或???
??
x ＝－2，y ＝2
或???
??
x ＝－2，y ＝－2.
3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是________．(填序号)
答案 ④
解析 对于①，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除①； 对于②，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除②；
对于③，曲线上第三象限的点，由于x <0，y <0，不满足方程，排除③.
4．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2
＋y 2
＝3上，则α的值为________． 答案
π3或5π
3
解析 由(cos α－2)2＋sin 2
α＝3，得cos α＝12.
又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π
3
.
5．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点
M 的轨迹方程为______________．
答案 x ＋y －1＝0 解析 设M (x ，y )，如图，
由直角三角形的性质可知
PM ＝MO ，
即(x －1)2
＋(y －1)2
＝x 2
＋y 2
， ∴x ＋y －1＝0.
1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程．
3．方程表示的曲线的判断步骤：
4．判断方程表示曲线的注意事项：
(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．
(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．
【学习目标】 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程． 【自主学习】（认真自学课本P34-P36例2） 新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线 注意：1. 如果……，那么……； 2. “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3. 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4. 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 【合作探究】 例1：:（教材P35例1）证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 例2（教材P35例2）设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．
小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,) M x y表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P的点M的集合{|()} P M p M =； ③用坐标表示条件P，列出方程(,)0 f x y=； ④将方程(,)0 f x y=化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 【目标检测】 1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（）． A． 2 x y x =B ．y=C ．y=D．2log 2x y= 2. 已知方程222 ax by +=的曲线经过点 5 (0,) 3 A和点(1,1) B，则a= ，b= ． 3. 已知两定点(1,0) A-，(2,0) B，动点p满足 1 2 PA PB =，则点p的轨迹方程是． 4. 求和点(0,0) O，(,0) A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程． 【作业布置】 任课教师自定
椭圆 【学习目标】 1.能 正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题； 3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、椭圆的定义及其标准方程 椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(21212F F a PF PF >=+)，这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 椭圆的标准方程： 1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值. 要点二、椭圆的几何性质 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 22 221(0)x y a b a b +=>> 22 221(0)x y a b b a +=>> 椭圆 椭圆的定义与标准 方程方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 椭圆的综合问题 最大（小）值问题 椭圆的弦问题 椭圆离心率及离心率的范围问题
(,0)F c -，(,0)F c (0,)F c -，(0,)F c 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22 221x y a b +=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一 元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0?直线和椭圆相交?直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0?直线和椭圆相切?直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0?直线和椭圆相离?直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则 12||PP 12|x x - 同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
3.4.1 曲线与方程 学习目标：曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础，理解曲线与方程之间的一一对应关系。 学习重点：曲线与方程的一一对应关系。 学习难点：常见的几何模型与代数模型的转换。 学习过程： 一、复习： 同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。 一、新旧知识连接： 复习直线、圆、圆锥曲线的标准方程与曲线的一一对应关系。 二、我能自学： 1.认识角的概念： 一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 F (x , y )=0的实数解建立了如下的关系 （1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么曲线C 叫做方程F (x , y )=0的曲线；方程F (x , y )=0叫做曲线C 的方程 曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程 三、巩固训练 1．22 :(3,4),5(3)(4)25,M x y -+-=证明圆心为半径为的圆的方程 (1,0),(1,0),(1,2)O A B --并判断点是否在这个圆上. 2．求直角坐标系下一三象限的角分线方程，下列方法是否正确？ 3. 求证：与两条坐标轴的距离的积等于1的点的轨迹方程是|xy |=1 例4. 甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程 f (x ，y )=0 的解”，乙：“曲线C 是方程 f (x ，y )=0 的曲线”，则甲是乙的( )
(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 非充分也非必要条件
典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三
例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹． 说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线． 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？ 分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21<
第三课时 圆锥曲线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 (1)圆2 2 2 r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆2 2020)\()(r y y x x =+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ （二）、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）,参 数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数）
参数θ几何意义为以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角。 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程???==Pt y Pt x 222 （t 为参数）,t 为以抛物 线上一点（X,Y ）与其顶点连线斜率的倒数。 （1）、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标。 （3）、参数方程求法：（A ）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；（B ）选取适当的参数；（C ）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；（D ）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。 4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆12222=+b y a x 参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为
高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解 圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2 y =上的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点， F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，
“圆锥曲线与方程”复习讲义 高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 第一课时 椭 圆 一、基础知识填空： 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______； 椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标 分别是F 1 _______，F 2 ______. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。 椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。 椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题： 例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦 点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ ） (A) 3 1 (B) 3 3 (C) 2 1 (D) 2 3 例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A B C ．2 D 1 例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） （A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 三、基础训练： 1.(2007安徽文)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）4 3 （C ） 22 （D ）3 2 2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2 2为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆
第8讲 曲线与方程 一、选择题 1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线． 答案 D 2． 动点P (x ，y )满足5x －1 2 y －2 2 ＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹 是 ( )． A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线 解析 设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝ x －1 2 y －2 2 ，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11| 5 . 由已知得|PF | d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直 线．选D. 答案 D 3．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 ( )． A.4x 221－4y 2 25＝1 B.4x 221＋4y 2 25＝1 C.4x 225－4y 2 21 ＝1 D.4x 225＋4y 2 21 ＝1 解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆，∴
a ＝52，c ＝1，则 b 2＝a 2－ c 2＝214 ， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 2 21＝1. 答案 D 4．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ? ? ???－ a 2，0，C ? ????a 2，0且满足条件 sin C －sin B ＝1 2sin A ，则动点A 的轨迹方程是( ) A.16x 2 a 2－16y 2 15a 2＝1(y ≠0) B.16y 2a 2－16x 2 3a 2＝1(x ≠0) C.16x 2a 2－16y 2 15a 2＝1(y ≠0)的左支 D.16x 2a 2－16y 2 3a 2＝1(y ≠0)的右支 解析：sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得|AB |－|AC |＝12|BC |＝12a (定值)． ∴A 点的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支，其中实半轴长为a 4，焦距为 |BC |＝a . ∴虚半轴长为? ????a 22－? ?? ??a 42 ＝34a ，由双曲线标准方程得动点A 的轨迹方程 为16x 2 a 2－16y 2 3a 2＝1(y ≠0)的右支． 答案：D 5．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝3 7 .动点 P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )． A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 解析 当E 、F 分别为AB 、BC 中点时，显然碰撞的结果为4，当E 、F 分别为
高二数学曲线与方程的概念导学案导学案文 一、预习导航 1、探究：下列表示平面直角坐标系下求一三象限角平分线的方程，你认为哪些是正确的？（1）（2）（3） 2、结论（1）你能说明不正确的理由是什么吗？（2）你能据此总结出曲线的方程和方程的曲线满足的两个条件吗？ 二、牛刀小试判断下列曲线与方程的关系，若所给出的方程不是曲线的方程，是因为不满足两个条件中的哪一条？（1）曲线C：过点（2，0）且与y轴的距离等于2的点的轨迹方程为（2）曲线C：到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹方程为。（3）曲线C：以y轴为对称轴的等腰三角形底边上的中线的方程：。 三、展示自我 1、判断正误：（1）已知一个三角形的三个顶点是A（2，3）、B(0,0)、C(4,0)，它的BC边上的中线AM的方程是；（2）如图，MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(-1,0)B(1,0)的连线，使为直角的动点M的轨迹方程是：； 2、如果方程的曲线通过点A(0,-2)和B（），求a，b的值。３、求直线l：x+4y+7=0与曲线C:的公共点的坐标。 四、巩固提高已知两圆,,想一想：及应该满足的条件？方程（1）时，该方程表示：
_______________________________________________（2）时，该方程表示： _______________________________________________练习：求通过两圆，的交点和点（2，1）的源的方程？ 五、小结你认为通过自己的学习，本节课有哪些知识没有掌握？ _________________________________________________________ ______________________ _________________________________________________________ ______________________
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．抛物线的焦点是? ?? ??－14，0，则其标准方程为( ) A ．x 2＝－y B ．x 2＝y C ．y 2＝x D ．y 2＝－x 【解析】 易知－p 2＝－14，∴p ＝12，焦点在x 轴上，开口向左， 其方程应为y 2＝－x . 【答案】 D 2．(2014·安徽高考)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2 【解析】 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1. 【答案】 A 3．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝y D ．无法确定 【解析】 由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2 ＝2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以 所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y ，故选C. 【答案】 C
4．若抛物线y 2＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－2,0) B ．(2,0) C ．(2,0)或(－2,0) D ．(4,0) 【解析】 由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为???? ??a 2＝4，解得a ＝±8.当a ＝8时，焦点坐标为(2,0)；当a ＝－8时，焦点坐标为(－2,0)．故选C. 【答案】 C 5．若抛物线y 2 ＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 【解析】 易知椭圆的右焦点为(2,0)，∴p 2＝2，即p ＝4. 【答案】 D 二、填空题 6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________. 【解析】 由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3,0)， 半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p 2＝4，∴p ＝2. 【答案】 2 7．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则P 的轨迹方程是________． 【解析】 由题意知，P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，直线x ＋2
曲线与方程 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程． 复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象． 复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？ 新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程； 曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1? 如果……，那么……； 2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ※ 典型例题 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？ 例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程． 变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？ 反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？ 小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ※ 动手试试 练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 22 2x y x x -=- (3) log a x y a = 练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？ ※ 当堂检测
学校______________班级______________专业______________考试号______________姓名______________ 数学试题 圆锥曲线与方程 ． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间90分钟， 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． ． 本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 30小题，每小题2分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项 ． 设12F F 、 为定点，126F F =，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 ． 若抛物线焦点在x 轴上，准线方程是3x =-，则抛物线的标准方程是 A ．2 12y x = B ．2 12y x =- C ．2 6y x = D ．2 6y x =- ． 已知椭圆方程为 22 1916 x y +=，那么它的焦距是 A ．10 B ．5 C ．7 D ．27 ． 抛物线2 6y x =-的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 ． 若椭圆满足4a =，焦点为()()0303-，，， ，则椭圆方程为 A ． 22 1167 x y += B ． 22 1169x y += C ． 22 1167y x += D ． 22 1169 y x += ． 抛物线2 40y x +=上一点到准线的距离为8，则该点的横坐标为 A ．7 B ．6 C ．7- D ．6- ． 一椭圆的长轴是短轴的2倍，则其离心率为 A ．34 B ． 32 C ． 22 D ．12 8． 椭圆的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，则该椭圆的离心率是 A ． 12 B ． 32 C ． 2 D ． 14 9． 椭圆 22 1164 x y +=在y 轴上的顶点坐标是 A ．()20±， B ．()40±， C ．()04±， D ．()02±， 10． 若双曲线的焦点在x 轴上，且它的渐近线方程为3 4 y x =± ，则双曲线的离心率为 A ． 54 B ． 53 C ． 7 D ． 7 11． 椭圆 22 1169 x y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，则AB 等于 A ．5 B ．7 C ． 5 D ．4 12． 如果椭圆22 221x y a b +=经过两点()()4003A B ，、，，则椭圆的标准方程是 A ． 221259 x y += B ． 22 1163x y += C ． 22 1169x y += D ． 22 1916 x y += 13． 双曲线2 2 44x y -=的顶点坐标是 A ．()()2020-，、， B ．()()0202-，、， C ．()()1010-，、， D ．()()0101-，、， 14． 若双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是 A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．32 15． 双曲线 22 1169 x y -=的焦点坐标为 A ．()40±， B ．()30±， C ．()50±， D ．()
圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义 定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆． e (0e 1)c a (2)图形和标准方程 图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0) 821(a b 0) x a y b x b y a 222 2222 2 (3)几何性质
2．双曲线 (1)定义 定义1：平面内与两个定点F F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点 1、
的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)． 定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)． (2)图形和标准方程 图8－3的标准方程为： x a y b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) 图8－4的标准方程为： y a x b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) (3)几何性质
3．抛物线 (1)定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表： ①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离． ②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． ③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k |x x ||y y |2121－＝－11 2+ k 焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2 4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 二、利用平移化简二元二次方程 1．定义 缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程． A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件． A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件． A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．
双曲线及其标准方程 学习目标：掌握双曲线的定义及标准方程，进一步理解坐标法的思想； 学习重点：了解双曲线的定义； 学习难点：双曲线标准方程的推导过程； 学习过程： 一、复习与问题： 1、复习：椭圆的定义 椭圆的标准方程： 2、问题：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，平面内与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ 二、双曲线的定义： 双曲线的定义：把平面内 的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 合作探究：试说明在下列条件下动点M 的轨迹各是什么图形？ ),,2,2,(212121都为正常数是两定点，c a c F F a MF MF F F ==- （1）当21MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （2）当12MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （3）当2a =2c 时，动点M 的轨迹 （4）当2a >2c 时，动点M 的轨迹
（5）当2a =0时，动点M 的是轨迹 三、双曲线的标准方程： 1、焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 建系： 设点： 若焦距为2c (c >0),则1F ，2F ，又设点M 与两焦点的距离差的绝对值等于常数2a ，由双曲线的定义得： （整理过程） 由曲线与方程的关系知所求方程为双曲线的标准方程， 双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 2、焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 ，
它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 思考:如何根据双曲线的标准方程确定焦点的位置？ 四、典例剖析 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于8，则求双曲线的标准方程. 变式1、已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线上一点P 到F1、F2的距离的差等于6，求双曲线的方程. 例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程 1、焦点为（0，--6）,（0，6）,且经过点（2，5） 2、焦点在x 轴上， 3、经过两点 ），（），， （372B 267A --）， （经过点25A ,52-=a
基础巩固强化 一、选择题 1．椭圆2x 2＋3y 2＝12的两焦点之间的距离是( ) A ．210 B.10 C. 2 D ．2 2 [答案] D [解析] 椭圆方程2x 2 ＋3y 2 ＝12可化为：x 26＋y 2 4＝1， a 2＝6， b 2＝4， c 2＝6－4＝2，∴2c ＝2 2. 2．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5 [答案] B [解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y 25k ＝1， 又∵焦点是(0,2)，∴a 2 ＝5k ，b 2＝1，c 2 ＝5k －1＝4， ∴k ＝1. 3．已知方程x 225－m ＋y 2 m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．－9
[解析] 由题意得???? ? m ＋9>025－m >0 m ＋9>25－m ，解得8 高中数学选修2－1 第二章 圆锥曲线与方程 知识点： 一、曲线的方程 求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系； (),M x y 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式； ⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 二、椭圆 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12 F F ）的点的轨迹称为椭圆。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。()12222MF MF a a c +=> 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 第一定义 到两定点21F F 、 的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即 (01)MF e e d =<< 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 3、设M 是椭圆上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则121 2 F F e d d M M ==。 常考类型 类型一：椭圆的基本量 1．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标和离心率. 【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________ 【变式2】椭圆 125 162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________. 【变式3】已知椭圆的方程为11622 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。圆锥曲线与方程复习资料
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