第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率
3．1.1倾斜角与斜率
[目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系；
2.掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用．
[重点] 倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题．
[难点] 倾斜角与斜率的定义及它们关系的理解．
知识点一直线的倾斜角
[填一填]
1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x 轴平行或重合时，规定α＝0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．
3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．
[答一答]
1．每一条直线都有唯一的倾斜角吗？
提示：直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0°，作了这样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了．
2．若0°≤α<180°，任给定一个角α，有多少条直线与之对应？ 提示：有无数条，这无数条直线互相平行． 知识点二 直线的斜率
[填一填]
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α.
2．斜率与倾斜角的对应关系
3.经过两点的斜率公式
直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1
.
[答一答]
3．是否所有直线都有斜率，斜率的几何意义是什么？
提示：当直线与x 轴垂直时，直线不存在斜率，斜率决定直线相对于x 轴的倾斜程度．
4．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？ 提示：这句话不对，当倾斜角α＝0°时，k ＝0，当0°<α<90°时，k >0，
并且随α的增大，k 也增大，当α＝90°时，k 不存在；当90°<α<180°时，k <0，并且随α的增大，k 也增大．
5．斜率公式与所选取的两点的顺序是否有关？为什么？ 提示：斜率公式与所选取的两点的顺序都无关，即两点的横坐标和纵坐标在公式中的次序可以同时调换，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，但只颠
倒其中一个的顺序是不行的．
6．过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的所有直线都有斜率吗？ 提示：不是，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
类型一 直线的倾斜角 [例1] 给出下列结论：
①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)；
⑤若α是直线l 的倾斜角，且sin α＝2
2，则α＝45°. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[解析] 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．
[答案] A
根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0°角、锐角、直角和钝角四类.
[变式训练1](1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(C)
A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°
C．90°<α<180°D．0°≤α<180°
解析：如图所示，α为钝角，即90°<α<180°.
(2)如图，已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为120°.
类型二直线的斜率
命题视角1：直线斜率的定义
[例2]已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100°，若l1的倾斜角为20°，求直线l2的斜率．
[分析]结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用k＝tanα可求．
[解]如图，设直线l2的倾斜角为α，斜率为k，则α＝100°＋20°＝120°，
∴k＝tanα＝tan120°＝－ 3.
∴直线l2的斜率为－ 3.
直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况：
①当0°≤α<90°时，随α的增大，k在[0，＋∞)范围内增大；
②当90°<α<180°时，随α的增大，k在(－∞，0)范围内增大.
[变式训练2]如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为
k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(D)
A．k1 B．k3 C．k3 D．k1 解析：直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0 命题视角2：直线的斜率公式 [例3]求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中 a ， b ， c 是两两不相等的实数． (1)(a ，c )，(b ，c )； (2)(a ，b )，(a ，c )； (3)(a ，a ＋b )，(c ，b ＋c )． [分析] 先确定斜率，再由公式k ＝tan α确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在． [解] (1)k ＝c －c b －a ＝0，倾斜角为0°. (2)∵直线所经过的两点的横坐标相同， ∴此直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (3)k ＝(b ＋c )－(a ＋b )c －a ＝1，倾斜角为45°. 只有倾斜角不是90°的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等. [变式训练3] (1)已知M (1，3)，N (3，3)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，则直线l 的斜率为( A ) A.33 B.3 C.3 2 D ．1 解析：设直线MN 的倾斜角为α，则tan α＝3－3 3－1＝3，∴α＝60°， 故直线l 的倾斜角为α2＝30°.由tan30°＝33，得直线l 的斜率为3 3. (2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 解析：如图，∵k AP ＝1－0 2－1 ＝1， k BP ＝ 3－00－1 ＝－3， ∴直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 命题视角3：斜率公式的应用 [例4] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x 的最大值和最小值． [解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23. [变式训练4] 点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，则y ＋1x ＋1 的取值范围是[－16，53]． 解析：如图，设P 坐标(－1，－1)，A ，B 坐标分别为(2,4)，(5，－2)， k P A ＝4－(－1)2－(－1) ＝53， k PB ＝－2－(－1)5－(－1) ＝－16， 所以y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]． 1．已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( B ) A ．0 B.3 3 C. 3 D ．1 解析：k ＝tan30°＝33. 2．若直线l 经过点M (2,3)，N (2，－1)，则直线l 的倾斜角为( D ) A ．0° B ．30° C ．60° D ．90° 解析：M ，N 的横坐标相同，所以l 的倾斜角为90°. 3．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k <1，则它的倾斜角α的取值范围是( D ) A ．－45°<α<45° B ．－45≤α<45° C ．0°<α<45°或135°<α<180° D ．0°≤α<45°或135°≤α<180° 4．已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为(3＋23，0)． 解析：设Q (x,0)，则由tan150°＝－2 x －3 ＝－33可求之． 5．如下图，已知△ABC 三个顶点坐标A (－2，1)，B (1,1)，C (－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角． 解：由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝ 1－1 1－(－2)＝0. 直线BC 的斜率k BC ＝ 4－1 －2－1 ＝－1. 由于点A ，C 的横坐标均为－2，所以直线AC 的倾斜角为90°，其斜率不存在． 又∵α∈[0°，180°)时，tan0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°， ∴tan135°＝－tan45°＝－1，∴BC 的倾斜角为135°. ∴直线AB 的斜率为0，倾斜角为0°；直线BC 的斜率为－1，倾斜角为135°；直线AC 的斜率不存在，倾斜角为90°. ——本课须掌握的两大问题 1．倾斜角 理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x 轴的交点；②角的一条边的方向是指向x 轴正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向． 2．斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．这就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2 x 1－x 2＝ y 2－y 1 x 2－x 1(x 1≠x 2 )． (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论． 课件1 直线的倾斜角与斜率的关系 课件编号：ABⅡ－3－1－1． 课件名称：直线的倾斜角与斜率的关系． 课件运行环境：几何画板4.0以上版本． 课件主要功能：配合教科书“3.1.1倾斜角与斜率”的教学，探究倾斜角的范围以及直线的倾斜角与斜率的关系． 课件制作过程： （1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签，并用【Text Tool】（文本工具）把标签改为O． （2）单击【Graph】菜单的【Plot Points…】（绘制点），弹出“Plot Points”对话框，如图1，绘制固定点A（3，0），B（0，3），C（－3，0）． 图1 （3）依次选中点A，B，C，单击【Construct】（作图）菜单中的【Arc Though 3 Points】（过三点的弧），绘制半圆（图2）． 图2 （4）选中半圆，单击【Construct】菜单中的【Point on Arc】(弧上的点)在半圆上取一点，按Ctrl＋K，加注标签，并用【Text Tool】把标签改为P. （5）选中半圆，单击【Display】（显示）菜单中的【Hide Art】（隐藏弧）隐藏半圆. （6）依次选中点O，A，P，单击【Construct】菜单中的【Arc On Circle】（圆上的弧），绘制圆弧，并单击【Display】菜单中的【Line Width】（线型）菜单中的【Thick】（粗线），单击【Display】菜单中的【Color】（颜色）菜单中的蓝色（图3）． 图3 （7）选中点O，P，单击【Construct】菜单中的【Line】(直线)绘制直线OP，并单击【Display】菜单中的【Line Width】菜单中的【Thick】，单击【Display】菜单中的【Color】菜单中的蓝色． （8）选中点P，单击【Edit】（编辑）菜单的【Action Buttons】（操作类按钮）中的【Animation】（动画），弹出对话框，如图4，单击【确定】，出现一个控制按钮，将按钮标签改为“移动点P”． 图4 直线的倾斜角与斜率讲义 一引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 ．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 ．．．．．．．. ．．．P．和一个倾斜角α (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点： 直线的倾斜角与斜率的教学设计 一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。二、教学重点与难点 重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念； 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式； 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的 作用。 难点：用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 （一）创设情境，揭示课题 问题1、（出示幻灯片）给出的两点P、Q相同吗？ 从形的角度看，它们有位置之分，但无大小与形状之分。 从数的角度看，如何区分两个点？（用坐标区分） 问题2、过这两点可作什么图形？唯一吗？只经过其中一点（如点P）可作多少条直线？若只想定出其中的一条直线，除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角） 由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式 （1）已知直线上两点 （2）已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题3、角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答x轴或y轴）以x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x轴。 倾斜角与斜率 [学习目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素. 知识点一 直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义 当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 2.直线倾斜角的取值范围 直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 思考 当一条直线的倾斜角为0°时，此时这条直线一定与x 轴平行吗？ 答 不一定.也可能与x 轴重合. 知识点二 直线的斜率 1.直线斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. 思考 所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ 答 不是.若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角应为90°. 2.倾斜角α与斜率k 的关系 知识点三 直线斜率的坐标公式 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . 思考 在同一直线(与x 轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？ 答 相等.对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等. 题型一 直线的倾斜角 例1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为() A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 答案 D 解析根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面， 不合题意.通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 跟踪训练1给出下列命题： ①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④按照倾斜角的概念，直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一映射. 其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 题型二直线的斜率 例2已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围. 3.1.1直线倾斜角与斜率的教学设计（第一课时） 莆田四中数学组陈冠峰一、内容及其解析 “直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始，直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。 二、目标及其解析 1．三维目标 1、知识与技能： （1）在直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； （2）理解直线倾斜角和斜率的概念和关系。 2、过程与方法： （1）结合实际，用实际问题带动数学学习； （2）思维训练，借助图像帮助理解。 3、情感态度与价值观： 认识事物之间相互联系——用联系的观点看问题。 2.教学重点：直线的倾斜角和斜率概念。 3.教学难点：斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。 三、问题诊断与分析 1．在初中，学生已经知道，两点确定一条直线，但就已知一点需要再增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的倾斜程度不同，从中形成倾斜角的概念，再经过作图发现经过平面上的一个点和他的倾斜角可以确定直线的位置。 2．对斜率概念的理解是本节的难点，教学中通过日常生活的例子（坡度概念），充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡 《3.1 直线的倾斜角与斜率》测试题转载 一、选择题 1.若直线经过点A(1，2)，B(4，)，则直线的倾斜角是( ). A. B. C. D. 考查目的：考查直线的倾斜角和斜率的定义与斜率计算公式. 答案：A. 解析：∵，∴.∵，∴倾斜角. 2.顺次连接A(-4，3)，B(2，5)，C(4，3)，D(-2，1)四点所组成的图形是( ). A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.直角梯形 考查目的：考查直线的斜率计算公式及由斜率判断两条直线的位置关系的方法. 答案：C. 解析：由直线的斜率计算公式得，，，，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形. 3.(2008四川)将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为( ). A. B. C. D. 考查目的：考查相互垂直的两条直线的斜率关系及函数图象的变换. 答案：A. 解析：将直线绕原点逆时针旋转所得的直线方程为，再将直线 向右平移１个单位长度，得到的直线方程应该为，整理得. 二、填空题 4.(2010湖南文)若不同两点P，Q的坐标分别为(，)，(，)，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为 . 考查目的：考查相互垂直的两条直线的斜率关系与直线的斜率计算公式. 答案：-1. 解析：∵过P，Q 两点直线的斜率为，又∵直线(设其斜率为)是线段PQ的垂直平分线，∴，∴. 5.已知直线的斜率为3，直线经过点(1，2)，(2，).若直线∥，则； 若直线⊥，则 . 考查目的：考查相互垂直和平行的两条直线的斜率关系及其应用. 答案：5，. 解析：∵，，∴若∥，则，即，解得；若 ⊥，则，即，解得. 6.下列命题正确的有 . ( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 高中数学：高二上册《直线的倾斜角和斜率》说课稿(课堂实录) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities. 高中数学：高二上册《直线的倾斜角和斜率》说课稿(课堂实录) 我说的课是高中第二册（上）第七章直线和圆的方程第一大节直线的倾斜角和斜率的第一节课。 一、关于教学目标的确定 1、教材的地位及作用 直线和圆的方程属于解析几何学的基础知识，直线的方程是研究两条直线位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方程的基础。为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念。而作为直线方程的一个简单应用，介绍了简单的线性规划问题。故本节课是学好这一章内容的关键。 2、教学目的的认识 依据教学大纲的目的和要求规定及新课程标准要求，并结合学生的认知基础，我认为本节课的教学目标： （1）知识目标：了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念；理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率。 （2）能力目标：通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力。 （3）情感目标：帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。 二、重点、难点分析 1、本节的重点是直线的倾斜角和斜率概念，及斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究 3.1.1倾斜角及斜率 【学习目标】 1、掌握倾斜角及斜率的意义； 2、掌握倾斜角及斜率的等量关系； 3、掌握已知两点坐标求斜率的方法。 【学习指导】 重点：理解倾斜角及斜率的意义； 难点：如何利用倾斜角与斜率的相等关系。 <问题导学>阅读P 82——P 86，回答下列问题： 1、一条直线的倾斜角由哪两条丰直线构成？ 2、直线的倾斜角的范围是多少？ 3、确定一条直线需要哪些条件？ ①通过直线上的两点可以确定 ②通过直线的斜率和直线上一点也可以确定。 4、任何一条直线都有倾斜角吗？都有斜率吗？ 5、直线的斜率和倾斜角的等量关系是什么？直线斜率的取值范围是什么？ 6、已知直线上两点坐标如何计算直线的斜率？该公式与两点的顺序有关系吗？ 【课堂探究】 1、P85例1 思维指导：思考如何判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？ 解决方法：∵tan α=k ，且0°≤α＜180° ∵K ＞0，α是锐角，K ＜0，α是钝角。 2.P85例2 思维指导： 思考一：已知直线经过原点和直线的斜率，可以画出直线吗？ 由于直线的斜率是一个比值，很难直接画出。 思考二：已知直线上一点（0，0），和斜率，如何找到直线上其它的点？ 假定（x 1,y 1）是直线上一点，你认为x 1是已知还是未知？ 解决方法：因为x 1是变量，可以任意取值，可以取x 1=1，因此x 1是已知。 其次，根据斜率公式K= 011--x y ，可以求出y 1,找到直线上其它点。 【巩固练习】 1、已知直线l 的倾斜角为120°，则直线l 的斜率为（ ） （A ）33（B ）33-（C ）3 （D ）3- 2、过点P （-2，m ）和Q （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ） （A ）1 （B ）4 （C ）1或3 （D ）1或4 3、直线l 经过原点和点（1,1），则它的倾斜角是（ ） 《8.2直线的倾斜角和斜率》教学设计 【课题】直线的倾斜角和斜率 【课时】 1课时（45分钟） 【授课时间】2015年5月19日 【授课类型】新授 【设计理念】 本节课以一个情境贯串教学始终，层层深入，采用问题引领的探究式教学法，借助一个教学平台，贯串两条教学主线，再现三次教学情境，设置多次学生活动，根据“情境创设生活化，问题探究活动化，辨析质疑及时化，习题设置梯度化”的原则，让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，从而将本节课的教学步步推向高潮. 【容解析】 本节课选自教育出版的《数学》第二册第八章第二节《直线的倾斜角和斜率》.直线的倾斜角和斜率，分别从几何和代数的角度刻画了直线的倾斜程度，两者的联系桥梁是正切函数值，是解析几何的重要概念之一，也是研究直线方程及其位置关系等思维的起点.因此，本节起到“开启全章、承前启后”的作用.同时，本节课容在机械工程等方面有着广泛应用，为生活生产提供了理论依据. 【学情简析】 本节课的授课对象1406班是高职一年级的数控专业的学生，班级共38人，36位男生,2位女生.学生数学基础较好，已初步具备解析几何的基本思想.学生思维活跃，善于交流，动手操作能力强，这些特点为本堂课的有效教学提供了质的保障. 【教学目标】 知识与技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念； （2）会求过两点的直线的斜率； 过程与方法：（1）经历倾斜角与斜率概念的形成过程,初步领悟解析几何思想； （2）借助过两点的直线斜率公式的推导过程，进一步渗透分类 讨论思想； 情感态度价值观：通过情境贯串教学，让学生感知数学来源于生活，又应用 于生活，从而激发学生的学习激情. 【教学重点和难点】 重点:直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率计算公式 难点:过两点的直线斜率公式的推导过程 关键点：借助问题情境的创设，设置学生活动； 借助几何画板的演示，体验知识的形成过程. 【教学方法】 教法:情境教学法问题驱动法演示实验法 学法: 观察讨论法自主探究法类比归纳法 【教学用具】 多媒体、几何画板 【教学过程】 直线的倾斜角与斜率教学设计 一、教材的地位与作用 直线的倾斜角和斜率，是解析几何的重要概念之一，是直线的重要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的起点。有着开启全章的作用。 学生在原有的对直线有关性质和平面向量相关知识理解的基础上，重新以坐标化的方式来研究直线的相关性质；突出用代数方面解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活的应用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。 从倾斜角到斜率实现了解析几何代数化的过程，初步渗透“坐标法”与数形结合思想方法。用坐标法研究平面上最简单的图形—直线，对数学2中平面解析几何初步内容起到了关键的作用 二、学情分析 对象是重点中学的普通班的高一同学，比较比较活泼，求知欲强，而且已具备了直角坐标系、平面向量的知识，都具备了情感保证和认知基础。 三、教学目标 知识与技能目标： 理解解直线的倾斜角与斜率的概念；掌握两点斜率公式及应用 利用斜率和倾斜角从数和形两方面来刻画直线相对于x轴的倾斜程度， 过程与方法目标： 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解坐标法的基本步骤，感受解析几何的思想方法 初步感悟数形结合的数学思想，提高抽象概括能力; 情感与价值观目标： 通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育 让学生参与到直线斜率公式的推导过程中，使学生享受获取知识成功后的喜悦； 通过计算机辅助教学，展现动态数学，使学生体会数形结合的美感； 三、教学重难点 教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，以及过两点的直线的斜率公式； 教学难点：斜率公式的推导； 四、教学问题诊断 平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。 函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。 五、教学方法与教学手段 教学方法：问题引导与探究法相结合 教学手段：板书、多媒体课件 六、教学过程 在分析教材、确定教学目标、合理选择教法与学法的基础上，我预设的教学过程是“课题引入--探究新知--形成概念--练习反馈--小结作业” （一）课题引入： 教师引导语：今天我们开始学习数学的一个重要分支——解析几何。在17世纪，法国有两位著名的数学家笛卡尔、费马，他们将平面几何图形和代数知识有机的的结合在一起，运用平面直角坐标系的坐标来研究一些平面几何图形的性质和特点。就是以坐标为桥梁，把几何问题转化为代数问题。通过代数运算研究几何图形。我举个通俗的例子，同学们如果我问你，你们家住哪儿，你可以带领我去，嗯，这是最原始的办法；你可以画张图告诉我,那类似几何方法，当然，一般你们是告诉我住址，其实住址就是一个位置坐标。这就是几何问题代数化最简单的生活实例。这节课就学习如何用平面直角坐标系研究直线的性质呢？ 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．直线的倾斜角与斜率的关系
直线的倾斜角与斜率经典例题(学生版
《直线的倾斜角与斜率》课程教案及说明
倾斜角与斜率(附答案)
3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计
直线的倾斜角与斜率测试题
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