《线性代数》知识点归纳整理诚毅
学生编
01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 -
02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 -
03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 -
04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 -
05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -
06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 -
07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 -
08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 -
09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 -
10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 -
11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 -
12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 -
13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 -
14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -
15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 -
16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -
17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 -
18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -
19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 -
20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 -
21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 -
22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 -
23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -
24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 -
25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 -
26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 -
27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -
28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 -
29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 -
30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 -
31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 -
32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 -
33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -
01、余子式与代数余子式
（1）设三阶行列式D ＝33
323123222113
1211a a a a a a a a a ，则
①元素11
a ，12
a ，13
a 的余子式分别为：M 11＝
33
322322a a a a ，M 12＝
33
312321a a a a ，M 13＝
32312221a a a a
对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33
322322a a a a ，这个
行列式即元素11
a 的余子式M 11。其他元素的余子式以此类推。
②元素11
a ，12
a ，13
a 的代数余子式分别为：A 11＝(－1)1＋1M 11 ，A 12＝(－1)1＋2M 12 ，
A 13＝(－1)1＋3M 13 . 对A ij 的解释（i 表示第i 行，j 表示第j 列）：A ij ＝(－1)i ＋j M ij . （N 阶行列式以此类推）
（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：
M 31＝
3040，A 31＝(-1)3+13
04
0 （3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题
02、主对角线
一个n 阶方阵的主对角线，是所有第k 行第k 列元素的全体，k =1, 2, 3… n ，即从左上到右下 的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。
03、转置行列式
即元素j i a 与元素ji a 的位置对调（i 表示第i 行，j 表示第j 列），比如说，12a 与21a 的位置对调、35a 与53a 的位置对调。
04、行列式的性质
详见课本P5-8（性质1.1.1~ 1.1.7） 其中，性质1.1.7可以归纳为这个：
11k i A a ＋22k i A a ＋ … ＋kn in A a ???≠k i
k i A ，，
＝，＝0 （i 表示第i 行，k 表示第k 列）
熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。 例题：作业P1第2题
05、计算行列式
（1）计算二阶行列式
22211211a a a a ：
①方法（首选）：22
211211a a a a ＝21122211a a a a －（即，左上角×右下角－右上角×左下角）
②方法：
22
211211a a a a ＝12121111A a A a ＋＝21122211a a a a －
例题：课本P14
（2）计算三阶行列式33
323123222113
1211a a a a a a a a a ：
33
323123222113
1211a a a a a a a a a ＝131312121111A a A a A a ＋＋＝11a (－1)1＋1M 11 ＋12a (－1)1＋2M 12 ＋13a (－1)1＋3M 13 N 阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r 是row ，即行。c 是column ，即列）
例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题
（3）n 阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n 阶下三角行列式（0元素全在右上角）：
D ＝2211a a …nn
a （主对角线上元素的乘积）
例题：课本P10、作业P3第4小题
有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式 例题：课本P11
（4）范德蒙行列式：详见课本P12-13
（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到
元素全为1的一行，方便化简行列式。 例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题
06、矩阵中未写出的元素
课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为0
07、几类特殊的方阵
详见课本P30-32
（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式 （2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0 （3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同 （4）零矩阵：所有元素都为0，记作O
（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E 或E n （其行列式的值为1）
08、矩阵的运算规则
（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A 的行数与矩阵B 的行数相同；
矩阵A 的列数与矩阵B 的列数也相同）： ①课本P32“A ＋B ”、“A －B ” ②加法交换律：A ＋B ＝B ＋A
③加法结合律：A ＋（B ＋C ）＝（A ＋B ）＋C （2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：
①数与矩阵的乘法： I.课本P33“kA ”
II.kA ＝k n A （因为k A 只等于用数k 乘以矩阵A 的一行或一列后得到的矩阵的行列式） ②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：
???? ??22211211a a a a ×???? ??22211211b b b b ＝???
?
??++++22221221212211212212121121121111b a b a b a b a b a b a b a b a 描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为???
? ??D C B A ，则
A 的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。
即A ＝11a ×11b ＋12a ×21b
B 的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。
即B ＝11a ×12b ＋12a ×22b
C 的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。
即C ＝21a ×11b ＋22a ×21b
D 的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。
即D ＝21a ×12b ＋22a ×22b .
????? ??333231232221131211a a a a a a a a a ×????? ??333231232221131211b b b b b b b b b ＝????
? ??++++++++++++++++++333323321331323322321231313321321131332323221321322322221221312321221121331323121311321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为???
?
?
?
?I H
G F E D
C B A
，则 A 的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。
即A ＝11a ×11b ＋12a ×21b ＋13a ×31b
B 、
C 、
D 、
E 、
F 、
G 、
H 、
I 的值的求法与A 类似。
③数乘结合律：k （lA ）＝（kl ）A ，（kA ）B ＝A （kB ）＝k （AB ） ④数乘分配律：（k ＋l ）A ＝kA ＋lA ，k （A ＋B ）＝kA ＋kB ⑤乘法结合律：（AB ）C ＝A （BC ）
⑥乘法分配律：A （B ＋C ）＝AB ＋AC ，（A ＋B ）C ＝AC ＋BC ⑦需注意的：
I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵 II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立
III.一般来讲，（AB ）k ≠ A k B k ，因为矩阵乘法不满足交换律
IV .课本P40习题第2题：（A ＋B ）2不一定等于A 2＋2AB ＋B 2 ，（A ＋B ）2不一定等于A 2＋2AB ＋B 2，（A ＋B ）（A －B ）不一定等于A 2－B 2 . 当AB ＝BA 时，以上三个等式均成立
（3）矩阵的转置运算规律：
① (A T )T ＝A ② (A ±B )T ＝A T ±B T ③ (kA )T ＝kA T ④ (AB )T ＝B T A T
⑤(ABC)T＝C T B T A T
⑥(ABCD)T＝D T C T B T A T
（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本P46）AB＝A B
（5）例题：课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1 大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业P5第4大题
09、矩阵多项式
详见课本P 36
10、对称矩阵
（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）
（2）①同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵
②数与对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵
③对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵
11、矩阵的分块
线代老师说这部分的内容做了解即可。
详见课本P38-40
12、矩阵的初等变换
三种行变换与三种列变换：详见课本P 42
例题：作业P6全部
13、矩阵等价
若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为A B
14、初等矩阵
（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49
（2）设A为m×n矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.
详见课本P50-51
（3）课本P51第3大题
15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：
若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题：课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题
16、逆矩阵
（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称方阵A是可逆的，并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A－1，AA－1＝E
（3）n阶方阵A可逆的充要条件为A≠0，并且，当A
（证明详见课本P54）
例题：课本P59第1大题
（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）
（5）性质：设A，B都是n阶的可逆方阵，常数k≠0，那么
①(A－1)－1＝A②A T也可逆，并且(A T )-1＝(A-1)T
③kA也可逆，并且④AB也可逆，并且(AB) -1＝B-1A-1
⑤A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1
⑥ AA -1＝E
AA -1＝E ＝1
A
A -1＝1
例题：课本P58例2.3.7、作业P7第1题 （6）分块对角矩阵的可逆性：课本P57 （7）由方阵等式求逆矩阵：课本P58例2.3.6
（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到
的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=1≠0可逆，所 以初等矩阵可逆）
（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵
（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵
（11）方阵A 可逆的充要条件是：A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：课本P67）
（12）利用初等行变换求逆矩阵：[][||E E A ???→?初等行变换
A -1]（例题：课本P68、课本P71）
（13）形如AX ＝B 的矩阵方程，当方阵A 可逆时，有A -1 AX ＝A -1B ，即X ＝A -1B .
此时有：[][]X E B A ||???→?初等行变换
矩阵方程的例题：课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、 课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题 矩阵方程计算中易犯的错误：课本P56“注意不能写成……”
17、充分性与必要性的证明题
（1）必要性：由结论推出条件 （2）充分性：由条件推出结论
例题：课本P41第8大题、作业P5第5大题
18、伴随矩阵
（1）定义：课本P52 定义2.3.2
（2）设A 为n 阶方阵（n ≥2），则AA *＝A *A ＝A E n （证明详见课本P53-54） （3）性质：（注意伴随矩阵是方阵）
①
② (kA )* ＝ kA ·(kA )-1 ＝ k n A ·k 1A -1 ＝ k n k
1
·A A -1 ＝ k n -1A *（k ≠0）
③ |A *| ＝ | A A －1 | ＝A n ·| A －1| ＝ A n ·
A
1（因为存在A －1
，所以A ≠0 ）＝ A n -1 ④ (A *)* ＝ (A A －1)* ＝ | A A －1 |·(A A －1)－1 ＝ A n | A －1|·
A
1(A －1)－1
＝ A n
A 1·A
1A ＝ A n -2A （因为AA －1 ＝ E ，所以A －1的逆矩阵是A ，即(A －1)－1 ） ⑤ (AB ) *＝B *A *
⑥
（4）例题：课本P53、课本P55 、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、
作业P8全部
19、矩阵的标准形：
（1）定义：课本P61-62
（2）任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形
20、矩阵的秩：
（1）定义：课本P63
（2）性质：设A 是m ×n 的矩阵，B 是p ×q 的矩阵，则
① 若k 是非零数，则R (kA )＝R (A ) ② R (A )＝R (A T )
③ 等价矩阵有相同的秩，即若A ?B ，则R (A )＝R (B ) ④ 0≤R (A m ×n )≤min {}n m , ⑤ R (AB )≤min {} )( ,)(B R A R
⑥ 设A 与B 都是m ×n 矩阵，则R (A ＋B)≤R (A )＋R (B ) （3）n 阶方阵A 可逆的充要条件是：A 的秩等于其阶数，即R (A )＝n
（4）方阵A 可逆的充要条件是：A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积。（证明：P67） （5） 设A 是m ×n 矩阵，P 、Q 分别是m 阶与n 阶可逆方阵，则R (A )＝R (P A )＝R (AQ )＝R (P AQ ) （6）例题：课本P64、课本P66、课本P71、作业P7第3题、作业P9全部
21、矩阵的秩的一些定理、推论
线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本P70
22、线性方程组概念
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。 线性方程组经过初等变换后不改变方程组的解。
23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）
（1）定义：课本P81
（2）方程组的解集、方程组的通解、同解方程组：课本P81 （3）系数矩阵A 、增广矩阵 A 、矩阵式方程：课本P82 （4）矛盾方程组（方程组无解）：课本P85例题 （5）增广矩阵的最简阶梯形：课本P87 （6）系数矩阵的最简阶梯形：课本P87
（7）课本P87下面有注明：交换列只是交换两个未知量的位置，不改变方程组的解。为了方
便叙述，在解方程组时不用交换列。 （8）克莱姆法则：
①初步认知：
已知三元线性方程组??
?
??3
33323213123232221211
313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ＝＋＋＝＋＋＝＋＋，其系数行列式D ＝33
3231232221131211a a a a a a a a a .
当D ≠0时，其解为：x 1＝
D D 1，x 2＝D D 2，x 3＝D
D 3
. （其中D 1＝333232322213
121a a b a a b a a b ，D 2＝333312322113111a b a a b a a b a ，D 3＝3
3231222211
1211b a a b a a b a a ）（D n 以此类推）
②定义：课本P15
③使用的两个前提条件：课本P18
④例题：课本P3、课本P16-17、课本P18、作业P3第7题
（9）解非齐次线性方程组（方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行变换）例题：
课本P26、课本P42、课本P82、课本P84、课本P85、课本P86第1大题、课本P88、 课本P91、作业P10第1题
（10）解齐次线性方程组例题：课本P17、课本P18、课本P85、课本P86、课本P90、课本
P91、作业P1第5题、作业P10第2题
（11）n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况：（R (A) 不可能＞R (A)）
R (A) ＜R (A) 无解
＜n 有无穷多个解
有解
R (A) ＝R (A)
有唯一解
特别地，当A是A≠0
由行列式来判断R (A) ＝R (A)
有解当A＝0 有无穷多个解
例题：课本P86第2大题、课本P88、课本P92、作业P11第三题（12）n元齐次线性方程组AX＝O的解的情况：（只有零解和非零解两种情况，有唯一解的充要条件是只有零解，有无穷多个解的充要条件是有非零解）
R (A) ＝n只有零解（有唯一解，为0）
有非零解（有无穷多个解）
R (A) ＜n
特别地，当A是n阶方阵A≠0
例题：课本P24、课本P90-91、作业P11全部
24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念
详见课本P92-93
将列向量组的分量排成矩阵计算时，计算过程中只做行变换，不做列变换。
初等行变换与初等行列变换的使用情况：矩阵、线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩阵中用。（行列式的性质包括行与列的变换）
手写零向量时不必加箭头。
25、线性方程组的向量形式
详见课本P93
26、线性相关与线性无关的概念
详见课本P93-94
例题：课本P101第6大题、作业P14第五大题
27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关
线代老师课上提到的结论。
28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题
详见课本P94 定理3.3.1、定理3.3.2
例题：课本P94-95 例3.3.2、课本P101第3大题、课22本P101第5大题、作业P12第3小题、
作业P12第二大题、作业P13第三大题、作业P13第四大题
29、线性表示与线性组合的概念
详见课本P95
30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题
详见课本P95-96 定理3.3.3
例题：课本P95-96 例3.3.4
31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理
详见课本P96 定理3.3.4、课本P97定理3.3.5、课本P98定理3.3.6
32、最大线性无关组与向量组的秩
详见课本P98-100 定义3.3.5、定义3.3.6、定3.3.7
单位列向量，即“只有一个元素为1，且其余元素都为0”的一列向量（求最大线性无关组用）例题：课本P100 例3.3.5、课本P101第4大题、作业P14第六大题
33、线性方程组解的结构
看此内容之前，最好先复习下“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”与“n元齐次线性
方程组AX ＝O 的解的情况”。
（1）n 元齐次线性方程组AX ＝O 解的结构
① 定理3.4.1：详见课本P101-102
② 定义3.4.1（并理解“基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”）：详见课本P102 ③ 定理3.4.2：详见课本P102
④ 解题步骤（“注”为补充说明）（以课本P104例3.4.1为例）：
（I ）A ＝ ??…?????
?
?
?→??
… ?→??
?
?
0000000031107201--
01
4-??????
?
注：往“行最简形矩阵”方向转化（因为在解方程组时不用列变换，所以一般没法
真正转化成行最简形矩阵，所以说“往……方向转化”）。
（II ）得到同解方程组???-++--5 4325
4 3x x x x x x x x 34721＝＝
注：由?
??+----+030
4721 x x x x x x x x 5 43254 3＝＝得到同解方程组
（III ）∴ 此方程组的一组解向量为：1ξ＝ ?
?001
1
2
-????????，2ξ＝ ?
?01037-????????，3ξ＝ ?
?10014
-???????
?
注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知
?????
????-++--554
43
35 4 32543x
x x x x x x x x x x x x x ＝＝＝＝＝34721 （IV ）显然1ξ，2ξ，3ξ线性无关。
注：根据课本P93-94 定义3.3.3 得出线性无关，注意1ξ，2ξ，3ξ下面分别是：
01 、 0
10 、 1
00
，令它们分别为 1α、2
α、3
α，则显然1α＝0×2
α＋0×3
α，
2
α＝0×1α＋0×3
α，3
α＝0×1α＋0×2
α，可想而知，线性无关。
（V ）∴ 1ξ，2ξ，3ξ为方程组的基础解系，方程组的通解为：k 11ξ＋k 22ξ＋k 33ξ（k 1，
k 2，k 3可取任意值）
注：根据课本P102 定义3.4.1 得出该方程组的通解。
⑤ 其他例题：课本P109 第1大题、课本P109第3大题、课本P109第4大题、作业
P15第一大题第1小题、作业P15第一大题第3小题
（2）n 元非齐次线性方程组AX ＝b 解的结构
① 导出方程组：非齐次线性方程组AX ＝b 对应的齐次线性方程组AX ＝O （详见课本P105） ② 定理3.4.3：详见课本P105 ③ 定义3.4.4：详见课本P105 ④ 定义3.4.5：详见课本P105
⑤ 课本P105 “上述定理表明，……（3.4.6）的形式”这段内容
⑥ 解题步骤（“注”为补充说明，做题时不用写在卷上）（以课本P106例3.4.2为例）：
（I ） A ＝
?
?
……
…?????
?
??→??
… ?→??
?
?0
0100002100101-
0683-????
??
?
（II ）得到同解方程组??
?
??+-- 43
2
3 x x x x x 62831＝＝＝
注：由
??
?
??--+68231 x x x x x 432 3＝＝＝ 得到同解方程组 （III ）令3
x ＝0，得到原方程组的特解X 0＝
?
?608
3-??????
? 注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知。
得到原方程组的特解即以下形式的常数部分。
??????
?+--
43332 3 x x x x x x x 62831＝＝＝＝
（IV ）导出方程组的同解方程为：??
?
?
?- 432
3 x x x x x 021＝＝＝
注：导出方程组，即非齐次线性方程组AX ＝b 对应的齐次线性方程组AX ＝O ，
即步骤（III ）“注”的“形式”的系数部分。
（V ）令3
x ＝1，得到方程组的基础解系ξ＝
?
?012
1
-????
??
?，则原方程组的通解为： X 0 ＋ k ξ（k 可取任意值）
⑦ 其他例题：
（I ）课本P107 例3.4.3（之前先复习“n 元非齐次线性方程组AX ＝b 的解的情况”）
要将含有参数的式子作为分母时，得注意该式子是否≠0
（II ）课本P109 第2大题、作业P15第一大题第4小题、作业P15第二大题、
作业P16第三大题、作业P15第一大题第2小题、作业P15第一大题第3小题
高一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1、集合的含义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性：元素的确定性 元素的互异性 元素的无序性 3、集合与元素的关系：属于与不属于关系 元素a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. 4、集合的表示 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“｛ ｝”括起来表集合的方法叫做列举法 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数集C 5、集合的分类： (1) 有限集：含有有限个元素的集合 (2) 无限集：含有无限个元素的集合 (3) 空集：不含任何元素的集合 例：{x|x 2 =－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 对于两个集合A 与B,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,即若a ∈A,则a ∈B,我们就说集合A 包含于集合B,或集合B 包含集合A,记作A ?B,这时我们说集合A 是集合B 的子集. 注意：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ?/B 或B ?/A 2．“相等”关系：元素相同则两集合相等 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集, 2n -2个非空真子集。 运算 类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A I B （读作‘A 交B ’），即A I B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A Y B （读作‘A 并B ’），即A Y B ={x|x ∈A ，或x ∈B})． 设S 是一个集合， A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的 集合，叫做S 中子集A 的补集 记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ?∈且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B 图2 性 质 A I A=A A I Φ=Φ A I B=B I A A I B ?A A I B ?B A Y A=A A Y Φ=A A Y B= B Y A A Y B ?Ａ A Y B ?B (C u A) I (C u B)= C u (A Y B) (C u A) Y (C u B)= C u (A I B) A Y (C u A)=U A I (C u A)= Φ． S A
有机化学知识点归纳(一) 一、同系物 结构相似，在分子组成上相差一个或若干个CH 2原子团的物质物质。 同系物的判断要点： 1、通式相同，但通式相同不一定是同系物。 2、组成元素种类必须相同 3、结构相似指具有相似的原子连接方式，相同的官能团类别和数目。结构相似不一定完全相同，如CH 3CH 2CH 3和(CH 3)4C ，前者无支链，后者有支链仍为同系物。 4、在分子组成上必须相差一个或几个CH 2原子团，但通式相同组成上相差一个或几个CH 2原子团不一定是同系物，如CH 3CH 2Br 和CH 3CH 2CH 2Cl 都是卤代烃，且组成相差一个CH 2原子团，但不是同系物。 5、同分异构体之间不是同系物。 二、同分异构体 化合物具有相同的分子式，但具有不同结构的现象叫做同分异构现象。具有同分异构现象的化合物互称同分异构体。 1、同分异构体的种类： ⑴ 碳链异构：指碳原子之间连接成不同的链状或环状结构而造成的异构。如C 5H 12有三种同分异构体，即正戊烷、异戊烷和新戊烷。 ⑵ 位置异构：指官能团或取代基在在碳链上的位置不同而造成的异构。如1—丁烯与2—丁烯、1—丙醇与2—丙醇、邻二甲苯与间二甲苯及对二甲苯。 ⑶ 异类异构：指官能团不同而造成的异构，也叫官能团异构。如1—丁炔与1，3—丁二烯、丙烯与环丙烷、乙醇与甲醚、丙醛与丙酮、乙酸与甲酸甲酯、葡萄糖与果糖、蔗糖与麦芽糖等。 ⑷ 其他异构方式：如顺反异构、对映异构（也叫做镜像异构或手性异构）等，在中学阶段的信息题中屡有涉及。 各类有机物异构体情况： ⑴ C n H 2n +2：只能是烷烃，而且只有碳链异构。如CH 3(CH 2)3CH 3、CH 3CH(CH 3)CH 2CH 3、C(CH 3)4 ⑵ C n H 2n ：单烯烃、环烷烃。如CH 2=CHCH 2CH 3、 CH 3CH=CHCH 3、CH 2=C(CH 3)2、 、 ⑶ C n H 2n -2：炔烃、二烯烃。如：CH ≡CCH 2CH 3、CH 3C ≡CCH 3、CH 2=CHCH=CH 2 ⑷ C n H 2n -6：芳香烃（苯及其同系物） 、 ⑸ C n H 2n +2O ：饱和脂肪醇、醚。如：CH 3CH 2CH 2OH 、CH 3CH(OH)CH 3、CH 3OCH 2CH 3 ⑹ C n H 2n O ：醛、酮、环醚、环醇、烯基醇。如：CH 3CH 2CHO 、CH 3COCH 3、CH 2=CHCH 2OH 、 、 、 CH 2—CH 2 CH 2—CH 2 CH 2 CH 2—CH —CH 3 CH 3 CH 3 CH 3 CH 3 CH 3O CH 2—CH —CH 3 CH 2—CH 2 O CH 2 CH 2 CH 2—CH —OH
人教版一年级上册语文知识点整理 一、反义词 大——小多——少来——回高——矮上——下里——外早——晚 远——近来——去黑——白笑——哭出——入天——地水——火 开——关东——西来——去长——短好——坏冷——热前——后 黑——白左——右东——西南——北高——低是——非远——近 外——内无——有慢——快老——少爱——恨有——无弯——直 降——胜圆——扁死——生反——正外——内古——今私——公 熟——生歪——正虚心——骄傲 诚实——虚伪冷淡——热情黑暗——光明失败——成功安全——危险 二、多音字组词 长zhǎnɡ(长大) 乐yuè(音乐) 行xínɡ(飞行) chánɡ(长江) lè(快乐) hánɡ(行业) 少shǎo(多少) 着zhe (看着) 都dōu(都是) 只zhī(一只) Shào(少年) zháo(着急) dū (首都) zhǐ(只要)
三、同音字练习 1、公,工 ( )园( )人( )正手( ) ( )开 (1)我家有只大( )鸡。(2 )小明的爸爸是木( ) 。 2、升，生，声 ( )日( )旗上( ) 花( ) 笑( ) 大( ) (1) 在走廊(lánɡ)上要小( )说话。(2) 今天是妈妈的( )日。 3、做，坐，座，作 工( ) ( ) 业( )下( ) 位事( ) 让( ) (1) 我家门前有一( ) 桥。(2)我在家里写( ) 业。 (3) 我( ) 汽车时给老爷爷让( ) 位。 4、木，目 耳( ) ( )光( )头( )耳树( ) (1 )妈妈让我吃( )耳。(2)老师的( )光很慈祥(cí xiánɡ )。 5、字，子，自 写( ) ( )己孩( ) 舍( ) 为人汉( ) 猴( ) 爸爸说：“儿( )，你要学会自( ) 写( ) 。” 6、金，今，巾，进，近 毛( ) ( )天远( ) ( )入黄( ) 纸( ) (1).妈妈给我买了一条( ) 黄色的头( ) 。 (2). ( )年我在离(lí)家很( )的学校上学。 (3)、我最( ) ( ) 步了。
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
必修二中有机化学知识整理 最简单的有机化合物——甲烷 一、组成与结构 分子式：电子式：结构式：结构简式：空间构型：甲烷的二氯代物有几种？ 二、性质 (一)物理性质：常温常压下为色味体，密度于空气密度，溶于水。 (二)化学性质： 1、燃烧 ①写出甲烷燃烧的化学方程式： ②现象： ③如何检验燃烧的产物？ ④在常温常压下，甲烷的燃烧热为890KJ/mol，写出甲烷的燃烧热的热化学方程式： 2、取代反应：有机物分子里某些原子或原子团被其它原子或原子团所替代的反应。 反应条件：甲烷与纯净的气态卤素单质在光照条件下反应。 写出甲烷与氯气在光照下的取代反应方程式： 其中有机产物有，在常温常压下，其中为气体，其余均为液体；其中为正四面体构型，其余均为构型。 来自石油的一种基本化工原料——乙烯 一、组成与结构 分子式：电子式：结构式：结构简式：官能团：最简式（或比例式、实验式）：空间构型：构型，个原子共平面。 二、性质 (一)物理性质：常温常压下为色味体，密度于空气密度，溶于水。 (二)化学性质： 1、氧化反应 ①燃烧 a，写出乙烯燃烧的化学方程式： b，现象： ②与酸性KMnO4溶液反应：酸性KMnO4溶液将乙烯氧化为CO2 现象： 2、加成反应：有机物分子中双键(或三键)两端的碳原子与其他原子或原子团直接结合生成新的化合物的反应。 完成下列乙烯与H2、X2、HX、H2O的加成反应方程式，注意反应条件！ ①与H2 ②与Br2，将乙烯通入溴水中 ③与HX ④与H2O
3、加聚反应：由不饱和的相对分子质量小的化合物分子结合成相对分子质量大的化合物分子，这样的聚合反应同时也是加成反应。 写出乙烯的加聚反应方程式，并指出单体、链节、聚合度： 【思考】 1、鉴别甲烷与乙烯的方法有： 2、如何除去混在甲烷中的乙烯？能否用酸性KMnO4溶液？为什么？ 来自煤的一种基本化工原料——苯 一、组成与结构 分子式：结构式：结构简式：最简式（或比例式、实验式）：空间构型：构型，个原子共平面。 【思考】1、苯的一氯代物有几种？ 2、苯的邻位二氯代物有几种？ 二、性质 (一)物理性质：常温常压下为色味体，密度于水的密度，溶于水。 (二)化学性质： 1、燃烧 ①写出燃烧的化学方程式： ②现象： 2、加成反应：（与H2、X2） 写出苯与H2的加成反应方程式： 3、取代反应： ①卤代反应：苯与液溴（纯净的卤素单质）在FeBr3的催化下反应 写出反应方程式： 有机产物的名称为，常温常压下为色体，密度于水的密度，溶于水。【思考】 a，加入药品的顺序为： b，此反应的催化剂为： c，长导管的作用为： d，反应开始时可观察到哪些现象？ e，尾气处理装置如图，为何如此设计？还有哪些尾气处理装置可达到此目的？ f，如何检验产物中的无机物？ g，如何提纯产物中的有机物？ h，什么现象说明发生了取代反应而不是加成反应？
高中（人教版）《有机化学基础》必记知识点 目录 一、必记重要的物理性质 二、必记重要的反应 三、必记各类烃的代表物的结构、特性 四、必记烃的衍生物的重要类别和各类衍生物的重要化学性质 五、必记有机物的鉴别 六、必记混合物的分离或提纯（除杂） 七、必记有机物的结构 八、必记重要的有机反应及类型 九、必记重要的有机反应及类型 十、必记一些典型有机反应的比较 十一、必记常见反应的反应条件 十二、必记几个难记的化学式 十三、必记烃的来源－－石油的加工 十四、必记有机物的衍生转化——转化网络图一（写方程） 十五、煤的加工 十六、必记有机实验问题 十七、必记高分子化合物知识 16必记《有机化学基础》知识点
一、必记重要的物理性质 难溶于水的有：各类烃、卤代烃、硝基化合物、酯、绝大多数高聚物、高级的（指分子中碳原子数目较多的，下同）醇、醛、羧酸等。 苯酚在冷水中溶解度小（浑浊），热水中溶解度大（澄清）；某些淀粉、蛋白质溶于水形成胶体溶液。 1、含碳不是有机物的为： CO、CO2、 CO32-、HCO3-、H2CO3、CN-、HCN、SCN-、HSCN、SiC、C单质、金属碳化物等。2．有机物的密度 （1）小于水的密度，且与水（溶液）分层的有：各类烃、一氯代烃、酯（包括油脂） （2）大于水的密度，且与水（溶液）分层的有：多氯代烃、溴代烃（溴苯等）、碘代烃、硝基苯 3．有机物的状态[常温常压（1个大气压、20℃左右）] 常见气态： ①烃类：一般N(C)≤4的各类烃注意：新戊烷[C(CH3)4]亦为气态 ②衍生物类：一氯甲烷、氟里昂（CCl2F2）、氯乙烯、甲醛、氯乙烷、一溴甲烷、四氟乙烯、甲醚、甲乙醚、环氧乙烷。 4．有机物的颜色 ☆绝大多数有机物为无色气体或无色液体或无色晶体，少数有特殊颜色，常见的如下所示： ☆三硝基甲苯（俗称梯恩梯TNT）为淡黄色晶体； ☆部分被空气中氧气所氧化变质的苯酚为粉红色； ☆2，4，6—三溴苯酚为白色、难溶于水的固体（但易溶于苯等有机溶剂）； ☆苯酚溶液与Fe3+(aq)作用形成紫色[H3Fe(OC6H5)6]溶液； ☆淀粉溶液（胶）遇碘（I2）变蓝色溶液； ☆含有苯环的蛋白质溶胶遇浓硝酸会有白色沉淀产生，加热或较长时间后，沉淀变黄色。 5．有机物的气味 许多有机物具有特殊的气味，但在中学阶段只需要了解下列有机物的气味： ☆甲烷：无味；乙烯：稍有甜味(植物生长的调节剂) ☆液态烯烃：汽油的气味；乙炔：无味 ☆苯及其同系物：特殊气味，有一定的毒性，尽量少吸入。 ☆C4以下的一元醇：有酒味的流动液体；乙醇：特殊香味 ☆乙二醇、丙三醇（甘油）：甜味（无色黏稠液体） ☆苯酚：特殊气味；乙醛：刺激性气味；乙酸：强烈刺激性气味（酸味） ☆低级酯：芳香气味；丙酮：令人愉快的气味 6、研究有机物的方法 质谱法确定相对分子量；红外光谱确定化学键和官能团；核磁共振氢谱确定H的种类及其个数比。 二、必记重要的反应 1．能使溴水（Br2/H2O）褪色的物质
人教版一年级上册知识点汇总 第一单元： 数10以内的数：数数时，按一定的顺序数，从1开始，数到最后一个物体所对应的那个数，即最后数到几，就是这种物体的总个数。 一一对应法比较物体的多少：当两种物体一一对应后，都没有剩余时，就说这两种物体的数量同样多。当两种物体一一对应后，其中一种物体有剩余，有剩余的那种物体多，没有剩余的那种物体少。 第二单元： 用上下描述物体的相对位置：从两个物体的位置理解：上是指在高处的物体，下是指在低处的物体。 用前后描述物体的相对位置：一般指面对的方向就是前，背对的方向就是后。 用左右描述物体的相对位置：以自己的左手、右手所在的位置为标准，确定左边和右边。右手所在的一边为右边，左手所在的一边为左边。在确定左右时，除特殊要求，一般以观察者的左右为准。 第三单元： 1～5的认识：每个数都可以表示不同物体的数量。有几个物体就用几来表示。 比较5以内数的大小：前面的数等于后面的数，用“=”表示，即3=3，读作3等于3。前面的数大于后面的数，用“＞”表示，即3＞2，读作3大于2。前面的数小于后面的数，用“＜”表示，即3＜4，读作3小于4。填“＞”或“＜”时，开口对大数，尖角对小数。
认识5以内数的顺序：确定物体的排列顺序时，先确定数数的方向，然后从1开始点数，数到几，它的顺序就是“第几”。第几指的是其中的某一个。 5以内数的分与合：一个数（1除外）分成几和几，先把这个数分成1和几，依次分到几和1为止。例如：5的组成有1和4,2和3,3和2,4和1。把一个数分成几和几时，要有序地进行分解，防止重复或遗漏。 5以内数的加法的含义与计算：把两部分合在一起，求一共有多少，用加法计算。计算5以内数的加法，可以采用点数、接着数、数的组成等方法。其中用数的组成计算是最常用的方法。 5以内数的减法的含义与计算：从总数里去掉（减掉）一部分，求还剩多少用减法计算。计算减法时，可以用倒着数、数的分成、想加算减的方法来计算。 0的意义：表示一个也没有。 0与5以内数的加减：任何数与0相加都得这个数，任何数与0相减都得这个数，相同的两个数相减等于0。 第四单元： 认识长方体、正方体、圆柱、球：长方体的特征是长长方方的，有6个平平的面，面有大有小；正方体的特征是四四方方的，有6个平平的面，面的大小一样；圆柱的特征是直直的，上下一样粗，上下两个圆面大小一样。放在桌子上能滚动立在桌子上不能滚动；球的特征是圆圆的，很光滑，它的表面是曲面。放在桌子上能向任意方向滚动。
高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、知识点： 本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。 本章知识结构 1、集合的概念 教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。 对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。 整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。 确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。 不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义 有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。 我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”
的关系。 几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法 （1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100) ③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。 （2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。 另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算 集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。 一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质
高中化学有机化学知识点总结 1．需水浴加热的反应有： （1）、银镜反应（2）、乙酸乙酯的水解（3）苯的硝化（4）糖的水解 （5）、酚醛树脂的制取（6）固体溶解度的测定 凡是在不高于100℃的条件下反应，均可用水浴加热，其优点：温度变化平稳，不会大起大落，有利于反应的进行。 2．需用温度计的实验有： （1）、实验室制乙烯（170℃）（2）、蒸馏（3）、固体溶解度的测定 （4）、乙酸乙酯的水解（70－80℃）（5）、中和热的测定 （6）制硝基苯（50－60℃） 〔说明〕：（1）凡需要准确控制温度者均需用温度计。（2）注意温度计水银球的位置。 3．能与Na反应的有机物有：醇、酚、羧酸等——凡含羟基的化合物。 4．能发生银镜反应的物质有：醛、甲酸、甲酸盐、甲酸酯、葡萄糖、麦芽糖——凡含醛基的物质。 5．能使高锰酸钾酸性溶液褪色的物质有：（1）含有碳碳双键、碳碳叁键的烃和烃的衍生物、苯的同系物 （2）含有羟基的化合物如醇和酚类物质（3）含有醛基的化合物 （4）具有还原性的无机物（如SO2、FeSO4、KI、HCl、H2O2等） 6．能使溴水褪色的物质有： （1）含有碳碳双键和碳碳叁键的烃和烃的衍生物（加成）（2）苯酚等酚类物质（取代）（3）含醛基物质（氧化）（4）碱性物质（如NaOH、Na2CO3）（氧化还原――歧化反应）（5）较强的无机还原剂（如SO2、KI、FeSO4等）（氧化） （6）有机溶剂（如苯和苯的同系物、四氯甲烷、汽油、已烷等，属于萃取，使水层褪色而有机层呈橙红色。） 7．密度比水大的液体有机物有：溴乙烷、溴苯、硝基苯、四氯化碳等。 8、密度比水小的液体有机物有：烃、大多数酯、一氯烷烃。 9．能发生水解反应的物质有 卤代烃、酯（油脂）、二糖、多糖、蛋白质（肽）、盐。 10．不溶于水的有机物有：烃、卤代烃、酯、淀粉、纤维素 11．常温下为气体的有机物有：分子中含有碳原子数小于或等于4的烃（新戊烷例外）、一氯甲烷、甲醛。
数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。
高中有机化学基础知识点归纳小结 一、重要的物理性质 1．有机物的溶解性 （1）难溶于水的有：各类烃、卤代烃、硝基化合物、酯、绝大多数高聚物、高级的（指分子中碳原子数目较多的，下同）醇、醛、羧酸等。 （2）易溶于水的有：低级的[一般指N(C)≤4]醇、（醚）、醛、（酮）、羧酸及盐、氨基酸及盐、单糖、二糖。（它们都能与水形成氢键）。 二、重要的反应 1．能使溴水（Br2/H2O）褪色的物质 （1）有机物①通过加成反应使之褪色：含有、—C≡C—的不饱和化合物 ②通过取代反应使之褪色：酚类注意：苯酚溶液遇浓溴水时，除褪色现象之外还产生白色沉淀。 ③通过氧化反应使之褪色：含有—CHO（醛基）的有机物（有水参加反应）注意：纯净的只含有—CHO （醛基）的有机物不能使溴的四氯化碳溶液褪色 ④通过萃取使之褪色：液态烷烃、环烷烃、苯及其同系物、饱和卤代烃、饱和酯 （2）无机物①通过与碱发生歧化反应3Br2 + 6OH- == 5Br- + BrO3- + 3H2O或Br2 + 2OH- == Br- + BrO- + H2O ②与还原性物质发生氧化还原反应，如H2S、S2-、SO2、SO32-、I-、Fe2+ 2．能使酸性高锰酸钾溶液KMnO4/H+褪色的物质 1）有机物：含有、—C≡C—、—OH（较慢）、—CHO的物质苯环相连的侧链碳上有氢原子的苯的同系物（但苯不反应） 2）无机物：与还原性物质发生氧化还原反应，如H2S、S2-、SO2、SO32-、Br-、I-、Fe2+ 3．与Na反应的有机物：含有—OH、—COOH的有机物 与NaOH反应的有机物：常温下，易与含有酚羟基 ．．．、—COOH的有机物反应 加热时，能与卤代烃、酯反应（取代反应） 与Na2CO3反应的有机物：含有酚．羟基的有机物反应生成酚钠和NaHCO3； 含有—COOH的有机物反应生成羧酸钠，并放出CO2气体； 含有—SO3H的有机物反应生成磺酸钠并放出CO2气体。 与NaHCO3反应的有机物：含有—COOH、—SO3H的有机物反应生成羧酸钠、磺酸钠并放出等物质的量的CO2气体。4．既能与强酸，又能与强碱反应的物质 （1）2Al + 6H+ == 2 Al3+ + 3H2↑2Al + 2OH- + 2H2O == 2 AlO2- + 3H2↑ （2）Al2O3 + 6H+ == 2 Al3+ + 3H2O Al2O3 + 2OH-== 2 AlO2- + H2O （3）Al(OH)3 + 3H+ == Al3+ + 3H2O Al(OH)3 + OH-== AlO2- + 2H2O （4）弱酸的酸式盐，如NaHCO3、NaHS等等 NaHCO3 + HCl == NaCl + CO2↑ + H2O NaHCO3 + NaOH == Na2CO3 + H2O NaHS + HCl == NaCl + H2S↑NaHS + NaOH == Na2S + H2O （5）弱酸弱碱盐，如CH3COONH4、(NH4)2S等等 2CH3COONH4 + H2SO4 == (NH4)2SO4 + 2CH3COOH CH3COONH4 + NaOH == CH3COONa + NH3↑+ H2O (NH4)2S + H2SO4 == (NH4)2SO4 + H2S↑ (NH4)2S +2NaOH == Na2S + 2NH3↑+ 2H2O （6）氨基酸，如甘氨酸等 H2NCH2COOH + HCl → HOOCCH2NH3Cl H2NCH2COOH + NaOH → H2NCH2COONa + H2O
一年级数学上册概念知识点整理 一、读数、写数。 1、读20以内的数。 顺数：从小到大的顺序0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 倒数：从大到小的顺序20 19 18 17 ······ 单数：1、3、5、7、9 、11、13、15、17、19 双数：2、4、6、8、10 、12、14、16、18、20 2、两位数 （1）十个“1”就是一个“10”,一个“10”就是十个“1”。 如： 11里有（1）个十和（1）个一； 11里有（11）个一。 12里有（1）个十和（2）个一； 12里有（12）个一 13里有（1）个十和（3）个一； 13里有（13）个一 14里有（1）个十和（4）个一； 14里有（14）个一 15里有（1）个十和（5）个一； 15里有（15）个一 ······ 19里有（1）个十和（9）个一；或者说,19里有（19）个一 20里有（2）个十； 20里有（20）个一 （2）在计数器上,从右边起第一位是什么位？（个位）个位上的1颗珠子表示什么？（表示1个一） 第二位是什么位？（十位）十位上的1颗珠子表示什么？（表示1个十）（3）先读11、12、13、14、15、16、17、18、19、20,再写出来。 如：14,读作：十四,写作：14。 个位上是4,表示4个一,十位上数字是1,表示1个十。 二、比较大小和第几。 1、例如给数字娃娃排队：5、6、10、3、20、17,可以按从大到小的顺序排列,也可以按从小到大的顺序排列。（注意:写一个数字,划去一个,做到不重不漏。） 20 2 、任意取 以内的两个数 能够用谁比谁大或谁比谁小说一句话。 , 如：16比15大,写出来就是16＞15 读作：16大于15 9比13小,写出来就是9＜13 读作：9小于13（开口朝左> 是“大于”,开口朝右是“小于”) 3、“比”字的用法看“比”字的后面是谁,比几大1就要在几的基础上加1,比几小1就要在几的基础上减1。 如：比5小2的数是（3）, 比4多3的数是（7）。 4、几和第几 △▲▲★△☆☆△△△▲★★★☆★
有机化学复习总结 一．有机化合物的命名 1. 能够用系统命名法命名各种类型化合物： 包括烷烃，烯烃，炔烃，烯炔，脂环烃（单环脂环烃和多环置换脂环烃中的螺环烃和桥环烃），芳烃，醇，酚，醚，醛，酮，羧酸，羧酸衍生物（酰卤，酸酐，酯，酰胺），多官能团化合物（官能团优先顺序：－COOH ＞－SO3H ＞－COOR ＞－COX ＞－CN ＞－CHO ＞>C ＝O ＞－OH(醇)＞－OH(酚)＞－SH ＞－NH2＞－OR ＞C ＝C ＞－C ≡C －＞(－R ＞－X ＞－NO2)，并能够判断出Z/E 构型和R/S 构型。 2. 根据化合物的系统命名，写出相应的结构式或立体结构式（伞形式，锯架式，纽曼投影式，Fischer 投影式）。 立体结构的表示方法： 1 ）伞形式： COOH OH H 3 2）锯架式：CH 3 OH H H OH C 2H 5 3） 纽曼投影式： H H 4）菲舍尔投影式：COOH CH 3 OH H 5）构象(conformation) (1) 乙烷构象：最稳定构象是交叉式，最不稳定构象是重叠式。 (2) 正丁烷构象：最稳定构象是对位交叉式，最不稳定构象是全重叠式。 (3) 环己烷构象：最稳定构象是椅式构象。一取代环己烷最稳定构象是e 取代的椅 式构象。多取代环己烷最稳定构象是e 取代最多或大基团处于e 键上的椅式构象。 立体结构的标记方法 1. Z/E 标记法：在表示烯烃的构型时，如果在次序规则中两个优先的基团在同一侧，为Z 构型， 在相反侧，为E 构型。 CH 3 C H C 2H 5CH 3C C H 2H 5Cl (Z)－3－氯－2－戊烯 (E)－3－氯－2－戊烯 2、 顺/反标记法：在标记烯烃和脂环烃的构型时，如果两个相同的基团在同一侧，则为顺式； 在相反侧，则为反式。
一年级上册语文知识点归纳总结 一，汉语拼音 声母表23个 b p m f d t n l g k h j q x zh ch sh r z c s y w 韵母表24个 a o e i u ü ai ei ui ao ou iu ie üe er an en in un ün ang eng ing ong 整体认读音节16个 zhi chi shi ri zi ci si yi wu yu ye yue yuan yin yun ying 前鼻韵母an en in un ün 后鼻韵母ang eng ing ong 平舌音z c s 翘舌音zh ch sh r 二，偏旁部首及代表字 氵三点水（江河沙）日日字旁（明晚）讠言字旁（语认识）忄竖心旁（快慢） 雨雨字头（雪霜）冫两点水（次冷） 犭反犬旁（猪狗猫）扌提手旁（打把拉）鸟鸟字旁（鸭鸡鹅) 竹字头(笑笔笛) 彳双人旁( 往）目目字旁（眼睛）
足足字旁(跳跑）亻单人旁（休体住）口口字旁（唱听叶）月月字旁（肚朋腿）人人字头（会合全）门门字框（闪问闻）宀宝盖头（字家宁）土提土旁（地场城）王王字旁（球玩）石石字旁（砍码）火火字旁（炒烧）口方框（国园圆）辶走之底（过远近）禾禾字旁（秋秒）八八字头（谷分公）饣食字旁（饱饭馒）女女字旁（好妈奶）心心字底（想思念）三、量词的使用 一条鱼一条路一条毛巾一条小河 一条尾巴一条（架）彩虹一座桥一座山一座房一座城市一座天安门一只猫 一只猴子一只鹅一只耳朵一只鸡 一个家一个果子一个人一个故事 一个影子一个西瓜一个肚子一个朋友 一颗星星一颗宝石一颗心一群人 一群鹅一群猴子一块田一块面包一块草地一块西瓜一本书一本作业本一朵白云一朵花一片叶子一片风光一双手一双耳朵一双鞋一把尺子 一把扇子一头牛一匹马一阵风
高中数学必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系
高二化学选修5有机化学知识点归纳整理（A4） 一、同系物 结构相似，在分子组成上相差一个或若干个CH 2原子团的物质物质。 同系物的判断要点： 1、通式相同，但通式相同不一定是同系物。 2、组成元素种类必须相同 3、结构相似指具有相似的原子连接方式，相同的官能团类别和数目。结构相似不一定完全相同，如CH 3CH 2CH 3和(CH 3)4C ，前者无支链，后者有支链仍为同系物。 4、在分子组成上必须相差一个或几个CH 2原子团，但通式相同组成上相差一个或几个CH 2原子团不一定是同系物，如CH 3CH 2Br 和CH 3CH 2CH 2Cl 都是卤代烃，且组成相差一个CH 2原子团，但不是同系物。 5、同分异构体之间不是同系物。 二、同分异构体 化合物具有相同的分子式，但具有不同结构的现象叫做同分异构现象。 具有同分异构现象的化合物互称同分异构体。 1、同分异构体的种类： ⑴ 碳链异构：指碳原子之间连接成不同的链状或环状结构而造成的异构。如C 5H 12有三种同分异构体，即正戊烷、异戊烷和新戊烷。 ⑵ 位置异构：指官能团或取代基在在碳链上的位置不同而造成的异构。如1—丁烯与2—丁烯、1—丙醇与2—丙醇、邻二甲苯与间二甲苯与对二甲苯。 ⑶ 异类异构：指官能团不同而造成的异构，也叫官能团异构。如1—丁炔与1，3—丁二烯、丙烯与环丙烷、乙醇与甲醚、丙醛与丙酮、乙酸与甲酸甲酯、葡萄糖与果糖、蔗糖与麦芽糖等。 ⑷ 其他异构方式：如顺反异构、对映异构（也叫做镜像异构或手性异构）等，在中学阶段的信息题中屡有涉与。 各类有机物异构体情况： ⑴ C n H 2n +2：只能是烷烃，而且只有碳链异构。如CH 3(CH 2)3CH 3、CH 3CH(CH 3)CH 2CH 3、C(CH 3)4 ⑵ C n H 2n ：单烯烃、环烷烃。如CH 2=CHCH 2CH 3、CH 3CH=CHCH 3、CH 2=C(CH 3)2、 、 ⑶ C n H 2n -2：炔烃、二烯烃。如：CCH 2CH 3、CH 3C ≡CCH 3、CH 2=CHCH=CH 2 CH 2 —CH 2 2—2 CH 2 CH 2—CH —CH 3 CH 3
一、重要的物理性质 1．有机物的溶解性 （1）难溶于水的有：各类烃、卤代烃、硝基化合物、酯、绝大多数高聚物、高级的（指分子中碳原子数目较多的，下同）醇、醛、羧酸等。 （2）易溶于水的有：低级的[一般指N(C )≤4]醇、（醚）、醛、（酮）、羧酸及盐、氨基酸及盐、单糖、二糖。（它们都能与水形成氢键）。 二、重要的反应 1．能使溴水（Br 2/H 2O ）褪色的物质 （1）有机物① 通过加成反应使之褪色：含有、—C ≡C —的不饱和化合物 ② 通过取代反应使之褪色：酚类 注意：苯酚溶液遇浓溴水时，除褪色现象之外还产生白色沉淀。③ 通过氧化反应使之褪色：含有—CHO （醛基）的有机物（有水参加反应）注意：纯净的只含有—CHO （醛基）的有机物不能使溴的四氯化碳溶液褪色 ④ 通过萃取使之褪色：液态烷烃、环烷烃、苯及其同系物、饱和卤代烃、饱和酯 （2）无机物① 通过与碱发生歧化反应 3Br 2 + 6OH - == 5Br - + BrO 3- + 3H 2O 或Br 2 + 2OH - == Br - + BrO - + H 2O ② 与还原性物质发生氧化还原反应，如H 2S 、S 2-、SO 2、SO 32-、I -、Fe 2+ 2．能使酸性高锰酸钾溶液KMnO4/H+褪色的物质 1）有机物：含有、—C≡C —、—OH （较慢）、—CHO 的物质 苯环相连的侧链碳上有氢原子的苯的同系物（但苯不反应） 2）无机物：与还原性物质发生氧化还原反应，如H 2S 、S 2-、SO 2、SO 32-、Br -、I -、Fe 2+ 3．与Na 反应的有机物：含有—OH 、—COOH 的有机物 与NaOH 反应的有机物：常温下，易与—COOH 的有机物反应加热时，能与卤代烃、酯反应（取代反应） 与Na 2CO 3反应的有机物：含有—COOH 的有机物反应生成羧酸钠，并放出CO 2气体； 与NaHCO 3反应的有机物：含有—COOH 的有机物反应生成羧酸钠并放出等物质的量的CO 2气体。 4．既能与强酸，又能与强碱反应的物质 （1）氨基酸，如甘氨酸等 H 2NCH 2COOH + HCl → HOOCCH 2NH 3Cl H 2NCH 2COOH + NaOH → H 2NCH 2COONa + H 2O （2）蛋白质分子中的肽链的链端或支链上仍有呈酸性的—COOH 和呈碱性的—NH 2，故蛋白质仍能与碱和酸反应。 5．银镜反应的有机物 （1）发生银镜反应的有机物：含有—CHO 的物质：醛、甲酸、甲酸盐、甲酸酯、还原性糖（葡萄糖、麦芽糖等） （2）银氨溶液[Ag(NH 3)2OH]（多伦试剂）的配制： 向一定量2%的AgNO 3溶液中逐滴加入2%的稀氨水至刚刚产生的沉淀恰好完全溶解消失。 （3）反应条件：碱性、水浴加热．．．．．．． 酸性条件下，则有Ag(NH 3)2+ + OH - + 3H + == Ag + + 2NH 4+ + H 2O 而被破坏。 （4）实验现象：①反应液由澄清变成灰黑色浑浊；②试管内壁有银白色金属析出 （5）有关反应方程式：AgNO 3 + NH 3·H 2O == AgOH↓ + NH 4NO 3 AgOH + 2NH 3·H 2O == Ag(NH 3)2OH + 2H 2O 银镜反应的一般通式： RCHO + 2Ag(NH 3)2OH 2 A g ↓+ RCOONH 4 + 3NH 3 + H 2O 【记忆诀窍】： 1—水（盐）、2—银、3—氨 甲醛（相当于两个醛基）：HCHO + 4Ag(NH 3)2OH 4Ag↓+ (NH 4)2CO 3 + 6NH 3 + 2H 2O 乙二醛： OHC-CHO + 4Ag(NH 3)2OH 4Ag↓+ (NH 4)2C 2O 4 + 6NH 3 + 2H 2O 甲酸： HCOOH + 2 Ag(NH 3)2OH 2 A g ↓+ (NH 4)2CO 3 + 2NH 3 + H 2O 葡萄糖：（过量）CH 2OH(CHOH)4CHO +2Ag(NH 3)2OH 2A g ↓+CH 2OH(CHOH)4COONH 4+3NH 3 + H 2O （6）定量关系：—CHO ～2Ag(NH)2OH ～2 Ag HCHO ～4Ag(NH)2OH ～4 Ag 6．与新制Cu(OH)2悬浊液（斐林试剂）的反应 （1）有机物：羧酸（中和）、甲酸（先中和，但NaOH 仍过量，后氧化）、醛、还原性糖（葡萄糖、麦芽糖）、甘油等多羟基化合物。 （2）斐林试剂的配制：向一定量10%的NaOH 溶液中，滴加几滴2%的CuSO 4溶液，得到蓝色絮状悬浊液（即斐林试剂）。 （3）反应条件：碱过量、加热煮沸．．．．．．．． （4）实验现象： ① 若有机物只有官能团醛基（—CHO ），则滴入新制的氢氧化铜悬浊液中，常温时无变化，加热煮沸后有（砖）红色沉淀生成； ② 若有机物为多羟基醛（如葡萄糖），则滴入新制的氢氧化铜悬浊液中，常温时溶解变成绛蓝色溶液，加热煮沸后有（砖）红色沉淀生成； （5）有关反应方程式：2NaOH + CuSO 4 == Cu(OH)2↓+ Na 2SO 4 RCHO + 2Cu(OH)2RCOOH + Cu 2O↓+ 2H 2O HCHO + 4Cu(OH)2CO 2 + 2Cu 2O↓+ 5H 2O OHC-CHO + 4Cu(OH)2HOOC-COOH + 2Cu 2O↓+ 4H 2O HCOOH + 2Cu(OH)2 CO 2 + Cu 2O↓+ 3H 2O CH 2OH(CHOH)4CHO + 2Cu(OH)2CH 2OH(CHOH)4COOH + Cu 2O↓+ 2H 2O （6）定量关系：—COOH ～? Cu(OH)2～? Cu 2+ （酸使不溶性的碱溶解） —CHO ～2Cu(OH)2～Cu 2O HCHO ～4Cu(OH)2～2Cu 2O 7．能发生水解反应的有机物是：卤代烃、酯、糖类（单糖除外）、肽类（包括蛋白质）。 HX + NaOH == NaX + H 2O (H)RCOOH + NaOH == (H)RCOONa + H 2O