2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)函数3
()sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为
(A)1. (B)2.
(C)3.
(D)无穷多个.
(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小,则
(A)1a =,16b =-. (B )1a =,1
6b =. (C)1a =-,16b =-. (D )1a =-,1
6b =.
(3)使不等式1sin ln x t
dt x t
>?成立的x 的范围是 (A)(0,1).
(B)(1,
)2π. (C)(,)2
π
π. (D)(,)π+∞.
(4)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0
x
F x f t dt =
?的图形为
(A) (B)
()
f x O 2
3
x
1
-2
-1
1
()
f x O 2 3
x
1 -
2 -1
1 1
()
f x -2
O 2 3
x
-1
1
(C)
(D)
(5)设,A B 均为2阶矩阵,*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵,若||2,||3A B ==,则分
块矩阵O A B O ?? ???
的伴随矩阵为
(A)**32O B A O ?? ???.
(B)**
23O
B A
O ??
???. (C)**32O A B
O ??
???.
(D)**
23O
A B
O ??
???
. (6)设,A P 均为3阶矩阵,T
P 为P 的转置矩阵,且100010002T P AP ?? ?= ? ???
,
若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+,则T
Q AQ 为
(A)210110002??
? ? ???.
(B)110120002??
?
? ???.
(C)200010002?? ? ? ???
.
(D)100020002?? ?
? ???
.
(7)设事件A 与事件B 互不相容,则 (A)()0P AB =.
(B)()()()P AB P A P B =.
(C)()1()P A P B =-.
(D)()1P A B ?=.
(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布(0,1)N ,Y 的概率分布为
1
{0}{1}2
P Y P Y ====
,记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断()
f x O
2 3
x
1 -2
-1
1
()
f x O
2
3
x
1
-1
1
点个数为
(A) 0.
(B)1. (C)2. (D)3.
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9)cos 3
2
0lim
11
x x e e x →-=+- .
(10)设()y x z x e =+,则
(1,0)
z
x ?=? . (11)幂级数2
1
(1)n n n
n e x n ∞
=--∑的收敛半径为 . (12)设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=,则当需求量为10000件时,价格增加1元会使产品收益增加 元.
(13)设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=,若矩阵T αβ相似于300000000??
?
? ???
,则k = .
(14) 设1X ,2X ,…,m X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本,X 和2
S 分别
为样本均值和样本方差,记统计量2
T X S =-,则ET = .
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)
求二元函数()
22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. (16)(本题满分10 分) 计算不定积分1ln(1)x
dx x
++
?
(0)x >. (17)(本题满分10 分) 计算二重积分
()D
x y dxdy -??,其中2
2{(,)(1)
(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥.
(18)(本题满分11 分)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理,若函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则
(),a b ξ∈,得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.
(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()0,
,(0)σσ>内可导,且
'0
lim ()x f x A +
→=,则'(0)f +存在,且'(0)f A +=. (19)(本题满分10 分)
设曲线()y f x =,其中()f x 是可导函数,且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线
0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯
形面积值的t π倍,求该曲线的方程.
(20)(本题满分11 分) 设
111A=111042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-??
?= ? ?-??
.
(Ⅰ)求满足21A ξξ=,231A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ. (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量2ξ,3ξ,证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. (21)(本题满分11 分) 设二次型
2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
(Ⅰ)求二次型f 的矩阵的所有特征值.
(Ⅱ)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. (22)(本题满分11 分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
0(,)0
x e y x f x y -?<<=?
?其他
(Ⅰ)求条件概率密度()Y X f y x ; (Ⅱ)求条件概率{}
11P X Y ≤≤. (23)(本题满分11分)
袋中有一个红球,两个黑球,三个白球,现在放回的从袋中取两次,每次取一个,求
以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
(Ⅰ)求{}
10P X Z ==;
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题和解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)函数3
()sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为:( )
()A .
1
()B . 2 ()C .
3
()D .无穷多个
【答案】C 【解析】
()3
s i n x x f x x
π-=
则当x 取任何整数时,()f x 均无意义
故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是3
0x x -=的解
1,2,30,1x =±
320032113211131
lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ
ππππ
→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±
(2)当0x →时,()sin f x x ax =-与2
()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小,则( )
()A .1a =,16b =- ()B . 1a =,1
6b = ()C .1a =-,1
6b =-
()D .1a =-,16
b =
【答案】 A