其余的比较简单，大家可以自己考虑。
3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕
B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。给出把对矢量P B 的描述变为对P A
描述
的旋转矩阵。
解：Θ坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变
换顺序为依次右乘。
∴对P A 描述有 P T P B
A B A = ；
其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A
B = 。
9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。
（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
（2）作图说明每个从右至左的变换序列。 （3）作图说明每个从左至右的变换序列。
解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法1）
对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ；
对楔块2进行的变换矩阵为：
)180,()90,()90,()4,0,3(o
o 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；
其中 ?
?
???
????
???=10000100501000010
2T ； 所以 ：??
???????
???=1000
00100001
01001T ；?????
?
?
??
???--=10
004010000121
002T 对楔块2的变换步骤：
① 绕自身坐标系X 轴旋转?90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转?180； ③ 绕定系的Z 轴旋转?-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。
方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法2）
对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：
)90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(o o o 2--=z Rot x Rot y Rot Trans Trans T ；
所以 ：??
???????
???=100000100001
01001T ；?????
?
?
??
???--=10009010000121
002T 。 备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。 （2）、（3）略。
2. 图3-11 给出一个3自由度机械手的机构。轴1和轴2垂直。试求其运动方程式。
解：方法1建模：
如图3建立各连杆的坐标系。
图3：机械手的坐标系建立
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。
表1：机械手的连杆参数
连杆
i α
i a i d i θ
1
o 90
1L
1θ
2 0
2L
2θ 3 0 0 0
3θ
该3自由度机械手的变换矩阵： 32130A A A T = ；
??
??????????-=10
00001000111
1
11111θθθθθθs L c s c L s c A ； ?
?
???
?
??????-=100
01000022222222
2θθθθθθs L c s c L s c A ； ??
???
?
??????-=1000
010*******
333θθθθc s s c A ； ?
??
????
????
?+-++----+---=10
002
23
23232322121113
213213213
212121113213213
2132130
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθs L c c s s s c c s c s L s L c c s s s c s s s s c c s c c L c L s c s c s c c s s c c c c T
方法二进行建模：
坐标系的建立如图4所示。
图4：机械手的坐标系建立
根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。
表2：机械手的连杆参数
??
??????????-=10000100000011
111θθθθc s s c A ； ??
?????
?????--=100
00001000
22122
2θθθθc s L s c A ； ??
???
?
??????-=100
010000033
2333θθθθc s L s c A ； ?
????
?
?
????
?+-++----+---=10
002
23
23232322121113
213213213
2121211132132132132130
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθs L c c s s s c c s c s L s L c c s s s c s s s s c c s c c L c L s c s c s c c s s c c c c T
3. 图3-12 所示3 自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3平行。图中所示关节均处于零位。各关节转角的正向均由箭头示出。指定本机械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵10T ，21T 和32T 。
解：对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。 方法1建模：
按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5。
图5：机械手的坐标系建立
连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。机械手的D-H 参数值见表3。
表3：机械手的连杆参数
连杆
i α
i a i d i θ
1 o 90
21L L + 1θ
2
0 3L
2θ 3
0 4L
0 3θ
末端执行器
4θ
注：关节变量 04321====θθθθ 。
将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：
?
?
???????
???+-=100001001000
0012110
L L T ；?
?
????
??????=1000
010********
321L T ； ??
???????
???=1000
01000010001432
L T ； ?
?
???
??
?????=1000
010*********
3末
T