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第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
第2章数列极限§1 实数系的连续性1．（1）证明不是有理数；（2）是不是有理数？证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有，所以min B不存在．max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．3．A，B是两个有界集，证明：（1）A∪B是有界集；（2）也是有界集．证明：（1）设，有，有，则，有．（2）设，有，有，则，有．4．设数集S有上界，则数集有下界．且．证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即．5．证明有界数集的上、下确界惟一．证明：设sup S既等于A，又等于B，且A<B．取，因为B为集合S的上确界，所以，使得，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一．6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？解：对于，有，所以．当时，数集S 是由一个实数构成的集合．7．证明非空有下界的数集必有下确界．证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略．8．设并且，证明：（1）S没有最大数与最小数；（2）S在Q内没有上确界与下确界．证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数．（2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：（i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这说明，与矛盾；（ii），取有理数r>0充分小，使得，于是，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界．同理可证S没有下确界．§2 数列极限1．按定义证明下列数列是无穷小量：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）．证明：（1），取，当n>N时，成立．（2），取，当时，成立．（3），取，当时，成立；取，当时，成立，则当时，成立．（4），取，当n>N时，成立．（5）当n>11时，有．于是，取，当n>N时，成立．（6）当n>5，有．于是，取，当n>N时，成立．（7），取，当n>N时，成立（8）首先有不等式，取，当n>N时，成立．2．按定义证明下述极限：证明：（1），取，当时，成立（2），取，当时，成立（3），取，当n>N时，成立（4）令，则．当n>3时，有所以，取，当时，成立．（5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立；若z是奇数，则成立．3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：（1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立；（2）对任意给定的，存在无穷多个，使．解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量．（2）例如则满足条件，但不是无穷小量．4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是．证明：设，则，成立，于是也成立，所以；设，则，成立，取，则，成立，所以．5．设，证明：．证明：由可知，成立，成立．于是，成立．6．设．且，证明：．证明：首先有不等式．由，可知，成立，于是．7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量．证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，成立．于是，成立，所以也是无穷小量．。
第11章Euclid空间上的极限和连续一、判断题1．若f（x，y）在D内对x和y都是连续的，则f（x，y）对（x，y）∈D为二元连续函数．[重庆大学研]【答案】错【解析】举反例：，很明显但是不存在，如果选取路径y=kx趋于0，有不唯一．二、填空题（1）函数的定义域是______，它是______区域；（2）函数的定义域是______；（3）函数的定义域是______；（4）二元函数的定义域是______；（5）函数的定义域是______．[西安交通大学研]【答案】（1）（2）（3）椭圆与抛物线所围的区域；（4）（5）三、解答题1．设f（x）为定义在上的连续函数，α是任意实数，有证明：E是开集，F是闭集．[江苏大学2006研]证明：对任意的，有．因为f（x）在上连续，所以由连续函数的局部保号性知，存在的一个邻域使得当时有，从而，故E是开集．设为F 的任意一个聚点，则存在F中的点列使得．由于f（x）在上连续，所以，又，从而，即，故F是闭集．2．求．[南京大学研、厦门大学研、山东科技大学研]解：方法一由于令，有所以方法二由于，，所以，故有3．设f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，证明：在[c，d]上连续．[南京理工大学研、华东师范大学研]证明：反证法．假设g（y）在某点处不连续，则存在及点列，使得因为f（x，y）在[a，b]×[c，d]上连续，故在[a，b]×[c，d]上一致连续．于是对，存在δ＞0，当时恒有．特别当时，即．固定y，让x在[a，b]上变化，取最大值，可得即时，．因为，所以对δ＞0，存在N ＞0，当n＞N时有，从而有，这与一开始得到的不等式矛盾，结论得证．4．设，为有界闭集，试证：开集W、V，使得A证明：A、B为有界闭集．[四川大学研]令显然W、V为开集．5．设试讨论下面三种极限：[南京工学院研]解：由于在y=0和x=0的函数极限不存在，故在（0，0）点的两个累次极限都不存在．6．设f（x，y是区域D：|x|≤1，|y|≤1上的有界k次齐次函数（k≥1），问极限是否存在？若存在，试求其值．[南京大学研]解：令x=rcosθ，y=rsinθ．由于f（x，y）是区域D上的有界k次齐次函数7．设二元函数f(x,y)在正方形区域[0，1]×[0，1]上连续．记J=[0，1]．（1）试比较的大小并证明之；（2）给出并证明使等式成立的（你认为最好的）充分条件．[浙江大学研]解：（1），有上式对于任意的x都成立，则由y的任意性可知（2）若，使下面证明上面条件为充分条件显然8．设为n维欧氏空间，A是的非空子集，定义x到A的距离为证明：上的一致连续函数．[南京大学研] 证明：有对使故对时，即上的一致连续函数．9．[暨南大学2013研] 解：设，则。
第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算曲线积分，其中L是绕原点的简单闭曲线．解：方法一当时，可以验证，所以可将曲线L换成以原点为中心，适当小的＞0为半径的小圆周：易见构造辅助函数：仍有．若定义A（0，0）＝0，B（0，0）＝1，则A，B在原点连续．事实上，由泰勒展开式，有．所以有即补充定义后A在原点连续，同理可证B也在原点连续．于是I＝J＝2π．方法二在L′上，有故积分值与无关．注意到被积函数关于连续，令，在积分号下取极限即得2．设封闭曲线的正向与z轴正向符合右手法则，求曲线积分解：由可得因此可设曲线L的参数方程为：，t从－3π/4到3π/4．于是3．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上具有一阶连续导数，L是上半平面y＞0内的有向分段光滑曲线，其起点为（a，b），终点为（c，d）．记（1）证明：曲线积分I与积分路径无关；（2）当ab＝cd时，求I的值．证明：（1）因为所以在上半平面内曲线积分I与积分路径无关．（2）由（1）知，是某个函数u（x，y）的全微分，而设F（x）是f（x）的一个原函数，则，因此4．计算积分其中（n，x），（n，y）分别是由x轴、y轴正向与L的外法向n之间的夹角，L为逐段光滑的简单闭曲线．解：表示L的正向，即沿逆时针方向，切线方向τ与一致，如图14-1所示.从n逆时针旋转π/2即到τ，于是有（n，x）＝（τ，y），（n，y）＝π－（τ，x），故cos（n，x）ds＝cos（τ，y）ds＝dy，cos（n，y）ds＝－cos（τ，x）ds＝－dx．从而其中S表示L所围的面积．图14-15．计算曲面积分，其中S是球面解：将球面S分成三部分S1，S2，S3，其中此时曲面S1在xOy平面的投影区域为，S1的方程为z＝，故有从而6．计算曲面积分，其中S为下半球面的上侧，a＞0为常数．解：采用补面法．按常规应补平面S1：x2＋y2≤a2，z＝0．仔细观察发现被积函数在原点处有奇性，不能直接应用高斯公式，但注意到在下半球面上的点（x，y，z）满足x2＋y2＋z2＝a2，则可将原曲面积分改写成这样，取S1的法向方向与z轴正向相反，就可对上式使用高斯公式了．于是有其中V是S1，S所围的空间区域．故7．计算曲线积分L是x2＋y2＋z2＝2r1x与x2＋y2＝2r2x的交线（0<r2<r1，z＞0），L的方向是使L所围的球面上较小部分区域保持在左边．解：由于球面的外法向的方向余弦为所以由斯托克斯公式，有其中S是球面x2＋y2＋z2＝2r1x由L所围的部分．由于曲面S关于xOz平面对称，所以．又由可知，。
第16章Fourier级数一、判断题存在实数，，使得.（）[华东师范大学2009研]【答案】对【解析】可选取周期为的连续可微函数，且当时，；时，，取，，为的Fourier系数，则有，.结论得证.二、解答题1．将函数展开为余弦级数．[华中科技大学2008研]解：对作偶式周期延拓，则的傅里叶系数为：，，即，（），所以．2．（1）试讨论级数关于0≤x≤1是否一致收敛；（2）设函数f的周期为2π，且，试利用f的Fourier展开计算的和数.[复旦大学研]解：（1），取，则故关于0≤x≤1不一致收敛.（2）Fourier系数由于f（x）在（0，2π）上连续，由收敛定理知对，有在端点x=0和x=2π处，其傅里叶级数收敛于令x=2π，有故3．把函数展开成Fourier（傅立叶）级数．[中山大学研]解：将f（x）延拓成以2π为周期的按段光滑函数.故f（x）的Fourier级数为由收敛定理知它收敛于4．设在上黎曼可积，证明：的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是[北京大学2007研]证明：此处只需证明的情况（对于一般的情况只是区间的平移和拉伸）．都为0，，5．在[0，π]上展开f（x）=x＋cosx为余弦级数．[华中科技大学研]解：将f（x）= x＋cosx延拓为[－π，π]上的偶函数.则由收敛定理，对在点x=π处，其傅里叶级数收敛于6．设f（x）为以为周期且在[－π，π]上可积的函数，和为f（x）的傅里叶系数.（1）试求f（x＋h）的傅里叶系数，（其中h为常数）；（2）令，求函数F（x）的傅里叶系数，并利用所得结果证明巴塞瓦（Parseval）等式：[哈尔滨工业大学研]解：（1）设f（x＋h）的傅里叶系数为和即同理（2）设F（x）的傅里叶系数为，易知F（x）是以2π为周期的函数．因为f（x）连续，所以由含参变量积分性质知，F（x）是连续函数，又故F（x）是[－π，π]上的偶函数，从而F（x）的傅里叶系数另外，根据含参变量积分的积分顺序可交换定理，令x＋t =u可得由F（x）的连续性和收敛定理得或取x=0，则得Parseval等式7．将函数展成级数，并求的和．[苏州大学2005研]解：根据题意，f（x）在上是奇函数因此。
第13章重积分§1 有界区域上的重积分1．设一平面薄板（不计其厚度），它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区域D．如果该薄板分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表示该薄板上的全部电荷．解：设电荷总量为Q，则2．设函数在矩形上有界，而且除了曲线段外，在D上其他点连续．证明f在D上可积．证明：设，将D用平行于两坐标轴的直线分成n个小区域，记，不妨设，将曲线段包含在内，于是在有界闭区域上连续，因此在上可积，即，当时，而当时，取，当时，就有所以f在D上可积．3．按定义计算二重积分，其中解：将D分成n2个小正方形取，则4．设一元函数f（x）在[a,b]上可积，．定义二元函数，证明F（x,y）在D上可积．证明：将[a，b]、[c，d]分别作划分：和则D分成了nm个小矩形记是f（x）在小区间上的振幅，是F在上的振幅，则于是由f（x）在[a，b]上可积，可知，所以即F（x,y）在D上可积．5．设D是R2上的零边界闭区域，二元函数在D上可积．证明和也在D上可积．证明：首先有设，将D划分成n个小区域，利用不等式，可得于是所以由f，g在D上可积，可知即在D上可积．类似地可得从而在D上也可积．§2 重积分的性质与计算1．证明重积分的性质8．证明：不妨设，M、m分别是f（x）在区域Ω上的上确界、下确界，由、性质1和性质3，可得当，积分中值定理显然成立．当，有所以存在，使得即如果f在有界闭区域Ω上连续，由介值定理，存在，使得所以2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1），其中D为x轴、y轴与直线x＋y＝1所围的区域；（2），其中D为闭矩形[3，5]×[0，1]．解：（1）因为在D上成立0＜x＋y＜1，所以，于是（2）因为在D上成立x＋y≥3，所以，于是3．用重积分的性质估计下列重积分的值：（1），其中D为闭矩形[0，1]×[0，1]；（2），其中D为区域（3），其中Ω为单位球解：（1）因为在D上成立，所以（2）因为在D上成立，所以（3）因为在Ω上成立，所以4．计算下列重积分：（1），其中D为闭矩形[0，1]×[0，1]；（2），其中D为闭矩形[a，b]×[c，d]；（3），其中Ω为长方体[1，2]×[1，2]×[1，2]．解：5．在下列积分中改变累次积分的次序：（改成先y方向，再x方向和z方向的次序积分）；（改成先x方向，再y方向和z方向的次序积分）．解：6．计算下列重积分：（1），其中D为抛物线和直线所围的区域；（2），其中D为圆心在（a，a），半径为a并且与坐标轴相切的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域；（3），其中D为区域（4），其中D为直线和0）所围的区域；（5），其中D为摆线的一拱与x轴所围的区域；（6），其中D为直线和x＝1所围的区域；。
