放缩法在导数压轴题中的应用-郑州第四十四中学

恰当采用放缩法 巧证导数不等式

郑州市第四十四中学 苏明亮

放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到．由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考． 一、利用基本不等式放缩，化曲为直

例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设()ln(1)11f x x x =+++-.证明：当

02x <<时，9()6

x

f x x <

+. 证明：由基本不等式，当0x >时，2(1)12x x +?<+，故112

x

x +<

+. ()ln(1)11ln(1)2

x f x x x x ∴=+++-<++

记9()ln(1)26

x x h x x x =++

-+， 则222

1154(1536)

'()12(6)2(1)(6)x x x h x x x x x +-=+-=

++++. 当02x <<时，'()0h x <，所以()h x 在(0,2)内是减函数.故又由()(0)0h x h <=，

所以9ln(1)26x x x x ++

<+，即9ln(1)116

x x x x +++-<+， 故当02x <<时，9()6

x

f x x <+.

评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数9()()6

x

h x f x x =-+，对()h x 进行求导，由于

'()h x 中既有根式又有分式，因此'()h x 的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对

1x +进行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明

112

x x +<

+，亦即是将抛物线弧1y x =+放大化简为直线段12x

y =+，而该线段正是

抛物线弧1y x =+在左端点(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处

理函数问题的常用方法. 二、利用单调性放缩，化动为静

例2（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数()ln()x

f x e x m =-+.当2m ≤时，证明()0f x >.

证法1：函数()f x 的定义域为(,)m -+∞，则1()1

'()x x

x m e f x e x m x m

+-=-=

++. 设()()1x g x x m e =+-，因为'()(1)0x g x x m e =++>， 所以()g x 在(,)m -+∞上单调递增.

又()10g m -=-<，2(2)212110m g m e --=->?->， 故()0g x =在(,)m -+∞上有唯一实根0x .

当0(,)x m x ∈-时，()0g x <，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，从而当0x x =时，()f x 取得最小值为0()f x .

由方程()0g x =的根为0x ，得0

01

x e

x m

=

+，00ln()x m x +=-，

故0000011

()()2f x x x m m m x m x m

=

+=++-≥-++（当且仅当01x m +=取等号）

， 又因为2m ≤时，所以0()0f x ≥. 取等号的0()0f x ≥条件是01x m +=，0

01

x e x m

=

+及2m =同时成立，这是不可能

的，所以0()0f x >，故 ()0f x >.

证法2：因ln y x =在定义域上是增函数，而2m ≤，所以ln(2)ln()x x m +≥+， 故只需证明当2m =时，()0f x >即可.

当2m =时，1

'()2

x

f x e x =-

+在(2,)-+∞上单调递增. 又'(1)0,'(0)0f f -<>，故'()0f x =在(2,)-+∞上有唯一实根0x ，且0(1,0)x ∈-. 当0(2,)x x ∈-时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，从而当0x x =时，()f x 取得最小值.

由'()0f x =得0

01

2

x e

x =

+，00ln(2)x x +=-， 故200000(1)1

()()022

x f x f x x x x +≥=+=>++.

综上，当2m ≤时，()0f x >.

评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法.证法1直接求导证明，由于其含有参数m ，因而在判断()g x 的零点和求()f x 取得最小值0()f x 显得较为麻烦；证法2利用对数函数ln y x =的单调性化动为静，证法显得简单明了.此外，本题也是处理函数隐零点问题的一个经典范例. 三、活用函数不等式放缩，化繁为简

两个常用的函数不等式： 1x

e x ≥+()x R ∈

1(0)lnx x x ≤->

两个常用的函数不等式源于高中教材（人教A 版选修2-2，32P ）的一组习题，曾多次出现在高考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章[1]

.

例3（2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数1()ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线

()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+.

（I ）求,a b

（II ）证明：()1f x >.

分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明.第（I ）问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数

()f x 的导数，易得1,2a b ==.第（II ）问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不等

式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题.本题第（II ）问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明.

证明：由1x

e x ≥+，得1

x e x -≥，即x e ex ≥，

故

1

x e ex

-≥（当且仅当1x =时取等号） ① 又由1

x e

x -≥，得11x e x -≥，故1

1ex e ex -≤，两边取自然对数得1ln()1ex ex

≥-， 即1ln 0x ex +

≥（当且仅当1

x e

=时取等号） ②

由于①、②式等号不能同时成立，两式相加得2ln x x e ex

-+

≥，两边同乘以x

e ，得()1

f x >. 评注：本题证明中利用函数不等式1x

e x ≥+，并进行适当变形，结合不等式性质进行证明，从而避免了繁杂的计算，过程简洁自然，易于理解.

例4（2016年高考山东卷理科第20题（Ⅱ））已知()2

21

()ln ,x f x a x x a x -=-+∈R . 当1a =时，证明3

()()2

f x f x '>+

对于任意的[]1,2x ∈成立. 证明：()f x 的定义域为(0,)+∞，2233

22(2)(1)

'()a ax x f x a x x x x --=--+=，1a =时， 22321122

()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+

---+ 23312

ln 1x x x x x

=-++--，[1,2]x ∈，

由② 1lnx x ≤-得2323312312

()'()ln 1f x f x x x x x x x x x -=-+

+--≥+-，

[1,2]x ∈. 即只需证

233123

2x x x +->，

[1,2]x ∈ 令23312

()h x x x x =+-，[1,2]x ∈，则24

326'()x x h x x --+=.

设2

()326x x x ?=--+，则()x ?在x ∈[1,2]单调递减， 因为(1)1,(2)10??==-，

所以在[1,2]上存在0x 使得0(1,)x x ∈时，0()0,(,2)x x x ?>∈时，()0x ?<， 所以函数()h x 在0(1,)x 上单调递增，在0(,2)x 上单调递减，

由于3(1)2,(2)2h h ==

，因此当x ∈[1,2]时，3

()(2)2

h x h =…，当且仅当2x =时取得等号，

所以3

()'()(2)2

f x f x h ->=，

即3

()'()2

f x f x >+对于任意的[1,2]x ∈恒成立.

评注：要证明233123

()'()ln 12

f x f x x x x x x -=-++-->，比较麻烦的是式子中有

lnx ，如果能让它消失，问题势必会简单些，所以自然就想到了利用比较熟悉的函数不等式1lnx x ≤-进行放缩，方法自然，水到渠成.

上述两个常用函数不等式的变式： 1()x e x x R -≥-∈

1

(1)1x e x x -≤

>-+ 11

1(0)ln x x x ≤-> ln 1(0)x

x x x ≤-> 四、巧用已证不等式放缩，借水行舟

例5（2016年高考新课标Ⅲ卷文科21题）设函数()ln 1f x x x =-+.

（I ）证明当(1,)x ∈+∞时，1

1ln x x x

-<

<； （II ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x

c x c +->.

证明：（I ）易证当()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln 1x x <-，即1

1ln x x x

-<<. （II ）由题设1c >，设()()11x

g x c x c

=+--，则()1l n x g x c c x =--，，令，()0g x =，

，

解得01

ln

ln ln c c x c

-=.当0

x x <时，()'0g x >，()g x 单调递增；当0x x >时，()'0g x <，()g x 单调递减.由（I ）知，1

1ln c c c

-<

<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >.所以当()0,1x ∈时，()11x c x c +->．

评注：本题第（II ）问利用第（I ）中已证明的不等式1

1ln x x x -<<及01

ln

ln ln c c x c

-=巧妙地求出001

x <<，

进而利用()g x 在01x <<单调性及端点值(0)(1)0g g ==证明出

()0g x >．利用已证不等式（或结论）服务后面问题的情况，在高考和模考试题中屡屡出

现，这种解题中的“服务意识”不仅可以避开复杂的计算，往往也为解题思路指明了方向．下面再看一例：

例6（2013年高考辽宁卷理科21题）已知函数

()()()3

21,12cos .2x

x f x x e g x ax x x -=+=+++ 当[]0,1x ∈时，

（I ）证明：()1

11x f x x

-≤≤+ ；

（II ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x ≥ 恒成立

证明：（I ）证明：要证[]0,1x ∈时，()211,x x e x -+≥-只需证明()1(1)x x x e x e -+≥-． 记()()1(1)x x h x x e x e -=+--，则'()()x x h x x e e -=-．当(0,1)x ∈时，'()0h x >， 因此()h x 在[]0,1上是增函数，故()(0)=0h x h ≥．所以()1f x x ≥-，[]0,1x ∈．

要证[]0,1x ∈时， ()21

11x x e x

-+≤+，只需证明1x e x ≥+． 综上，()111x f x x

-≤≤

+ （II ）解：()()()33

21(12cos )112cos 22

x

x x f x g x x e

ax x x x ax x x --=+-+++≥-----

2

(12cos )2x x a x =-+++．

设2

()2cos 2

x G x x =+，则'()2sin G x x x =-．记()2sin H x x x =-，

则'()12cos H x x =-．当(0,1)x ∈时，'()0H x <，于是'()G x 在[]0,1上是减函数， 从而当(0,1)x ∈时，''()(0)0G x G <=，故()G x 在[]0,1上是减函数．

于是()(0)2G x G ≤=，从而1()3a G x a ++≤+． 所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥ 在[]0,1上恒成立． 下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥ 在[]0,1上不恒成立．

()()3

112cos 12x f x g x ax x x x -≤----+

3

2cos 12

x x ax x x x -=---+

2

1(2cos )12

x x a x x =-++++，

记211()2cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则''2

1

()()(1)

I x G x x -=++，当(0,1)x ∈时，'()0I x <，故()I x 在[]0,1上是减函数，于是()I x 在[]0,1上的值域[12cos1,a 3]a +++．

因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >，此时()()00f x g x <，

即()()f x g x ≥ 在[]0,1上不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞．

评注：本题第二问是一道典型的恒成立求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决（笔者研究发现不能解决的原因是分

离参数后，出现了“0

型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则）；

若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决．上述几道导数不等式都不是考查某个单一的初等函数，而是综合考查指数函数、对数函数（尤其与“x e”和“ln x”有关）、三角函数以及带根号的幂函数和其它函数综合在一起，如果直接求导或求函数零点较为困难，而通过上述放缩法处理，或化动为静或化曲为直或化繁为简或借水行舟，其实就是将这些难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理．由于放缩的尺度不好把握，因而放缩法是一种较难的解题技巧，在学习过程中要善于总结，积累一些常用的函数不等式和解题模式．

参考文献

1．苏明亮．两个重要不等式及其在高考中的应用[J]．高中数学教与学．2014（12）．2．苏明亮．合理构造函数巧解导数难题[J]．数学通讯．2015（6）．

导数压轴题的几种处理方法

等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法： 1、求导之后，将参数分离出来，构造新函数，计算 1+ ln x 例：已知函数 f (x ) = ． （Ⅰ）若函数在区间 (a , a + 12) （其中 a > 0 ）上存在极值，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）如果当 x ≥ 1 时，不等式 f (x ) ≥ k 恒成立，求实数 k 的取值范围； x +1 解：（Ⅰ）因为 f (x ) = 1+ ln x ， x > 0 ，则 ' = - ln x ， … 1 分 x f (x ) x 当 0 < x < 1 时， ' > 0 ；当 x > 1 时， ' ． 所以 f (x ) 在（0，1）上单调递 f (x ) f (x ) < 0 增 ； 在 (1, +∞) 上 单 调 递 减 ， 所 以 函 数 f (x ) 在 x = 1 处 取 得 极 大 值 ． … 2 分 因为函数 f (x ) 在区间 (a , a + 1 ) （其中 a > 0 ）上存在极值， 2 ?a < 1 1 所以 ?? 1 , 解得 < a < 1. … 4 分 ?a + > 1 2 2 ? （Ⅱ）不等式 f (x ) ≥ k ，即为 (x +1)(1+ ln x ) ≥ k , 记 g (x ) = (x +1)(1+ ln x ) , x +1 x x 所以 ' ' x - ln x … 6 分 [(x +1)(1+ ln x )] x - (x +1)(1+ ln x ) g (x ) = x 2 = x 2 , 令 h (x ) = x - ln x , 则 h '(x ) = 1 - 1x ， x ≥ 1,∴ h '(x ) ≥ 0. ∴ h (x ) 在 [1, +∞) 上单调递增，∴[h (x )]min = h (1) = 1 > 0 ，从而 g '(x ) > 0 故 g (x ) 在 [1, +∞) 上也单调递增，∴[g (x )]min = g (1) = 2 ，所以 k ≤ 2 …8 分 2、直接求导后对参数展开讨论，然后求出含参最值，从而确定参数范围

导数的综合应用教学设计(正式版)

导数的综合应用 一、教材分析 我们在复习过程中，发现学生对于导数能够运用，但在具体运用过程中，问题比较多的是如何运用导数去解决问题的手段或解决问题的途径不够宽，或解法不是很灵活。因此，我通过本堂课进一步巩固这部分内容，利于学生进一步地掌握导数知识的运用：确定单调性、求极值、求最值、求切线的斜率从而解决恒成立与不等式问题应用。二、学情分析 根据教材结构与内容分析，结合高考考纲要求，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。 三、教学目标 知识与技能： 通过高考中涉及到导数的常见题型，在学生掌握求曲线斜率，判断函数单调性，及如何求极值，最值的基础上，总结出两种常见题型。 过程与方法： 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力。 通过问题的探究体会数形结合，分离变量，构造函数的数学思想。 情感、态度与价值观： 通过常见题型的常见解决方法，是学生认识到解决有关导数的综合问题并不复杂，从而激发学生的学习兴趣。 四、教学重点、难点 教学重点：利用导数判断函数单调性，极值，最值。 教学难点：以导数为工具处理恒成立问题，及证明不等式。 教学过程 本节课教学过程主要分为：知识回顾，典例示范，知识小结，考点测评，高考赏析五个板块 【知识回顾】（重在对知识的进一步理解和掌握。有利于构建知识网络，回归教材而高于教材） 1.导数定义，判断函数单调性，求极值，最值的方法。 【注】由学生自己来归纳，目的是加强学生的印象。

2.课前热身： （1）已知直线 ax-by-2=0 与曲线 在点（1，1）处的切线互相垂直，则 = ， （2）函数 ， 在 上的最大值和最小值分别为 【注】（1）学生阅读并回顾知识要点，巩固基础。 （2）导数的几何意义，考察函数的单调区间、极值、最值等性质。这是导数运用过程中最常用的。 （3）注意极值不一定是最值，要考虑函数区间的开闭及单调性。 【典例示范】 例一：已知函数 （1）求f(x)的最小值。 （2）若对所有x 1都有 ，求实数a 的取值范围。 解析：需先求出定义域 【注】在求最值之前须讨论函数的定义域，利用分离变量的方法解决恒成立问题。这也是本节课的重点。 【注】当某区间只有一个极大（小）值时，该值就是最大（小)值 例二：已知向量 若函数在区间 上是增函数，求t 的取值范围。 解析： 由f(x)在(-1,1)上单调递增，可知 恒成立，即 移项有 令 只须求g(x)在 的最大值 . 3 y x =a b 32 23125y x x x =--+[]0,3()ln f x x x =≥()1f x ax ≥-'''min 10110,11()()()()()e e e x f e e f x f x f x f ><==- 且=lnx+1,令，则x>,则00,可知g(x)在1,+单调递增，所以g(x)(1)=1,得a 1g

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

(完整版)导数及其应用单元测试卷.docx

导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1．已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 （ t 表示时间， s 表示位移），则瞬时速度为 4 0 的时刻是：（ ） A ． 0 秒、 2 秒或 4 秒 B ． 0 秒、 2 秒或 16 秒 C ． 2 秒、 8 秒或 16 秒 D ． 0 秒、 4 秒或 8 秒 2．下列求导运算正确的是（ ） A ． ( x 1 ) 1 1 B ． (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C ． (3x ) 3x log 3 e D ． x 2 cos x 2sin x 3．曲线 y x 3 2x 4 在点 (13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 120° 4．函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ） s s s s O tO tO t O t A ． 1 B ． C ． D ． 6．设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) （ ） x A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 7．如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图，那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 （ ） 8．设 f ( x) x ln x ，若 f '(x 0 ) 2 ，则 x 0 （ ） A ． e 2 B ． e C ． ln 2 D ． ln 2 2

导数的综合应用题型及解法修订稿

导数的综合应用题型及 解法 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 3．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 4．已知三次函数 32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-． (1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； 5．设函数()()()f x x x a x b =--． （1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点． 题型四：利用导数研究函数的图象 6．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ） （A ） （B ） （C ） （D ） 7．函数的图像为14313+-=x x y ( A ) x y o 4 -2 4 -2 - -x y o 4 -2 4 -2 --x y y 4 -2 4 -2 --6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4

导数的综合应用

导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0

导数综合应用复习题经典

导数综合应用复习题经典 RUSER redacted on the night of December 17,2020

导数综合应用复习题 一、知识回顾： 1．导数与函数单调性的关系 设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内： （1）0)(>'x f ?)(x f ↗，)(x f ↗?()0f x '≥； （2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ?)(x f ↗ （单调递减也类似的结论） 2．单调区间的求解过程：已知)(x f y = （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='； （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3．函数极值的求解步骤： （1）分析)(x f y =的定义域； （2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=； （3）判断出函数的单调性； （4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值； 在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4．函数在区间内的最值的求解步骤： 利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。 二、例题解析： 例1、已知函数321()13 f x x ax ax =+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。 （2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减， 若存在，请求a 的取值范围。 解：先求导得2()2f x x ax a '=++ （1 ）()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2）要使得()f x 在[]1,1-上单调递减 且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立， 即()() 11201120f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。 例2、已知函数321()313 f x x x x =+-+， 2()2 g x x x a =-++ （1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。 （2）若对[]0,2x ∈，恒有()f x a ≥成立，求a 的取值范围。 （3）若对[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。 （4）若对[]10,2x ∈，[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立，

微专题1：构造函数法解选填压轴题

微专题：构造函数法解选填压轴题 高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。 几种导数的常见构造： 1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -= 若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h -= 2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h += 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x = 4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()()x f x h x e = 5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h = 6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()x x f x h = 一、构造函数法比较大小 例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立，0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则,,a b c 的大小关系是 ( ) .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >> 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+, 所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减. 因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选D. 变式: 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x + >， 若111(),2(2),ln (ln 2)222 a f b f c f ==--=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ D ） .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >> 例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ?∈，均有()()f x f x '>，则有

高二数学导数及其应用综合检测综合测试题

导数及其应用综合检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为() A．v＝2sin t＋2t cos t＋1 B．v＝2sin t＋2t cos t C．v＝2sin t D．v＝2sin t＋2cos t＋1 3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是() A．4 B．5 C．6 D．7 4．函数y＝x|x(x－3)|＋1() A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1 B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1 C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1 D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3 5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是() A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)

＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3) 8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④ 9．(2010·湖南理，5)??2 4 1x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞， ＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )>f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )>f (a )g (x )

导数压轴题型第5讲 构造函数(mathtype WORD精编版)

目录 构造函数 (2) 一、求导法则构造型 (2) 二、f’(x)+nf(x)型 (6) 三、xf’(x)+nf(x)型 (9) 四、f’(x)-nf(x)型 (13) 五、xf’(x)-nf(x)型 (18) 六、三角函数型 (22) 七、复合函数型 (26) 八、转化型 (26)

构造函数 解题中我们经常会遇见这样一类函数综合问题：给定式)(x f 与)(x f '所满足的一个不等式或者等式，大多数同学都这一类问题比较迷惑，进而造成解题受阻. 解决这一类问题往往是需构造一个新的函数，使这个新函数的单调性，可以直接由给定的条件判断，进而利用新函数的性质去解题. 所以本专题就针对)(x f 与)(x f '出现的不同类型进行归纳总结. 一、 求导法则构造型 此类题目在构造上相对较为简单，只需根据常见的求导公式及其求导法则就可以构造出原函数 已知函数()(),f x g x 在区间[],a b 上均有()()''f x g x <，则下列关系式中正确的是( ) A ．()()()()f x f b g x g b +≥+ B ．()()()()f x f b g x g b -≥- C ．()()f x g x ≥ D ．()()()()f a f b g b g a -≥- 【答案】B 定义域为R 的函数()f x 满足(3)6f -=，且2()1f x x '>+对x R ∈恒成立，则3 1()15 3 f x x >+的解集为( ) A ．(3,)-+∞ B ．(,3)-∞- C ．(,3)-∞ D ．(3,)+∞ 【答案】A 【解析】构造函数3 1()()3 F x f x x =-， 则有3 1(3)(3)(3)153 F f -=---=，且2()()F x f x x ''=-． 由2()1f x x '>+，可知，则()F x 为增函数， 故3 1()15()15(3)33 f x x F x F x >+?>=-?>-． 故选：A ． 已知函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =-，对任意的x R ∈满足()2f x x '>． 当[]0,απ∈时，不等式(sin cos )sin 20f ααα+->的解集为( ) A ．(,)42ππ B ．30,4π?? ??? ? C ．(,)4ππ D ．3(,)24ππ 【答案】B 【解析】函数()f x 的定义域为R ，(0)1f =-，对任意的x R ∈满足()2f x x '>，

(完整版)《导数及其应用》单元测试卷

《导数及其应用》单元测试 一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共计70 分） 1、函数()cos sin f x x x x =+的导数()f x '= ； 2、曲线2 4x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___； 3、函数13)(2 3+-=x x x f 的单调减区间为_________ __ _____； 4、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =__________ ______； 5、函数3 2 ()32f x x x =-+的极大值是___________； 6、曲线3 2 ()242f x x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是________________； 7、函数93)(2 3 -++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =_______ __； 8、设曲线2 ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________； 9、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为2 1 ，则切点的横坐标为_____________； 10、曲线3 x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ； 11、已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则M m -=___________； 12、设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ； 13、已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ， 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______； ① ② 14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形， 记2 (S =梯形的周长） 梯形的面积 ，则S 的最小值是___ ____。

2016年度高考导数压轴题终极解答

◇导数专题 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论(zhongdianzhangwo) ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用

1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . ' 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(2 11a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(112 1x x x a x y -=--. 令0=y ，得12122x a x x +=，∴12 1 11211222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 2 1 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(02 2 e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论：

导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)

导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ）

3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 0,函数f (x ) = x 3 - ax 在[1,+∞) 上是单调函数. （1）求实数 a 的取值范围； （2）设 x 0 ≥1， f (x ) ≥1，且 f ( f (x 0 )) = x 0 ，求证： f (x 0 ) = x 0 .

导数及其应用单元测试(带答案)

第三章导数及其应用单元测试 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后 的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D． 2．函数的单调递减区间是（） A．B．C．D． 3．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （） 4．点P在曲线 上移动，设 点P处切线倾斜角为α， 则α的取值范围是 （）A．[0,] B．0,∪[,π C．[,πD．(, 5．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为（） A．B．C．D． 6．函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D． 7．已知函数时，则（）

A．B． C．D． 8．设函数的导函数，则数列的前n项和是 （）A．B．C．D． 9．设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为（）A．[-,+∞] B．(-∞,-3) C．(-∞,-3)∪[－,+∞] D．[－,] 10．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时，(x-1)＜0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则（） A ．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A．B．C．D． 12．如图所示的是函数的大致图象，则等于（）A．B． C．D．

第Ⅱ卷 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 13．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________． 14．已知曲线交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点，则△ABP的面积为； 15．函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为， 则不等式的解集为_____________ 16．若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞）上的最大值为,则a的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。 17．（12分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R)． （1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．

2019年高考秘籍-破解导数压轴题策略：7.导数不等式的证明-凸凹性法(1)

导数中的不等式证明 【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。即使如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理使用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 命题角度5 函数凹凸性的应用 【考法点拨】不等式恒成立问题中，很多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解. 【知识拓展】一般地，对于函数)(x f 的定义域内某个区间D 上的不同的任意两个自变量的值21,x x ， ①总有1212()() ( )22 x x f x f x f ++≥（当且仅当12x x =时，取等号），则函数)(x f 在D 上是凸函数，其几何意义：函数)(x f 的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.()0f x ''<，则()f x '单调递减，)(x f 在D 上为凸函数； ②总有1212()() ( )22 x x f x f x f ++≤（当且仅当12x x =时，取等号），则函数)(x f 在D 上是凹函数，其几何意义：函数)(x f 的图象上的任意

《导数及其应用》单元测试题详细答案

导数单元测试题 11.29 一、填空题 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是_______ 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是________ 3．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则实数b 的范围是_______ 4．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为______ 5．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________ 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是_______ 7．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为________ 8．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的______________条件 9． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 10．函数()ln f x x x =的单调递增区间是＿＿＿＿．

导数综合应用答案

11.导数的综合应用（含答案）（高二） 1.（15理科）已知函数()1ln 1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈， 时，()323x f x x ?? >+ ?? ?； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ?? >+ ??? 对()01x ∈， 恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=， （Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2. 试题解析：（Ⅰ） 2 12 ()ln ,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x +''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y - =； （Ⅱ）当()01x ∈， 时，()323x f x x ?? >+ ??? ，即不等式3 ()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ?∈成立，设 33 1()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则 4 2 2()1x F x x '=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ?∈，

3 ()2()3 x f x x >+ 成立； （Ⅲ）使()33x f x k x ?? >+ ??? 成立，()01x ∈， ，等价于3 1()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈， ； 42 22 22()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意； 当2k >时，令4 02 ()0,(0,1)k F x x k -' == ∈， ()(0)F x F <，显然不成立， 综上所述可知：k 的最大值为2. 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 2．（15年理科）设函数2 ()f x x ax b =-+. （1）讨论函数(sin )22 f x ππ 在(-,)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记2 0000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22 ππ (-,)上的最大值D ； （3）在（2）中，取2 000,D 14 a a b z b ===- ≤求满足时的最大值。 【答案】（Ⅰ）极小值为2 4 a b -；（Ⅱ）00||||D a a b b =-+-；（Ⅲ）1.