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二次函数的实际的应用之利润最大值、面积最值问题

二次函数的实际应用——最大利润问题、面积最大(小)值问题

一：最大利润问题

知识要点：

二次函数的一般式c bx ax y ++=2

(0≠a )化成顶点式a

b a

c a b x a y 442(2

2-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．

即当0>a 时，函数有最小值，并且当a

x 2-=，a b ac y 442-=最小值；

当0

x 2-=，a b ac y 442-=最大值．

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a

x 2-=，a b ac y 442-=

最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22

2最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；

如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=12

1最大，当2x x =时，c bx ax y ++=2．

[例1]：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= ﹣2x+100 ．（利润= 售价﹣制造成本）（1 ）写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；

（2 ）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1 ）z= （x -18 ）y= （x -18 ）（-2x+100 ）= -2x 2+136x-1800 ， ∴z 与x 之间的函数解析式为z= -2x 2+136x-1800 ；（2 ）由z=350 ，得350= -2x 2+136x -1800 ，解这个方程得x 1=25 ，x 2=43 所以，销售单价定为25 元或43 元，

将z =-2x 2+136x-1800 配方，得z=-2 （x-34 ）2+512 ，

因此，当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万元；（3 ）结合（2 ）及函数z=-2x 2+136x ﹣1800 的图象（如图所示）可知，当25≤x ≤43时z ≥350 ，

又由限价32 元，得25 ≤x ≤32 ，

根据一次函数的性质，得y=-2x+100 中y 随x 的增大而减小， ∴当x=32 时，每月制造成本最低

最低成本是18 ×（-2 ×32+100 ）=648 （万元），因此，所求每月最低制造成本为648 万元．

[练习]：1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，

1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-=

)60010(102

---=x x 6250)5(102

+--=x

当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）

)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x

6125)5.2(202

+--=x

当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）

综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．

[例2]：市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30?元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)?与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(?直接写出答案)．解：⑴设y=kx+b 由图象可知，

30400

,:402001000

k b k k b b +==-???

+==??解之得，即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x

答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

⑶∵44804500)35(2041802

≤+--≤x

16)35(12

≤-≤x ∴31≤x ?≤34或36≤x≤39．练习 2．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已

知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发

现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．

（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？

（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x （元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范

），

二、面积最大（最小）值问题

实际问题中图形面积的最值问题分析思路为：

（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形面积的计算方法（4）把计算中要用到的所有线段用未知数表示

（5）把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围（6）根据函数的性质以及自变量的取值范围求出面积的最值。

[例1]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米

则长为：x x 4342432-=+-(米)

则：)434(x x S -= x x 3442

<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当2

6<≤x 内，S 随x 的增大而减小，

∴当6=x 时，604

289

)4176(42max =+--=S (平方米)

答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．

练习1 在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．

（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm2)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？

363

3360726612626262

)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t

t t t y =∴+-=<<+-=+--?=+-=?-=

例2.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

剪去的正方形的边长为1cm ．（2）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2，

即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．

（3）有侧面积最大的情况．

设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．

若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：

比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为

cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为

cm 2．

例3、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；

②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可知：

解得：

∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣2x+3；

（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ∵BC 是定值，

∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，

∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点 ∵AP=BP ∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC ∵A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），

∴AC=3，BC=；故△PBC 周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3顶点D 的坐标为（﹣1，4） ∵A （﹣3，0）∴直线AD 的解析式为y=2x+6 ∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，﹣m 2﹣2m+3）

∴EF=﹣m 2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m 2﹣4m ﹣3

∴S=S △DEF +S △AEF =EF ?GH+EF ?AG=EF ?AH =（﹣m 2﹣4m ﹣3）×2=﹣m 2﹣4m ﹣3； ②S=﹣m 2﹣4m ﹣3=﹣（m+2）2+1； ∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1 此时点E 的坐标为（﹣2，2）．

练习2 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3经过点A （1，0），点C （4，3），

∴

，解得

，

所以，抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3；（2）∵点A 、B 关于对称轴对称，

∴点D 为AC 与对称轴的交点时△BCD 的周长最小，设直线AC 的解析式为y=kx+b （k ≠0），

∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，

∴抛物线对称轴上存在点D （2，1），使△BCD 的周长最小；（3）过点E 作EF 垂直于x 轴交AC 于F 设E （m ，m 2-4m+3）则F （m ，m-1） ∴EF=m-1-（m 2-4m+3）=-m 2+5m-4

∴S △ACE =（-m 2+5m-4）×3=-23（m-25）2+8

∴当m=25时，△ACE 的最大面积为827，此时，m 2-4m+3=-43，∴E （25，-4

）.

二次函数最大利润问题专项练习(20191110123257)

二次函数最大利润问题练习 1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 2.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400 件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 3.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

4.某商场以每台 2500 元进口一批彩电。如每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100 元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出 50 台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？ 5.某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价 x (元) 与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： x （元） 15 20 30 ? 若日销售量y 是销售价 x 的一次函数． y （件） 25 20 10 ? ⑴求出日销售量y (件)与销售价 x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 6.某商品的进价为每件 40 元．当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（ 1）若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少

商品利润问题与二次函数典型例题解析

商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习： 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利元；问题二：涨价后日销售量减少千克；问题三：涨价后每天的销售量是千克；问题四：涨价后每天盈利元根据题意列方程得：解方程得：因为商家涨价的目的是；所以符合题意。答：。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是新知解析：例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得： y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答：当降价5元时销售额最大为1800元。此类习题注意要点： 1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10 ×2 x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5

二次函数最大利润应用题(含答案)

二次函数最大利润应用题参考答案与试题解析 1．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y 1（单位：元）、销售价y 2 （单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y 1 与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB所表示的y 1与x之间的函数关系式为y=k 1 x+b 1 ， ∵y=k 1x+b 1 的图象过点（0，60）与（90，42）， ∴ ∴， ∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）设y 2与x之间的函数关系式为y=k 2 x+b 2 ， ∵经过点（0，120）与（130，42）， ∴，解得：， ∴这个一次函数的表达式为y 2 =﹣0.6x+120（0≤x≤130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．

二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间练习 1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点 2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时，求x的值。 4 4如图所示，边长为在线段记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时，求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否以及此时 (2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值；若不存在，请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。二次函数最大面积交AB D B E 能力提高例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动， (1) (2) t秒时梯形 I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时，求S的值。当4< t < 10时，求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2

实际问题与二次函数最大利润问题专题练习题含答案

实际问题与二次函数最大利润问题专题练习题 1．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为( ) A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( ) A．50元 B．80元 C．90元 D．100元 3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n －24，则该企业一年中应停产的月份是( ) A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月 4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为元，每日的销售量为件，每日的利润y＝，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为____元．5．已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式y＝－x2＋1200x－357600，则当卖出盒饭数量为____盒时，获得最大利润是____元． 6. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：

每投入x万元，可获得利润P＝－1 100 (x－60)2＋41. 每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是． 7. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 8. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； (2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？ 9．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元，当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的

二次函数与最大利润问题 (2)

二次函数与最大利润问题教学内容及其分析： 1、内容：二次函数与最大利润问题，利用二次函数的图象和性质确定最大值. 2、分析：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中涉及的求最大利润、最大面积等实际问题都与二次函数的最小（大）值有关.本节课是在学习了二次函数与实际问题的基础上，进一步让学生熟练地掌握用二次函数的性质求最大利润问题的解题方法。所以本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题. 二、教学目标及其分析： 1、目标：（1）能根据已知条件找出等量关系列出二次函数关系式，（2）会用二次函数的性质确定最值. 2、分析：学生通过具体问题，找出变量之间的等量关系，进一步从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小（大）值的结论和已有知识综合运用起来解决实际问题. 三、教学问题诊断分析：学生已经学习了二次函数与实际问题，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说难度较大。基于以上分析，本节课的难点是：根据实际问题列出二次函数的解析式，并根据二次函数的性质确定最大值. 四、教学过程设计教学基本流程：课前回顾——揭示复习目标——中考考点链接——典例分析——当堂训练——课后小结教学情境（一）课前回顾：，对称轴为的图象开口向函数342.22-+-=x x y 有最小值时，当有最大值时，当的增大而随时当y x y x x y x ==-≤≤-,,15 1. 二次函数y= ax 2+bx+c (a ≠0)的图象和性质 x x y o

人教版初中数学九年级数学上册：22.3 实际问题与二次函数二次函数求利润的最值问题

二次函数求商品利润的最值问题例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设每件降价x元，总利润为y元。则y=（60-40-x）（300+20x）) =-20x2+100x+6000 =-20（x-2.5）2+6125 因此当x=2.5时，y有最大值6125． 60-x=60-2.5=57.5 答：每件定价为:57.7元时利润最大．一、说题意 1：题目涉及到的知识点 ①二次函数最值问题

顶点 ②利润问题 2、已知条件和未知条件之间的关系每件的利润=每件的售价-每件的进价总利润=每件的利润×所售的件数 3、题目的基础背景二次函数的性质作为初中课本中的重要知识点，在实际生活中有着广泛的应用，而应用二次函数的性质求商品利润最值的相关题目在练习和中考题中经常出现，对于这类题，我们应先仔细分析题目中给出的信息，列出二次函数，然后利用二次函数的性质，便可使这类题迎刃而解。二、说思路三、说思想本题间接设每件降价为x元比直接设每件定价为x元要在计算量上简单本节主要学习了利用二次函数解决利润问题中的一些最值问题，解决这类问题，一般先理清楚题中各个数量关系，通过建模思想建立函数模型，最后利

用二次函数中求最值的方法达到我们解决问题的目的四、问题的延伸及拓展变式训练：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场反映，每涨价2元，每星期可少卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题的数量关系（1）每件利润=每件售价-每件进价（2）销售总利润=单件利润×销售件数分析：设每件涨价x元，总利润为y元解：设设每件涨价x元，总利润为y元当x=5时利润最大为6250元 60+x=60+5=65 答：当定价为65元时能获得最大利润，且最大利润为6250元

中考数学复习指导：解二次函数中三角形面积最值问题

解二次函数中三角形面积最值问题一、灵割巧补，间接转化求最值这里的割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解，补是指将所求图形填上一部分然后用补后的图形面积减去所补的部分面积.两种做法的实质都是间接的求出所求图形的面积. 例1 在如图所示的直角坐标系中，有抛物线2424455 y x x =-+.连接AC ，问在直线AC 的下方，是否在抛物线上存在一点N ，使NAC V 的面积有最大值?若存在请求出此值;若不存在请说明理由. 解析设N 点坐标为2424(,4)55 a a a -+，(0,5)a ∈，如图所示过点A 作直线平行于x 轴，过点N 作直线平行于y 轴，与x 轴交于点F ，与AC 相交于点G ，两直线相交于点D .容易求得直线 AC 的方程445y x =- +，得出G 点坐标(4(,4)5a a -+，求出NG 的长为2445 a a -+，111222 ACN ANG CGN S S S NG OF NG CF NG OC =+=?+?=?V V V 2210a a =-+，故当52a =时三角形面积有最大值252，此时N 点的坐标为5(,3)2-. 点拨本题中将三角形割开求解的方法在应用中是较为常见的，此种方法也可视为是铅垂法，即三角形的面积等于三角形的水平宽与铅垂高的积的一半，本题中就是演示了整个的推理以及求解过程. 二、直线平移，化为切线求最值切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，即通过平移直线，当直线与抛物线只有一个交点时(此时就是相切)存在长度的极值，借此来直接求出点的坐标.此法不用求出面积的解析式就可直接求解，是解题的新思路. 例2 如图所示，在平面直角坐标系中，有一抛物线2142 y x x =+-，在第三象限的抛物线上是否存在一动点M ，使ABM V 面积存在最大值?若存在，求出最值;若不存在，说明理由.

二次函数与实际问题(面积最值问题)教学设计解读

[教学设计 ] 二次数学的实际运用 ——图形面积的最值问题【知识与技能】 :通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题, 培养其整体性思想。【过程与方法】 :能通过设置的三个问题, 概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法, 并学会用数学问题的结论,分析是否是实际问题的解,掌握类比的数学思想方法。【情感态度与价值观】 :体会函数建模思想的同时, 体会数学与现实生活的紧密联系, 培养学生认真观察, 不断反思,主动纠错的能力和乐于思考,认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。【重点】 :如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题【难点】 :如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解【教学过程】【活动 1】 :导入引言: 二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类 (1利润最大问题; (2几何图形中的最值问题:面积的最值,用料的最佳方案等,本节课,我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。【活动 2】 :师生互动,合作学习我们来看一道简单的例题

例 1:李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园 ABCD ,用篱笆围成的另外三边总长为 24米,则矩形的长宽分别为多少时,围成的矩形面积最大? 师(让学生思考 :题目中已知量是什么? 未知量是什么?如何理解“矩形面积最大”问题?是什么影响了矩形面积的变化呢?我们一起来看下面的动画演示(通过动画演示,让学生感受量的变化师:在演示中你们看到了什么?想到了什么?你能列出函数解析式吗? 学生解决:若设矩形一边长为 X ,当 X 在变长时,另一边变短,当 X 变短时,另一边变长,则面积 S 也随之发生了变化;设宽 AB 为 X 米,则长为 24-2X (m 所以面积 S=X(24-2X=-2X2+24X=-2(X-122 +288 师:分析归纳解函数问题的一般步骤是什么? (板书 : 第一步,正确理解题意 , 分析问题中的常量和重量; 第二步,巧设未知数,用未知数表示已知量和未知量,列二次函数解析式表示它们的关系; 第三步,计算,将一般式转化为顶点式,求出数学问题的最值。师:请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解,如何检验呢?(在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误,分析解答是否符合实际问题小结:求解完答案后,我们要善于检查,分析,反思数学问题的解是否是实际问题的解。活动 3:变式训练,巩固应用。

二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题【新授课】考点1：线段、周长问题例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2

二次函数求最大利润问题的教学设计说明

二次函数求最大利润问题的教学设计范亚书一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。二、教学任务分析 “怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是： (一)知识与技能

1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。 (三)情感态度与价值观 1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析

二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案

第3课时二次函数的实际应用——最大(小)值问题 [例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322 -+=x x y 的最值．解：4)1(2-+=x y 当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x 解：4)1(2-+=x y ∵30≤≤x ，对称轴为1-=x ∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=． [例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元， 1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x 6250)5(102 +--=x 当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元） )20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x 当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大． [练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设每件价格提高x 元，利润为y 元，则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202 +--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

二次函数最大利润求法经典

分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为（x-40）问题2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为（x-60）问题3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为 -60202 x ? （件）问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为 -60300202x y =- ?= 30010(60)x --= 10900x -+ 因为0600 x x ??-≥?f 自变量x 的取值范围是 60x ≥ 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为 (40)W x y =-? = (40)(10900)x x --+ = 210130036000x x -+- 问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-? = (40)(10900)x x --+ = 210130036000x x -+- =2 10(130)36000x x --- =22210(13065)6536000x x ??--+--?? =2 10(65)4225036000x --+- =210(65)6250x --+ 所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元

分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为（x-40）问题2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为（60-x ）问题3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为 60402 x -? （件）问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为 60300402x y -=+ ?= 30020(60)x +-= 201500x -+ 因为0600 x x ??-≥?f 所以，自变量x 的取值范围是 060x ≤≤ 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为 (40)W x y =-? = (40)x -（201500x -+） = 220230060000x x -+- 问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-? = (40)x -（201500x -+） = 220230060000x x -+- =2 20(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ??????--+--?? ? ????????? =211520()66125600002 x --+- =220(57.5)6612560000x --+- =2 20(57.5)6125x --+ 所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

二次函数线段、周长、面积最值问题

1. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（-3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）若a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 2．如图，二次函数y=ax 2-32 x+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点M 是线段BC 下方的抛物线上的一个动点，求△MBC 面积的最大值以及此时点M 的坐标． 3．如图，二次函数y=ax 2 +bx 的图象与一次函数y=x+2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是-1，点B 的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值．

4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．求S与m的函数关系式。S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

如何求解二次函数中的面积最值问题

如何求解二次函数中的面积最值问题从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考．题目（重庆市江津区）如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3， 0)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

解答 (1)抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3； (2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3

方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3

初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习(含答案)

初中数学：利用二次函数解决面积最值问题练习（含答案）一、选择题 1．关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是( ) A．当x＝2时，函数有最大值 B．当x＝2时，函数有最小值 C．当x＝－2时，函数有最大值 D．当x＝－2时，函数有最小值 2．如图K－6－1，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) 图K－6－1 A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 3．如图K－6－2所示，C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( ) 图K－6－2 A．当C是AB的中点时，S最小

B．当C是AB的中点时，S最大 C．当C为AB的三等分点时，S最小 D．当C为AB的三等分点时，S最大 4．如图K－6－3，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连结BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连结QD.设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x之间函数关系的图象大致是( ) 图K－6－3 图K－6－4 二、填空题 5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图K－6－5所示，当－5≤x≤0时，函数y的最大值是________，最小值是________．图K－6－5

6．已知一个直角三角形两直角边的长度之和为30，则这个直角三角形的面积最大为________． 7．如图K－6－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s 的速度移动(不与点C重合)．如果点P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小.链接学习手册例2归纳总结图K－6－6 8．如图K－6－7①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是________．图K－6－7 三、解答题 9．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)． (1)如图K－6－8①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.

二次函数应用题利润问题讲解

二次函数应用题利润问题例1、商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件现设一天的销售利润为y元，降价x元。（1）求按原价出售一天可得多少利润？（2）求销售利润y与降价x的的关系式（3）商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠，应该降价多少元？（4）要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润（一）涨价或降价为未知数例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？变式：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。①若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ ②若每件衬衫降价x 元时，商场平均每天盈利y元，写出y与x的函数关系式。

例2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？变式：2、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

二次函数的实际应用之利润最大值、面积最值问题

二次函数的实际应用——最大利润问题、面积最大（小)值问题一：最大利润问题知识要点: 二次函数的一般式c bx ax y ++=2 (0≠a )化成顶点式a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=,如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值). 即当0>a 时，函数有最小值,并且当a b x 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0

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