2010年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
O - y
1. --------------------------------------- （2010?上海）不等式>0的解集为
4+K
2. （2010?上海）若复数z=1 - 2i （i为虚数单位），则"二二= ___________________________ .
3. _____________ （2010?上海）（上海卷理3文8）动点P到点F （2, 0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为
2 2 、，
5. （2010?上海）圆C: x +y - 2x - 4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d= ____________________
6. （2010?上海）随机变量E的概率分布率由下图给出: 则随
机变量E的均值是
7. （2010?上海）2010年上海世博会园区每天9: 00开园，20: 00停止入园.在右边的框图中，S表示上海世博会
官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入
& （2010?上海）（上海卷理8）对任意不等于1的正数a,函数f （x）=log a （x+3）的反函数的图象都经过点P,则点P的坐标是___________________
9. （2010?上海）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为抽得红桃K”，事件B为抽得为黑
桃”，贝撅率P （A U B）= _____________ .（结果用最简分数表示）
兀
sirr?
H兀
CO S'T-
4. （2010?上海）行列式的值是
78$! 10
030.350J0.15
1 2 3-' n- 2 n- 1 2 2 8 4 * ■ n- 1 n 1
10.
(2010?上海)在n 行m 列矩阵3 4 5…门 1 2 中，记位于第i 行第j
列的数为a ij (i , j=1 , 2…,
………… … …
n 1 2…n~ 3 n~ 2
1|
n ).当 n=9 时，a ii +a 22+a 33+ --+a 99= ______________ .
11. (2010?上海)将直线11： nx+y - n=0和直线12： x+ny - n=0 (n € N *, n 丝)x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记
为 Sn,^y
ff|Sn= ____________ .
12. （2010?上海）如图所示，在边长为 4的正方形纸片 ABCD 中，AC 与BD 相交于O ,剪去△ AOB ，将剩余部分
沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、（ B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为 _______________________________ .
14. （2010?上海）以集合 U={a , b , c , d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1） ?、U 都
要选出；（2）对选出的任意两个子集
A 和
B ,必有A?B 或B?A ，那么共有 ________________________ 种不同的选法.
二、选择题（共 4小题，每小题5分，满分20分）
15. （2010?上海）丫二f + 丄
”是 fanx=1”成立的（
）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分条件
D .既不充分也不必要条件
A . (1 , 2)
B . (2, 1)
C . (-2, 1)
丄
（上海卷理17）若X 0是方程 Q ）兀二的解，则X 0属于区间（
13. （2010?上海）如图所示，直线x=2与双曲线 r
/的渐近线交于
E 1, E 2 两点，记「 I . ,
| . F ,
，则a 、b 满足的一个等式是
16. （2010?上海）直线
l 的参数方程是 （t € R ）,则I 的方向向量d 可以是（ D . (1 , - 2)
17. (2010?上海)
A ?埠1）
B 诗冷
C -坏引
D -（吩）
18. （2010?上海）（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
，则此人能
13 11
5
（ ）
A .不能作出这样的三角形
B .作出一个锐角三角形
C .作出一个直角三角形
D .作出一个钝角三角形
三、解答题（共5小题，满分74 分）
20. （2010?上海）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n = n
- 5a n — 85, n € N
（1） 证明：｛a n - 1｝是等比数列； （2） 求数列｛S n ｝的通项公式，并求出使得
S n+1 > S n 成立的最小正整数 n .
21. （2010?上海）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作
4个全等的矩形骨架，总计耗用
9.6米铁丝，骨
架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面） （1） 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01平方米）；
（2） 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为 0.3米时，求图中两根直线 A 1B 3 与A 3B 5
所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）
22. （2010?上海）若实数 x 、y 、m 满足|x - m|> |y - m|,则称x 比y 远离m .
（1） 若x 2 - 1比1远离0,求x 的取值范围；
（2） 对任意两个不相等的正数
a 、
b ,证明：a 3+b 3比a 2b+ab 2远离1丄 4;
（3） 已知函数f （x ）的定义域 D 二｛｛小工拎^+^?Z,涎R ｝ .任取x € D , f （x ）等于sinx 和cosx 中远离
0的那个值.写出函数 f （x ）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）
2 2
23. （2010?上海）已知椭圆 厂的方程为 七+务=1 （a > b > 0）,点P 的坐标为（-a, b ）.
a b
（1）若直角坐标平面上的点 M 、A （0, - b ）, B （a , 0）满足药丄（包+西）,求点M 的坐标;
2
b 2
（2）设直线11： y=k 1x+p 交椭圆 厂于C 、D 两点，交直线12： y=k 2x 于点E .若k 1?k 2= ，证明：E 为CD 的中
a
占； 八、、\
19.
（2010?上海）已知Qwj ，化简:
lg (cosx?tanx+1 - 2 二计
—)+lg[ J ' "cos —lg (1+sin2x ).
厂上的点Q(a cosB,b sin B) (O v 0< n),如果椭圆 厂上存在不同的两个交点 P 2的步骤，并求出使 P i 、P 2存在的B 的取值范围.
(3)对于椭圆 写出求作点P
P i 、P 2满足.J +「. =1,
2
2
5
2010年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
少-*
1. （2010?上海）不等式
的解集为
（-4, 2）
4+K
考点：其他不等式的解法。
分析：先将x 的系数化正，不等号方向改变，再根据穿根法求解或转化为二次不等式求解. 解答：解：.■' " -
，解集为{x| - 4V x V 2}
4 打 4+x
故答案为：（-4, 2）
点评：本题考查简单的解分式不等式，属基本题.
2. （2010?上海）若复数 z=1 - 2i （i 为虚数单位），则"二 二=4+2i
.
考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算。 专题：计算题。
分析：把复数z=1 - 2i 代入3" E _ 2然后化简为a+bi （ a , b € R ）的形式. 解答：解：复数z=1 - 2i 代入rm
可得（1 - 2i ） （1+2i ）- 1+2i=5 - 1+2i=4+2i 故答案为：4+2i
点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题.
3. （2010?上海）（上海卷理3文8）动点P 到点F （2, 0）的距离与它到直线 x+2=0的距离相等，则 P 的轨迹方程 为 y 2=8x
考点： 轨迹方程；抛物线的定义。 专题： 计算题。
分析： 由题意可知P 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，p=2，由此可以求出 P 的轨迹方程. 解答： 解：由抛物线的定义知 P 的轨迹是以F 为焦点的抛物线，
p=2,
所以其方程为y 2=8x .
点评：本题考查抛物线定义及标准方程，解题时要认真审题，仔细解答.考点：二阶矩阵。 专题：计算题。
故答案为:
分析: 利用行列式展开法则
和三角函数的性质进行求解.
解答: 解:
-si
兀 ■sin—=co
7T 1 4. （2010?上海）行列式
的值是
点评：本题考查行列式运算法则，解题时要注意三角函数的合理运用.
5. （
2010?上海）圆 C : x 2+y 2-2x - 4y+4=0 的圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d= 3
考点： 点到直线的距离公式。
分析： 先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可. 解答： 解：圆心（1, 2）到直线3x+4y+4=0距离为
丨一
1
- ■■.
5
故答案为：3
点评：考查点到直线距离公式，圆的一般方程求圆心坐标，是基础题.
则随机变量E 的均值是
8.2
考点：离散型随机变量的期望与方差。 专题：计算题。
分析：根据条件中所给的变量的分布列，代入求期望的公式，得到随机变量的期望值，即我们要求的随机变量的均 值，这是一个简单的计算题目. 解答：解：根据所给的分布列，
得到 E （ 3 =7 >0.3+8 >0.35+9 >0.2+10 >0.15=8.2 , 故答案为：8.2
点评：让学生进一步理解期望是反映随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应 数值的算术平均数.区别随即机变量的期望与相应数值的算术平均数.
7. （2010?上海）2010年上海世博会园区每天 9： 00开园，20： 00停止入园.在右边的框图中，
S 表示上海世博会
官方网站在每个整点报道的入园总人数，
a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入
S=S+a
考点：程序框图。
分析：本题考查了算法的程序框图及算法流程图，考查算法思想的应用?由题意可知 S 表示上海世博会官方网站在
每个整点报道的入园总人数，
a 表示整点报道前1个小时内入园人数，故框中应填的是一个表示累加功能的语句.
解答：解：由题意可知S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，
a 表示整点报道前1个小时内入园人数，
故框中应填的是一个表示累加功能的语句 故应填入：S=S+a 故答案为：S=S+a .
点评：本题考查了算法的程序框图及算法流程图，考查算法思想的应用?算法是新课程中的新增加的内容，也必然
6.（2010?上海）随机变量E 的概率分布率由下图给出:
X
7 3
| 9
! 10
0.3
0.35
OJ
0.15
是新高考中的一个热点，应高度重视?程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：① 分支的条件②循
环的条件③ 变量的赋值④ 变量的输出?其中前两点考试的概率更大?此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误.
8 (2010?上海)(上海卷理8)对任意不等于1的正数a,函数f ( x) =log a (x+3)的反函数的图象都经过点P,则
点P的坐标是(0,- 2)
考点：对数函数的图像与性质；反函数。
专题：计算题。
分析：本题考查的是指数函数和对数函数的性质，根据指数函数恒过( 0, 1 )点，对数函数恒过(1, 0),结合函
数图象平移法则和反函数图象的性质，易得结果.
解答：解：函数f (X) =log a x恒过(1 , 0),
将函数f ( X) =log a x向左平移3个单位后，得到f ( X) =log a (x+3 )的图象
故f (x) =log a (x+3 )的图象过定点(-2, 0),
又由互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，
所以其反函数的图象过定点(0,- 2)
故答案为：(0,- 2)
点评：指数函数恒过(0, 1)点，对数函数恒过(1, 0)点，则此不难推导：g (x) =a(x+h)+k恒过(-h, 1+k) 点，而f (x) =log a (x+h) +k 恒过(1 —h, k)点.
9. (2010?上海)从一副混合后的扑克牌( 52张)中随机抽取1张，事件A为抽得红桃K”，事件B为抽得为黑
桃”，则概率P (A U B) = ' ?(结果用最简分数表示)
考点：互斥事件的概率加法公式。
专题：计算题。
分析：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别求两个事件的概率是我们熟悉的古典概型，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果.
解答：解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，
???事件A为抽得红桃K”，
???事件A的概率卩=二, ???事件B为抽得为黑桃”，
?事件B的概率是P=—,
5Z
1 13 7
?由互斥事件概率公式P (A U B)=一
□2 bZ 26
点评：本题是互斥事件的概率，注意公式的应用，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件.
12 3???n- 2 n- 1 2
28 4 - n- 1 n 1
10. (2010?上海)在n行m列矩阵3 4 5 n 1 2中，记位于第i行第j列的数为a ij (i, j=1 , 2…,
………… … …
n 1 2…3 n~ 2 n~ 1|
n).当n=9 时，a11+a22+a33+ ??+a99= 45 .
考点：数列的求和。