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微积分2期中试题(答案)

微积分2期中试题(答案)
微积分2期中试题(答案)

北京师范大学珠海研究院专业教育中心

2011-2012学年第二学期期中考试

开课单位:__专业教育中心____ 课程名称:_微 积 分___________ 任课教师:________ 考试类型:_ 闭卷 _ 考试时间:__ 90 __分钟 专业 _____ 姓名___________ 学号______________ 班级____________

题号 一 二

总分

得分 阅卷人

试卷说明:(本试卷共4页,满分100分)

一.填空题(每题3分,共30分)

1. 定积分()b

a f x dx ?的几何意义是 介于曲线()y f x =,直线,x a x

b ==之间的图形面积的

代数和 . 2. 1b b

a

a

dx dx ?==??

b a - .

3.

2

11

2(1)dx x x -=?+- 2 .

4. 设(5)2f =,5

()3f x dx =?,则5

'()xf x dx =? 7 .

5. 设()x ?在[,]a b 上连续,()()()x

a

f x x b t dt ?=-?,则由罗尔定理,必有(,)a b ξ∈,使

'()f ξ= 0 .

6. 已知0[2()1]()1x

f t dt f x -=-?,则'(0)f = 1 .

7.以(1,3,2)为球心,且通过坐标原点的球面方程为222(1)(3)(2)14x y z -+-+-=.

8.设22

2(,)xy f x y x y =

+,则(1,)y f x

= 222xy x y + .

9.设函数2

3x z x y y =+

,则其全微分为221(6)(3)x

dz xy dx x dy y y

=++- . 10.设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有偏导数,且在00(,)x y 处有极值,则它在该点的偏导数00(,)x f x y = 0 ,00(,)y f x y = 0 .

试卷装订线

二.计算题(每题6分,共48分) 11.求极限:(1)2

2

2

020

()lim x

t x

x t e dt te dt

→??

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

220

20

()

222lim

lim

lim

lim

22x

x

x

t t

x

t

x

x

x

x

x

x

x x x x t e dt e dt e

e dt

e xe

xe

e x e

te dt

→→→→?====+????

解:

(2)22

0,11lim

x y xy

x y →→-+

2201110

(0,1)=lim 101

x y xy x y →→--∴=++

,解:在点连续 原式 12.计算下列定积分:

(1)3

sin()3x dx π

ππ

+?

3

3

sin()=sin()= -cos()=03

333

3

x dx x d

x x π

π

πππ

π

πππ

π++++??解:() (2)0

3

1

4

x dx x -++?

22

222

3311

4=,4,22131422(3)2(3)133

4x t x t dx tdt

x t dx tdt t dt t t t x -+=-=+-=?=-=-=-+???解:令 则 则

(3)1

ln e

x xdx ?

22

22211111111ln =ln =ln =(1)11222244e

e e e e e x xdx xdx x x xdx x e --=+???解:

(4)4

sin x xdx π

π

-?

44

sin sin =0

x x x xdx π

π

ππ-∴? 解:是奇函数,积分区间[-,]为对称区间,

13.判断下列广义积分的敛散性,若收敛,计算其值: (1)2

1

45

dx x x +∞

-∞

++? 222111

==(2)arctan(2452121dx dx d x x x x x x π+∞

+∞+∞-∞-∞-∞∞+=+=∞++++++???+解:)-()()

(2)220

(1)

dx

x -?

210111122

2222201100002201,1,,

111112=(1)(1)x t x t dx dt dx dt dt dt dt dt dt x t t t t t t dx x ---==-=----=+=+=-∴-????????解:令则则发散

三.解答题(共22分)

14.(6分)求函数22(,)1f x y x y =++在点(1,1)处的线性化.

(,)2,(,)2(1,1)3,(1,1)2,(1,1)2

(,)(1,1)(1,1)(1)(1,1)(1)221x y x y x y f x y x f x y y f f f f x y f f x f y x y ======+-+-=+-解:由题得,则 所以线性化为:

15.(8分)某产品的总成本(万元)的变化率'()1C q =(万元/百台),总收入(万元)的变化率为产量q (百台)的函数'()5R q q =-(万元/百台).(1)求产量q 为多少时,利润最大? (2)在上述产量(使利润最大)的基础上再生产100台,利润将减少多少?

22

000022211

()'()1,()'()(5)(5)5022

111

(1)()()()(5)4(4)8

222

4,81

(2)5,(5)87.5

2

87.50.5q

q

q

q

q C q C t dt dt q R q R t dt t dt t t q q L q R q C q q q q q q q q q L ===-=-=-=-=--=-=--+===-+=-=∴????解:==当时利润最大为万元。(万元)利润将减少0.5万元.

16.(8分)设销售收入R (万元)与花费在两种广告宣传上的费用,x y (万元)之间的关系为

200100510x y

R x y

=

+++,利润额相当于五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元,试问如何分配两种广告费用可使利润最大?

解:设利润为L ,有

140205510x y L R x y x y x y =--=+--++,且25x y += 令4020(,,)(25)510x y L x y x y x y x y

λλ=

+--++-++ 22

20010(5)20010(10)250x y L x L y L x y λλλ?=-+=?+?

?

=-+=?+?

?=+-=??

由方程组 得15,10x y ==,(15,10)即为驻点 根据问题的实际意义及驻点的唯一性知,当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时,可使利润最大.

微积分期末测试题及复习资料

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

微积分2期末复习提纲答案

2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10,条件极值应用题(例10)求解,约占12% 第七章二重积分(二重积分的概念,比较大小P209课后习题,直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1(7),直角坐标与极坐标系下的二重积分计算)约占26%; 第八章无穷级数(无穷级数的概念,几何级数,P-级数,正项级数的比较判别法和比值判别法,任意项级数的敛散性,幂级数的收敛半径及收敛域,求幂级数的和函数,间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主)约占35%; 第九章微分方程(微分方程及其解的概念,一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解),二阶常系数齐次,非齐次微分方程的通解(三角型的不要求)。约占27%. 2、样题供参考(难度、题型) 一、填空题:(14小题) 1、若D :224x y y +≤,则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D :9122≤+≤y x ,则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤,将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? . (判断θ的范围作为上下限,判断r 的范围作为上下限,y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 (依题得:010<

微积分2习题答案

一、填空题 1.设)(x P 是x 的多项式,且26)(lim 23=-∞→x x x P x ,3) (lim 0=→x x P x ,则=)(x P 2.=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3.=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4.设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31,则有=a ,=A 4,-2 5.设x x x x x f sin 2sin )(+=,则=∞→)(lim x f x 2 6.=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7.函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8.为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续,应补充定义()=0f 1 9.设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续,则参数=K 3-e 10.函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续,则=a 2 二、单项选择题 1.设0>n x ,且n n x ∞→lim 存在,则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2.极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3.=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ; ②1e -; ③1e +; ④1 1e -+ 4.()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5.函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6.下列函数中,.当0→x 时,与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________;是等价无穷小量的是__________________ ①,② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 选择题(6×2) cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小 3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线 C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=x x2 21 1、( )= x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y= 相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+14、y拐点为:x5、若则的值分别为: x+2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函数f(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解:3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3

三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明() 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+

微积分(下册)期末试卷与答案

中南民族大学06、07微积分(下)试 卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛,则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分)

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答 案 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

微积分习题集带参考答案(2)

微积分习题集带参考答案 一、填空题(每小题4分,本题共20分) ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是]4,1()1,2(-?--. ⒉若24sin lim 0=→kx x x ,则=k 2 . ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y . ⒋ =+?e 1 2 d )1ln(d d x x x 0 . ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =. 6函数24)2(2 -+=+x x x f ,则=)(x f 62 -x . 7.当→x 0时,x x x f 1 sin )(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3),则y '(1) = 2-. 9. =+-? -x x x d )135(1 1 32. 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =. 11.函数x x x f 2)1(2 +=+,则=)(x f 12 -x . 1⒉=∞ →x x x 1 sin lim 1 . 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2 121+= x y . 1⒋若 ?+=c x x x f 2sin d )(,则=')(x f in2x 4s -. 1⒌微分方程x y xy y cos 4)(7) 5(3 =+''的阶数为 5 . 16.函数74)2(2 ++=+x x x f ,则=)(x f 32 +x . 17.若函数???=≠+=0, ,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续,则=k 2 . 18.函数2 )1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-. 19. = ? ∞ -dx e x 0 22 1 . 20.微分方程x y xy y sin 4)(5) 4(3 =+''的阶数为 4 . 21.设函数54)2(2 ++=+x x x f ,则=)(x f 12 +x . 22.设函数????? =-≠+=0, 10 ,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续,则k =1-.

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案:)1ln(x - 王丽君 解:x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案:1 孙仁斌 解:a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案:4 俞诗秋 解:4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案:2 俞诗秋 解:)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是:+,-,+,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案:C x x +-cot tan 张军好 解:C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案: 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数; (B) 奇函数; (C) 非奇非偶函数; (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案:A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点; (B) 连续点; (C) 振荡间断点; (D) 可去间断点. 答案:D 俞诗秋

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案 一. 填空题(每空3分,共15题) 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6.第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11.x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15. 13y x =+ 二. 计算题 1. 解:,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ,0=b 时,)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解:=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以,原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3. 解:)'1)((''y y x f y ++= ,故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ;……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解:

大一微积分期末试卷与答案

微积分期末试卷 选择题( 6×2) 1.设 f ( x) 2cosx , g (x) ( 1 )sin x 在区间( 0, )内( )。 2 2 A f ( x)是增函数, g ( x)是减函数 Bf ( x)是减函数, g( x)是增函数 C 二者都是增函数 D 二者都是减函数 、 x 时, 2x 与 相比是( ) 2 e cosx sin x A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小 1 3、x =0是函数y =(1 -sinx) x 的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) A X n ( 1) n 1 B X n sin n n 2 C X n 1n (a 1) D X n cos 1 a n 5、若 f "( x)在 X 0处取得最大值,则必有( ) A f ' o f ' o (X 0) B (X 0) C f ' 且f ''( X 0 )<0 f ''(X 0 ) 不存在或 f '(X 0) 0 (X 0 ) 0 D ( 1 ) 、曲线 y xe x 2( ) 6 A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线 C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 1、(d )= dx x +1 2、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y= 1 相切。这条直线方程为: x x 3、函数y= 2 的反函数及其定义域与值域分别是: x 2+1 4、y= 3 x的拐点为: 2 ax b 5、若 lim x 则 a, b 的值分别为: 2 2, x 1 x+ 2x-3

微积分(II)期中考试试题(A卷)

1.设()=+z f ax by ,其中f 可微,则( ). (A ) ??=??z z x y (B )??=-??z z x y (C )??=??z z a b x y (D )??=??z z b a x y 2.定积分?--1 1 2d 1x x 的值是( ). (A ) 4π (B )2 π (C )1 (D )π 3.函数()33ln y x z +=在)(1,1处的全微分=z d ( ). (A )y x d d + (B )()y x d d 2+(C ) ()y x d d 2 3 + (D )()y x d d 3+ 4.下列方程是微分方程的是( ). (A )x y x y y d )(d ln -= (B )02tan 3sin =+x x y (C )0232=+-y y (D )533-+=x x y 5.下列广义积分发散的是( ). (A )? ∞ + 1 d x x x (B )? ∞ + 1 2d x x (C )?∞+ 1 2d x x x (D ) 1d x x +∞? 6.设2 22)ln(y x x x y z --+ -=的定义域D 的图形是( ). (A ) (B ) (C ) (D )

7.(答题区域:1-10行内)求3 2 e x y x z y +=,求 x z ??,y z ??, y x z ???2. 8.(答题区域:11-20行内)设()y x f z xy cos ,e =,其中f 有一阶连续偏导数,求x z ??,y z ??. 9.(答题区域:21-30行内)设v u z =,y x u 2+=,y x v -=,求x z ??,y z ??. 三、计算下列各题(本大题共3个小题,每小题7分,共21分) 10.求极限2 1 cos 0 d e lim 2 x t x t x ?→. 11.求定积分 e 2 1 ln d x x x ?. 12.(答题区域:51-60行内) 求定积分 8 ? . 添加1. 2 2 0|1|d -? x x 添加2 设2 0 ()12 0x x f x x x ?≤=?+>? ,,,求 2 (1)d f x x -? . 四、解答下列各题(本大题共3个小题,第13小题6分,14、15小题各8分,共22分) 13.(答题区域:61-75行内)求微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解.

《高等数学二》期末复习题与答案_28171462418361700

《高等数学(二)》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=?b a ,则=b ( ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) (A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( ) (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a πθπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为:2 30,1≤≤=y x L ,则=? L ds 6 ( ) (A )9 (B) 6 (C )3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 ( ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是( ) (A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) (A )??-1 010d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ??1 01 0d ),(d x y x f y

大一期末考试微积分试题带答案

第一学期期末考试试卷 一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答,该题不得分.每小题3分,共15分.) 1. =→x x x 1 sin lim 0___0_____. 2. 设1 )1(lim )(2+-=∞→nx x n x f n ,则)(x f 的间断点是___x=0_____. 3. 已知(1)2f =,4 1 )1('-=f ,则 12 ()x df x dx -== _______. 4. ()a x x '=_______. 5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________. 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代 码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者,该题不得分.每小题3分,共15分.) 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(. 2. 设对任意的x ,总有)()()(x g x f x ≤≤?,使lim[()()]0x g x x ?→∞ -=,则 lim ()x f x →∞ ______. A.存在且一定等于零 B. 存在但不一定等于零 C.不一定存在 D. 一定存在. 3. 极限=-→x x x x e 21lim 0________. A. 2e B. 2-e C. e D.不存在. 4. 设0)0(=f ,1)0(='f ,则=-+→x x f x f x tan ) 2()3(lim 0________. A.0 B. 1 C. 2 D. 5. 5. 曲线2 21x y x =-渐近线的条数为________. A .0 B .1 C .2 D .3. 三、(请写出主要计算步骤及结果,8分.) 求2 0sin 1lim sin x x e x x →--.

微积分2答案完整版

2010—2011真题答案 一、 1.答案:14 21sin 2sin 2 x x x x --,易。 学霸解析:()2 1 2 2 4 421(sin )()sin ()sin sin 2sin 2 x x f x t dt x x x x x x x x -''''==-=-? 知识点:原函数求导,易。 2. 答案:1y x =- 学霸解析:22()0y y y xy ''-+= 代入)1,2(,1y '=- 知识点:等式两边同时求导,中。 3. 答案:11(1)(1)1 n n n x n ∞ +=--+∑ 学霸解析:11 (1)ln(1)n n n x x n -∞ =-+=∑ 知识点:对ln(1+x)的应用,中。 4. 答案: 120 (,)y y dy f x y dx -? ? 学霸解析:01, 0x y x ≤≤?? ≤≤?12, 02x y x ≤≤?? ≤≤-? 知识点:x,y 定义域的转换,中。 5.答案:(1cos1)π-

学霸解析:21 22 2 sin()sin (1cos1)D x y dxdy d r rdr πθπ+= =-???? 知识点:二重积分,中。 6.答案:11(ln )21x y c x +=- +- 学霸解析:111 ln 21x c x y +=-+- 11(ln )21x y c x +=-+- 知识点:微分方程求通解,难。 二、 1. 答案:C 学霸解析:绝对收敛:对于级数1n n u ∞=∑,如果级数1n n u ∞=∑收敛的话,则称1 n n u ∞ =∑为绝对收敛。 条件收敛:如果 1 n n u ∞ =∑发散,但 1 n n u ∞ =∑却是收敛的,则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛。 知识点:幂级数收敛性,易。 2. 答案:D 学霸解析:对于A ,2D dxdy =?? 对于B , 4D dxdy =?? 知识点:二重积分,中。 3.

微积分试卷及答案6套

微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε,总存在δ>0,使得当 时,恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ,则a = ,b = 。 3. 若当0x x →时,与 是等价无穷小量,则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续,则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导,则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2 +2x -5上点M 处的切线斜率为6,则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=,52 +=Q C ,则当利润最大时产量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域(a -,a +)内有无穷多个点,则 ( )。 (A) 数列{x n }必有极限,但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在,且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在

2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的( )。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x ( ) 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2 e (D) 3 e 4. 对需求函数5 p e Q -=,需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p ( )时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 可以 除外)存在,又a 是常数,则下列结论正确的是( )。 (A) 若a x g x f x x =→)()(lim 或,则a x g x f x x =''→)() (lim 0或 (B) 若a x g x f x x =''→) ()(lim 0 或,则a x g x f x x =→)() (lim 0或 (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在,则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是( ) 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 )2(1 4--= x x y ( )。 (A) 只有水平渐近线; (B) 只有垂直渐近线; (C) 没有渐近线; (D) 既有水平渐近线,又 有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续,其导函数图形如右图所示,则)(x f 具有( ) x y o

微积分2第十章答案

第十章 无穷级数习题解答 练习 10.1 1. 写出下列级数的一般项: (1) 1 (1) n +- ; (2) 1 1 21 (1)n n n a +-+-; (3) 2 1 n n +; (4) 2 1 n n -+. 2. 用定义判断下列级数的敛散性: (1) 当n 为奇数时, 前n 项和为1; 当为偶数时, 前n 项和为0, 故此级数发散. (2) 前n 项和为ln n , 其极限为+∞, 故此级数发散. (3) 此级数为公比是 1 5 的等比级数, 故此级数收敛. (4) 当1x <时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数收敛; 当1x ≥时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数发散. (5) 前n 项和为 11(1)221n -+, 其极限为12 , 故此级数收敛. 练习 10.2 1. 根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性: (1) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散. (2) 此级数通项的极限为不存在, 故此级数发散 (3) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (4) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (5) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (6) 此级数是一个有限数和一个收敛级数的和, 故此级数收敛 (7) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的和, 故此级数发散 2. 若级数 1 n n u ∞ =∑ 收敛, 指出下列哪些级数是一定收敛的, 哪些级数是发散的? 哪些不能确 定? (1) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛 (2) 此级数是由收敛级数删掉有限项后得到, 故此级数收敛 (3) 此级数通项的极限为∞, 故此级数发散 (4) 不一定 (5) 不一定 练习 10.3 1. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) 此级数的通项小于 1()2 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛 (2) 此级数的通项小于 2 1 n , 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛

高等数学2第十章答案

习题10-1 二重积分的概念与性质 1.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+?? ,其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成; (2) ln()D x y d σ+??与2 [ln()]D x y d σ+??,其中D 是三角形闭区域,三顶点分别为(1,0), (1,1),(2,0); 2.利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1)22 sin sin D I x yd σ= ??,其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤; (2)22 (49)D I x y d σ= ++?? ,其中22{(,)|4}D x y x y =+≤ . (3) .D I = ,其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤ 解 () ,f x y = Q 2,在D 上(),f x y 的最大值

()1 04M x y = == ,最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤ 习题10-2 二重积分的计算法 1.计算下列二重积分: (1) 22 ()D x y d σ+??,其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤; (2) sin D y d y σ??,其中D 是由2 ,y x y x ==所围成的闭区域. 解:sin D y d y σ??210sin 1sin1y y y dy dx y ==-?? 2.画出积分区域,并计算下列二重积分: (1) x y D e d σ+??,其中{(,)|||1}D x y x y =+≤

微积分2习题答案

一、填空题 1. 2. 设P(x)是x 的多项式,且lim 凡门二6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X 7T lim (arcsin(vx 2+x 一 x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t 3. lim 1 一 — .V — 4. x ) 设lim 一 "" 一 * + 4 = A ,则有"= 5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d ----- X X ? 3 .1 L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3* 函数v = 一上]一的间断点是 (x-l)(x + 2) 为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续,应补充左义/(0)= x 3 设函数y = ^- x )x K 则 lim f (x)= X->X %工°在兀=0处连续,则参数K = x = 0 x + a e x +\ 二、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续,则“= x>0 ④<0 3. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②": Jx 3 4, -2 ③ €+1: ④』+l y =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2) ①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1,T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②[3,T ④ co 厂i)u(_l,+oo) 函数『二二2 耳的不连续点有 ■ X-l .Y+1 ①2个 ②3个 6.下列函数中,?当XT0时,与无穷小量x 相比是髙阶无穷小咼的是. 价 无穷小量的是 ______________ ① l-cosx ?x + X 2 5. ④4个以上 ④ sin 2x __ ■ 疋有 ①,②

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