课时分层作业(十四) 变量间的相关关系
(建议用时:60分钟
)
一、选择题
1.有几组变量:①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程;②平均日学习时间和平均学习成绩;③立方体的棱长和体积.其中两个变量成正相关的是( )
A .①③
B .②③
C .②
D .③
C [①是负相关;②是正相关;③不是相关关系.]
2.由一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )得到的回归直线方程为y ^=b ^x +a ^
,那么下面说法不正确的是( )
A .直线y ^=b ^x +a ^
必经过点(x ,y )
B .直线y ^=b ^x +a ^
至少经过点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )中的一个点
C .直线y ^=b ^ x +a ^
的斜率为
∑i =1
n
x i y i -n x y
∑i =1
n
x 2
i -n x
2
D .直线y ^=b ^x +a ^
是最接近y 与x 之间真实关系的一条直线
B [回归直线一定经过样本点的中心,故A 正确;直线y ^=b ^x +a ^
可以不经过样本点中的任何一点,故B 错误.由回归方程的系数可知C 正确;在直角坐标系中,直线y ^=b ^x +a ^
与所有样本点的偏差的平方和最小,故D 正确;]
3.四名同学根据各自的样本数据研究变量x ,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:
①y 与x 负相关且y ^=2.347x -6.423;②y 与x 负相关且y ^
=-3.476x +5.648;③y 与
x 正相关且y ^=5.437x +8.493;④y 与x 正相关且y ^
=-4.326x -4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( ) A .①② B .②③ C .③④
D .①④
D [由正负相关的定义知①④一定不正确.]
4.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子身高数据如下:
则y 对x A .y =x -1 B .y =x +1 C .y =88+1
2
x
D .y =176 C [x =174+176+176+176+1785=176,y =175+175+176+177+177
5=176.
根据回归直线过样本中心点(x 、y )验证知C 符合.]
5.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:
根据上表可得回归方程y =b x +a 中的b 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时,销售额为( )
A .63.6万元
B .65.5万元
C .67.7万元
D .72.0万元
B [x =14(4+2+3+5)=3.5,y =14
(49+26+39+54)=42,所以a ^=y -b ^
x =
42-9.4×3.5=9.1.所以回归方程为y ^=9.4x +9.1.令x =6,得y ^
=65.5(万元).]
二、填空题
6.若回归直线y ^=b ^x +a ^
的斜率估值为1.23,样本中心点为(4,5),当x =2时,估计y 的值为________.
2.54 [因为回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率估值为1.23,所以b ^=1.23,y ^=1.23x +a ^
. 因为样本中心点为(4,5),
所以5=1.23×4+a ^,a ^=0.08,y ^
=1.23x +0.08, 代入x =2,y =1.23×2+0.08=2.54.]
7.如图,有5组(x ,y )数据,去掉________点对应的数据后,剩下的4组数据的线性相关程度最大.
D [去掉D 点对应的数据后,其余四点大致在一条直线附近,相关性最强.]
8.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位:h)与当天投篮命中率y 之间的关系:
时间x
1
2
3
4
5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
6号打6h 篮球的投篮命中率为________.
0.5 0.53 [y =0.4+0.5+0.6+0.6+0.45=2.5
5
=0.5,
x=
1+2
+3+4+5
5
=3.
由公式,得b^=0.01,
从而a^=y-b^x=0.5-0.01×3=0.47.
所以回归方程为y^=0.47+0.01x.
所以当x=6时,y^=0.47+0.01×6=0.53.]
三、解答题
9.两对变量A和B,C和D的取值分别对应如表1和表2,画出散点图,分别判断它们是否具有相关关系;若具有相关关系,说出它们相关关系的区别.
表1
A 261813104-1
B 202434385064
C 05101520253035
D 541.6
7
602.6
6
672.0
9
704.9
9
806.7
1
908.5
9
975.4
2
1
034.75
[
从图中可以看出两图中的点各自分布在一条曲线附近,因此两对变量都具有相关关系.图(1)中,当A的值由小变大时,B的值却是由大变小,故A和B成负相关;
图(2)中,当C的值由小变大时,D的值也是由小变大,故C和D成正相关.
10.下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据:
x 345 6
y 2.534 4.5
(1)
(2)请根据上表提供的数据,求出y关于x的回归直线.
[解] (1)散点图如图:
(2)x=
3+4+5+6
4
=4.5,
y=
2.5+3+4+4.5
4
=3.5,
∑
i=1
4
x i y i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,
∑
i=1
4
x2i=32+42+52+62=86,
所以b^=
∑
i=1
4
x i y i-4x y
∑
i=1
4
x2i-4x2
=
66.5-4×4.5×3.5
86-4×4.52
=0.7,
a ^=
y -b ^
x =3.5-0.7×4.5=0.35. 所以所求的线性回归方程为y ^
=0.7x +0.35.
1.变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量
U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r 1表示变量Y 与X
之间的线性相关系数,r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则( )
A .r 2 B .0 C .r 2<0 D .r 2=r 1 C [由数据知变量X 与Y 成正相关,U 与V 成负相关即r 1>0,r 2<0.∴r 2<0 x 1 2 3 4 5 6 y 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y =b x +a ,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y =b ′x +a ′,则以下结论正确的是( ) A.b ^>b ′,a ^ >a ′ B.y ^>b ′,a ^ >a ′ D.y ^ C [由(1,0),(2,2)求b ′,a ′. b ′=2-02-1 =2, a ′=0-2×1=-2. 求b ^,a ^ 时, i =1 6 x i y i =0+4+3+12+15+24=58,