一、初一数学代数式解答题压轴题精选(难)
1.如图所示,在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路.
(1)为了求得剩余草坪的面积,小明同学想出了两种办法,结果分别如下:
方法①:________ 方法②:________
请你从小明的两种求面积的方法中,直接写出含有字母a,b代数式的等式是:________
(2)根据(1)中的等式,解决如下问题:
①已知:,求的值;
②己知:,求的值.
【答案】(1)(a-b)2;a2-2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2
(2)解:①把代入
∴,
∴
②原式可化为:
∴
∴
∴
【解析】【解答】解:(1)方法①:草坪的面积=(a-b)(a-b)= .
方法②:草坪的面积= ;
等式为:
故答案为:,;
【分析】(1)方法①是根据已知条件先表示出矩形的长和宽,再根据矩形的面积公式即可得出答案;方法②是正方形的面积减去两条道路的面积,即可得出剩余草坪的面积;根据(1)得出的结论可得出;(2)①分别把的值和
的值代入(1)中等式,即可得到答案;②根据题意,把(x-2018)和(x-2020)变成(x-2019)的形式,然后计算完全平方公式,展开后即可得到答案.
2.已知整式P=x2+x﹣1,Q=x2﹣x+1,R=﹣x2+x+1,若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR(其中a,b,c为常数).则可以进行如下分类
①若a≠0,b=c=0,则称该整式为P类整式;
②若a≠0,b≠0,c=0,则称该整式为PQ类整式;
③若a≠0,b≠0,c≠0.则称该整式为PQR类整式;
(1)模仿上面的分类方式,请给出R类整式和QR类整式的定义,若,则称该整式为“R类整式”,若,则称该整式为“QR类整式”;
(2)说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式;
(3)x2+x+1是哪一类整式?说明理由.
【答案】(1)解:若a=b=0,c≠0,则称该整式为“R类整式”.
若a=0,b≠0,c≠0,则称该整式为“QR类整式”.
故答案是:a=b=0,c≠0;a=0,b≠0,c≠0
(2)解:因为﹣2P+3Q=﹣2(x2+x﹣1)+3(x2﹣x+1)
=﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3=x2﹣5x+5.
即x2﹣5x+5=﹣2P+3Q,所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”
(3)解:∵x2+x+1=(x2+x﹣1)+(x2﹣x+1)+(﹣x2+x+1),
∴该整式为PQR类整式.
【解析】【分析】(1)根据题干条件,可得若a=b=0,c≠0,则称该整式为“R类整式”;若a=0,b≠0,c≠0,则称该整式为“QR类整式”.
(2)根据"PQ类整式"定义,由x2﹣5x+5=﹣2(x2+x﹣1)+3(x2﹣x+1) = ﹣2P+3Q,据此求出结论.
(3)由x2+x+1=(x2+x﹣1)+(x2﹣x+1)+(﹣x2+x+1)= PQR,据此判断即可.
3.温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台,温州厂可支援外地台,杭州厂可支援外地台.现在决定给武汉台,南昌台.每台机器的运费(单位:百元)如表.设杭州运往南昌的机器为台.
南昌武汉
温州厂
杭州厂
(1)用的代数式来表示总运费(单位:百元).
(2)若总运费为元,则杭州运往南昌的机器应为多少台?
(3)试问有无可能使总运费是元?若有可能,请写出相应的调运方案;若无可能,请说明理由.
【答案】(1)解:设总费用为W百元,由杭州运往南昌x台,运往武汉(4-x)台,
温州运往南昌(6-x)台,运往武汉(4+x)台,根据题意得:
W=4(6-x)+8(4+x)+3x+5(4-x)=2x+76,
∴总运费为(2x+76)百元
(2)解:当W=8200元=82百元时,76+2x=82,解得x=3.
答:总运费为8200元,杭州运往南昌的机器应为3台
(3)解:当W=7400元=74百元时,
74=2x+76,解得:x=-1,
∵0≤x≤4,
∴x=-1不符合题意,
总运费不可能是7400元.
【解析】【分析】(1)设总费用为W百元,由杭州运往南昌x台,运往武汉(4-x)台,温州运往南昌(6-x)台,运往武汉(4+x)台,杭州运往南昌x台需要的运费为:3x百元,杭州运往武汉(4-x)台需要的运费为:5(4-x)百元,温州运往南昌(6-x)台需要的运费为4(6-x)百元,温州运往武汉(4+x)台需要的运费为:8(4+x)百元,根据总运费等于各条线路的运费之和即可列出W与x之间的函数关系式;
(2)把W=8200元=82百元代入(1)列的函数关系式即可算出x的值,从而得出答案;(3)把W=7400元=74百元代入(1)列的函数关系式即可算出x的值,根据x的取值范围进行检验即可得出结论。
4.已知A,B在数轴上分别表示的数为m、n.
(1)对照数轴完成下表:
(3)已知A,B在数轴上分别表示的数为x和﹣2,则A、B两点的距离d可表示为d=|x+2|,如果d=3,求x的值.
(4)若数轴上表示数m的点位于﹣5和3之间,求|m+5|+|m﹣3|的值.
【答案】(1)3;7;2
(2)解:d=|m﹣n|,文字描述为:数轴上两点间的距离d等于表示两点数之差的绝对值(3)解:d=|x+2|
根据题意得出:d=|x﹣(﹣2)|=|x+2|,
如果d=3,那么3=|x+2|,
解得x=1或﹣5
(4)解:根据题意得出:∵﹣5<m<3,
∴|m+5|+|m﹣3|=|5+3|=8
【解析】【解答】解:(1)填表如下:
【分析】(1)结合数轴,得出两点间的距离公式,即可求解。若A,B在数轴上分别表示的数为m、n,A,B两点间的距离为d,则d=|m﹣n|,根据此公式即可求解。
(2)根据(1)可得出结论。
(3)将d=3代入d=|x+2|,建立方程求解。
(4)根据已知可知﹣5<m<3,得出m+5>0,m-3<0,则|m+5|=m+5,|m﹣3|=-(m-3),就可得出结果。
5.某超市在春节期间对顾客实行优惠,规定如下:
(2)若顾客在该超市一次性购物x元,当x小于500元但不小于200时,他实际付款________元,当x大于或等于500元时,他实际付款________元.(用含x的代数式表示).
(3)如果王老师两次购物货款合计820元,第一次购物的货款为a元(200<a<300),用含a的代数式表示:两次购物王老师实际付款多少元?
【答案】(1)530
(2)0.9x;0.8x+50
(3)解:0.9a+0.8(820﹣a﹣500)+450=0.1a+706
【解析】【解答】解:(1)500×0.9+(600﹣500)×0.8=530;(2)0.9x;500×0.9+(x﹣500)×0.8=0.8x+50;
【分析】(1)王老师一次性购物600元,超过500元,因此得出其中500元给予九折优惠,100元给予八折优惠,列式计算即可。
(2)根据已知当x小于500元但不小于200时,九折优惠,即可列出代数式;当x大于或等于500元时,其中500元部分给予九折优惠,(x-500)元给予八折优惠,即可列出代数式。
(3)根据已知可知,第二次购物超过500元,由已知200<a<300,得出两次购物王老师实际付款=第一次购物款乘以0.9+500乘以0.9+(800-a-500),计算即可。
6.如图,正方形ABCD与正方形BEFG,且A,B,E在一直线上,已知AB=a,BE=b(b<a).
(1)用a、b的代数式表示△ADE的面积.
(2)用a、b的代数式表示△DCG的面积.
(3)用a、b的代数式表示阴影部分的面积.
【答案】(1)解:∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,AB=a,BE=b,A,B,E在一直线上,
∴AB=AD=a,∠A=90°,∠EBG=∠ABC=90°,AE=AB+BE=a+b,
∴S△ADE= AD·AE=
(2)解:∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,AB=a,BE=b,
∴AB=DC=BC=a,∠C=90°,BG=BE=b,
∴CG=BC-BG=a-b,
∴S △DCG= DC·CG=
(3)解:∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形,AB=a,BE=b,
∴S正方形ABCD+S正方形BEFG= .
又∵S△ADE= ,S△DCG= ,S△EFG= EF·FG= ,
∴S阴影= -S△ADE-S△GEF-S△CDG
=
= .
【解析】【分析】(1)根据题意可得△ADE的两直角边AD、AE,再由三角形的面积公式求出即可;
(2)先求出CG=BC-BG=a-b,再根据三角形的面积公式求出即可;
(3)分别求出△ADE、△EFG、△DCG的面积和两个正方形的面积,即可得出阴影部分的面积.
7.阅读下面材料:
点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为∣AB∣。当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,∣AB∣=∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣;当A、B两点都不在原点时,如图2,点A、B都在原点的右边∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣;
如图3,点A、B都在原点的左边,∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b∣;
如图4,点A、B在原点的两边,∣AB∣=∣OB∣+∣OA∣=∣a∣+∣b∣= a +(-b)=∣a-b∣;
回答下列问题:
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是________,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________;
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________,如果∣AB∣=2,那么x为________
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣取最小值时,相应的x的值是________;此时代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣的值是________.
【答案】(1)3;3;4
(2);1或-3
(3)-1;5
【解析】【解答】解:(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-(-5)|=3.数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-(-3)|=4.(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x-(-1)|=|x+1|,如果|AB|=2,那么x为1或-3.(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣取最小值时,,∴x+1≥0,x-2≤0,x+3≥0,∴-1≤x≤2.即当x取=-1时为最小值,此时代数式值为5
【分析】(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-(-5)|;数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-(-3)|;(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x-(-1)|=|x+1|,求出x的值;(3)当代数式
∣x+1∣+∣x-2∣+∣x+3∣取最小值时,得到-1≤x≤2;求出代数式的值.
8.已知:b是最小的正整数,且a、b满足,请回答问题:(1)请直接写出a、b、c的值: a=________; b=________; c=________.
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB,试计算此时BC—AB的值.
(3)在(1)(2)的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒3个单位长度和x(x>3)个单位长度的速度向右运动,请问:是否存在x,使BC-AB的值随着时间t的变化而不变,若存在求出x;不存在请说明理由.
【答案】(1)-1;1;4
(2)解:BC-AB
=(4-1)-(1+1)
=3-2
=1.
故此时BC-AB的值是1
(3)解:t秒时,点A对应的数为-1-t,点B对应的数为3t+1,点C对应的数为xt+4.
∴BC=(xt+4)-(3t+1)=(x-3)t+3,AB=(3t+1)-(-1-t)=4t+2,
∴BC-AB=(x-3)t+3-(4t+2)=(x-7)t+1,
∴BC-AB的值不随着时间t的变化而改变时,其值为7
【解析】【解答】解:(1)∵b是最小的正整数,
∴b=1,
∵|c-4|+(a+b)2=0,
∴c-4=0,a+b=0,∴a=-1,c=4
【分析】(1)根据b是最小的正整数,即可确定b的值,然后根据非负数的性质,几个非负数的和是0,则每个数是0,即可求得a,b,c的值;(2)根据两点间的距离公式可求BC、AB的值,进一步得到BC-AB的值;(3)先求出BC=4t+3,AB=4t+2,从而得出BC-AB,从而求解.
9.观察下列等式:
31-30=2×30,
32-31=2×31,
33-32=2×32,
(1)试写出第个等式,并说明第个等式成立的理由;
(2)计算30+31+32+…+32018+32019的值.
【答案】(1)根据题意得第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1,
证明如下:3n-3n-1=3×3n-1-3n-1=2×3n-1,所以成立;
(2)31-30=2×30,
32-31=2×31,
33-32=2×32,
…
32019-32018=2×32018
32020-32019=2×32019
将这些等式相加
得(31-30)+(32-31)+(33-32)+…+(32019-32018)+(32020-32019)=2×(30+31+32+…+32018+32019)
故32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019)
∴30+31+32+…+32018+32019=
【解析】【分析】(1)通过观察即可发现:等式的左边是一个减法算式,被减数的底数是3,指数与等式的序号一致,减数的底数也是3,指数比等式的序号小1;等式的右边是一个乘法算式,一个因数是2 ,另一个因数与左边的减数一致,利用发现的规律即可得出通用公式:第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1;
(2)利用(1)发现的规律得出 31-30=2×30,32-31=2×31,33-32=2×32,…32019-32018=2×32018,32020-32019=2×32019根据等式的性质,将这些等式直接相加,得出32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019) ,从而根据等式的性质即可得出答案。
10.某市为鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费,月用水量与水费的单价如表所示:
月用水量不超过24立方米超过24立方米
计费单价按3元/立方米计费其中的24立方米仍按3元/立方米收费,超过部分按5元/立方米计费
①当x不超过24立方米时,应收水费为多少元;
②当x超过24立方米时,应收水费为多少元;
(2)小明家五月份用水23立方米,六月份用水36立方米,请帮小明计算一下他家这两个月共应交多少元水费?
(3)小明家七、八月份共用水64立方米,共交水费232元用水,已知七月份用水不超过24立方米,请帮小明计算一下他家这两个月各用多少立方米的水?
【答案】(1)解:①当x不超过24立方米时,应收水费=3x元;
②当x超过24立方米时,应收水费=24×3+5(x﹣24)=5x﹣48元.
故答案为:①3x;②(5x﹣48).
(2)解:当x=23时,3x=69;
当x=36时,5x﹣48=132.
∴69+132=201(元).
答:小明家这两个月共应交201元水费.
(3)解:设小明家七月份用水m立方米(0<m≤24),则八月份用水(64﹣m)立方米,依题意,得:3m+5×(64﹣m)﹣48=232,
解得:m=20,
∴64﹣m=44.
答:小明家七月份用水20立方米,八月份用水44立方米.
【解析】【分析】(1)根据分段计费的收费标准,可用含x的代数式表示出当x不超过24立方米时及当x超过24立方米时的应收水费;(2)将x的值代入(1)中的代数式中求值即可;(3)设七月份用水m立方米(0<m≤24),则八月份用水(64﹣m)立方米,由(1)的结论结合小明家七、八月份共交水费232元,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论.
11.如图:在数轴上A点表示数,B点示数,C点表示数c,b是最小的正整数,
且a、b满足|a+2|+ (c-7)2=0.
(1)a=________,b=________,c=________;
(2)若将数轴折叠,使得A点与C点重合,则点B与数________表示的点重合;
(3)点A.B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点A与点B之间的距离表示为AB,点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C 之间的距离表示为BC.
则AB=________,AC=________,BC=________.(用含t的代数式表示)
(4)请问:3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
【答案】(1)-2;1;7
(2)4
(3)3t+3;5t+9;2t+6
(4)解:不变.
3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+3)=12
【解析】【解答】解:(1)∵|a+2|+(c-7)2=0,
∴a+2=0,c-7=0,
解得a=-2,c=7,
∵b是最小的正整数,
∴b=1;
故答案为:-2,1,7.
( 2 )(7+2)÷2=4.5,
对称点为7-4.5=2.5,2.5+(2.5-1)=4;
故答案为:4.
( 3 )AB=t+2t+3=3t+3,AC=t+4t+9=5t+9,BC=2t+6;
故答案为:3t+3,5t+9,2t+6.
【分析】(1)根据绝对值的非负性,偶次幂的非负性,由几个非负数的和为0,则这几个数都为0,列出方程组a+2=0,c-7=0,求解得出a,c的值,再根据最小的正整数是1,得出b的值;
(2)根据(1)可知A、C两点间的距离为2+7=9,根据折叠的性质得出折迹处到A、C两点的距离是(7+2)÷2=4.5,折叠处表示的数是7-4.5=2.5,B点距离折叠处的距离是 2.5-1=1.5,根据对称的性质即可得出与点B重合的点所表示的数是2.5+1.5=4;
(3)根据路程等于速度乘以时间得出:A点运动的路程为t,B点运动的路程为2t,C点运动的路程为4t,由AB=A点运动的路程加上B点运动的路程再加上一开始AB两点间的距离得出AB=t+2t+3=3t+3,由AC=A点运动的路程加上C点运动的路程再加上一开始AC两点间的距离得出AC=t+4t+9=5t+9,由BC=C点运动的路程减去B点运动的路程再加上一开始BC两点间的距离得出BC=4t-2t+6=2t+6;
(4)将(3)中得出的BC,AB的长度分别代入3BC-2AB ,即可列出一个整式的加减法算式,再去括号合并同类项后发现是一个常数,于是得出 3BC-2AB 的值与字母t无关。
12.小明拿扑克牌若干张变魔术,将这些扑克牌平均分成三份,分别放在左边,中间,右边,第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中,第二次从右边一堆中拿出一张放在中间一堆中,第三次从中间一堆中拿出一些放在左边一堆中,使左边的扑克牌张数是最初的2倍.
(1)如一开始每份放的牌都是8张,按这个规则魔术,你认为最后中间一堆剩________张牌?
(2)此时,小慧立即对小明说:“你不要再变这个魔术了,只要一开始每份放任意相同张数的牌(每堆牌不少于两张),我就知道最后中间一堆剩几张牌了,我想到了其中的奥秘!”请你帮小慧揭开这个奥秘.(要求:用所学的知识写出揭秘的过程)
【答案】(1)1
(2)解:不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数,按这样的游戏规则,最后中间一堆只剩1张扑克牌.理由是:设一开始每堆扑克牌都是x张,按这样的游戏规则:第一次:左边,中间,右边的扑克牌分别是(x-2)张,(x+2)张,x张;第二次:左边,中间,右边的扑克牌分别是(x-2)张,(x+3)张,(x-1)张,第三次:若中间一堆中拿y张扑克牌到左边,此时左边有(x-2)+y=2x张;即:y=2x-(x-2)=(x+2)张,所以,这时中间一堆剩(x+3)-y=(x+3)-(x+2)=1张扑克牌,所以,最后中间一堆只剩1张扑克牌.【解析】【解答】解:(1)设每份x张,第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中,
由题意列等式的x-2+y=2x,
解得y=x+2,
即y是x的一次函数,
当x=8时,y=10,
把x=8,y=10代入x+2-y+1=1.
最后中间一堆剩1张牌,
故答案为:1;
【分析】(1)设每份x张,第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中,第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中左边一堆剩x-2张,第二次左边的牌的数量没有发生变化,第三次从中间一堆中拿出y张放在左边一堆中,左边一堆中共有(x-2+y)张,又第三次后左边的扑克牌张数是最初的2倍.从而列出方程,然后举哀那个x=8代入即可算出y 的值,进而即可得出答案;
(2)不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数,按这样的游戏规则,最后中间一堆只剩1张扑克牌.理由是:设一开始每堆扑克牌都是x张,分别写出第一次,第二次,第三次左边、中间、右边的牌的数量,然后根据题意列出方程,求解即可。