《点阵中的规律》
胡明奎
１、目标预设
（1）学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，通过探索正方形点阵和长方形点阵的的规律，发现正方形数、长方形数的特点,体会到图形与数的联系；
（2）学生在探索感悟中体会到以形助数的直观生动性，尝试利用图形解决一些简单的问题；（3）引导学生从不同的角度看事物，帮助学生提升数学基本活动经验，发展归纳能力。
（4）通过数学活动，提高归纳、概括和逻辑思维能力，感受数学与生活的密切联系。同时增强审美意识，培养数学审美能力。
２、教学重点：探究点阵中的隐含的规律发现数的特征。
３、教学难点：能从不同角度观察到点阵的不同排列规律，并能把观察到的规律用算式表示出来。
４、教学准备：（教师）多媒体课件、（学生）彩笔
二、设计思路（课题：引导学生提升数学基本活动经验，发展归纳能力）
教学主要分三个层次：在教师帮助下研究正方形点阵，发现正方数的特点→运用这种研究方法自主研究长方形点阵→运用数形结合思想解决实际问题，感受数学的魅力。
三、教学过程
（一）激情引入
1、同学们观察图形，谁能接着画？（生说）为什么？（展示）
师评价：看来这组图形都有一定的规律。（板书：规律）
2、生活中的一些图片中也存在规律，把每个人都抽象成点形成的图形就是点阵。
早在2000多年前，古希腊的数学家们就是从点阵中发现了由许多图形中的规律。同学们想不想过一把当数学家的瘾，自己来寻找这些规律？
这节课我们就一起来寻找点阵中隐含的规律。（板书课题）
（二）探究正方形点阵中的规律
1、观察点阵，用算式表示点数
师：（在黑板上展示）我们先来看看第一组点阵图，每个点阵可以看成什么形状？
（师板书：观察）生：正方形；
师：每个点阵分别有多少个点？
生：
师：你是怎样得到这个点阵中点的个数？（根据学生回答板书算式。第3个点阵的点数如何用算式表示?）（师板书：画线、写算式）
2、找规律
师：看看这些算式有什么共同点？
师：再看看算式中的乘数和点阵图有什么关系？
师：你发现了什么规律？
3、应用规律
师：根据发现的规律请你试着画出第五个点阵，并用算式表示点的个数。
师：为什么要这样画？
思考：照这样画下去，第9个点阵的点数如何用算式来表示？第100个呢？第n个呢？
4、发现正方形数的不同特征
师：我们通过横着数发现了这组正方形点阵中隐含的规律，竖着看呢？也是一样的。
其实对于通一组点阵来说，如果观察的角度不同，所呈现的规律也就不同，这组点阵，你觉得还可怎样看？现在，根据你的观察角度来划分正方形点阵，看看能否发现新的规律？并用算式表示出来。
⑴学生分组划分点阵、探究正方形数的不同特征，师巡视。
⑵展示交流汇报、相互质疑补充。
折线划分法：（板书：折线划分）
学生汇报：师板书
第一条线： 1 = 1；
第二条线： 1＋3 =2 × 2 = 4；
第三条线： 1＋3＋5 =3 × 3= 9；
第四条线： 1＋3＋5＋7 = 4 × 4 = 16；
第五条线： 1＋3＋5＋7＋9=5 × 5= 25；
斜线划分法：（板书：斜线划分）
）1+2+1=……
师：你们观察这组算式中的加法算式与乘法算式中的乘数有什么关系？1+3= 2 × 2与2有什么联系？加数都是什么样的加数？
生：都是连续的奇数在相加。
（课件）
师：通过点阵图和算式你能用简练的语言总结出求连续的奇数和的方法吗？
生：几个连续的奇数和等于奇数个数的平方。（课件）读一读
师：请大家利用这个规律我们试一试。（课件: 简单练习1（点拨奇数个数求法）在做一道师：这样的计算规律对我们有很多帮助，下面我们再来研究一组规律，还是这个点阵，这回书上给我们出示了另一种划分方法，看看每个点阵的点数如何用算式表示，请你把它填在书上。生：说算式。
师：照这样的规律类推，第5个正方形点阵的点数如何表示？
生1：第5个点阵的点数是1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1。
师：观察这组算式有什么特点？
生：从1连续加到几，再返过来加回到1.
师：对。这也叫对称数列，如果更长的对称数列你们能更快的算出结果吗？
对称数列的和等于中间数的平方。（课件）
请大家利用规律试一试：1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1=（）× （）
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1= （）× （）
1＋2＋3＋……＋n＋……＋3＋2＋1=（）×（）师：同学们通过研究正方形“点阵”，我们不但知道了图的规律，还知道了计算的规律。（三）延伸应用，形成策略
师：请大家尝试运用前面学会的方法探究这样的点阵规律。在小组内合作研究：如何用算式表示每个长方形点阵的点子数？
（学生分组活动）
学生汇报：
生：这四长方形点阵的可以用算式1×2；2×3；3×4；4×5来表示。
师：根据自己发现的规律，请你画出第五个长方形点阵并写出算式表示出点数。
（学生独立画图并写出算式，互相交流。）
生：第五个长方形点阵的点子总数用算式表示是5×6。
师：你们发现了什么？在小组内讨论交流。
生1：每个点阵中的点数可以写出两个连续自然数的积
师：照这样继续写，第n个呢？
生齐：n×（n＋1）。
师：看来对于任何一个点阵，只要我们认真观察研究，总能发现其独特的规律。下面请大家认真观察给出的四个三角形点阵的规律，快速画出第五个三角形点阵并说出点数。
生：（举起自己的点阵图）有15个点。
师：现在老师把第五个三角形点阵进行划分，请你分别用算式表示点数。（课件，板书）
（学生活动）
（四）总结：
师：通过本节课的学习，你有哪些收获？
生：汇报。
师:这节课我们借助图形来研究数，发现了这么多有趣的表达方式。正像大数学家华罗庚所说：投影出示。师读生随。
师：其实点阵在生活中也有着广泛的应用，给我们的生活创造了美，大家共同来欣赏。
这是很多同学的母亲最喜欢的十字绣，每个格子就是一个点。这是为庆祝中国航天事业取得伟大的成就的大型体操表演，每一个人就是一个点。……
师：课后自己也设计一幅美丽的点阵图，下节课我们一起展评。
《点阵中的规律》教学反思
上完《点阵中的规律》这节课，我笑了。我感觉还是比较成功的。现在从选课，准备，上课，课后反思来谈谈我的收获。
选课
我把这次的家校交流课当作一次锻炼自己的机会，我非常注重自己在准备赛课过程中的收获。在选课的过程中，我就想挑选一节比较有挑战的课，而不象平时上过的类似的公开课，我希望有新的尝试，经商量，选中这节课《点阵中的规律》。我既比较开心同时也比较担心。本课的内容对学生来说也非常难，整节课学生都得全神贯注的思考，才能体会到探索的快乐，才会有所收获，所以，当时我真的怕自己的“功力不够”，无法很好地驾驭这节课。
准备
首先是研读教材。粗略看，本课就是“找规律”，依次类推第5个图形是什么？怎样列式。但如果只是把教学目标定在此的话，也许三年级的学生都不会觉得困难，这不是教材的编写意图。教材首先呈现了2000多年前希腊数学家们用图形研究数的情境，然后要求学生用计算的方法研究给出的四个正方形点阵，归纳出这四个点阵所隐含的规律。按照这个规律，再让学生自己画出第五个点阵，并说出有多少个点。最后，教材中给出了第五个点阵的一种划分方法，并辅以算式，旨在让学生体会到，通过点阵研究数的形式可以是多样的，比如，可以看作是相同的数字相乘，也可以看作是连续奇数的和。“练一练”的第1题则给出了用斜线划分的形式，这组点阵还可以看作类似对称的数字相加的形式，同时体会与之有关的按一定规律排列的一列数的简便计算方法。与之类似的还有长方形点阵，经研究，赛课时，我准备上到以上的内容。
备课。
前几次备课重在研究点阵中的规律，感觉主要注重通过不同形式划分点阵，可以得到相同的数字相乘，从1开始连续奇数的和，类似对称的数字相加的形式的算式，从而研究相应的简便算法，但在专家引领和学校共同研究的过程中，我们觉得教材中“在表现一些数的特征方面，点阵更加直观”这句话非常重要，在教学中怎样突出呢？所以到最后，一开始就通过数点阵中点的总数，出现1，4，9，16，这节课就要利用数点阵中点的个数来研究平方数的特征，最把从点阵中抽象出来，再感受相关的一些简便算法。
上课。
教学这节课还是比较流畅，对于学生的发言，我能比较好的结合我的教学设计进行评价和引导。这节公开课，基本能完成教学任务，但个人感觉有以下几点做得不足：
1、教学语言还不够精简、生动。语言是教师教学的最基本的工具，生动、美妙而又简洁的语言，为课堂增添不少生趣。虽然在设计这节课时，我在不同的环节注意到激励性语言的运用，但感觉比较生硬不够亲切，在个别讲解环节，未能做到用精简的语言来准确表达自己想表达的意思。
2、时间把握得不够好。这节课不能在40分中内完成，超了大概有5分钟。课后自己也在为这个问题找原因，分析后发现我在以下这几个方面浪费的时间比较多。在说说如何数出正方形点阵点的个数的环节，我在解析用行的个数乘以列的个数的原因时花的时间过多，其实在学生探索出相同数相乘的算式后，我还是要求学生说明原因的，所以前面部分可以简单带过就行，后面再详细分析效果更好。
3、在教学设计中，虽然渗透了“数形结合”思想，但是主要是借助“形”来研究“数”，而由“数”到“形”显得薄弱，在今后的教学中，可以进行加强。
每一次上公开课都有不同的体会和不同的收获，“走一步，再走一步”，希望在每一次尝试，每一次失败，每一次体会，每一次思考中，我的教学技能能得到不断的提高。
组内互评：
《点阵中的规律》是北师大版五年级上册尝试与猜测部分的第二个教学内容。本课属于一个独立的教学内容，胡老师在本课教学过程中体现了如下特点：
1．从问题出发，引导探究。问题是探索的基础
2、鼓励学生用自己的思考方式发现规律。在探究正方形点阵的规律过程中，学生们能够根据自己的观察与思考很快地找到其中的点阵规律，同时鼓励学生寻找不同的规律。在教学中充分肯定不同学生的探索成果，体现尊重学生个性发展的教学理念。
3、教师在教学设计中充分体现了“数形结合”和转化的思想，在教学中有意识地渗透这种思想，对提高学生解决问题的能力有较大的帮助。
4、利用课件，直观地显示数与形，突破难点于无形之中。