线性方程组与不等式①*b2得出
a1b2x+b1b2y=c1b2③
②*b1得出
a2b1x+b1b2y=c2b1④
③-④得出
a1b1x-a2b1=c1b2-c 2b1
求出
c1b2-c2b1
X=
a1b2-a2b1
同理
a1c2-a2c1 Y=
a1b2-a2b1
方程：含有未知数的等式。线性方程组的概念
行列式及线性方程组
（一）二阶行列式及线性方程组
a1x+b1y=c1①
a2x+b2y=c2②
a1 b1
a1b2a1b2-a2b1
a2 b2
从左到右的位置 a1 a2..第一列 b1 b2..第二列 二阶行列式的定义
③对角线
左上角到右下角的各数叫主对角线
反之叫副对角线 设：已知四个数a1a2b1b2
排成正方形a1 b1 a2 b2 则由四个数组成的减法a1b2-a2b1 a1 b1
=a1b2-a2b1 a2 b2
④展开 a1 b1
=a1b2-a2b1⑤ a2 b2
把⑤式的左端变成右端的运算过程叫二阶行列
式的展开。
行列式中的术语
①元素：组成行列式的各数如a1 b2等 ②行与列 横排叫行 竖排叫列 从上到下的位置 a1 b1.. 第一行 结论：二阶行列式等于它的主对角线两元素的乘机减去它的副对角线两元素的乘机。 例1：展开3 -7 1 2
=3x2-1x （-7）
a2 b2.. 第二行
=6+7=13 ④ a+b a+b a-b a-b =（a+b ）（a-b ）-（a-b ）（a+b ）
=a 2-b 2-(a 2-b 2) =a 2-b 2-a 2+b 2=0 例2：展开
sin α cos α
-cos α sin α
=sin 2α-（-cos 2α） =sin 2α+cos 2α=1 公式1：sin 2α+cos 2α=1
习题：① 1 -2 =13 5 3 ② 2 -7 =-17 3 -2 公式3：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2 ⑤ 2 log 2 4 log 4 =2log 4-4lo g 2=16-16=0 公式4:log 1=0 log 10=1
③ a a-b
b a-b
=a（a-b）-b（a-b）=a2-ab+b2- ab
= a2-2ab+b2
=（a-b）2
第二章方程与不等式 ★ 2.1 一元二次方程 定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数是 2的整式方程。 2 整式 单项式：数或字母的乘积，如 4，a, 4a , 3????2 多项式：若干个单项式的和或差 如4a+2c, a-5b ' ?? 分式：形如方的式子，且A, B 为整式，B 中有字母。 无理式：带有广且广下含有字母的式子 3.解一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a 丰0）的常用方法: （1）配方法：二次项系数化为 1 ?移向（把常数项移到方程右边）？配方（方程的两边各加上一次项系数 一半的平方），把方程化成（x+m ） 2=n 的形式？用直接开平方的方法求解。 6. 解题时要理解“且”和“或”的关系，且是取交集，表示都得满足，或是取并集，表示都 可以满足。例如：x-3 v 0或x+4W 0的解集是？ 7. 解含有绝对值的不等式的思路： 把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式。 在解 含有绝对值的不等式时，常用数轴来表示其解集。 8. 一元二次不等式（一般形式 ax 2+bx+c > 0或ax 2+bx+c > 0, a * 0）的解法：一元二次不等 式经过配方再开方，变成含有绝对值的不等式，最后转化成一元一次不等式（组） ，从而求 出解集。 当 m > 0 时，X < m? |x| < m ,即-m < x < m X 2> m? |x| > m 即 x > m 或 x < -m ☆你能分清不等式与不等式组的解集到底取并集还是取交集吗? 1. 2. 衔接： 有理式 代数式 （2）求根公式法：？？= -??±V ??2- 4???? 2 ，— 2 注意条件厶=b-4ac >0时，方程有2个不相等的实数根，△ =b-4ac=0 时，方程有2个相等的实数根，△ 2?? =6-4ac v 0时，方程无实数根。 （3）因式分解法或直接开平方法： 适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。 女口： X 2=9X ， 4 x 2=5 等 4.注意 会丢根。 ★ 2.2不等式 1. （复习）任意两个实数 a,b 具有的基本性质： a-b > 0? a > b a-b=0 ? a=b 2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。 方法是：把要比较的两个实数 （或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解, 直到 能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。 元二次方程的实数根或者有 2个，或者没有。例如 x 2 =2x ，不能把 x 约去，否则 a-b v 0? a v b a > b? a+c > b+c (或 a-c > b-c ) 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 (2) a > b ， 、?? ?? c >0? ac >bc (或??>??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变 ?? ?? (3) a > b , c v 0? ac v bc (或？?v ??) 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变 4.解一元一次不等式组的解集是求他们各自解的交集！遵循的口诀是: 5.表示不等式的解集常用 2种方法: 集合表示：性质描述 区间表示：开区间，闭区间及半开半闭区间 大大取较大 小小取较小 大小 交叉中间找 大大 小小无处找
中考数学二轮复习拔高训练卷专题2 方程与不等式 一、单选题（共10题；共20分） 1.下列方程中变形正确的是（） ① 4x＋8＝0变形为x＋2＝0；② x＋6＝5－2x变形为3x＝-1； ③ ＝3变形为4x＝15；④ 4x＝2变形为x＝2 A. ①④ B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 2.已知关于x的方程有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（） A. B. C. 或 D. 或 3.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4.方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.若a为方程（x- ）2=100的一根，b为方程（y-4）2=17的一根，且a、b都是正数，则a-b之值是（）. A. 5 B. 6 C. D. 10- 6.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b ，则a-b的值为（） A. 1 B. －1 C. 0 D. －2 7.方程x2-2x+3=0的根的情况是（）. A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 8.为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为20平方米提高到28.8平方米．若每年的年增长率相同，则年增长率为（） A. 20% B. 10% C. 2% D. 0.2% 9.已知⊙O与直线AB相交，且圆心O到直线AB的距离是方程2x-1=4的根，则⊙O的半径可为（）.
第二章 方程与不等式 ★2.1一元二次方程 1. 定义：只含有1 个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。 2. 整式 单项式：数或字母的乘积，如4，a ， 4a ， 23 aa 2 多项式 :若干个单项式的和或差 如4a+2c ，a-5b 分式：形如a a 的式子，且A ，B 为整式，B 中有字母。 √且√下含有字母的式子 3. 解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的常用方法： （1）配方法：二次项系数化为1?移向（把常数项移到方程右边）?配方（方程的两边各加上一次项系数 一半的平方），把方程化成（x+m ）2=n 的形式?用直接开平方的方法求解。 （2）求根公式法：a =?a ±√a 2?4aa 2a 注意条件△=b 2-4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根，△=b 2-4ac=0时，方程有2个相等的实数根，△=b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。 （3）因式分解法或直接开平方法：适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。如：x 2=9x ， 4 x 2=5等 4. 注意：一元二次方程的实数根或者有2个，或者没有。例如x 2=2x ，不能把x 约去，否则 会丢根。 ★2.2不等式 1. (复习)任意两个实数a,b 具有的基本性质：a-b ＞0?a ＞b a-b ＜0?a ＜b a-b=0?a=b 2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。 方法是：把要比较的两个实数（或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解，直到能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。 3.不等式的基本性质： （1）a ＞b ?a+c ＞b+c （或a-c ＞b-c ） 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 （2）a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc （或a a ＞a a ） 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。 （3）a ＞b ，c ＜0?ac ＜bc （或a a ＜a a ） 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。4.5. 6.解题时要理解“且”和“或”的关系，且是取交集，表示都得满足，或是取并集，表示都可以满足。例如：x-3＜0或x+4≤0的解集是？ 7.在解8.一元二次不等式（一般形式ax 2+bx+c ＞0或ax 2+bx+c ＞0，a ≠0）的解法：一元二次不等 式经过配方再开方，变成含有绝对值的不等式，最后转化成一元一次不等式（组），从而求出解集。 当m ＞0时，X 2≤m 2?|x|≤m ，即-m ≤x ≤m X 2≥m 2?|x|≥m ，即x ≥m 或x ≤-m
高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (2) 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.使不等式23x?1?2>0成立的x的取值范围是() A. (3 2,+∞) B. (2 3 ,+∞) C. (1 3 ,+∞) D. (?1 3 ,+∞)． 2.设集合A={x||3x+1|≤4}，B={x|log2x≤3}，则A∪B=() A. [0,1] B. (0,1] C. [?5 3,8] D. [?5 3 ,8) 3.若函数f(x)=1 2cos2x+3a(sinx?cosx)+(4a?1)x在[?π 2 ,0]上单调递增，则实数a的取值范 围为 A. [1 7,1] B. [?1,1 7 ] C. (?∞,?1 7 ]∪[1,+∞) D. [1,+∞) 4.已知函数f(x)=1 2 ax2+cosx?1(a∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为 A. (?∞,0) B. (?∞,0]∪[1,+∞) C. (?∞,?1]∪[1,+∞) D. (?∞,0)∪[1，+∞) 5.已知函数f(x)={2x+4 x ?5,x>0, ?x2?3x?3,x≤0． 若函数f(x)=?x+m恰有两个不同的零点，则实 数m的取值范围是() A. (0,+∞) B. (?∞,4√3?5) C. (?∞,?2)∪(4√3?5,+∞) D. [?3,?2)∪(4√3?5,+∞) 6.已知集合A={x|x2?x?2>0},B={x|0
2014年中考数学总复习专题测试试卷（方程与不等式） 一、选择题 1．点 A(m 4，1 2m) 在第三象限，那么 m 值是（ ）。 1 Ｂ． m 4 1 m 4 Ｄ． m 4 Ａ． m Ｃ． 2 2 2．不等式组 x 3 ）。 x 的解集是 x> a ，则 a 的取值范围是（ a Ａ． a ≥3 B ． a =3 Ｃ． a >3 Ｄ． a <3 2x 1 3．方程 x 2－4 －1＝ x ＋ 2 的解是（ ）。 Ａ．－ 1 B ． 2 或－ 1 Ｃ．－ 2 或 3 Ｄ． 3 2-x x-1 4．方程 3 - 4 = 5 的解是（ ）。 Ａ． 5 B ． - 5 Ｃ． 7 Ｄ． - 7 5．一元二次方程 x 2 -2x-3=0 的两个根分别为（ ）。 A ．x 1=1，x 2 =-3 B ．x 1=1，x 2 =3 C ．x 1=-1 ， x 2=3 D ．x 1=-1 ，x 2=-3 a 2b ， 3 m 则 a b 的值为（ 6．已知 a ， b 满足方程组 ）。 2a b m ， 4 Ａ． 1 Ｂ． m 1 Ｃ． 0 Ｄ． 1 7． 若方程组 3x 5y m 2 2x 3 y m 的解 x 与 y 的和为 0，则 m 的值为（ ）。 Ａ．－ 2 B ．0 Ｃ． 2 Ｄ． 4 8．在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的 面积是 5400cm 2 ，设金色纸边的宽为 xcm ， 那么 x 满足的方程是（ ）。 A ．x 2+130x-1400=0 B ． x 2 +65x-350=0 C ．x 2-130x-1400=0 D ． x 2 -65x-350=0 2x m ＋1 x ＋1 9．若解分式方程 x －1 －x 2＋ x ＝ x 产生增根，则 m 的值是（ ）。 Ａ．－ 1 或－ 2 B ．－ 1 或 2 Ｃ． 1 或 2 Ｄ． 1 或－ 2 二、填空题 10．不等式 (m-2)x>2-m 的解集为 x<-1 ，则 m 的取值范围是 __________________。 11．已知关于 x 的方程 10x 2－(m+3)x+m － 7=0，若有一个根为 0，则 m=_________，这时方程的另一个根是 _________。 12．不等式组 x 2m 1 x m 的解集是 x ＜ m －2，则 m 的取值应为 _________。 2 三解答题 13．解方程： (1) (2x – 3) 2 = (3x – 2) 2
热点专题二 方程与不等式 【考点聚焦】 “方程与不等式”包括方程与方程组、不等式与不等式组两方面内容．“方程与不等式”均存在标准形式，其解法具有程序式化的特点，是一种重要的数学基本技能．此外，“方程与不等式”也是刻画现实世界的一个有效的数学模型，在现实生活中存在大量的“方程与不等式”问题． “方程与不等式”是初中数学的核心内容之一．就解法与自身的应用来说，“方程与不等式”是初中数学最重要的基础知识之一，同时也是学习函数等知识的基础；就所蕴含的“方程思想和转化思想”而言，它更是培养同学们分析问题和解决问题思想方面的重要源泉和场所． 同时对“方程与不等式”的考查，一方面注重对其解法和与其它知识点联系的考查，另一方面更注重对其与现实生活的联系，加强对解决简单实际问题的数学考查． 在学业考试中所有题型均可出现，题量不小，而且难度将随着题型变化而变化． 【热点透视】 热点1：设计重结果的问题考查方程与不等式的有关概念 例1（1）二元一次方程组320x y x y -=-??+=? 的解是（ ） （A ）12x y =-??=? （Ｂ）12 x y =??=-? （C ）12x y =-??=-? （D ）21 x y =-??=? （2）不等式组24010x x -
微专题1 基本不等式的应用技巧 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 一、加项变换 例1 已知关于x 的不等式x ＋1x －a ≥7在x >a 上恒成立，则实数a 的最小值为________． 答案 5 解析 ∵x >a ， ∴x －a >0， ∴x ＋1x －a ＝(x －a )＋1x －a ＋a ≥2＋a ， 当且仅当x ＝a ＋1时，等号成立， ∴2＋a ≥7，即a ≥5. 反思感悟 加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 二、平方后使用基本不等式 例2 若x >0，y >0，且 2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为________． 答案 92 3 解析 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2 ????1＋y 23 ≤3·? ?? ??2x 2＋1＋y 2322＝3×????922. 当且仅当 2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立． 故x 6＋2y 2的最大值为92 3. 三、展开后求最值 例3 若a ，b 是正数，则????1＋b a ? ???1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案 C
解析 ∵a ，b 是正数， ∴????1＋b a ????1＋4a b ＝1＋4a b ＋b a ＋4＝5＋4a b ＋b a ≥5＋24a b ·b a ＝5＋4＝9， 当且仅当b ＝2a 时取“＝”． 四、常数代换法求最值 例4 已知x ，y 是正数且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( ) A.1315 B.94 C ．2 D ．3 答案 B 解析 由x ＋y ＝1得(x ＋2)＋(y ＋1)＝4， 即14 [(x ＋2)＋(y ＋1)]＝1， ∴4x ＋2＋1y ＋1＝? ????4x ＋2＋1y ＋1·14 [(x ＋2)＋(y ＋1)] ＝14???? ??4＋1＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1 ≥14(5＋4)＝94 ， 当且仅当x ＝23，y ＝13 时“＝”成立，故选B. 反思感悟 通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 五、代换减元求最值 例5 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3????0
一、应用题 1. （1）购进C 种玩具套数为：50x y --（或41147510 x y - -） （2）由题意得 405550(50)2350x y x y ++--= 整理得230y x =-． （3）①利润＝销售收入－进价－其它费用 508065(50)2350200P x y x y ∴=++---- 整理得15250P x =+． ②购进C 种电动玩具的套数为：50803x y x --=-． 根据题意列不等式组，得 10 2301080310 x x x ?? -? ?-? ≥≥≥，解得70203x ≤≤． ∴x 的范围为2023x ≤≤，且x 为整数． ∵P 是x 的一次函数，150k =>， ∴P 随x 的增大而增大． ∴当x 取最大值23时，P 有最大值，最大值为595元．此时购进A 、B 、C 种玩具分别为23套、16套、11套． 2. 解：（1）设原计划购买彩电x 台，冰箱y 台，根据题意，得 2000180025000x y +=，化简得：109125x y +=． 由于x y 、均为正整数，解得85x y ==，． （2）该批家电可获财政补贴为2500013%3250()?=元．由于多买的冰箱也可获得13%的财政补贴，实际负担为总价的87%． 3250(113%)3735.621800÷-?≈≥， ∴可多买两台冰箱． 答：（1）原计划购买彩电8台和冰箱5台； （2）能多购买两台冰箱．我的想法：可以拿财政补贴款3250元，再借350元，先购买两台冰箱回来，再从总价3600元冰箱的财政补贴468元中拿出350元用于归还借款，这样不会增加实际负担． 3. 解： （1）依题意得：1(2100800200)1100y x x =--=，
普文镇中学2014----2015学年下学期九年级面对面第二章 方程（组）与不等式（组）教案 主备人：唐泽燕 参与教师：兰艳李玉娇郭兵 肖兴斌李朝阳 授课班级： 授课教师：
第一节一次方程式（组） 教学目标： 1.理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念 2.掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会 “消元”的数学思想，会求二元一次方程的正整数解 3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方 程组来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性 教学重点： 解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤和方法 教学难点： 根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组学情分析： 教学手段及运用： 多媒体课件，运用多媒体课件让学生更容易观察理解 教学方法运用： 复习知识，教师讲解，学生练习 教学过程： 一、知识点复习 考点一等式的性质(2011版新课标新增内容) 性质1：等式两边加(或减）同一个数(或式子），结果仍相等.如果a=b,
那么 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相 等.如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么 考点二一元一次方程及解法 1. 方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方 程叫做一元一次方程. 2. 形式：任何一个一元一次方程都可以化成ax+b=0(a、b是常数， 且a≠0)的形式. 3. 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就 是方程的解. 4. 一元一次方程的解法 步骤具体做法 去分母在方程两边都乘以各分母的①____________(若未知数的 系数含有分母，则先去分母) 去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(若方程含有括 号，则去括号) 移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到 方程的另一边，注意移项时一定要改变符号 合并把方程化成ax=b(a≠0)的形式 系数化为1 方程两边都除以未知数的②______，得到方程的解③__________. 考点三二元一次方程（组）及其解法
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题 一、选择题 1．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1≠x 2 B ．x 1+x 2＞0 C ．x 1?x 2＞0 D ．x 1＜0，x 2＜0 【答案】A 【解析】 分析：A 、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x 1≠x 2，结论A 正确； B 、根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=a ，结合a 的值不确定，可得出B 结论不一定正确； C 、根据根与系数的关系可得出x 1?x 2=﹣2，结论C 错误； D 、由x 1?x 2=﹣2，可得出x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误． 综上即可得出结论． 详解：A ∵△=（﹣a ）2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8＞0， ∴x 1≠x 2，结论A 正确； B 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根， ∴x 1+x 2=a ， ∵a 的值不确定， ∴B 结论不一定正确； C 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根， ∴x 1?x 2=﹣2，结论C 错误； D 、∵x 1?x 2=﹣2， ∴x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误． 故选A ． 点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22 240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y +-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2 【答案】C 【解析】 【分析】 由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y +-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
~ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案) 【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式） 一、不等式 1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子. 2..不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： 性质1 对称性：a b b a >?<； 】 性质2 传递性：,a b b c a c >>?>； 性质3 加法法则（同向不等式可加性）：()a b a c b c c R >?+>+∈； 性质4 乘法法则：若a b >，则000c ac bc c ac bc c ac bc ， ，.>?>?? =?=??且0c =，则00a b c c c a b c c c ? >?>?? ? ?>?+>+； 性质6 可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>??>?>； 性质7 可乘方性：()*00n n a b n a b N >>∈?>>； 可开方性：( )01a b n n N 且+>>∈>? ！ 要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法： 1. 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0a b a b ->?>； ②0a b a b -?>； ②1a a b b
方程与不等式 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．已知关于的方程的解满足方程，则的值是( ) A. B. C. 2 D. 3 2．已知两数之和是10，比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3．下列关于的方程中，有实数根的是( ) A． B． C． D． 4.分式方程的解为( ) A． B． C． D． 5.关于的不等式的解集如图，那么的值是（） A．－4 B．－2 C．0 D. 2 6.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 7. 在＝－4，－1，0，3中,满足不等式组的值是（） A．－4和0 B．－4和－1 C．0和3 D．－1和0 8. ，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立则正确的是结论是( ) A．时成立 B．时成立 C．或2时成立 D．不存在 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知关于的一元一次方程的解是＝2，则的值为． 10．小明星期天到体育用品商店购买一个篮球花了120元，已知篮球按标价打八折，那么篮球的标价是元． 11. 已知是二元一次方程组的解，则的值为 . 12.已知关于的方程有一个根是，则的值为 . 13．若，是方程的两实数根，那么的值为 . 14．若关于的分式方程有增根，则的值是 . 15．已知直线经过点（1，﹣1），那么关于的不等式的解集是 .
16．小红在解方程组的过程中，错把看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应该是． 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分，需要有必要的推理与解题过程）. 17．（本题4分）解方程 18.（本题4分）解方程组： 19．（本题6分，每小题3分）解方程： ⑴. ⑵. 20．（本题6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来.
方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析 一、选择题 1．222620x y x xy y -=??--=? 【答案】42x y =??=? 或22x y =??=-? . 【解析】 【分析】 先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】 解：原方程组变形为 ( )()2620x y x y x y -=??-+=? ∴2620x y x y -=??-=? 或260x y x y -=??+=? ∴原方程组的解为 42x y =??=? 或22x y =??=-? . 故答案为：42x y =??=? 或22x y =??=-? . 【点睛】 本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键． 2．解方程组 【答案】原方程组的解为：， 【解析】 【分析】 把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可. 【详解】 解： 把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4， x 2+4x =0， 解得：x =-4或x =0， 当x =-4时，y =-3， 当x =0时，y =1，
所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想. 3．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1?k 2＝﹣1． 解决问题： ①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____； ②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值． 【答案】（1）y ＝﹣ 12x 2+12x+1；（2）①-12 ；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标； （3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值 【详解】 解：（1）将A ，B 点坐标代入，得 10(1)11(2)a b a b -+=??++=? ，
专题二《方程与不等式》 ●中考点击 考点分析： 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查． 不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题． 由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视 例1解方程： 2 241 1 1 x x x x - = -+- ． 【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． 原方程变形为 ) 1)(1(41 21 -+= +- -x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，去分母并整 理得022 =--x x ，解这个方程得1,221-==x x ．经检验，2=x 是原方程的根，1 -=x 是原方程的增根．∴原方程的根是2=x ． 【答案】2=x ． 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．
方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解. 【详解】 解：Q 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限， 0k ∴>，0b ≤， 240k b ∴?=->， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞﹣1 C ．m ＞1 D ．m ＜﹣1 【答案】C 【解析】 试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2 24241440b ac m m ?=-=--??=-<， 解得： 1.m > 故选C ． 3．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④
专题二：方程与不等式 孙法光 一、考点综述 考点内容： 1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 5、一元二次方程根的判别式及应用 6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 7、不等式的基本性质 8、一元一次不等式（组）的解法及应用 考纲要求：熟练解方程和方程组；简单运用一元二次方程根的判别式以及根与系数关系；列方程和方程组解应用题；熟练解不等式或不等式组以及列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题。 考题分值：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查． 不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题． 备考策略：对于方程与不等式的知识的复习，关健在于扎实基本概念和基本知识。在对应用题的复习时一方面要弄清题目中的已知、未知以及它们之间的关系；另一方面要弄清基本关系量及变式，还要善于找出其中的相等关系式，还可以使用图表等多种方式来帮助分析问题。 二、例题精析 例1解方程： 2 241 1 1 x x x x - = -+- ．
方程与不等式 一、方程与方程组 二、不等式与不等式组 知识结构及内容： 1几个概念 2一元一次方程 （一）方程与方程组 3一元二次方程 4方程组 5分式方程 6应用 1、 概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解 2、 一元一次方程： 解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零） 例题：.解方程： （1） 3131=+- x x （2）x x x -=--+22 1 32 解： （3） 关于x 的方程mx ＋4＝3x ＋5的解是x ＝1，则m ＝ ______________． 解： 3、一元二次方程： （1） 一般形式：()002 ≠=++a c bx ax （2） 解法： 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 求根公式()002 ≠=++a c bx ax () 042422 ≥--±-= ac b a ac b b x 例题： ①、解下列方程： （1）x 2－2x ＝0； （2）45－x 2＝0； （3）(1－3x )2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0． （5）（t －2）（t ＋1）＝0； （6）x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2－6x －3＝0； （8）3（x －5）2＝2（5－x ） 解：
② 填空： （1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋2 3 x ＋（ ）＝（x ＋ ）2 （3）判别式△＝b 2－4ac 的三种情况与根的关系 当0>?时 有两个不相等的实数根 ， 当0=?时 有两个相等的实数根 当0-q p B 、02>-q p C 、042≥-q p D 、 02≥-q p （4）根与系数的关系：x 1＋x 2＝a b - ，x 1x 2＝a c 例题：已知方程011232=-+x x 的两根分别为1x 、2x ，则 2 11 1x x + 的值是（ ） A 、 11 2 B 、211 C 、11 2- D 、2 11-
第二章 方程与不等式自我测试 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2015·大连)方程3x ＋2(1－x)＝4的解是( C ) A ．x ＝25 B ．x ＝65 C ．x ＝2 D ．x ＝1 2．(2015·云南)下列一元二次方程中，没有实数根的是( A ) A ．4x 2－5x ＋2＝0 B ．x 2－6x ＋9＝0 C ．5x 2－4x －1＝0 D ．3x 2－4x ＋1＝0 3．(2015·广州)已知a ，b 满足方程组?????a ＋5b ＝12， 3a －b ＝4， 则a ＋b 的值为( B ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 4．(2015·陕西)不等式组?????12x ＋1≥－3， x －2（x －3）＞0 的最大整数解为( C ) A ．8 B ．6 C ．5 D ．4 5．(2015·玉林)某次列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km.设提速前列车的平均速度为x km/h ，则列方程是( A ) A.s x ＝s ＋50x ＋v B.s x ＋v ＝s ＋50x
C.s x ＝s ＋50x －v D.s x －v ＝s ＋50x 二、填空题(每小题5分，共25分) 6．(2015·丹东)若x ＝1是一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0的一个根，那么a ＝__－3__． 7．(2015·怀化)方程2x －11＋x ＝0的解是x ＝－2． 8．(2015·甘孜州)已知关于x 的方程3a －x ＝x 2 ＋3的解为2，则代数式a 2 －2a ＋1的值是__1__． 9．(2015·咸宁)如果实数x ，y 满足方程组?????x －y ＝－12，2x ＋2y ＝5， 则x 2－y 2的值为__－54 __． 10．(2015·武汉)定义运算“*”，规定x*y ＝ax 2＋by ，其中a ，b 为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝__10__． 三、解答题(共50分) 11．(9分)解方程(组)： (1)(2015·淮安)?????x －2y ＝3①， 3x ＋y ＝2②； 解：①＋②×2得：7x ＝7，即x ＝1，把x ＝1代入①得：y ＝－1，则方程 组的解为?????x ＝1， y ＝－1 (2)(2015·徐州)x 2－2x －3＝0；
方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案 一、选择题 1．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解. 【详解】 解：Q 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限， 0k ∴>，0b ≤， 240k b ∴?=->， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 2．若代数式226(3)1x x m x ++=+-，则m =（ ） A ．-8 B ．9 C ．8 D ．-9 【答案】C 【解析】 【分析】 已知等式右边利用完全平方公式化简，利用多项式相等的条件求出m 的值即可． 【详解】 226(3)1x x m x ++=+-=x 2+6x+8， 可得m=8， 故选：C. 【点睛】 此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握计算公式. 3．方程x 2+x ﹣1＝0的一个根是（ ） A ．1﹣ B ． C ．﹣1+ D ． 【答案】D 【解析】
【分析】 利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断． 【详解】 ∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1， ∴△＝b 2﹣4ac ＝12﹣4×（﹣1）＝5， 则x ＝ ， 所以x 1＝ ，x 2＝ ． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则． 4．设O e 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离OP m =，且m 使得关于x 的方程264310x x m -+-=没有实数根，则直线l 与O e 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 欲求圆与AB 的位置关系，关键是求出点C 到AB 的距离d ，再与半径r=2进行比较，即可求解．若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离． 【详解】 ∵关于x 的方程6x 23x+m-1=0没有实数根， ∴△=b 2-4ac ＜0， 即48-4×6×（m-1）＜0， 解这个不等式得m ＞3， 又因为⊙O 的半径为3， 所以直线与圆相离． 故选：A ． 【点睛】 此题考查直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式．解题关键在于通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判断． 5．某班同学毕业时，都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） A ．x （x+1）=1892 B ．x （x?1）=1892×2 C ．x （x?1）=1892 D ．2x （x+1）=1892 【答案】C 【解析】试题分析：∵全班有x 名同学，