考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤(总17页)
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考研数学基础班概率统计讲义
第一章随机事件与概率
一、随机试验与随机事件
（一）基本概念
1、随机试验—具备如下三个条件的试验：
（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。
（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E 。
2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。
3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。
（二）事件的运算
1、事件的积—事件A 与事件B 同时发生的事件，称为事件A, B 的积，记为AB 。
2、事件的和—事件A 或者事件B 发生,称为事件A, B 的和事件，记为A B 。
3、事件的差—事件A 发生而事件B 不发生,称事件A, B 的差事件，记为A B 。
（三）事件的关系
1、包含—若事件A 发生则事件B 一定发生，称A 包含于B ，记为A
B 。若A B 且B A ，称两事件相等，记A B 。
2、互斥（不相容）事件—若A 与B 不能同时发生，即AB ，称事件A, B 不相容或互斥。
3、对立事件—若AB 且A B 称事件A, B 为对立事件。
【注解】（1）A ( A B) AB ，且A B 与AB 互斥。
（2）A B ( A B) (B A) AB ，且A B, B A, AB 两两互斥。
（四）事件运算的性质
1、（1）AB A(或B) A B ；（2）AB BA, A B B A ；
2、（1）A A A, A A A ；
（2）A (B C) ( A B) ( A C), A (B C) ( A B) ( A C) ；
3、（1）A ( A B) A ；（2）( A B) A A B ；
（3）A B ( A B) AB (B A) 。
4、（1）A A ；（2）A A 。
二、概率的定义与性质
（一）概率的定义—设随机试验的样本空间为，满足如下条件的随机事件的函数P() 称为所对应事件的概率：
1、对事件 A ，有 P ( A ) 0 （非负性）。
2、 P () 1（归一性）。
3、设 A 1 , A 2 ,L , A n ,L 为不相容的随机事件，则有 P ( U A n ) P ( A n ) （可列可加性）。
（二）概率的基本性质 1、 P () 0 。
n 1 n 1n n 2、设 A 1 , A 2 ,L , A n 为互不相容的有限个随机事件列，则 P ( U A k ) P ( A k ) 。k 1
k 1
3、 P ( A ) 1P ( A ) 。
4、（减法公式） P ( A B ) P ( A ) P ( A B ) 。 （三）概率基本公式 1、加法公式
（1） P ( A B ) P ( A ) P (B ) P ( A B ) 。 （2） P ( A B C ) P ( A ) P (B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P (BC ) P ( ABC ) 。 2、条件概率公式：设 A , B 是两个事件，且 P ( A ) 0 ，则 P (B | A ) P ( A B )
。
P ( A )
3、乘法公式
（1）设 P ( A ) 0 ，则 P ( AB ) P ( A )P (B | A ) 。 （2） P ( A 1 A 2 L A n ) P ( A 1 )P ( A 2 | A 1 )P ( A 3 | A 1 A 2 )L P ( A n | A 1 A 2 L A n 1 ) 。 三、事件的独立性
1、两个事件的独立—设 A , B 是两个事件，若 P ( A B ) P ( A )P (B ) ，称事件 A , B 相互独立。
P ( AB ) P ( A )P (B );
2、三个事件的独立—设 A , B , C 是三个事件，若 P ( A C ) P ( A )P (C );
P (BC ) P (B )P (C );
P ( ABC ) P ( A )P (B )P (C ),
，称事件 A , B , C 相互独立。
【注解】
（1） A , B 相互独立的充分必要条件是 A , B 、 A , B 、 A , B 任何一对相互独立。（2）设 P ( A ) 0 或 P ( A ) 1 ，则 A 与任何事件 B 独立。
（3）设 P ( A ) 0, P (B ) 0 ，若 A , B 独立，则 A , B 不互斥；若 A , B 互斥，则 A , B 不独立。
四、全概率公式与 Bayes 公式 1、完备事件组—设事件组 A 1 , A 2 ,L , A n 满足：（1） A i A j (i , j 1,2,L , n , i
j ) ；
n
（2） U A i ，则称事件组 A 1 , A 2 ,L , A n 为一个完备事件组。
i 1
2 、全 概率 公式：设 A 1 , A 2 ,L , A n 是一个完备事 件组，且 P ( A i ) 0(i 1,2,L , n ) ， B 为事件，则
n
P (B ) P ( A i )P (B | A i ) 。
i 1
3、贝叶斯公式：设 A 1 , A 2 ,L , A n 为一个完备事件组，且 P ( A i ) 0(i 1,2,L , n ) ， B 为任一随机事件，
P (B ) 0 ，则 P ( A | B ) P ( A i )P (B | A i )
。
i
P (B )
例题选讲
一、填空题
1、设 P ( A ) 0.4, P ( A B ) 0.7 ， （1）若 A , B 不相容，则 P (B ) ；（2）若 A , B 相互独立，则 P (B )
。
2 、设 P ( A ) P (B ) P (C )
。
1 , P ( AB ) P ( AC ) P (BC ) 1
4
6
，则事件 A , B , C 全不发生的概率为
3、设两两相互独立的事件 A , B , C 满足： ABC , P ( A ) P (B ) P (C ) 1 ，且有 P ( A B C )
9
，
2
16
则 P ( A ) 。 4、设事件 A , B 满足 P ( AB ) P ( A B ) ，且 P ( A ) p ，则 P (B )
。
5、设 A , B 为两个相互独立的随机事件，且 A , B 都不发生的概率为 1
，A 发生 B 不发生的概率与 A 不发生 B
9
发生的概率相等，则 P ( A )
。
二、选择题： 1、设 A , B 是两个随机事件，且 0 P ( A ) 1, P (B ) 0, P (B | A ) P (B | A ) ，则[
]
( A )P ( A | B ) P ( A | B ) ； (B )P ( A | B ) P ( A | B ) ；
(C)P( AB) P( A)P(B) ；(D)P( AB) P( A)P(B) 。
2、设事件A, B 满足0 P( A) 1,0 P(B) 1，且P( A | B) P( A | B) 1 ，则[ ]
( A) 事件A, B 对立；(B) 事件A, B 相互独立；
(C) 事件A, B 不相互独立；(D) 事件A, B 不相容。
三、解答题
1、一批产品共有10 个正品和2 个次品，任意抽取2 次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率。
2、设工厂A 与工厂B 的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 生产的产品分别占60%和40%的一批产品
中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A 生产的概率。
3、设事件A 在每次试验中的概率为p ，三次独立重复试验中事件A 至少出现一次的概率为19
，求事件A 27
发生的概率p 。
4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。
第二章一维随机变量及其分布
一、基本概念
1、随机变量—设为随机试验E的样本空间，为定义在上的函数，对任意的，总存在唯一确定的() 与之对应，称为随机变量，若的可能取值为有限个或可列个，称为离散型随机变量，若在某可区间上连续取值，称为连续型随机变量。
2、分布函数—设为一个随机变量，称函数F (x) P{x}(x ) 为随机变量的分布函数。
【注解1】分布函数的四个特征为
（1）0 F (x) 1 。（2）F (x)单调不减。
（3）F (x)右连续。（4）F () 0, F () 1 。
【注解2】分布函数的性质
（1）P{X a} F (a 0) 。（2）P{X a} F (a) F (a 0) 。
（3）P{a x b} F (b) F (a) 。（4）P{a X b} F (b 0) F (a) 。
3、离散型随机变量的分布律—称P{X x i } p i (1 i n) 称为随机变量X 的分布律。
【注解】（1）p i 0(1 i n) 。（2）p1 p2 L p n 1。
n
x
4 、 连 续 型 随机变 量的 密度函 数 — 设 X 的分 布函 数为 F (x ) ，若存 在非负 可积 函数 f (x ) ，使得
x
F (x ) f (t )dt ，称 f (x ) 为 X 的密度函数。
【注解】（1） f (x ) 0 。 （2）
f (x )dx 1。
二、常见随机变量及其分布 （一）离散型
1、二项分布—若随机变量 X 的分布律为 P {X k } C k p k (1 p )nk
(0 k n ) ，称随机变量 X 服从二 项分布，记为 X ~ B (n , p ) 。
2、Poisson 分布—若随机变量 X 的分布律为 P {X k } e (k 0,1,2,L ) ，称随机变量 X 服从泊松分
k !
布，记为 X ~ () 。
3、几何分布—若随机变量 X 的分布律为 P {X k } p (1 p )
k 1 (k 1,2,L ) ，称随机变量 X 服从几何分 布，记为
X ~ G ( p ) 。
（二）连续型
1
, a x b
1、均匀分布—若随机变量 的密度函数为 f (x ) b a
0, 其他
，称随机变量 服从均匀分布，记为
0, x 0
~ U (a , b ) ，其分布函数为 F (x ) x a , a x b 。
b a 1, x b
2、正态分布—若随机变量 的密度函数为 f (x )
1
e
2
( x ) 2
(x ) ，称随机变量 服从正态
分布，记为 ~ N (,2
) ，特别地，若 0,1，称随机变量服从标准正态分布，记为 ~ N (0,1) ，其密度
为(x )
1
e 2 (x ) ，其分布函数为
2
x
(x ) (t )dt 。
e x x
3、指数分布—若随机变量 的密度为 f (x )
, 0
(0) ，称随机变量 服从指数分布，记为
0, x 0
k
0, x 0
~ E () ，其分布函数为 F (x )
1 e
x
。
, x 0
【注解】（1） (0) 1
, (a ) 1 (a ) 。
2
（2）若 ~ N (,2
) ，则 P {} P {} 1
。
2
（3）若 ~ N (,2
) ，则 ~ N (0,1) 。
?
（4）若 ~ N (,2
) ，则 P {a b } F (b ) F (a ) (b ) ( a
) 。
例题选讲
一、选择题
1、设 X 1 , X 2 的密度为 f 1 (x ), f 2 (x ) ，分布函数为 F 1 (x ), F 2 (x ) ，下列结论正确的是[
]
( A )F 1 (x ) F 2 (x ) 为某随机变量的分布函数；
(B ) f 1 (x ) f 2 (x ) 为某随机变量的密度函数； (C )F 1 (x )F 2 (x ) 为某随机变量的分布函数； (D ) f 1 (x ) f 2 (x ) 为某随机变量的密度函数。 2、设随机变量 X 的密度函数 f (x ) 为偶函数，其分布函数为 F (x ) ，则 [
]
( A )F (x ) 为偶函数； (B )F (a ) 2F (a ) 1 ；
a 1 a
(C )F (a ) 1 0
f (x )dx ； (D )F (a ) 2 0
f (x )dx 。3、设 X ~ N (,42
),Y ~ N (,52
) ，令 p P {X 4}, q P {Y 5}，则
[ ]
( A ) 对任意实数 都有 p q ； (B ) 对任意实数 都有 p q ；(C ) 对个别 ，才有 p q ；
(D ) 对任意实数 ，都有 p q 。
4、设 X ~ N (,2
) ，则随的增大，概率 P {| X |}
[
]
( A ) 单调增大；
(B ) 单调减少；
` (C ) 保持不变；
(D ) 增减不确定。
二、填空题
1、 设X ~ N (,2
),方程y 2
4 y X 0无实根的概率为
1
,则
。
2
du 2、 设X ~ B (2, p ),Y ~ B (3, p ),若P {X 1} 5
,则P {Y 1}
。
9
三、解答题 1、有 3 个盒子，第 1 个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第 2 个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第 3 个盒子有 2 个红 球 3 个黑球，若任取一个盒子，从中任取 3 个求，以 X 表示红球个数。
（1）写处 X 的分布律； （2）求红球个数不少于 2 个的概率。
0, x 1
2、设离散型随机变量 X 的分布函数为 F (x ) 0.3,1 x 1
，求 X 的分布律。
0.7,1 x 2 1, x 2
Ae x , x 0
3、设 X 的分布函数为 F (x ) B ,0 x 1
，
1 Ae ( x 1)
, x 1
（1）求 A , B ； （2）求密度函数 f (x ) ； （3）求 P {X 1}。 3
4、设 X ~ U (0,2) ，求随机变量 Y X 2
的概率密度。 5、设 X ~ N (0,1) ，且 Y X 2 ，求随机变量 Y 的概率密度。
第三章 二维随机变量及其分布
一、基本概念
1、联合分布函数—设 ( X ,Y ) 为二维随机变量，称 F (x , y ) P {X x ,Y y }为 ( X ,Y ) 的联合分布函数。
2、二维离散型随机变量的联合分布律—设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，称
P {X x i ,Y y j } p ij (i 1,2,L , m , j 1,2,L , n )
为 ( X ,Y ) 的联合分布律，称
n
m P {X x i } p ij p i (i 1,2,L , m ), P {Y y j } p ij p j ( j 1,2,L , n )
j 1
i 1
分别为随机变量 X ,Y 的边际分布律。
3 、连续型随机变量的联合密度函数— 设 ( X ,Y ) 为二维连续型随机变量，若存在 f (x , y ) 0 ，使得
x F (x , y ) P {X x ,Y y } y
f (u , v )dv ，称 f (x , y ) 为随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度函数，称
f X (x ) f (x , y )dy , f Y ( y ) f (x , y )dx
分别为随机变量 X ,Y 的边际密度函数。 【注解】联合分布函数的特征有
（1） 0 F (x , y ) 1 。 （2） F (x , y ) 关于 x , y 为单调不减函数。 （3） F (x , y ) 关于 x 或者 y 都是右连续。 （4） F (,) 0, F (,) 0, F (,) 0, F (,) 1 。 二、常见的二维连续型随机变量
1、均匀分布—设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度为
f (x , y ) 1
,(x , y ) D A
，其中 A 为区域 D 的面积，称 ( X ,Y ) 在区域 D 上服从均匀分布。
0, (x , y ) D 2、正态分布—设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度为
f (x , y )
1
exp{
1
[( x 1 )2 2(x 1 )( y 2 ) ( y
2 )2 ]} 则称 ( X ,Y ) 服
212 1 2
2(1 2 )
12 2
从二维正态分布，记为 ( X ,Y ) ~ N (,
,2 ,2 , ) ，其中 0,
0 。
1
2
1
2
1
2
【注解】若 ( X ,Y ) ~ N (,
,2 ,2
, ) ，则 X ~ N (,2 ),Y ~ N (
,2 ) 。
1
2
1
2
1
1
2
2
二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性
（一）二维离散型随机变量的条件分布
1、设 P {Y y j } 0 ，在事件{Y y j } 发生的情况下，事件{X x i } 发生的条件概率为
P {X x i | Y y j }
p ij p j (i 1,2,L ) ；
2、设 P {X x i } 0 ，在事件{X x i } 发生的情况下，事件{Y y j } 发生的条件概率为
P {Y y j | X x i }
（二）二维连续型随机变量的条件密度
p ij p i
( j 1,2,L ) 。
f (x , y )
1、设 f Y ( y ) 0 ，则在“ Y y ”的条件下， X 的条件概率密度为 f X |Y (x | y ) 。
f Y ( y )
f (x , y ) 2、设 f X (x ) 0 ，则在“ X x ”的条件下， Y 的条件概率密度为 f Y |X ( y | x )
。
f X (x )
1
（三）随机变量的独立性 1、定义—设 ( X ,Y ) 为二维随机变量，若对任意的 x , y 都有 F (x , y ) F X (x )F Y ( y ) ， 称随机变量
X ,Y 相互独立。
2、独立的充分必要条件
（1）离散型随机变量—设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，则 X ,Y 相互独立的充要条件是
p ij p i . p . j (i 1,2,L ; j 1,2,L 。 （2）连续型随机变量—设 ( X ,Y ) 为二维连续型随机变量，则 X ,Y 相互独立的充要条件是f (x , y )
f X (x ) f Y ( y ) （可以除去有限个点）。【注解】若 ( X ,Y ) 为二维连续型随机变量，求 ( X ,Y ) 的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数 f (x , y ) ，一般有如下三种情况：
（1）题中直接给出 f (x , y ) （若其中含参数，用归一性求出）。（2） X ,Y 服从的分布已知且 X ,Y 独立，则 f (x , y )
f X (x ) f Y ( y ) 。（3） X 的边缘分布已知，且 Y 的条件密度已知，则 f (x , y )
f X (x ) f Y | X ( y | x ) 。
三、随机变量函数的分布
已知 ( X ,Y ) 的分布， Z ( X ,Y ) ，关于 Z 的分布有以下几种情形： 情形一：设 ( X ,Y ) 为离散型随机变量， Z ( X ,Y ) ，则 Z 为离散型随机变量，求出其可能取值及对应的 概率即可。
情形二： ( X ,Y ) 为连续型随机变量， Z ( X ,Y ) ，其中 为连续函数，则 Z 为连续型随机变量，可用分 布函数定义求 Z 的分布。
情形三： X ,Y 中一个为连续型随机变量，一个为离散型随机变量，求 Z ( X ,Y ) 的分布
例题选讲
一、选择题
1、设相互独立的随机变量 X ,Y 分别服从 N (0,1) 及 N (1,1) ，则[
]
( A )P {X Y 0} 1 ；
2
(B )P {X Y 1} 1
；
2
(C )P {X Y 0} 1
；
2
(D )P {X Y 1} 1
。
2二、填空题
1 、 设 X ,Y
为 两 个 随 机 变 量 ， 且 P {X 0,Y 0} 3
, P {X 0} P {Y 0}
4
， 则
7 7
P {max(X ,Y ) 0}
。
三、解答题 1、袋中有 10 个大小相同的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次抽取 1 个，定义如下两个随机
1, 第1次抽到红球 1, 第2次抽到红球
变量： X ,Y , 第1次抽到白球 ， ,
第2次抽到白球0 0 就下列两种情况，求 ( X ,Y ) 的联合分布律：
（1）每次抽取后放回；
（2）每次抽取后不放回。
Ae ( x 2 y ) , x 0, y 0 2、设 ( X ,Y ) 的联合密度为 f (x , y )
，求
0, 其他
（1）常数 A ； （2） ( X ,Y ) 的分布函数； （3） Z X 2Y 的分布函数； （4） P {X 2Y 1}及P {X Y }。 3、设随机变量 X ~ E () ，求随机变量 Y min{X ,2} 的分布函数。
4、设 X ~ E (1 ),Y ~ E (2 ) 且
X ,Y 独立。（1）设 Z max{X ,Y }，求 Z 的密度函数。 （2） Z min{X ,Y }，求 Z 的密度函数。
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望及其性质 （一）数学期望的定义
?
1、离散型数学期望—设 X 的分布律为 P {X x k } p k (k 1,2,L ) ，则 EX x k p k 。 k 1
2、连续型数学期望—设 X 的概率密度为 f (x ) ，则其数学期望为
EX xf (x )dx 。
3、二维离散型随机变量的数学期望—设离散型随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布律为
P {X x i ,Y y j } p ij (i 1,2,L ; j 1,2,L ) ， Z ( X ,Y ) ，则
DX DY
EZ (x
i
, y
j
) p
ij
。
i1 j 1
4、二维连续型随机变量的数学期望—设二维连续型随机变量( X ,Y ) 的密度为f (x, y) ，Z ( X ,Y ) ，则
EZ dx(x, y) f (x, y)dy 。
（二）数学期望的性质
1、E(C) C 。
2、E(kX ) kEX 。
3、E( X Y ) EX EY 。
4、E(aX bY ) aEX bEY 。
5、若随机变量X ,Y 相互独立，则E( X Y ) EX EY 。
二、方差的定义及性质
（一）方差的定义—DX E( X EX )2 。
（二）方差的计算公式—DX EX 2 (EX )2 。
（三）方差的性质
1、D(C) 0 。
2、D(kX ) k 2 DX 。
3、设随机变量X ,Y 相互独立，则D( X Y ) DX DY，D(aX bY ) a2 DX b2 DY 。
三、常见随机变量的数学期望和方差
1、二项分布：X ~ B(n, p), EX np, DX npq 。
2、泊松分布：X ~ (), EX DX 。
3、均匀分布：X ~ U (a,b), EX a b
2
, DX
(b a)2
。
12
4、正态分布：X ~ N (,2 ), EX , DX 2 。
四、协方差与相关系数
（一）定义
1、协方差—Cov( X,Y ) E( X EX )(Y EY ) 。
2、相关系数—XY cov( X,Y )
，若
XY
0 ，称随机变量X ,Y 不相关。
（二）协方差的计算公式：Cov( X,Y ) E( X Y ) EX EY
（二）性质
1、 Cov ( X , X ) DX 。
2、若 X ,Y 独立，则 Cov ( X ,Y ) 0 。
3、 Cov ( X ,Y ) Cov (Y , X ) ，
4、 Cov (aX , b Y ) abCov ( X ,Y ) 。
5、 Cov (aX bY , Z ) aCov ( X , Z ) bCov (Y , Z ) 。
6、 D ( X Y ) DX DY 2Cov ( X ,Y ) 。
例题选讲
一、填空题
1、设随机变量 X ,Y 相互独立，且 DX 3, DY 2 ，则 D (3X 2Y ) 。
2、随机变量 X ~ E () ，则 P {X DX } 。
3、设 X ,Y 独立同分布，且都服从 N (0, 1
) ，则 E | X Y |
, D | X Y |
。
2
4、设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为 0.4 ，则 EX 2
。
1 5、设随机变量 X 的密度为 f (x ) e x
2 x 1 ，则 EX ?
, DX
。
6、设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E [( X 1)( X 2)] 1，则
。
二、解答题
0,Y k
1、设 Y ~ E (1) ， X k
1,Y k
(k 1,2) ，
（1）求 ( X 1 , X 2 ) 的联合分布律； （2） E ( X 1 X 2 ) 。
1 0 1 0 1
2、设 X 与Y 的概率分布为X ~ 1 1 1 ,Y ~ 1 1 ，且 P {XY 0} 1 ，
4 2 4 2 2
（1）求 X ,Y 的联合分布律； （2）问 X ,Y 是否相互独立为什么
1,U 1 1,U 1
3、设U ~ U [2,2], X 1,U 1 ,Y ，求
1,U 1
（1） X ,Y 的联合分布律； （2） D ( X Y ) 。4、试验成功的概率为 3 ，失败的概率为 1
，独立重复试验直到成功 2 次为止，以 X 表示所需要进行的试 4 4
1
验次数，求 X 的概率分布与数学期望。
1 cos x
,0 x
5、设 X 的密度函数为 f (x ) 2 2 ，对 X 独立重复观察 4 次，Y 表示观察值大于 的次数，
0, 其他
3
求 EY 2
。
第五章 大数定律与中心极限定理
一、车比雪夫不等式
设随机变量 X 的方差存在，则对任意的 0 ，有
P {| X EX |}
DX
，或者 P {| X EX |} 1
DX
。
2
2
二、大数定律
1、（车比雪夫大数定律）设随机变量 X 1 , X 2 ,L , X n ,L 相互独立， DX i 存在且 DX i M 0 (i 1,2,L ) ，则
1 n
对任意的 0 ，有 lim P{| X i n
n - EX i
|} 1 。
n i 1
n i 1
2、（独立同分布）设 X 1 , X 2 ,L , X n ,L 独立同分布，且 EX i , DX i 2
(i 1,2,L ) ，则对任意的 0 ，
1 n 有 lim P {| X i n
|} 1 。
n i 1
3、（贝努利大数定律）设 X 1 , X 2 ,L , X n ,L 独立同分布于参数为 p 的 0 1 分布，则对任意的 0 ，有
1 n lim P {| X i n p |} 1 。 n i 1
4、（辛钦大数定律）设 X 1 , X 2 ,L , X n ,L 独立同分布，且 EX i ，则对任意的 0 ，有
1 n
lim P {| X i n |} 1 。三、中心极限定理
n i 1
1 、（ Levy-Lindberg 中心极限定理）设随机变量序列 X 1 , X
2 ,L , X n ,L 独立同分布，且
EX i , DX i
2
(i 1,2,L ) ，则对任意实数 x ，有
n
X i n
lim P {
i 1
x }
1
t
x
e 2 dt 。
n
n
2
1 1 n 2
2、（拉普拉斯中心极限定理）设 X n ~ B (n , p )(0 p 1)(n 1,2,L ) ，则对任意实数 x ，有
lim P {
n
X n np np (1p )
x }
1 2
t
x e 2
dt 。 例题选讲
1、设随机变量 X ~ E (5) ，用车比雪夫不等式估计 P | X 5 |3} 。
2、设 X ~ N (0,42 ),Y ~ (2,52 ) ，且 X ,Y 相互独立，用车比雪夫不等式估计 P {| X Y 2 |4}
。
第六章 数理统计基本概念
一、基本概念
1、总体—被研究对象某指标的所有可能结果称为总体。
2、简单样本及样本观察值—设总体为 X ，则来自总体 X 的 n 个相互独立且与总体 X 同分布的随机变量
X 1 , X 2 ,L , X n 称为简单随机样本，样本 X 1 , X 2 ,L , X n 的观察值 x 1 , x 2 ,L , x n 称为样本观察值。
3、统计量—样本的无参函数称为统计量。 二、样本常用数字特征
设 X 1 , X 2 ,L , X n 为来自总体 X 的简单样本，则
1 n
1、样本均值— X X i 。
n i 1
2、样本方差— S 2
n
( X i X ) 。
i 1
1 n k
3、样本的 k 阶原点矩— A k X i , k 1,2,L 。
n i 1 1 n 2
4、样本的 k 阶中心矩— B k ( X i X ) n i 1
, k 1,2,L 。
三、常用的抽样分布
1、 2
—分布
（ 1 ）定义 — 设随机变量 X 1 , X 2 ,L , X n 相互独立且都服从标准正态分布，则称随机变量
2
2
2
2
2
2
2
X 1 X 2 L X n 为服从自由度为 n 的 分布，记为
~ (n ) 。
2
2 2
4 2
（2）性质：
1）设 X ~ 2
(n ) ，则 EX n , DX 2n ； 2）设 X ~ 2 (m ),Y ~ 2 (n ) ，且 X ,Y 相互独立，则 X Y ~ 2 (m n ) 。 2、 t —分布
设随机变量 X ~ N (0,1),Y ~ 2
(n ) ，且 X ,Y 相互独立，则称随机变量 t X
为服从自由度为 n 的 t 分
Y / n
布，记为 t ~ t (n ) 。
3、 F —分布
（1）定义—设随机变量 X ~ 2
(m ),Y ~ 2
(n ) ，且 X ,Y 相互独立，则称随机变量 F X / m
为服从自由
Y / n
度为 m , n 的 F 分布，记为 F ~ F (m , n ) 。
（2）性质
设 F ~ F (m , n ) ，则 1
F
~ F (n , m ) 。
四、一个正态总体下几个常用的统计分布设总体 X ~ N (,2
) ， X
1
, X 2 ,L , X n 是来自正态总体 X 的简单样本，则
2 X X
1、 X ~ N (,
), ~ N (0,1) 。
2~ t (n 1) 。
n / n
n
2
1 3、
( X X )2 (n 1)S ~ 2 (n 1) 。
4、 1
( X )2 ~ 2 (n ) 。
2
i
2
i 1
2
i i 1
5、 ES
2 2
。
6、 X 与 S 2
独立。
例题选讲
1、设 X 1 , X 2 ,L , X n 是来自正态总体 N (,
2
) 的简单样本，记
1
n
1 n
1
( X i X ) n 1 i 1 , S 2
( X i X ) ， n i 1
1 n
1 n
2 3 n
( X i
)
i 1 , S 2
( X i ) ，
n i 1
则服从自由度为 n 1的 t 分布的统计量是
1 S 2
S 2
6 3 2
1 2
2
( A
(B ) X ；
(C ) X ；
(D ) X 。
S 1 S 2 / n 1 S 3 / n S 4 / n
2、设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是来自正态总体 X ~ N (0,4) 的简单样本，且U a ( X 1 2 X 2 )
b (3X 3 4 X 4 ) 服
从 2
分布，求 a ,b 及自由度。 3、设总体 X ,Y 独立同分布且都服从正态分布 N (0,9) ， X 1 ,L , X 9 与 Y 1 ,L ,Y 9 是分别来自总体 X ,Y 的简单样本，求统计量U
X 1 X 2 L X 9
所服从的分布。
1 6 1
4、设 X 1 , X 2 ,L , X 9 是来自正态总体 X 的简单样本， Y 1 X i ,Y 2
( X 7 X 8 X 9
) ， i 1
S 2 1 9 ( X i Y )2 , Z
2(Y 1 Y 2 ) ，证明 Z ~ t (2) 。2 i 7 S
5、设总体 X ~ N (60,122
) ，从总体中抽取容量为 n 的简单样本，问容量 n 至少为多少时，才能使样本均值 大于 54 的概率不小于 0.975 。
第七章 参数估计
一、点估计
（一）估计量与评价标准 1、估计量—用统计量 ( X 2、估计量的评价标准 1
, X
2
,L , X
n ) 来估计未知参数，称该统计量为参数的估计量。
（1）无偏性—若 E E ( X 1 , X 2
,L , X ) ，称估计量 ( X 1
, X 2 ,L , X n ) 为参数的无偏估计量；
（ 2 ）有效性 — 设
1
( X 1 ,
X 2 ,L , X ) 与 2 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 都是参数
的无偏估计量，若 D D
，称 是比
更有效的估计量。
1
2
1
2
（3）一致性—设 ( X
1
, X 2 ,L , X n ) 是参数的估计量，若对任意的
0 ，有 lim P {| |} 1，
n
称 ( X
1
, X 2 ,L , X n ) 为参数的一致估计量。
（二）求参数估计量的方法 1、最大似然估计法 2、矩估计法
Y Y L Y
2
2 2 1
2
9
2
n
n
二、区间估计（仅限数学一）
1、置信区间—设总体 X ，其分布函数为 F (x ,) ，其中为未知参数， X 1 , X 2 ,L , X n 为来自总体 X 的简 单样本，对给定的 0 1，若存在统计量1 1 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 及
2 2
( X 1 , X 2 ,L , X n ) ，使得
P {1 2 } 1 ，
称区间 (1 ,2 ) 为参数的置信度为1 的置信区间。 2、一个正态总体下常用的置信区间：
例题选讲
( 1)x ,0 x 1 1、设总体 X 的密度为 f (x )
0,其他
单样本，求参数的矩估计量和最大似然估计量。
，其中1是未知参数， X 1 ,L , X n 是来自总体的简
2e 2( x )
, x
2、某元件使用寿命 X 的密度为 f (x ) 0, x
，其中0 为未知参数，设 X 1 ,L , X n 为来自总
体 X 的简单样本，求的最大似然估计量。
6 x
( x ),0 x
3、设总体 X 的概率密度为 f (x ) 3 ， X 1 ,L , X n 为来自总体 X 的简单样本。
0,其他
（1）求的矩估计量 ；
（2）求 D 。
0 1 2 3 1
4、设总体 X 的分布律为 X ~
2
2(1 )
2
12，其中(0 2
) 是未知参数，X 1 ,L , X 8 是来自总体的简单样本，其观察值为 3,1,3,0,3,1,2,3 ，求的矩估计值与最大似然估计值。
5、设正态总体 X ~ N (,12 ) ，X 的置信区间。
1 ,L , X
100 为来自总体 X 的简单样本，且 x 5 ，求参数 的置信度为 0.95